专题01 幂的运算、整式的乘除与乘法公式（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（北师大版2024）

专题01 幂的运算、整式的乘除与乘法公式 题型概览 题型01幂的运算 题型02幂运算的逆用 题型03幂的混合运算 题型04科学记数法表示绝对值小于1的数 题型05整式的乘法 题型06利用单项式乘积求参数 题型07利用平方差、完全平方公式进行运算 题型08平方差、完全平方公式与几何图形 题型09整式的除法 ( 题型01 )幂的运算 1．（2023·24七年级下·河北承德·期末）可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·24七年级下·四川遂宁·期末）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2023·24七年级下·辽宁大连·期末）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·24七年级下·广东东莞·期末）下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2023·24七年级下·四川成都·期末）若，则 ． 7．（2023·24七年级下·河北张家口·期末）已知，，、为正整数，则的值为 ． 8．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）若，则 ． ( 题型0 2 )幂运算的逆用 9．（2023·24七年级下·甘肃武威·期末）已知，，求的值是（        ） A．5 B．10 C．15 D．20 10．（2023·24七年级下·广东深圳·期末）已知，，则 ． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）已知，，其中m、n均为正整数，则 ． 12．（2023·24七年级下·河北石家庄·期末）计算： ． 13．（2023·24七年级下·天津和平·期末）已知，，，为正整数，则 ．（用，表示）． 14．（2023·24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，则等于 ． 15．（2023·24七年级下·内蒙古兴安盟·期末）已知，，，求的值． 16．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． ( 题型0 3 )幂的混合运算 17．（2023·24七年级下·上海闵行·期末）计算：．（结果不含负整数指数幂） 18．（2023·24七年级下·辽宁锦州·期末）计算： (1)； (2)． 19．（2023·24七年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 20．（2023·24七年级下·四川成都·期末）（1）计算：； （2）计算： ( 题型0 4 )科学记数法表示绝对值小于1的数 21．（2023·24七年级下·河南郑州·期末）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 22．（2023·24七年级下·北京海淀·期末）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 23．（2023·24七年级下·河北保定·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 24．（2023·24七年级下·河北保定·期末）某物质的密度a用科学记数法表示为，则数a用小数表示为（    ） A． B． C． D． 25．（2023·24七年级下·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数，用小数表示为 ． ( 题型0 5 )整式的乘法 26．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）代数式的值（    ） A．与字母都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母都无关 27．（2023·24六年级下·山东威海·期末）如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 28．（2023·24七年级下·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A． B． C． D． 29．（2023·24七年级下·内蒙古兴安盟·期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 30．（2023·24七年级下·湖南永州·期末）先化简，再求值：，其中． 31．（2023·24七年级下·辽宁大连·期末）如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 32．（2023·24七年级·广东梅州 期末）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． ( 题型0 6 )利用单项式乘积求参数 33．（2023·24七年级下·浙江·期末）要使多项式不含x的一次项，则（    ） A． B． C． D． 34．（2023·24七年级下·湖南株洲·期末）若，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 35．（2023·24七年级下·内蒙古兴安盟·期末）如果的结果中不含的一次项，那么实数的值为 ． 36．（2023·24七年级下·湖北武汉·期末）若，则 37．（2023·24七年级下·吉林四平·期末）如果的展开式中不含的三次项，求n的值． 38．（2023·24七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果．则称B是A的“郡园多项式”如果，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，，则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由； (2)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，则_____； (3)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值． ( 题型0 7 )利用平方差、完全平方公式进行运算 39．（2023·24七年级下·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 40．（2023·24七年级下·河北张家口·期末）若，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 41．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）已知，则（   ） A．4 B．10 C．16 D．20 42．（2023·24七年级下·河北沧州·期末）如果，则，的值是（    ） A．2，0 B．4，0 C．2， D． 4， 43．（2023·24七年级下·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中，． 44．（2023·24七年级下·北京朝阳·期末）已知，求的值． 45．（2023·24七年级下·山东济南·期末）先化简，再求值：其中，． 46．（2023·24七年级下·河南信阳·期末）已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 47．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 48．（2023·24七年级下·江西南昌·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：，，是的三种不同形式的配方. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值. ( 题型0 8 )平方差、完全平方公式与几何图形 49．（2023·24七年级下·山东济南·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 50．（2023·24七年级下·云南德宏·期末）如图所示，将（甲）图中阴影部分的小长方形变换到（乙）图的位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（    ） A． B． C． D． 51．（2023·24七年级下·安徽合肥·期末）如图1，某同学用2个正方形和2个长方形无缝拼接得到一个大正方形，它们的边长、面积如图所示． (1)根据拼图前后面积相等，利用图1可以解释我们学过的一个数学公式，请你写此公式：________； (2)利用上面的公式解决下面问题： ①若，则________； ②若，则________； (3)如图2，中，分别以直角边为直径向三角形外侧作半圆，两半圆的面积分别记为，若，求的面积． 52．（2023·24七年级下·河北石家庄·期末）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 53．（2023·24七年级下·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 54．（2023·24七年级下·辽宁本溪·期末）从边长为a的正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形，再将其剪成四个相同的等腰梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②） (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含的代数式表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 55．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）（1）数学课堂上老师留了一道数学题，如图①，用式子表示空白部分的面积．甲，乙两名同学表示的式子是：甲：；乙：．正确的学生是______． （2）如图②，有一块长为()米，宽为()米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路．其余进行绿化，已知两条道路的宽分别为米和米，求绿化的面积．（用含a，b的式子来表示） ( 题型0 9 )整式的除法 56．（2023·24七年级下·贵州遵义·期末）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ） A． B． C． D． 57．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）已知长方形的面积为，它的宽为，则这个长方形的长为 ． 58．（2023·24七年级下·天津滨海新·期末）计算：． 59．（2023·24七年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中，． 60．（2023·24七年级下·辽宁大连·期末）先化简，再求值：其中． 61．（2023·24七年级下·福建厦门·期末）如图，长方形的两边长分别为，，面积为，现有一个正方形的周长与长方形的周长相等． (1)用含m的代数式表示正方形的边长：________； (2)已知正方形的面积S，问：的值是否与m的大小有关？并说明理由． 62．（2023·24七年级下·四川眉山·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变．于是有：． 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：； (2)已知：，，求：的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？ 一、单选题 1．（2023·24七年级下·山东德州·阶段练习）使的积中不含和的p，q的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·24七年级下·河南南阳·阶段练习）若的积中x的二次项系数为零，则m的值是（　　） A．1 B． C． D．2 3．（2023·24七年级下·湖南益阳·期末）观察下列各式： ； ； ； ； 根据上述规律计算：=（    ） A． B． C． D． 4．（2023·24七年级下·浙江宁波·期末）在长方形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，若知道下列条件，能求值的是（    ）    A．边长为a的正方形的面积 B．边长为b的正方形的面积 C．边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和 D．边长a与b之差 5．（2023·24六年级下·山东泰安·期末）若，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·24七年级下·浙江·期末）设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·24七年级下·福建福州·期末）如果代数式，那么代数式的值等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2023·24七年级下·湖北孝感·期末）观察等式：；；，……，若，则用含a的式子表示的和是 ． 9．（2023·24七年级下·黑龙江牡丹江·期末） ． 10．（2023·24七年级下·福建厦门·期末）边长分别为和的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为，没有阴影部分的面积为，则 ． 11．（2023·24七年级下·湖南长沙·期末）化简： ． 12．（2023·24七年级下·四川成都·期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么这个正整数称为“和谐数”．例如：因为，所以8是“和谐数”．在不超过200的正整数中，“和谐数”的个数为 ． 13．（2023·24七年级下·湖北武汉·期末）计算： ； ． 三、解答题 14．（2023·24七年级下·安徽滁州·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 15．（2023·24七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 16．（2023·24七年级下·内蒙古包头·期末）如图，学校有一块边长为米的大正方形空地，在这块大正方形空地内规划一个小正方形活动区域，活动区域连接大正方形四边修建四条长均为米，宽均为米的小路．剩余阴影区域铺设草坪． (1)用含，的代数式表示图中小正方形的边长； (2)用含，的代数式表示阴影区域草坪的面积．（说明：本题的结果均要求化简） 17．（2023·24七年级下·四川宜宾·阶段练习）阅读下列解题过程：                           ．．．．．． (1)试求的值 (2)判断的值的个位数是几？ 18．（2023·24七年级下·辽宁大连·期末）如图1是一个长为．宽为的长方形， 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少? (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： 方法2： (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗? 代数式:   (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题： 若，则＝ ． (5)若，则　　　　． 19．（2023·24七年级下·内蒙古兴安盟·期末）现有若干张如图1所示的三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种卡片______张，种卡片_______张，种卡片______张． (2)①利用4张种卡片按图2的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于，，的等量关系式：___________． ②如图3，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，请利用①中的公式求阴影部分面积的和． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂的运算、整式的乘除与乘法公式 题型概览 题型01幂的运算 题型02幂运算的逆用 题型03幂的混合运算 题型04科学记数法表示绝对值小于1的数 题型05整式的乘法 题型06利用单项式乘积求参数 题型07利用平方差、完全平方公式进行运算 题型08平方差、完全平方公式与几何图形 题型09整式的除法 ( 题型01 )幂的运算 1．（2023·24七年级下·河北承德·期末）可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 故选：B 2．（2023·24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2023·24七年级下·四川遂宁·期末）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（2023·24七年级下·辽宁大连·期末）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解∶A．，原计算错误，不符合题意； B ．，原计算错误，不符合题意； C ．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 5．（2023·24七年级下·广东东莞·期末）下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：（1）无法计算，故题目计算错误； （2），故题目计算错误； （3），故题目计算错误； （4），故题目计算错误． 故正确个数为个， 故选：A． 6．（2023·24七年级下·四川成都·期末）若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 7．（2023·24七年级下·河北张家口·期末）已知，，、为正整数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）若，则 ． 【答案】10 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：10． ( 题型0 2 )幂运算的逆用 9．（2023·24七年级下·甘肃武威·期末）已知，，求的值是（        ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】解：由题意可知：，， ， ． 故选B 10．（2023·24七年级下·广东深圳·期末）已知，，则 ． 【答案】8 【详解】解：当，时， ． 故答案为：8． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）已知，，其中m、n均为正整数，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 12．（2023·24七年级下·河北石家庄·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 13．（2023·24七年级下·天津和平·期末）已知，，，为正整数，则 ．（用，表示）． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 14．（2023·24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，则等于 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 15．（2023·24七年级下·内蒙古兴安盟·期末）已知，，，求的值． 【答案】8 【详解】解：∵，，， ∴ ． 16．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． ( 题型0 3 )幂的混合运算 17．（2023·24七年级下·上海闵行·期末）计算：．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【详解】解： 18．（2023·24七年级下·辽宁锦州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了零指数幂和负整数指数幂，幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 19．（2023·24七年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方，积的乘方，幂的乘方和同底数幂乘除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 20．（2023·24七年级下·四川成都·期末）（1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1） ； （2） ． ( 题型0 4 )科学记数法表示绝对值小于1的数 21．（2023·24七年级下·河南郑州·期末）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：700纳米米米， 故选：B． 22．（2023·24七年级下·北京海淀·期末）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：； 故选B． 23．（2023·24七年级下·河北保定·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 故选：B． 24．（2023·24七年级下·河北保定·期末）某物质的密度a用科学记数法表示为，则数a用小数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：； 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，把一个数表示成科学记数法的形式及把用科学记数法表示的数进行还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法，熟练掌握此方法是解题关键． 25．（2023·24七年级下·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数，用小数表示为 ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： ( 题型0 5 )整式的乘法 26．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）代数式的值（    ） A．与字母都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母都无关 【答案】B 【详解】解： ， ∴结果只与有关， 故选：B ． 27．（2023·24六年级下·山东威海·期末）如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得 即余下的阴影部分面积是． 故选：A 【点睛】此题考查了整式混合运算的应用，熟练掌握多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 28．（2023·24七年级下·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．图中阴影部分面积用整个长方形的面积空白部分的面积，即，故该选项不符合题意； ．图中阴影部分面积用右边阴影部分长方形的面积左边阴影部分正方形的面积，即，故该选项不符合题意； ．只有左边阴影部分正方形的面积右边上面阴影部分长方形的面积，缺少右边下面长方形的面积，故该选项符合题意； ．图中阴影部分面积用上面阴影长方形的面积右边下面长方形的面积，即故该选项不符合题意； 故选：C． 29．（2023·24七年级下·内蒙古兴安盟·期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 即图2中零件的面积为． 故选：A 30．（2023·24七年级下·湖南永州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【详解】解： ， 当时，原式 31．（2023·24七年级下·辽宁大连·期末）如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题图可知，绿地面积 （2）当时，． 32．（2023·24七年级·广东梅州 期末）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得 ， ， 所以，① ② 由②得，代入①得， 所以 所以 所以 （2）解：当时，由得 ( 题型0 6 )利用单项式乘积求参数 33．（2023·24七年级下·浙江·期末）要使多项式不含x的一次项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 由于不含x的一次项， 故． 故选A． 34．（2023·24七年级下·湖南株洲·期末）若，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 故选：A 35．（2023·24七年级下·内蒙古兴安盟·期末）如果的结果中不含的一次项，那么实数的值为 ． 【答案】 【详解】解： ， ∵结果中不含的一次项， ∴ 解得：． 故答案为：． 36．（2023·24七年级下·湖北武汉·期末）若，则 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 37．（2023·24七年级下·吉林四平·期末）如果的展开式中不含的三次项，求n的值． 【答案】． 【详解】解： ‍ ‍． ‍展开式中不含的三次项， ‍， ‍． 38．（2023·24七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果．则称B是A的“郡园多项式”如果，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，，则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由； (2)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，则_____； (3)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值． 【答案】(1)B是A的“郡园多项式”，理由见解析 (2) (3)或 【详解】（1）解：B是A的“郡园多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴B是A的“郡园多项式”； （2）解：∵，， ∴ ， ∵，B是A的“郡园志勤多项式”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）解：∵，， ∴ ， 当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意； 当时，， ∵B是A的“郡园志勤多项式”， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． ( 题型0 7 )利用平方差、完全平方公式进行运算 39．（2023·24七年级下·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； B、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； C、，符合平方差公式特点，能用平方差公式； D、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式． 故选：C． 40．（2023·24七年级下·河北张家口·期末）若，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ， ， ， 故选：B． 41．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）已知，则（   ） A．4 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【详解】解：， ， 即， ∵， ， ． 故选：B． 42．（2023·24七年级下·河北沧州·期末）如果，则，的值是（    ） A．2，0 B．4，0 C．2， D． 4， 【答案】D 【详解】解：， ，， ， 故选D． 43．（2023·24七年级下·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解： ； 当，时， 原式． 44．（2023·24七年级下·北京朝阳·期末）已知，求的值． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 的值为． 45．（2023·24七年级下·山东济南·期末）先化简，再求值：其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 46．（2023·24七年级下·河南信阳·期末）已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解：是一个完全平方式， ， ， ． 47．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 48．（2023·24七年级下·江西南昌·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：，，是的三种不同形式的配方. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值. 【答案】(1)①；②；③ (2) 【详解】（1）①； ②； ③； （2）， 整理，得， 则， 即， ，，， ，，， ． ( 题型0 8 )平方差、完全平方公式与几何图形 49．（2023·24七年级下·山东济南·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，， ， ， 点为的中点， ， 图的阴影部分面积， ， ， 图的阴影部分面积 ， 故选：B． 50．（2023·24七年级下·云南德宏·期末）如图所示，将（甲）图中阴影部分的小长方形变换到（乙）图的位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：图甲中，阴影部分的面积为，图乙中阴影部分的面积为， ∵图甲和图乙中阴影部分面积相等， ∴， 故选：A． 51．（2023·24七年级下·安徽合肥·期末）如图1，某同学用2个正方形和2个长方形无缝拼接得到一个大正方形，它们的边长、面积如图所示． (1)根据拼图前后面积相等，利用图1可以解释我们学过的一个数学公式，请你写此公式：________； (2)利用上面的公式解决下面问题： ①若，则________； ②若，则________； (3)如图2，中，分别以直角边为直径向三角形外侧作半圆，两半圆的面积分别记为，若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3)24 【详解】（1）解：大正方形的边长为，因此面积为， 2个正方形的2个长方形的面积和为， 所以； 故答案为：； （2）解：①， ， 即， ， ， 故答案为：30； ②设，，则， ， 即， ， ， ， ； ； 故答案为：； （3）解：设，， ， ， ， ， 即， ， ， 的面积． 52．（2023·24七年级下·河北石家庄·期末）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【答案】[类比探究] ；[应用]（1）90；（2）5；[拓展]12 【详解】[类比探究]解：由题意知，， 故答案为：； [应用]解：（1）， 故答案为：90； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：5； [拓展]解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得，， ∴种草区域的面积和为， ∴种草区域的面积和为12． 53．（2023·24七年级下·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．（2023·24七年级下·辽宁本溪·期末）从边长为a的正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形，再将其剪成四个相同的等腰梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②） (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含的代数式表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， 理由：图①中的阴影部分是边长为的正方形减去边长为的正方形， ； 图②中的阴影部分是平行四边形，它的底边长为，而它的高为， ． （2）解：图②与图①中的阴影部分的面积相等， ， ． 55．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）（1）数学课堂上老师留了一道数学题，如图①，用式子表示空白部分的面积．甲，乙两名同学表示的式子是：甲：；乙：．正确的学生是______． （2）如图②，有一块长为()米，宽为()米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路．其余进行绿化，已知两条道路的宽分别为米和米，求绿化的面积．（用含a，b的式子来表示） 【答案】（1）乙；（2）绿化的面积为()平方米． 【详解】解：（1）空白部分的面积为：，故甲错误； ， 乙正确； 故答案为：乙； （2）由题意可得： 平方米， 答：绿化的面积为()平方米． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式在面积中的应用，平方差公式，理解修路后依然可以拼成矩形，掌握表示同一图形的面积的两种表示方法：整体表示法和部分表示法是解题的关键． ( 题型0 9 )整式的除法 56．（2023·24七年级下·贵州遵义·期末）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． 故选：B． 57．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）已知长方形的面积为，它的宽为，则这个长方形的长为 ． 【答案】 【详解】解：这个长方形的长为：． 故答案为： 58．（2023·24七年级下·天津滨海新·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 59．（2023·24七年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【详解】解： ， 当，时、原式． 60．（2023·24七年级下·辽宁大连·期末）先化简，再求值：其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 61．（2023·24七年级下·福建厦门·期末）如图，长方形的两边长分别为，，面积为，现有一个正方形的周长与长方形的周长相等． (1)用含m的代数式表示正方形的边长：________； (2)已知正方形的面积S，问：的值是否与m的大小有关？并说明理由． 【答案】(1) (2)的值与m的大小无关 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：； （2）的值与m的大小无关，理由为： ， ∴的值与m的大小无关． 62．（2023·24七年级下·四川眉山·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变．于是有：． 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：； (2)已知：，，求：的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？ 【答案】(1) (2) (3)当时，取得最小值1 【详解】（1）解：（1） ； （2）， ，即， ， ，即， ， ； （3） ， 当时，取得最小值1． 一、单选题 1．（2023·24七年级下·山东德州·阶段练习）使的积中不含和的p，q的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解： 不含和， ， 解得：， 故选：C． 2．（2023·24七年级下·河南南阳·阶段练习）若的积中x的二次项系数为零，则m的值是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】解： ， 的积中x的二次项系数为零， ， 解得：， 故选：D． 3．（2023·24七年级下·湖南益阳·期末）观察下列各式： ； ； ； ； 根据上述规律计算：=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由所给算式可得：， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式乘法中的规律性问题，能够根据所给算式得出规律是解题的关键． 4．（2023·24七年级下·浙江宁波·期末）在长方形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，若知道下列条件，能求值的是（    ）    A．边长为a的正方形的面积 B．边长为b的正方形的面积 C．边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和 D．边长a与b之差 【答案】B 【详解】解：设，则 由图可得：    由图可得： 故若知道边长为b的正方形的面积，即可求出的值． 故选：B 【点睛】本题考查利用“割补法”求解不规则图形的面积，以及“设而不求”的数学思想．在图中，作出辅助线是解决问题的关键． 5．（2023·24六年级下·山东泰安·期末）若，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，平方差公式，积的乘方，零指数幂，将各数进行计算求得正确的结果是解题的关键． 6．（2023·24七年级下·浙江·期末）设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， ，， ， ， 解得：； 故选：A 7．（2023·24七年级下·福建福州·期末）如果代数式，那么代数式的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选：D． 二、填空题 8．（2023·24七年级下·湖北孝感·期末）观察等式：；；，……，若，则用含a的式子表示的和是 ． 【答案】 【详解】∵； ； ， ……， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴原式=． 故答案为：． 9．（2023·24七年级下·黑龙江牡丹江·期末） ． 【答案】1 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法逆运算，零指数幂以及负整数指数幂等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 10．（2023·24七年级下·福建厦门·期末）边长分别为和的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为，没有阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【详解】解：由图可得： ， ， ， 故选：． 11．（2023·24七年级下·湖南长沙·期末）化简： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（2023·24七年级下·四川成都·期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么这个正整数称为“和谐数”．例如：因为，所以8是“和谐数”．在不超过200的正整数中，“和谐数”的个数为 ． 【答案】25 【详解】解：， 在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”为：、、、、， 共有（个， 故答案为：25． 【点睛】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出规律性是解决问题的关键． 13．（2023·24七年级下·湖北武汉·期末）计算： ； ． 【答案】 /0.5 【详解】解： ； ， 故答案为：，． 三、解答题 14．（2023·24七年级下·安徽滁州·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2)1 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 15．（2023·24七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【答案】(1)96 (2)96 (3)2 【详解】（1）解：依题意， （2）∵， ∴ ． （3）因为， 即， 即， 所以． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．（2023·24七年级下·内蒙古包头·期末）如图，学校有一块边长为米的大正方形空地，在这块大正方形空地内规划一个小正方形活动区域，活动区域连接大正方形四边修建四条长均为米，宽均为米的小路．剩余阴影区域铺设草坪． (1)用含，的代数式表示图中小正方形的边长； (2)用含，的代数式表示阴影区域草坪的面积．（说明：本题的结果均要求化简） 【答案】(1)米 (2)平方米 【详解】（1）解：根据题意，小正方形的边长为米 答：图中小正方形的边长为米． （2）解：阴影区域草坪的面积 答：阴影区域草坪的面积为平方米． 17．（2023·24七年级下·四川宜宾·阶段练习）阅读下列解题过程：                           ．．．．．． (1)试求的值 (2)判断的值的个位数是几？ 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：， ， ， ， ……， 依此类推可知，， ∴当时，， ∴； （2）解： ， ∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……， ∴可得当（k为正整数）时，个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是， ∵， ∴的个位数是1． 【点睛】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． 18．（2023·24七年级下·辽宁大连·期末）如图1是一个长为．宽为的长方形， 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少? (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： 方法2： (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗? 代数式:   (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题： 若，则＝ ． (5)若，则　　　　． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) 【详解】（1）由图可知，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差， 即 故答案为： （2）①∵阴影部分的面积等于大方形的面积减去四个小长方形的面积 ∴阴影部分的面积为： ∵阴影部分为正方形，且边长为 ∴阴影部分的面积为： 故答案为：； （3）由图可知，大正方形的面积等于阴影部分的面积加上四个小长方形的面积 即 故答案为： （4）∵， 故答案为： （5）∵， ∴ ∴ 故答案为： 19．（2023·24七年级下·内蒙古兴安盟·期末）现有若干张如图1所示的三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种卡片______张，种卡片_______张，种卡片______张． (2)①利用4张种卡片按图2的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于，，的等量关系式：___________． ②如图3，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，请利用①中的公式求阴影部分面积的和． 【答案】(1)3；2；7 (2)①；②11 【详解】（1）解：∵， ∴需要种卡片3张，B种卡片2张，C种卡片7张； 故答案为：3；2；7 （2）解：①小正方形可以是，也可以是， ∴； 故答案为： ②∵，， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：， 阴影部分面积 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$