第一章 三角形的证明 期末复习课件 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

期末复习 第一章　三角形的证明 一、填空题 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC. (1)若∠A＝40°，则∠C＝____°； (2)若∠B＝72°，则∠A＝____°. 70 36 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是BC的中点，则∠BAD＝____°. 50 3. 如图，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有___个等腰三角形. 3 4. 如图，等边△ABC的周长为12，BD⊥AC于点D，则AD＝___. 2 5. 在△ABC中，∠A＝40°，要使△ABC为直角三角形，则∠B的度数为__________. 6. 已知直角三角形的两边长为6和8，则斜边长为______. 50°或90° 10或8 7. 已知等腰三角形顶角的度数是30°，则底角的度数为____°. 8. 如图，已知AD，BE分别是△ABC的中线和高，且AB＝AC，∠EBC＝20°，则∠BAD的度数为____°. 75 20 9. 在△ABC中，AB＝AC＝3 cm，且∠A＝60°，则BC的长度为___cm. 10. 三角形三个内角之比为1∶2∶3，最短边长是4 cm，则最长边长是___cm. 11. 直角三角形的两条直角边分别为6 cm和8 cm，则斜边上的高是_____cm. 3 8 4. 8 12. 命题“一个三角形中至少有两个锐角”是真命题，用反证法证明该命题时，第一步应先假设____________ ________________. 13. 如果等腰三角形的两边长分别为3 cm，6 cm，那么这个等腰三角形的周长为____cm. 14. 等腰三角形有一个角是100°，则它的底角是____°. 一个三角形中 至多有一个锐角 15 40 15. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是____. 13 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，BD＝2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离等于___. 4 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为___. 7 18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接AE，则∠EAC＝____°. 50 19. 如图，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为____°. 60 20. 如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝3，则EF＝___. 6 21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝12，CD＝4，则△ABD的面积为____. 24 22. 如图，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，且ME＝MF，∠ABC＝50°，则∠EBM的度数为_______. 25° 1 . 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分线段AC. (1)求证：△BCE是等边三角形； (1)证明：在△ABC中，∵DE垂直平分AC， ∠B＝180°－∠ACB－∠A ＝180°－90°－30°＝60°. ∴EC＝EA，∴∠ECD＝∠A＝30°. ∴∠BCE＝90°－30°＝60°. ∴△BCE是等边三角形. 二、解答题 (2)若BC＝3，求DE的长. (2)解：由(1)得，EC＝BC＝3， 在Rt△ECD中，∵∠ECD＝30°， ∴DE＝ EC＝ ×3＝ . 2 . 如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G. (1)求证：EF＝BC； (1)证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF. ∵将线段AC绕点A旋转到AF的位置，∴AC＝AF. ∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴EF＝BC； 在△ABC和△AEF中， (2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数. (2)解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°， ∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°， ∴∠FAG＝∠BAE＝50°. ∵△ABC≌△AEF， ∴∠F＝∠C＝28°， ∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°. 3. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE∥AB，与AC的延长线交于点E. (1)△CDE的形状是__________； 等腰三角形 解：(1)△CDE是等腰三角形， 理由如下：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠DCE＝∠ACB， ∵DE∥AB， ∴∠DCE＝∠CDE. ∴△CDE是等腰三角形； 故答案为等腰三角形； ∴∠ABC＝∠CDE， (2)若在AC上截取AF＝CE，连接FB，FD，判断FB，FD的数量关系，并给出证明. 解：(2)BF＝DF，理由如下： ∵AB∥DE，∴∠A＝∠E， ∵AF＝CE，∴AF＝DE，AF＋CF＝CE＋CF， 即EF＝AC＝AB， ∴△ABF≌△EDF(SAS)，∴BF＝DF. 在△ABF和△EDF中 4. 如图，已知∠B＝∠C＝90°，点M是BC的中点，DM平分∠ADC. 求证： (1)AM平分∠DAB； 证明：(1)如图，过点M作ME⊥AD，垂足为E， ∵DM平分∠ADC，∴∠1＝∠2， ∵MC⊥CD，ME⊥AD， ∴ME＝MC， 又∵MC＝MB， ∴ME＝MB， ∵MB⊥AB，ME⊥AD， ∴AM平分∠DAB. (2)△AMD是直角三角形. 证明：(2)∵∠B＝∠C＝90°， ∴DC⊥CB，AB⊥CB， ∴CD∥AB， ∴∠CDA＋∠DAB＝180°. ∴2∠1＋2∠3＝180°，∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AMD＝90°. ∴△AMD是直角三角形. 又∵∠1＝ ∠CDA，∠3＝ ∠DAB. 5. 定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”. (1)如图1，在△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC.求证：△ABD为“奇妙三角形”； (1)证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD. 在△ABC中，∵∠ACB＝80°， ∴∠A＋∠ABC＝180°－∠ACB＝180°－80°＝100°， 即∠A＋2∠ABD＝100°. ∴△ABD为“奇妙三角形”. (2)若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°.求证：△ABC是直角三角形； (2)证明：在△ABC中，∵∠C＝80°， ∴∠A＋∠B＝100°. ∵△ABC为“奇妙三角形”， ∴∠C＋2∠B＝100或∠C＋2∠A＝100°. ∴∠B＝10°或∠A＝10°. 当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形. 当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形. 综上所述，△ABC是直角三角形. (3)如图2，在△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数. (3)解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD. ∵△ABD为“奇妙三角形”， ∴∠A＋2∠ABD＝100°或2∠A＋∠ABD＝100°， ①当∠A＋2∠ABD＝100°时， ∠ABD＝(100°－40°)÷2＝30°， ∴∠ABC＝2∠ABD＝60°. ∴∠C＝80°. ②当2∠A＋∠ABD＝100°时， ∠ABD＝100°－2∠A＝20°， ∴∠ABC＝2∠ABD＝40°. ∴∠C＝100°. 综上所述，∠C的度数为80°或100°. 6. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，且∠ABD＝∠ACE，BD与CE相交于点O. 求证： (1)OB＝OC； 证明：(1)∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ABD＝∠ACE， ∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE. ∴∠DBC＝∠ECB ∴OB＝OC. (2)BE＝CD. ∴△EBO≌△DCO(ASA)， ∴BE＝CD. 证明：(2)在△EBO和△DCO中， 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC. 求证：直线AO⊥BC. 证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵OB＝OC， ∴点O在线段BC的垂直平分线上. ∵两点确定一条直线， ∴直线AO是BC的垂直平分线， 即直线AO⊥BC. 8.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，AD是△ABC的高，求AD的长. 解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， 又∵AD是△ABC的高， ∴BC＝ . ∴ AB·AC＝ BC·AD， ∴AD＝ . 9. 如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，点E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC. (1)求∠E的度数； (1)解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝∠B＝60°. 又∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE＝ ∠ACB＝30°. (2)求证：M是BE的中点. ∵△ABC为等边三角形，点D是AC的中点， ∴∠DBE＝∠E. ∴DB＝DE. 又∵DM⊥BC， ∴M是BE的中点. ∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°. (2)证明：如图，连接BD. 10. 如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°. ∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC， ∴∠DAB＝∠CBE＝∠ACF＝90°. ∴∠FAC＝∠DBA＝∠BCE＝30°. ∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°. ∴△DEF是等边三角形. 11. 阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直 角三角形的面积. 从而得数学等式：____________________；(用含字母a，b，c的式子表示)化简证得勾股定理：a2＋b2＝c2. (a＋b)2＝c2＋4× ab 【初步运用】(1)如图1，若b＝2a，则小正方形面积∶大正方形面积＝_____； 5：9 ∴小正方形面积∶大正方形面积 ＝5a2 ∶ 9a2＝5∶9. 故答案为5∶9. 解：【初步运用】(1)依题意，得b＝2a，c＝ a， (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，则此时空白部分的面积为___. 故答案为28. 解：(2)空白部分的面积为c2－2× ab＝a2＋b2－2× ab ＝52－2× ×4×6＝28. 28 【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出如图3所示的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a，b，c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程. 知识补充：如图4，含60°的直 角三角形，对边y∶斜边x＝定值k. 解：【迁移运用】a2＋b2－ab＝c2.理由如下： 依题意，得大正三角形面积＝三个全等三角形面积＋小正三角形面积， ∴(a＋b)2＝3ab＋c2. ∴a2＋b2－ab＝c2. ∴ (a＋b)·k(a＋b)＝3× b·ka＋ c·ck. $$