空间向量与立体几何专练-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

专题：空间向量与立体几何 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设向量，，当数与满足下列哪种关系时，向量与轴垂直（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l和平面ABC，若直线l的方向向量为，向量，，则下列结论一定正确的为（    ） A．平面ABC B．l与平面ABC相交 C．直线BC D．平面ABC或平面ABC 3．如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，角，将三角形沿翻折到三角形，使平面平面.记线段的中点为，那么直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知矩形ABCD中，E为线段CD上一动点（不含端点），记，现将沿直线AE翻折到的位置，记直线CP与直线AE所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中正确的有（   ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 10．如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（    ） A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积是定值 D．二面角的余弦值为 11．如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，设，，则（    ）    A．当时， B．，使得平面 C．，使得平面 D．当时，与平面所成角为 三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 12．已知空间向量，若，则 . 13．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么 14．已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为 ；记分别是方向上的单位向量，且，，则（m，n为常数）的最小值为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．如图，在长方体中，，点分别是的中点，点为棱上一点，且直线和所成的角为． (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离． 16．如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 17．在四棱锥中，平面． (1)证明：平面． (2)若底面，底面为矩形，，E为棱的中点，F为平面内的动点，当取得最小值时，求直线与底面所成角的正弦值． 18．如图．在直三棱柱中，，平面平面．    (1)求点A到平面的距离； (2)设D为的中点，求平面与平面夹角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C A A A B BCD BD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】根据空间向量垂直满足的坐标运算即可求解. 【详解】∵，， ∴， 取x轴的方向向量为， 若向量与x轴垂直， 则，解得：， 故选：A． 2．B 【分析】根据向量法逐个判断直线和平面垂直或平行. 【详解】解：由题意得： 对于选项A：由直线l的方向向量为， 所以直线和平面ABC不垂直，故A错误； 对于选项C：，不存在实数k，使得，所以直线l和直线BC不平行，故C错误； 对于选项D：设是平面ABC的一个法向量 取，则平面ABC的一个法向量为 所以直线l和平面ABC不平行，平面ABC 故B正确，D错误. 故选：B 3．C 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， . 故选：C 4．C 【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可 【详解】设，则， 因为，所以， 所以， 所以，化简得， 所以，所以，即的余弦值为. 故选：C. 5．A 【分析】法一（定义法），通过补形，得出为异面直线与所成角或其补角，再在中，根据条件，利用余弦定理即可求出结果；法二（向量法），根据条件求出，，再利用线线角的向量法，即可求出结果. 【详解】如图，将正三棱柱补形成直四棱柱，易知其底面为菱形． 连接，则，所以为异面直线与所成角或其补角． 在菱形中，，连接，则， 在中，， 则由余弦定理得， 异面直线与所成角的余弦值为，    故选：A． 解法二  由题，， ， 所以， 所以，则异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A． 6．A 【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 7．A 【分析】由余弦定理，则，，，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法解决线面角问题. 【详解】，由余弦定理，， 则，，， 平面平面，，， 以为原点，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则有， 令，有，，即， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 8．B 【分析】利用空间向量夹角余弦公式和向量数量积公式得到，由三角形三边关系得到，求出答案. 【详解】AB选项， ， 因为，所以，所以，A错误，B正确； 由于在上单调递减，故，不确定和的大小关系，CD错误. 故选：B． 9．BCD 【分析】举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D. 【详解】当非零空间向量，，时， 满足，，但与不平行，A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则， 可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾， 故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 故选：BCD． 10．BD 【分析】A选项，由推出平面，矛盾；B选项，建立空间直角坐标系，证明出，，得到线面垂直，进而当Q为的中点时，，此时平面，故B正确；C选项，假设体积为定值，得到平面，求出平面的法向量，证明出平面不成立，C错误；D选项，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值. 【详解】对于A，若，因为平面，平面， 所以平面，矛盾，故A错误． 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 因为， ， 故，， 故，， 因为，平面， 故平面，当Q为的中点时，， 此时平面，故B正确． 对于C，Q在线段上运动，若三棱锥的体积为定值，则平面， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 故，故与不垂直， 故平面不成立，故C错误； 对于D，二面角即二面角，连接BP，DP，BD， 由于为等边三角形， 则，，所以为所求二面角的平面角， 不妨设正方体的棱长为2，则的棱长为， 故，， 由余弦定理可得， 二面角的余弦值为，故D正确． 故选：BD 11．AC 【分析】取中点为，连接，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，表示出向量的坐标以及平面的法向量，然后根据向量法求解，即可得出答案. 【详解】    取中点为，连接，以点为坐标原点，分别以为轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 由可得，， 所以，. 对于A项，当时，有，所以. 又，所以， 所以，，所以，故A项正确； 对于B项，因为，， 设是平面的一个法向量， 则有，即， 取，则是平面的一个法向量. 若平面，则. 因为，显然不共线，故B错误； 对于C项，因为，是平面的一个法向量. 要使平面，则应有， 所以，解得， 所以，，使得平面，故C项正确； 对于D项，当时，点，则. 又是平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以，，故D项错误. 故选：AC. 12．1 【分析】利用向量垂直数量积等于0即可得到结果. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：1 13． 【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以， 解得. 故答案为： 14． 【分析】根据长方体外接球直径为长方体体对角线即可求出球半径，得出球的面积，由所给条件可取与的方向相同或与的方向相同，问题可转化为求平面上一点与的距离的最小值，即求到平面的距离得解. 【详解】在中，，所以，， 所以该长方体的外接球的半径为，所以该长方体的外接球的表面积为由及可得， 所以与的方向相同或与的方向相同， 不妨取与的方向相同， 由平面向量基本定理可得必与共面， 在平面上取一点，故可设， 则，所以其最小值为点到平面的最小值，即最小值为. 故答案为：； 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由正方体的性质可知，，即可证得线面平行. (2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与一个方向向量，代入公式即可. 【详解】（1）在长方体中， ∴直线和所成的角， ∴直角三角形为等腰直角三角形， ，故点为棱的中点． 连接故． 又平面平面， 平面 （2） （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则， 则， 设平面的法向量为，则， 即所以令，得：， 所以是平面的法向量， 设到平面的距离为， ∴所以点到平面的距离为． 16．(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 17．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由线面平行性质定理证明，再由线面平行的判定定理证得结论； （2）以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，求出数量积的表达式，由此可得数量积取最小值时点坐标，再由空间向量法求线面角． 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 所以， 又平面，平面，所以平面． （2）以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 依题意可设， 则， 所以， 当且时，取得最小值， 此时． 易知平面的一个法向量为， 故当取得最小值时，直线与底面所成角的正弦值为． 18．(1)； (2). 【分析】（1）取的中点，证明平面，再利用等体积法求解作答. （2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. 【详解】（1）在直三棱柱中，， 设点到平面的距离为，取的中点，连接AE，则， 因为平面平面，平面平面， 则有平面，又平面，即有， 因为平面平面，则， 因为平面，于是平面， 又平面，因此，， ，又，解得， 所以点到平面的距离为. （2）以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 由（1）知，平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$