第5章 特殊平行四边形拓展之最值篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第5章 特殊平行四边形拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马(两定一动) 【解惑】如图，菱形的边长为，，点为边上的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 2．菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   3．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为 ． 类型二、中位线最值 【解惑】如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接和分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接、分别为的中点，连接．若的最小值为4，则的长为（   ） A． B．8 C． D．16 2．如图，在菱形中，、分别是边、上的动点，连接、，、分别是、的中点，连接，若，，则的最小值是 ． 3．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 类型三、矩形对角线最值 【解惑】如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【融会贯通】 1．如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（   ） A． B．5 C． D．3 2．如图，在中，，，，P是斜边上一动点，于点E，于点F，与相交于点O，则的最小值为 ． 3．如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点分别作于点于点，连接，则的最小值为 ． 类型四、两动一定 【解惑】如图，菱形的边长为，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为 ． 3．如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，且，点M、N分别在线段、上，连接，，点P为的中点，连接、，则的最小值为 ． 类型五、两定一定长 【解惑】如图，为正方形中边上的一点，且，，分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点O为的中点，D、E是边上的两个动点（点D在点E的左侧），且，连接，，则的最小值为 ．    3．如图，在矩形中，、分别是、的中点，动点、在线段上，且满足．则四边形周长的最小值为 ． 类型六、周长最小值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，长方形在第一象限，，分别在x轴和y轴上，P，Q分别为，上的动点，点M在上，，点N为中点，上一点，若点B的坐标是，则四边形的周长最小值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在四边形中，，，，，点P是线段上的动点，连接，求当周长取得最小值时的长（    ） A．3 B． C．2 D． 2．如图，在中，，，点D是延长线上一点，以为邻边作． （1）连接，则面积为 ． （2）连接，则的周长最小值为 ． 3．如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点是线段上的动点，点是线段BC上的动点，则的周长最小值为 ． 类型七、面积最大值 【解惑】如图，正方形中，点为对角线的中点，矩形两边分别交、边于、两点，连接，下列结论正确的有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）若，则以为斜边的直角三角形面积的最大值为8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．如图，将两张完全一样的长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形面积最大，则这个最大值是（    ） A．7.5 B．15 C．18 D．20 2．已知如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是 ． 3．如图，在矩形纸片中，，点O是对称中心，点P、Q分别在边上，且经过点O．将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点的位置，则面积的最大值为 ． 类型八、两点最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系，矩形的顶点在A、B分别在y轴和x轴的正半轴上滑动，C、D在第一象限内，若，则的最大值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是( )    A． B． C． D．8 2．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在轴，轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接，则线段长度的最大值为 ． 3．如图，矩形的边在y轴上，边在x轴上，C点坐标为，点D是线段上的一个动点，连接，以为边作矩形，使边过点B．连接，当点D与点A重合时，所作矩形的面积为18．在点D的运动过程中，线段最大值为 ．    类型九、手拉手最值 【解惑】如图，在中，，，以，为边向外作正方形与正方形，作，的反向延长线与交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C．8 D．9 2．如图，在中，，以为边，在右侧作正方形，对角线与相交于点O，连接，则的最大值为 ． 3．如图，在中，，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是 ． 类型十、其他最值 【解惑】如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【融会贯通】 1．正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（  ）    A． B． C．7 D． 2．如图，在矩形中，，，为边上一点，，分别为线段上的动点，且，连接，则的最小值为 ． 3．如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 特殊平行四边形拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马(两定一动) 【解惑】如图，菱形的边长为，，点为边上的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键． 找出点关于的对称点，连接交于，则就是的最小值，求出即可． 【详解】解：连接，交于，连接交于P， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ∴， 即就是的最小值． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴（等腰三角形三线合一的性质）． 在中， ． 即的最小值为． 故选B． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接，得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，为的长，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∴点在线段上时，的值最小，为的长， ∵为的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∴的最小值为； 故选D． 2．菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   【答案】 5 5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的对角线互相垂直平分，则可得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到菱形的边长；取中点E，连接，可证明，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，证明四边形是平行四边形，可求出的长，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，连接交于O， ∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，即， ∴，， ∴， ∴菱形的边长为5； 如图所示，取中点E，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E和点M分别为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：5；5． 3．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质．过点P作于点G，交于点F，作于点H，则四边形是矩形，所以，，由，，得，可知当与重合且与重合时，取得最小值4，于是得到问题的答案． 【详解】解：过点P作于点G，交于点F，作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当与重合且与重合时，取得最小值4， 故答案为：4． 类型二、中位线最值 【解惑】如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接和分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】连接，得到是的中位线，当时，最小，得到最小值，计算即可． 【详解】连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，最小，得到最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故的最小值为． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形性质，三角形中位线的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接、分别为的中点，连接．若的最小值为4，则的长为（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】连接，由三角形中位线定理可得，要使最小，只要最小，当时，最小，由的最小值为4可得，由可得为等腰直角三角形，从而得到，由勾股定理可得，最后由菱形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，   分别为的中点， 为的中位线， ， 要使最小，只要最小，当时，最小， 的最小值为4， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． 2．如图，在菱形中，、分别是边、上的动点，连接、，、分别是、的中点，连接，若，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接，由菱形的性质可得，由三角形中位线定理可得，当时，最小，也最小，则，再由等腰直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，也最小，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 3．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 类型三、矩形对角线最值 【解惑】如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】连接，证明四边形为矩形，可得；由可得，所以； 由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得； 由中的结论可得； 由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为． 【详解】解：连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． 正确； 延长，交于，交于点， ， ． 由知：， ． ． ， ． ． 即：， ． 正确； 由知：． 即：． 正确； 点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由知：， 的最小值为， 错误． 综上所述，正确的结论为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 【融会贯通】 1．如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（   ） A． B．5 C． D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段的性质，连接，过点C作于点H，先求出，证明四边形是矩形，则，当的值最小时，的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长，则的最小值是线段的长，然后根据三角形的面积公式求出线段的长即可得出答案． 【详解】解：连接，过点C作于点H，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 四边形是矩形， ， 当的值最小时，的值为最小， 点P在斜边上（不与A、B重合）， 根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长， 的最小值是线段的长， ， ， 长度的最小值为． 故选：C． 2．如图，在中，，，，P是斜边上一动点，于点E，于点F，与相交于点O，则的最小值为 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，根据，，结合，即可判断四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，于是可知当最小时，也最小，即当时，最小，最小，利用面积法求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴当最小时，即当时，最小，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为4.8， ∴线段的最小值为2.4， 故答案为：2.4． 3．如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点分别作于点于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形的性质、垂线段最短、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接， 先说明四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，由垂线段最短可得时，线段的值最小，即最小；再根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小，即最小， ∵， ∴，即的最小值为3． 故答案为：3． 类型四、两动一定 【解惑】如图，菱形的边长为，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取点关于的对称点，连接，当时，有最小值，最小值为的长，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得即可． 【详解】解：如图，取点关于的对称点，连接， ∵菱形关于对称，是边上点， ∴是边上的点，， ∴（点、、共线时取“”）， 当时，有最小值，最小值为的长， ∵菱形的边长为，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题是轴对称—最短路线问题，考查了菱形的性质，对称的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理等知识点．理解垂线段最短的意义是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短等；连接，由可判定，由全等三角形的性质得，作点关于的对称点，连接， 当、、三点共线时，取最小值，此时，由勾股定理即可求解；掌握“将军饮马”典型题型的解法，找到取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 作点关于的对称点，连接， ， 当、、三点共线时，取最小值， 此时， ， 的最小值为； 故选：B． 2．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先连接，证明得，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 作点关于点的对称点，连接，即为的最小值， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键． 3．如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，且，点M、N分别在线段、上，连接，，点P为的中点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题涉及到矩形的性质及判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及利用轴对称求最短路径的知识点． 连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，，先根据矩形性质和已知条件得出四边形是平行四边形，进而得到四边形是矩形，将转化为；再利用点P是中点及长度固定，确定点P的运动轨迹；最后根据两点之间线段最短，用勾股定理求出的最小值． 【详解】解：连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，， ， 矩形中，，， ， ， 四边形 是平行四边形， 是矩形， ， ， ， ， ， ， 中，， ，点P为的中点，， ， 点在以点为圆心，为半径的弧上， ， 四点共线时，最小， 此时，最小， 即最小， ， 故答案为：12． 类型五、两定一定长 【解惑】如图，为正方形中边上的一点，且，，分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接，由勾股定理求出的长，证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，，从而推出，当点、、三点共线时，的值最小，为，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 当点、、三点共线时，的值最小，为， ． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质以及勾股定理是解题的关键． 连接交于O，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示， 连接交于O，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 即的最小值是 故答案为：D． 2．如图，在中，，，点O为的中点，D、E是边上的两个动点（点D在点E的左侧），且，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，在右边取点，使，，连接，作点关于的对称点，连接，，则四边形是平行四边形，得到，由对称可得，可以得到，当、、三点共线时，最小，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：在右边取点，使，，连接，作点关于的对称点，连接，，    ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称可得， ∴， ∴当、、三点共线时，最小， 过作于，于，则，    ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称可得，， ∴四边形和都是矩形， ∴，，，， ∴ ∴， ∴最小值， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，、分别是、的中点，动点、在线段上，且满足．则四边形周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】因为和是定长，所以要使四边形的周长最小，只要最小即可；过点Q作交于M，连接，可证明四边形是矩形，则有，再证明四边形是平行四边形，得到，则，证明，得到，则当C、Q、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：四边形周长， 又， ∴四边形周长， ∴要使四边形的周长最小，只要最小即可， 如图所示，过点Q作交于M，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵E、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、Q、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为 ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，能够将所求四边形的周长转化为求的最小值是解题的关键． 类型六、周长最小值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，长方形在第一象限，，分别在x轴和y轴上，P，Q分别为，上的动点，点M在上，，点N为中点，上一点，若点B的坐标是，则四边形的周长最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，先分别做出点M，N关于y轴和x轴的对称点，结合两点间线段最短，结合矩形性质结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得作点M关于y轴的对称点，点N关于y轴的对称点， ∵点M关于y轴的对称点是点，点N关于y轴的对称点是点， ∴，， ∴， ∴当点，，，四点共线时最小，此时四边形的周长最小， ∵长方形在第一象限，点B的坐标是， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴四边形的周长最小值为：， 故选：D． 【融会贯通】 1．在四边形中，，，，，点P是线段上的动点，连接，求当周长取得最小值时的长（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，过点A作于点E，过点D作于点F，证明四边形是矩形，则，，证明，得到，由勾股定理得到，作点B关于直线的对称点G，连接交于点P，则此时，此时取得最小值为，证明四边形是矩形，则，，求出周长取得最小值为，再由三角形中位线定理求出答案即可. 【详解】解：过点A作于点E，过点D作于点F， ∵， ∴,， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， 作点B关于直线的对称点G，连接交于点P，则此时， ∴， 此时取得最小值为，即长，此时周长取得最小值为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴周长取得最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A 2．如图，在中，，，点D是延长线上一点，以为邻边作． （1）连接，则面积为 ． （2）连接，则的周长最小值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）利用平行四边形的性质易得，得到等底等高，即等底等高，由，，求出的面积，即可得到结果； （2）作，且，连接，先证得，得到点直线上运动，当最小时，的周长最小，过点作的对称点，连接、，则，，当点在线段上时，最小，的周长最小，进而利用勾股定理计算即可； 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴等底等高， ∴等底等高， ∴的面积相等， ∵，， ∴的面积为， ∴面积为：； 故答案为：； （2）作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴点直线上运动， ∵，， ∴为定值， ∵的周长为， ∴当最小时，的周长最小， 过点作的对称点，连接、，则：，， ∴， ∴当点在线段上时，有最小值为的长，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵到的距离为， ∴， 在中， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，轴对称求最小值．能够正确做出辅助线是解题的关键． 3．如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点是线段上的动点，点是线段BC上的动点，则的周长最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，等腰直角三角形，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出的周长最小时、的位置． 延长，截取，连接，延长，过点，作于点，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出当、、、在同一直线上时，的周长最小，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长，截取，连接，延长，过点，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，且此时的周长等于的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长最小值为， 故答案为：． 类型七、面积最大值 【解惑】如图，正方形中，点为对角线的中点，矩形两边分别交、边于、两点，连接，下列结论正确的有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）若，则以为斜边的直角三角形面积的最大值为8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由正方形的性质和已知条件得出，可得，得出，得出（1）正确；可得四边形的面积的面积正方形的面积，得出（2）错误，进而可得，可得（3）正确，结合完全平方公式可得，得出（4）错误．从而可得答案． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∴， ， ， 在和中， ， ； 同理：； ， ；故（1）符合题意； ∵， ∴，故（2）不符合题意； ∵正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故（3）符合题意； ∵，， ∴ ∵， ∴，即， ∴， ∴，则以为斜边的直角三角形面积的最大值为4．故（4）不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的应用，以及勾股定理等．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【融会贯通】 1．如图，将两张完全一样的长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形面积最大，则这个最大值是（    ） A．7.5 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，解题的关键是掌握题中重叠部分为菱形． 要使重叠部分的四边形面积最大，则重叠部分的边长就要最大，由题意可得重叠部分的四边形是菱形，画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出边长，根据割补法即可得出面积． 【详解】解：如图，重叠部分为菱形，要使面积最大，则边长应最大， ，， ， ， ∴在中， 即， 解得：， ， ， ， ， ∴重叠部分的四边形面积最大为：15． 故选：B． 2．已知如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，添加恰当辅助线、构造矩形是解题的关键．先证四边形是矩形，由题意可求的长，当时，的面积有最大值，然后求出最值即可解答． 【详解】解：如图，延长至点H，使，连接， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当的面积有最大值时，的面积有最大值， ∴当时，的面积有最大值， ∴的面积的最大值为， 故答案为：． 3．如图，在矩形纸片中，，点O是对称中心，点P、Q分别在边上，且经过点O．将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点的位置，则面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查中心对称，三角形的面积，矩形的性质，翻折变换等知识，如图，连接，交于点，连接，过点作于点．求出的值，根据当，，共线时，的面积最大，可得结论，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点作于点，连接． 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ∵翻折， ∴，， ∴， ， ， ∵过点， ∴， ， 当，，共线时，的面积最大，最大值为． 故答案为：． 类型八、两点最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系，矩形的顶点在A、B分别在y轴和x轴的正半轴上滑动，C、D在第一象限内，若，则的最大值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，取的中点，连接，因为，所以当三点共线时，点到点的距离最大，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接，如图： ∵， ∴当三点共线时，点到点的距离最大， ∵，是的中点 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是( )    A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形的性质及勾股定理得出，，结合图形得出当点E在线段上时，线段的长最大，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，    ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，则， 在中，，由勾股定理，得， ∵在中， ，点E是斜边的中点， ∴， 由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是， 故选B． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在轴，轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接，则线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】取的中点E，连接，，，先证明和是等边三角形，即可求出的长，再在中利用斜边中线性质求出，最后根据确定当三点共线时最大，最大值为，据此求解即可． 【详解】解：连接，由题意得， ∴和是等边三角形， ∴， 如图，取的中点E，连接，， ∵边长为4的菱形，的中点E， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当三点共线时最大，最大值为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，坐标与图形，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．如图，矩形的边在y轴上，边在x轴上，C点坐标为，点D是线段上的一个动点，连接，以为边作矩形，使边过点B．连接，当点D与点A重合时，所作矩形的面积为18．在点D的运动过程中，线段最大值为 ．    【答案】/ 【分析】求出，根据，求出，，F可以看作是在以为直径的圆上，取的中点M，求出，当O、M、F三点共线时，有最大值，最大值． 【详解】解：当点D与点A重合时，如图：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，C、B均为定点， ∴F可以看作是在以为直径的圆上，取的中点M， 则，， ∴当O、M、F三点共线时，有最大值，最大值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质以及最值问题等知识；熟练掌握矩形的性质，求出是解题的关键． 类型九、手拉手最值 【解惑】如图，在中，，，以，为边向外作正方形与正方形，作，的反向延长线与交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点N关于的对称点，连接交于点Q，连接，则，连接，当三点共线时，有最大值，即有最大值，先证明，得到，再证明点N是的中点，得到，再证明，得到，进而得到，易证，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，作点N关于的对称点，连接交于点Q，连接，则，连接， ，， 当三点共线时，有最大值，即有最大值，如图 四边形与四边形都是正方形， ， ， ， 点N与点P关于对称， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点N是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，三角形三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理及三角形三边关系，作出辅助线及熟知三级形三边关系是解题关键．取中点，连接，，根据矩形的性质可求，的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点，点，点共线时，有最大值，即． 【详解】解：如图，取中点，连接，， 四边形是矩形， ，，， 点是中点，点是的中点， ，， ， 点是的斜边的中点， ， 根据三角形三边关系可得：， 当点，点，点共线时，最大值为． 故选：D． 2．如图，在中，，以为边，在右侧作正方形，对角线与相交于点O，连接，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，以为边作等腰直角，且，由题意可证，可得，根据三角形的三边关系可求的最大值，即可得的最大值． 【详解】解：如图：以为边作等腰直角，且， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 若点A，点B，点F三点不共线时，； 若点A，点B，点F三点共线时，， ∴， ∴的最大值为9， ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 3．如图，在中，，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是 ． 【答案】 【分析】如图①，连接，证明，则当最大时，最大，此时B、P、N三点共线，如图②，过作于，则，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图①，连接， ∵四边形和四边形均是正方形， ∴， ∴， ∴， 当最大时，最大，此时B、P、N三点共线， 如图②，过作于， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 类型十、其他最值 【解惑】如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 【融会贯通】 1．正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（  ）    A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，利用等腰直角三角形性质可得 ，由，可得，，利用勾股定理可得，再由三角形中位线定理可得，再证得，进而得出是的中线，即，由，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，    ∵四边形、是正方形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即Q是的中点， 又∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在中，， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，熟练运用三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质是解题关键． 2．如图，在矩形中，，，为边上一点，，分别为线段上的动点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，可证，得到，延长至点，使，连接，则，，得，即得当三点共线时的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴, 延长至点，使，连接， 则，， ∴， 当三点共线时的值最小，最小值为的长， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 3．如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意可证明，得到，继而得到，，当三点共线（点与点）时，的值最大，即，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， 在矩形中， ， ， ， ， ， ， 当三点共线（点与点）时，的值最大，即， ，， ， 在中，， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$