专题10 正方形的重难点题型汇编（六大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题10 正方形的重难点题型汇编（六大题型） 重难点题型归纳 【题型1：利用正方形的性质求解】 【题型2：正方形的判定证明】 【题型3：正方形的性质与判定综合】 【题型4：求正方形形中最值问题】 【题型5：正方形中“十字架”模型】 【题型6：正方形中“对角互补”模型】 【题型1：利用正方形的性质求解】 1．如图，E为正方形的对角线上的一点，连接，过点E作，交于点F，己知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点M，点E作于点N，先证明，．延长交于点Q，再利用矩形的判定和性质，勾股定理，解答即可． 【详解】解：过点E作于点M，点E作于点N， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． 延长交于点Q， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 2．如图，正方形的边长为，过线段上的两点分别作和的垂线，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，根据即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为， 根据正方形的轴对称性得： ， 故选：． 3．如图①是第24届国际数学家大会的会徽，其示意图如图②，其是由四个全等的直角三角形构成．若，正方形的面积为102，则正方形的面积为（   ） A．12 B．10 C．6 D．34 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识，由正方形的面积为102，，设，则，根据勾股定理求出，进而求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为102， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：A． 4．如图，等边在正方形内，连接，若，则的面积是（　　） A． B．6 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，角直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 过点作于点，根据正方形和等边三角形求得，，即可求出高，即可求解面积． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 5．如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为  （     ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，根据题意作图，连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴、两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是， ∴阴影部分的面积和， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在正方形中，，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接，得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，为的长，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∴点在线段上时，的值最小，为的长， ∵为的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∴的最小值为； 故选D． 7．如图，在正方形外侧，以为边作等边，连接，相交于点，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 根据正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是关键．根据正方形的性质得到，由三角形外角的性质得到，再证明，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 9．如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，连接，根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，已知正方形，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要查了正方形的性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质可得是等腰直角三角形，再由勾股定理解答，即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，     ∵， ∴． 故答案为： 11．如图，菱形的面积为，正方形的面积为则菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，先证明，，，，再进一步可得，结合勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵正方形的面积为， ∴，，，， ∴，， ∵菱形的面积为， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为： 12．如图，在正方形中，，点、是正方形外的两点，且，，则的长为 ．    【答案】 【分析】延长交的延长线于点M，可证明是等腰直角三角形，而，所以利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点M，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 同理可证是直角三角形， ∴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，是一道非常不错的中考题目，证明出三角形是等腰直角三角形是解题的关键． 【题型2：正方形的判定证明】 13．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得出答案． 【详解】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A． 14．如图，四边形是平行四边形，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形、菱形与正方形的定义及判定定理等知识点，由矩形、菱形与正方形的定义及判定定理逐一判定即可得解，熟练掌握矩形、菱形与正方形的定义及判定定理是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形，但不一定是菱形， 故A不符合题意； ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形，但不一定是矩形， 故B不符合题意； ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， 故C符合题意； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形，但不一定是正方形， 故D不符合题意， 故选：C． 15．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，根据题意逐一对选项分析即可得出答案． 【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误； B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确； C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误； D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误； 故选：B． 16．在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 依据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 17．如图，在中，对角线，相交于点，且． (1)求证：为矩形； (2)请添加一个条件，使矩形是正方形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的性质，等角对等边，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对角线互相平分可得，再证明，得到，则由对角线相等的平行四边形是矩形可证明结论； （2）根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为矩形； （2）解：添加条件，理由如下： ∵四边形是矩形，且 ∴矩形是正方形． 18．如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，角平分线的性质和定义，等腰直角三角形的性质与判定等待，先证明是等腰直角三角形，得到，同理可得，再由角平分线的性质得到，则，据此可证明结论． 【详解】证明：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． 19．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，连接并延长到F，使，连接，，． (1)四边形是什么特殊的四边形？说明理由； (2)若，当 时，四边形是正方形； (3)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) (3)28 【分析】此题考查的是正方形的判定与性质、菱形的判定定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）先根据平行四边形的判定得四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可； （2）当时，四边形是正方形，利用勾股定理可得答案； （3）利用勾股定理及四边形周长公式计算可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，说明理由是： ∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵点D为的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴四边形是菱形； （2）解：当时，四边形是正方形，如图， ∵在中，，， ∴，即， ∴（舍去负值）， ∴当时，四边形是正方形， 故答案为：； （3）解：在中，． ∵． ∴． ∴四边形的周长． 【题型3：正方形的性质与判定综合】 20．如图①，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)如图②，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证明得到，再由直角三角形的性质证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是正方形，得到，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求出，则． 【详解】（1）证明：为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵且四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴， 由（1）可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知正方形的性质与判定定理，菱形的判定定理是解题的关键． 21．如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是正方形． (2)当是的中点，且时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据即可得出结论； （2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，，，进而得到，在中由勾股定理得，据此可求的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， 又， 菱形为正方形， （2）连接，如下图所示： 于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ，， ， 四边形为正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， （负值舍去）， ． 22．问题解决：如图，在矩形 中，点， 分别在， 边上，， 于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长 到点，使得，判断 的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图，在菱形 中，点， 分别在， 边上， 与 相交于点，，，，，求 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析； (3)类比迁移： 【分析】(1)根据矩形的性质得，由等角的余角相等可得，利用可得，由全等三角形的性质得，即可得四边形是正方形; (2)利用可得，由全等三角形的性质得，由已知可得，根据线段垂直平分线的性质可得即可得，是等腰三角形； (3)延长到点H，使 ，连接，利用可得，由全等三角形的性质得，.由已知可得，可得是等边三角形，则，，等量代换可得 【详解】（1）证明：如图中， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）解：结论：是等腰三角形， 理由：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 23．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一角，利用图①所示的方法折叠，使点落在上的点处，得到折痕，连接，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点处，得到折痕，如图②． 根据以上操作，解答下列各题． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，正方形的判定和性质； （1）根据矩形的性质和折叠的性质可得，，，从而得到，进而得到，继而得到四边形是菱形，即可求证； （2）根据矩形的性质和折叠的性质可得．在中，利用勾股定理建立方程即可求得的值，从而求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， 将矩形纸片折叠，使点落在AD上的点处， ，，， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形． （2）解：四边形和四边形都是矩形， ，，，， 是由折叠得到的， ． 在中，由勾股定理，得：， 即， 解得． 24．如图，在中，的平分线交于点， ，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)72 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）先证明四边形是正方形，再根据得到正方形的边长，最后求面积即可． 【详解】（1）证明： ，， 四边形是平行四边形． 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：，四边形是菱形， 四边形是正方形， ， ， 四边形的面积为∶． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，勾股定理，角平分线的定义，正方形的面积公式，解题的关键是熟记各种四边形的判定方法． 25．如图，矩形的对角线交于点O， (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，试说明四边形的形状并求其面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，面积为9 【分析】此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的性质与判定，关键是掌握特殊四边形的性质和判定方法． （1）根据对边平行得四边形是平行四边形，由原矩形对角线相等且互相平分得，所以四边形是菱形； （2）根据菱形对角线平分每一组对角可知．从而可得，即可得出四边形为正方形，进而求出面积． 【详解】（1），， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 是菱形； （2）四边形为正方形． ∵是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∴菱形为正方形， 在矩形中，，， ∴， ∴正方形面积． 26．如图，在中，的角平分线交于点D，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4 【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明； （2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可． 【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是： ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠EAD， ∵DE∥AB， ∴∠EDA=∠FAD， ∴∠EDA=∠EAD， ∴AE=DE， ∴平行四边形AFDE是菱形； （2）∵∠BAC=90°， ∴四边形AFDE是正方形， ∵AD=， ∴AF=DF=DE=AE==2， ∴四边形AFDE的面积为2×2=4． 【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 27．如图，将正方形的各边顺次延长至E，F，G，H，且使． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据正方形的性质和已知条件可证得，于是得到，可证得四边形是菱形，再证得，即可证明四边形是正方形． （2）先求出，由勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴四边形是正方形． （2）∵， ∴， ∴， ∴． 28．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是定值，定值为 【分析】（）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． 29．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（）作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （）由正方形的性质可得，，，，，由“”可证 ，可得； （）分两种情况：当与的夹角为时，当与的夹角为时，分别画出图形求出结果即可； 【详解】（1）证明：如图，作于，于，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当与的夹角为时，如图，    ∴，， ∴， ∵， ∴， ②当与的夹角为时，如图， 过作于点，过作于点，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 综上所述：或 ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【题型4 求正方形形中最值问题】 30．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在正方形中，点为上一动点，点为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 连接，，，，根据正方形的性质得，再两点之间线段最短得当点B、P、E三点共线时，值最小，最小值是，利用勾股定理求出的长，即可求得的最小值． 【详解】解：连接，，，，如图， ∵四边形是正方形， ∴点D和点B关于对称， ∴， ∴， ∵ ∴当点B、P、E三点共线时，值最小，最小值是， ∵四边形是正方形，，点E为的中点， ∴，， ∴ 故选：D． 31．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点P．连接，线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取的中点O，连接，则（定值）， 根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段的值最小， 在中，由勾股定理得， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到的中点的距离是定值是解题的关键． 32．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是以为直径的半圆上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 连接，，交半圆于点，利用勾股定理求解，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，，交半圆于点， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， 在中，，， ， 当点与点重合时，取得最小值． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接、、，由正方形的性质得，，则，所以，由垂直平分，点P在上，得，由，得 ，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵正方形的边长为4，E为边中点 ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点P在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】延长到，使，则，，当，，三点共线时，的值最小，根据题意，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：延长到，使，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，点是的中点，， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值． ∵， ∴， ∴的最小值是． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性质，勾股定理，正确的找到点的位置是解题的关键． 35．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到，得到当三点共线时，取得最小值为的长，过点作，，得到四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出 【详解】解：如图，将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值为的长， 过点作，，则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴ ， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题等知识点，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形． 36．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知正方形的周长为20，，，若M为对角线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．作点E关于的对称点，连接，交于M，此时，最小值是的长，进而可求得答案． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，交于M，此时最小， ∵四边形是正方形， ∴，，，点在上，， ∴， ∴， ∴四边形是 平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：5． 【题型5 正方形中“十字架”模型】 37．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【分析】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 38．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，边长，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的值为． 【分析】（1）作平行四边形，通过证得，即可证得结论； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：作平行四边形，则，，，如图， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 作，交延长线于， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 即的值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算．作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【题型6 正方形中“对角互补”模型】 39．（23-24八年级下·江西抚州·期中）在四边形中，平分，并且． (1)如图1，当时，则与的数量关系是______； (2)如图2，当是钝角时，(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的判断； (3)如图3，若，，，求的面积 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)6 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质证明三角形全等是解题的关键． （1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可证明； （2）过D作，，证即可得到结果； （3）过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解． 【详解】（1）在四边形中， ，， ， ,， 平分， ； 故答案为： （2）成立，理由是： 如图，过D作,交于E，，交延长线于F， ， 平分， ， ， ， ， 在与中， ， ； （3）如图，过D作,交于M，，交延长线于N， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．      (1)求证：； (2)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， 【分析】（1）过点作于，过点作于，根据正方形的性质证明，即可证明； （2）根据题意分①若点在线段上②若点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）证明：过点作于，过点作于，如图,    ∵四边形是正方形，，， ∴． ∴，． ∵即， ∴． 在和中， ． ∴， ∴； （2）解：能，理由如下： ①若点在线段上，如图，    ∵，∴． ∵，∴． 若为等腰三角形，则． ∴， ∴，与矛盾， ∴当点在线段上时，不可能是等腰三角形． ②若点在线段的延长线上，如图．      若是等腰三角形， 此时， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴的长为2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，注意分类在解题中的应用． 41．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质求出，，然后证明即可得； （2）过点O作于点H，连接，由正方形的边长为8且E为的中点可得，，根据勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点O作于点H，连接，    ∵正方形的边长为8， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 42．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）；理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； 【详解】解：（1）结论：．理由如下： 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图，取的中点，连接，   四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴， 是等边三角形， ，， ∴， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ． 43．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，四边形是正方形，射线交于点交的延长线于点． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质角平分线的作图等知识． （1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）证明，则，，再证明，则，由即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∵作的平分线交于 ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 44．（23-24八年级下·山东济南·期末）【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）①，理由见解析；②证明见解析；（2），证明见解析；（3）的长度为或 【分析】（1）①先证明，可得，推出，再运用勾股 即可证得结论；②延长交于，由正方形的性质可得，，再利用可证得； （2）延长交于，连接，可证得，得出，，再由线段垂直平分线的性质可得，再运用勾股定理即可得出答案； （3）设，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）①猜想：，理由如下： 如图： ， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； ②证明：如图，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴； （2）结论：， 证明：如图，延长交于，连接， ， ∵是矩形的中心， ∴点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； （3）设， 当点在线段上时，连接， ， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为； 当点在延长线上时，作，交的延长线于，连接、， ， 同理可得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为， 综上所述，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，根据勾股定理列方程解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 正方形的重难点题型汇编（六大题型） 重难点题型归纳 【题型1：利用正方形的性质求解】 【题型2：正方形的判定证明】 【题型3：正方形的性质与判定综合】 【题型4：求正方形形中最值问题】 【题型5：正方形中“十字架”模型】 【题型6：正方形中“对角互补”模型】 【题型1：利用正方形的性质求解】 1．如图，E为正方形的对角线上的一点，连接，过点E作，交于点F，己知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为，过线段上的两点分别作和的垂线，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 3．如图①是第24届国际数学家大会的会徽，其示意图如图②，其是由四个全等的直角三角形构成．若，正方形的面积为102，则正方形的面积为（   ） A．12 B．10 C．6 D．34 4．如图，等边在正方形内，连接，若，则的面积是（　　） A． B．6 C． D．4 5．如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为  （     ） A．2 B．4 C．8 D． 6．如图，在正方形中，，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 7．如图，在正方形外侧，以为边作等边，连接，相交于点，则的度数是 ．    8．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，若，则的度数为 ． 9．如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则 ． 10．如图，已知正方形，，则 ． 11．如图，菱形的面积为，正方形的面积为则菱形的边长为 ． 12．如图，在正方形中，，点、是正方形外的两点，且，，则的长为 ．    【题型2：正方形的判定证明】 13．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 14．如图，四边形是平行四边形，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是正方形 15．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 16．在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是 ． 17．如图，在中，对角线，相交于点，且． (1)求证：为矩形； (2)请添加一个条件，使矩形是正方形．（不需要说明理由） 18．如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 19．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，连接并延长到F，使，连接，，． (1)四边形是什么特殊的四边形？说明理由； (2)若，当 时，四边形是正方形； (3)若，，求四边形的周长． 【题型3：正方形的性质与判定综合】 20．如图①，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)如图②，连接，若，，求的长． 21．如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是正方形． (2)当是的中点，且时，求的面积． 22．问题解决：如图，在矩形 中，点， 分别在， 边上，， 于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长 到点，使得，判断 的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图，在菱形 中，点， 分别在， 边上， 与 相交于点，，，，，求 的长． 23．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一角，利用图①所示的方法折叠，使点落在上的点处，得到折痕，连接，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点处，得到折痕，如图②． 根据以上操作，解答下列各题． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求线段的长． 24．如图，在中，的平分线交于点， ，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求四边形的面积． 25．如图，矩形的对角线交于点O， (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，试说明四边形的形状并求其面积． 26．如图，在中，的角平分线交于点D，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 27．如图，将正方形的各边顺次延长至E，F，G，H，且使． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求正方形的面积． 28．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 29．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【题型4 求正方形形中最值问题】 30．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在正方形中，点为上一动点，点为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点P．连接，线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是以为直径的半圆上一点，则的最小值为 ． 33．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 34．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是 ． 35．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 36．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知正方形的周长为20，，，若M为对角线上一动点，则的最小值为 ． 【题型5 正方形中“十字架”模型】 37．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    38．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，边长，，求线段的长． 【题型6 正方形中“对角互补”模型】 39．（23-24八年级下·江西抚州·期中）在四边形中，平分，并且． (1)如图1，当时，则与的数量关系是______； (2)如图2，当是钝角时，(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的判断； (3)如图3，若，，，求的面积 40．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．      (1)求证：； (2)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 41．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 42．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 43．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，四边形是正方形，射线交于点交的延长线于点． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证： 44．（23-24八年级下·山东济南·期末）【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$