精品解析：四川省绵阳市涪城区2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

四川省绵阳市涪城区2024-2025学年八年级下学期期中试卷（八年级数学） 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 把一个木条钉成平行四边形，再拉成个长方形，它的面积（ ） A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法确定 7. 如图，平行四边形的对角线、交于点O，平分交于点E，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 在直角三角形中，，，，则的取值范围在（ ） A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 9. 下列说法正确的是（ ） A. 邻边相等的平行四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（ ） A. B. C. 3 D. 1 11. 菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（ ） A. B. C. 12 D. 13 12. 如图，正方形边长为6，E是的中点，连接，以为边在正方形内部作，边交于点F，连接，则下列说法中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ①④ D. ②③④ 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13. 若有意义，则化简：________． 14. 某景区在端午节期间，门票售价为每人100元，设节日期间共接待游客x人，门票的总收入为y（元），则y与x之间的关系可表示为________． 15. 实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简：___________． 16. 如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为____cm． 17. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠DEF的度数为_______. 18. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为________寸． 三、解答题（共6小题，46分） 19. 计算 （1） （2）先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在矩形中，是的中点，连接交延长线于点．求证：． 21. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且，连接DE，DF． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）若，，求∠BED的度数． 22. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，．求证：． 23. 如图，直线经过点和点． （1）求直线的解析式； （2）连接，求的面积． 24. 如图，在中，，，E为边的一点，F为边上一点，连接，交于点D且，平分交于点G． （1）求证：； （2）延长交于H，连接，过点C作交的延长线于点P，求证：； （3）在（2）问的条件下，当时，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳市涪城区2024-2025学年八年级下学期期中试卷（八年级数学） 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零列不等式，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了分数有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握：分式的分母不为零． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，即可得出答案； 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意，选项错误； B、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误； C、，原计算错误，不符合题意，选项错误； D、，原计算正确，符合题意，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 下列选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么y是x的函数”判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，B、C、D中y是x的函数， ∴A符合题意，B、C、D不符合题意． 故选：A． 4. 若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质．根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 5. 在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线性质、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握三角形的中位线性质，将求的最小值转化为求的最小值是解答的关键．先根据勾股定理求出，再根据点D、E分别为，的中点，得出为的中位线，则，最后用等面积法，求出当时的的长度，即可求出的最小值，再根据，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵点D、E分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，取最小值， 当时，取最小值，如图： ∴， 即， 解得：， ∴， 即的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 把一个木条钉成平行四边形，再拉成个长方形，它的面积（ ） A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的面积等于底乘以高解答即可． 【详解】解：长方形的面积长宽， 平行四边形的面积底高， 把一个木条钉成平行四边形，再拉成个长方形，底不变，高变大了，面积变大了， 故选：B． 7. 如图，平行四边形的对角线、交于点O，平分交于点E，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求得，即可得到；依据，，可得，进而得出平分；依据中，，可得到；由三角形的中位线定理可得出，则可得出，则可得出结论． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故①错误； ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵在中，，， ∴，故③错误； ∵O是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，故④正确， 综上，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理等知识，掌握平行四边形的性质定理是解题的关键． 8. 在直角三角形中，，，，则的取值范围在（ ） A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数的估算．根据勾股定理求出，再估算出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴的取值范围在6到7之间． 故选：C 9. 下列说法正确的是（ ） A. 邻边相等的平行四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定，矩形的判定和性质，菱形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（ ） A. B. C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点的坐标，列方程求解即可得到的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由中点坐标公式可知中点的坐标为，即； 中点的坐标为，即； ， 解得， ， 故选：D． 11. 菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（ ） A. B. C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理是解决本题的关键． 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 12. 如图，正方形边长为6，E是的中点，连接，以为边在正方形内部作，边交于点F，连接，则下列说法中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ①④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数，根据可判断①；延长到点，使得，证明，继而判断②；设，则，, 根据勾股定理，得，可判断③；利用面积公式计算判断④即可． 【详解】∵正方形边长为6，E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故①错误； 延长到点，使得， ∵四边形是正方形， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵正方形边长为6，E是的中点， ∴， 设，则，, 根据勾股定理，得， 解得， 故③正确； ∵， ∴， ∴, 故④正确． 故选D． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13. 若有意义，则化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和性质，掌握二次根式有意义的条件和性质是解答本题的关键． 先根据有意义，得出，再将化简为，再根据化简出结果． 【详解】解：若有意义，则， ， 故答案为：． 14. 某景区在端午节期间，门票售价为每人100元，设节日期间共接待游客x人，门票的总收入为y（元），则y与x之间的关系可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据门票的总收入门票售价游客人数进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，正确理解题意是解题的关键． 15. 实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， 则 ， 故答案为：． 16. 如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为____cm． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：首先根据菱形的对角线互相垂直平分，再利用勾股定理，求出BC的长是多少；然后再结合△ABC的面积的求法，求出菱形ABCD的高AE是多少即可． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC、BD互相垂直平分， ∴BO=BD=×8=4（cm），CO=AC=×6=3（cm）， 在△BCO中，由勾股定理，可得 BC===5（cm） ∵AE⊥BC， ∴AE•BC=AC•BO， ∴AE===（cm）， 即菱形ABCD的高AE为cm． 故答案为． 17. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠DEF的度数为_______. 【答案】55° 【解析】 【分析】由∠ABF、∠C′BF均与∠EBF互余，可知∠C′BF=∠ABF=20°；由折叠特性可知∠BC′F=90°可得出∠BFC′=70°；再根据2∠EFB+∠BFC′=180°可得出∠EFB==55°，结合平行线的性质求得∠DEF的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴∠ABC=∠D=∠C=90°． 由折叠的特性可知：∠BC′F=∠C=90°，∠EBC′=∠D=90°． ∵∠ABE+∠EBF=90°，∠C′BF+∠EBF=90°，且∠ABE=20°， ∴∠C′BF=20°． ∵∠BC′F=90°， ∴∠BFC′=90°-∠C′BF=70°． 又∵2∠EFB+∠BFC′=180°， ∴∠EFB==55° ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=55°． 故答案为55°． 【点睛】本题考查了长方形的性质以及折叠问题，解题的关键是找出∠BFC′的度数．本题属于基础题，难度不大，解决此类问题时，一定要注意到折叠时不变的量． 18. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为________寸． 【答案】101 【解析】 【分析】过作于，构建直角三角形，根据勾股定理计算求解即可． 【详解】解：过作于， 设， 则，，， 在中，可有，即， 解得， 所以门的宽度的和为101寸． 故答案为：101． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用问题，构建直角三角形是解答此题的关键． 三、解答题（共6小题，46分） 19. 计算 （1） （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，分式的化简求值， （1）根据零指数幂，二次根式的除法，化简绝对值，以及负整数指数幂进行计算即可求解； （2）根据分母有理化求得的值，得出，然后根据分式的性质，二次根式的性质进行化简，最后代入字母的值即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ； ∵， ∴原式． 20. 如图，在矩形中，是的中点，连接交延长线于点．求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ，， ，， 是的中点， ， 在和中， ． ，而 ． 【解析】 【分析】由题意根据矩形的性质以及全等三角形的判定与性质进行分析即可求证. 【详解】略 【点睛】本题考查矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键. 21. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且，连接DE，DF． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）若，，求∠BED的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C， 又∵BE＝BF， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CDF中 ∴△ADE≌△CDF（SAS）． （2）∠BED＝80° 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS”即可证明△ADE≌△CDF； （2）根据菱形的性质得出∠C的度数，再根据外角的性质即可求得∠BFD，最后根据全等三角形的性质及平角的定义即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵菱形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝150°，ADBC， ∴∠A＝∠C＝180°－150°＝30°， ∵∠CDF＝50°， ∴∠BFD＝30°＋50°＝80°， 又由（1）得：△ADE≌△CDF ∴∠AED＝∠CFD， ∴∠BED＝∠BFD＝80°． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，及全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形 ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】根据矩形的性质可证明，可得，进而可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 23. 如图，直线经过点和点． （1）求直线的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出直线与y轴的交点坐标，即可得到的面积． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，把点和点代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 如图，设直线与y轴交于点C， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴的面积为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键 24. 如图，在中，，，E为边的一点，F为边上一点，连接，交于点D且，平分交于点G． （1）求证：； （2）延长交于H，连接，过点C作交的延长线于点P，求证：； （3）在（2）问的条件下，当时，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，则； （2）先证明，得，再证明，即可得出结论； （3）过点作，垂足为，求出，得出，根据直角三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点G作，垂足为M， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 在中，，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $