精品解析：云南煤炭第二中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题

云南省煤炭二中2025届高三4月月考 数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，则A∪＝（ ） A. {x|1≤x≤4} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x＜2} D. {x|2＜x≤3} 2. 已知是两个单位向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 球类运动对学生的身心发展非常重要现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，且点在圆：上，为圆心，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为： C. 当最大时，的面积为 D. 的面积的最大值为 11. 函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数既有极大值，也有极小值 C. 方程有个不同的实数解 D. 在定义域内，恒有 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 13. 已知x，，，则的最小值______． 14. 已知正项数列满足，且，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 16. 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示. 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 （1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关； （2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. （1）若直线平面，求证：为的中点； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 18. 已知函数，，. （1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 19. 已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切.设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）求点的轨迹方程； （3）设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省煤炭二中2025届高三4月月考 数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，则A∪＝（ ） A. {x|1≤x≤4} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x＜2} D. {x|2＜x≤3} 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的补集和并集运算求解. 【详解】解：因为，或， 所以，， 故选：A． 2. 已知是两个单位向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算法则，结合充分必要条件的定义即可得解. 【详解】因为，等价于， 即，即， 又是两个单位向量，则，即，所以， 所以等价于， 即“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算法则化简复数，然后根据其对应点所在象限列出实部、虚部满足的不等式组求解. 【详解】设， 因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：， 所以实数的取值范围是. 【点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. 4. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 5. 球类运动对学生的身心发展非常重要现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分种情况讨论：五门选修课放在年选完，五门选修课放在年选完，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分种情况讨论： 五门选修课放在年选完，先将五门课程分为组，再在三年中选出年来学习，有种安排方法， 五门选修课放在年选完，先将五门课程分为组，再安排在三年中选完，有种安排方法， 则有种安排方法． 故选：A． 6. 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出球的半径，求出圆台上下底面的半径，圆台的母线，由圆台的侧面展图形是扇环，利用圆台的侧面积公式可求圆台的侧面积. 【详解】作出示意图如图所示： 设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形， 所以，所以， 因为球的表面积为，所以，解得，所以， 所以， 所以圆台的侧面积为. 故选：B. 7. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D. . 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案． 【详解】因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． 【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由， 令得，A选项正确. 令得，B选项错误. 二项式展开式的通项公式为， 由此可知是负数，为正数， 所以令得， ， 即，C选项错误 由， 两边求导得， 令得，所以D选项正确. 故选：AD 10. 已知点，，且点在圆：上，为圆心，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为： C. 当最大时，的面积为 D. 的面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由求得最大值判断A；以为直径的圆方程与圆的方程相减判断B；当与圆相切时，求出三角形的面积判断C；求出点到直线的距离最大值，计算判断D作答. 【详解】显然点在圆：外，点在圆内，圆的半径为2， 直线方程为，圆心在直线上， 对于A，，当且仅当点是射线与圆的交点时取等号，A正确； 对于B，以为直径的圆方程为，与圆的方程联立消去二次项得， 因此以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，B正确； 对于C，当且仅当与圆相切时，最大，即，此时， ，，C错误； 对于D，到直线：的距离最大值为2，因此的面积的最大值为，D正确. 故选：ABD 11. 函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数既有极大值，也有极小值 C. 方程有个不同的实数解 D. 在定义域内，恒有 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题知定义域为，，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；对于B，利用极值的定义，即可求解；对于选项C，利用函数的单调性，得出函数图象，再数形结合，即可求解；对于D，构造函数，利用的图象关于点中心对称，即可求解. 【详解】易知的定义域为，， 对于选项A，由，得到，且，所以减区间为，，故选项A错误， 对于选项B，由，得到或， 当时，，当时，，当，，当时，， 所以的极大值为，极小值为，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知，的增区间为，减区间为， 当时，，且时，，当从左边时，， 当从右边时，，且时，，当时，， 图象如图所示，由图知，只有一个零点，且， 令，由，得到，所以，令， 由图知，与有且仅有两个交点，所以选项C正确， 对于选项D，令，易知的图象关于点中心对称， 所以，即，得到，故选项D正确， 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解； 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 13. 已知x，，，则的最小值______． 【答案】 【解析】 【分析】将展开，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当即，的最小值为， 故答案为： 14. 已知正项数列满足，且，则______. 【答案】6069 【解析】 【分析】首先由递推关系式得出是以为首项，3为公差的等差数列，再代入，结合即可求出，最后利用等差数列的通项公式即可求得答案. 【详解】因为为正项数列且，① 所以，② 得，即， 所以是以为首项，3为公差的等差数列， 令可得，又，， 所以，解得， . 故答案为：6069. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 16. 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示. 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 （1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关； （2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）产品的质量与采用的工艺有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据卡方的计算公式求解卡方，即可与临界值比较作答， （2）根据条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 零假设：产品的质量与采用的工艺无关， 根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关. 【小问2详解】 记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙. . 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. （1）若直线平面，求证：为的中点； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） 连接交于点，再连接， 由直线平面，平面，平面平面， ， 又为的中点，为的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点； （2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则， 设，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则. 设平面的法向量，则，即， 可得平面的法向量， 设平面与平面夹角为， ，整理得， . 18. 已知函数，，. （1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 由，求导得， ①当时，，，在上单调递增； ②当时，令 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增 ③当时，令 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义来求曲线在某点处的切线方程即可求解； （2）利用分类讨论，通过导数正负符号的判断可得单调区间； （3）利用端点值刚好为，要满足不等式恒成立，必要条件先行，再证明充分性即可求解. 【小问1详解】 由已知得，，在点处的切线方程为. 设与切于，，， 则过该点的切线方程为：， 整理得，由于该切线与重合， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，即对恒成立. 令，， 令，， 因为，， 若，则在处的切线必然是上升的， 又因为，所以当且靠近的函数值满足， 此时就有， 从而可推导在且靠近的附近是递增的， 又因为， 所以在且靠近的附近必有 则必然不满足对恒有， 所以要满足对恒有， 首先必需满足在且靠近的附近， 所以满足， 从而可得参数满足的必要条件是； 下面再证充分性，当，时，则，即有， 又构造，，可得， 所以在区间上单调递增，即， 则可知，则， 恒成立，符合题意， 综上：的取值范围为. 【点睛】方法点睛：针对端点值刚好是不等式的临界值时，利用必要条件先确定参数的范围，再进行充分性证明，如若成立，则这个必要条件就是充要条件. 19. 已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切.设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）求点的轨迹方程； （3）设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：由题意可知， 设直线的方程为，, 联立方程，化简可得， 则故， 由于直线与双曲线的下支相交于两点， 故，解得， ， 故为定值. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解， （2）求导可得切线斜率，即可根据点斜式求解直线方程，进而可得方程为，根据相切即可求解， （3）联立直线与曲线方程可得韦达定理，进而根据两点斜率公式，代入化简即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，故抛物线的方程为 【小问2详解】 设， 所以直线即 同理可得， 设则且 故在直线上， 即直线方程为， 由于直线与圆相切，故，化简可得， 故点的轨迹方程 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $