专题08 矩形的重难点题型汇编（十二大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题08 矩形的重难点题型汇编（十二大题型） 重难点题型归纳 【题型1：利用矩形的性质求角度】 【题型2：利用矩形的性质求线段长度】 【题型3：利用矩形的性质求面积】 【题型4：求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5：矩形与折叠综合应用】 【题型6：直角三角形斜边上的中线问题】 【题型7：添加条件对矩形的判定】 【题型8：矩形的判定-证明题】 【题型9：矩形的性质与判定综合】 【题型10：求矩形中最大值问题-梯子模型】 【题型11：求矩形中最小值问题】 【题型12：矩形中动点问题-分类讨论】 【题型1：利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先根据矩形的对角线相等且互相平分可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 是的外角，， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，，将的顶点摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是矩形，则，，由平行线的性质可得，然后通过等边对等角得出，，然后由平角定义求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在对角线上，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由矩形得到，，进而利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴． 故选：B． 4．如图，点是矩形边上一点，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设的中点为，连接，，得到， ，，则，得到，继而得到是等边三角形，得出，得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：设的中点为，连接，如图所示： 设， ， 四边形是矩形， ，，，， ， 在中，是斜边上的中线， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点是矩形边上一点， 故选：C． 5．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点F， 若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，根据题意可得，再通过矩形的性质可得，即可解答，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点O作的垂线交于点F， ， ， 四边形是矩形， ，， 即， ， 故选：A． 6．如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，交于点，由矩形的性质得，从而得到，由等腰三角形性质得，再由三角形内角和定理求得，即可推出，再根据等边对角即可解答． 【详解】解：连接，交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型2：利用矩形的性质求线段长度】 7．如图，在矩形中，点为边上一点，连接与交于点．若，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质，根据矩形的性质得出，求出, 由勾股定理得出，由三角形外角性质得出,可得出,从而可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴； 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在线段上，垂直平分，若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ，， ， 设，则， 中，， ， 解得：（负值舍去）， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 9．如图，在矩形中，在数轴上，以原点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴交于点D，则点D表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴．根据矩形的性质以及勾股定理可得的长，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵以原点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴交于点D， ∴， ∴点D表示的实数是． 故选：D 10．如图，在矩形中，对角线与相交于点分别为的中点，若，则的长为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题关键是根据矩形的性质得出，再根据中位线的性质求出的长即可． 【详解】解：在矩形中，对角线与相交于点 ∴，，， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 故选：B． 11．矩形与如图放置，点共线，点共线，连接，取的中点，连接．若，则的长是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，连接，设交于点，过点作于，先计算出，，，根据勾股定理求出，得到，利用，求出，即可利用勾股定理求出、． 【详解】如图，延长交于点，连接，设交于点，过点作于， 矩形与如图放置，点，，共线，点，，共线， ，，， ， 是中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键． 12．如图，在矩形中，点B 的坐标是，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，过点B作轴交x轴与点K，连接，根据点B的坐标得出，，利用勾股定理得出，再根据矩形的性质得出即可． 【详解】解：过点B作轴交x轴与点K，连接， ∵点B 的坐标是， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 故答案为： 13．如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，先根据画图过程得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，设,，则，，在中，由勾股定理求解x值即可解答． 【详解】解：根据画图过程得垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设,，则，， 在中，由勾股定理得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【题型3：利用矩形的性质求面积】 14．如图，为矩形对角线上的一点，过点作，分别交、于点、，若，，的面积为，的面积为，则（   ） A．12 B．8 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积等知识，作辅助线构造矩形是解题的关键． 先作辅助线，然后根据矩形的性质可得到两个三角形的面积相等，根据三角形面积的和差进行求解即可． 【详解】解：作于点，交于点，如图所示： 又∵， 则四边形，，，都是矩形， ，，，，，， ，， ， ， ∴， 故选：A． 15．如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，是解决问题的关键． 首先结合矩形的性质证明，得的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 16．如图，在矩形中，点为边上一个动点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟悉掌握矩形的相关性质是解题的关键． 设，利用矩形和三角形的面积转化列式运算即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 18．如图，在矩形中，对角线、相交于点，为边上任意一点（不与点、重合），过点作，，垂足分别为、，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，连接，由勾股定理得出，由矩形的性质得出，，，由可求得答案．掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理和直角三角形的性质算出对应的底和高．根据阴影部分的面积求解即可 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点M作， ∴， 则图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 20．（1）如图1，四边形的对角线互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E．则四边形的面积为_________． （2）如图2，矩形中，，点G，H分别是上任一点，求四边形的面积． （3）如图3，四边形放在了一组平行线中，已知，四边形的面积为，则相邻两条平行线间的距离为多少厘米． 【答案】（1）；（2）；（3）厘米． 【分析】此题考查了矩形的性质、平行线间的距离等知识，三角形面积等知识． （1）根据进行解答即可； （2）分别作高，根据即可求出答案； （3）作,垂足分别为，根据，以及得到，即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形的对角线互相垂直，对角线长为，长为， ∴, 故答案为： （2）如图，分别作高， （3）如图，作,垂足分别为， ∵， ∴， 故相邻两条平行线间的距离为厘米． 【题型4：求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 21．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，E是OC上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E，根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由待定系数法求得直线DA′函数式，进而求出点E的坐标即可． 【详解】解：如图，作A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E， 此时的周长最小， ∵， ∴， 设直线表达式是 ， 则， 解得：， ∴， 所以点E的坐标是． 故选B． 【点睛】本题考查了根据轴对称求最短距离问题，待定系数法求一次函数解析式，以及关于坐标轴对称的点的坐标特点，解题的关键是根据对称把AE转化为 ，利用两点之间线段最短的性质解决问题． 23．如图，一次函数与坐标轴相交于，两点，是射线上的一点，过作轴于点，轴于点，若矩形的面积为20，则点的坐标为 ．    【答案】，， 【分析】设点的坐标为，继而根据矩形的面积公式可用含的代数式表示长方形的面积，解方程即可． 【详解】解：当时，， ， 当时，， 解得， 所以点的坐标为， 设点的坐标为， 长方形的面积为或， 由解得或5， 由解得或， ， 或5或． 点的坐标为，，． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，根据题意得到关于的方程是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标． 【详解】解：点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形在坐标系中的坐标，准确判断是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ． 【答案】（，） 【分析】由矩形的性质得出∠AOC＝90°，由平行线的性质得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝90°， ∵AC∥x轴， ∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°， ∵AC＝6， ∴OC＝AC＝3， ∴OA＝OC＝3， ∴OD＝OA＝， ∴AD＝OD＝， ∴点A的坐标是（，）； 故答案为：（，）． 【点睛】考核知识点：矩形性质．理解矩形性质和直角三角形性质是关键． 26．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 【答案】（8，10） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论． 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G， 则四边形BEHG是矩形， ∴HG=BE，∠EBG=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， ∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°， ∴∠ABG=∠DCF， ∵在△ABG与△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG=DF，BG=CF， ∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4， ∴CF=12， ∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8， ∴A（8，10）， 故答案为：（8，10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【题型5：矩形与折叠综合应用】 27．如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ）    A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，，由折叠的性质得到 ，则，再根据三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可知， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 28．在矩形中，，，现将矩形折叠使点与点重合，则折痕的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口． 根据矩形的性质，可得，，再由折叠的性质可得：，，然后在中，根据勾股定理可得，，再证得，过点E作于点H，则，在根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：，， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点E作于点H，则， ∴， ∴． 故选：D 29．如图，在矩形纸片中，，．现将其沿折叠，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则四边形的周长为（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得,，，再根据折叠的性质可得，，则可得，．则可得四边形是矩形,进而可求出四边形的周长． 本题主要考查了矩形的判定和性质，以及折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解:∵四边形是矩形, ∴,，， ∵沿折叠，点B落在边上的点处， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形, ∴，， ∴四边形的周长． 故选：B． 30．如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，由折叠得是解题的关键．根据矩形的性质可得，，由平行线的性质及直角三角形的性质求出，根据折叠的性质可得，进而可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 由折叠可知：， ， ， ． 故选：B． 31．如图，在矩形中，，，分别是边上的点，将四边形沿翻折，两点的对应点分别为． (1)如图1，当点落在上时，求证：； (2)如图2，若，点与点重合，求的长； (3)如图3，当点恰好落在的中点，交于点，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了矩形与折叠，解题关键是熟练运用矩形的性质、勾股定理和折叠的性质及等腰三角形的判定进行推理证明与计算； （1）根据折叠和平行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列出方程即可求； （3）过点P作于H，证明，设，则，由勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 将四边形沿翻折， ，， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， ； （3）解：如图3，过点P作于H， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，， ， 为等腰三角形， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，即， ， 在中，根据勾股定理， ． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 32．如图，在中，对角线与相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是矩形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、∵， ， 平行四边形为矩形，不符合题意； B、∵， 平行四边形是矩形，不符合题意； C．∵在中， ∴ ∵， ∴ 平行四边形是矩形，不符合题意； D、∵在中， ∴四边形是菱形，不能证明是矩形，符合题意． 故选：D． 33．如图，E、F、G、H分别是四边形的四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（   ） A．有一个角是直角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解． 【详解】解：要是四边形是矩形，应添加条件是对角线互相垂直， 理由是：连接、，两线交于O， 根据三角形的中位线定理得：，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形一定是矩形， 故选：C． 34．如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，原选项不符合题意； 、添加不能够判定平行四边形为矩形，原选项不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，原选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，原选项符合题意； 故选：． 【题型8 矩形的判定-证明题】 35．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形． 【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 36．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，． (1)求证：． (2)判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)矩形；理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点． （1）根据题中的已知条件我们不难得出：，，又因为，那么两边都加上后，，因此就构成了全等三角形的判定中边边边的条件． （2）由于四边形是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可． 【详解】（1）证明：，，， ． 四边形是平行四边形， ． 在和中， ． （2）解：四边形为矩形． 理由如下： ， ． 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是矩形． 37．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在中，于点E，于点F，求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握三个角是直角的四边形是矩形． 根据题意得出，再根据平行四边形的性质证出，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 38．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 四边形是矩形． 39．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点为边上一点，以，为邻边作，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定以及矩形的判定是解题的关键． （1）根据得出，再结合平行四边形的性质即可证明； （2）先推得，，再证得四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】（1）证明：， 又四边形是平行四边形， ，， ，， ， ． （2）解：若， 又， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 40．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，对角线与交于点O，于点E，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 41．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理， （1），根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2），根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案. 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴. ∵， ∴. ∵四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴． 42．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，进而得到，即可得证； （2）设，根据矩形的性质，得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）由（1）知平行四边形为矩形， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 43．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，再证明，则四边形是平行四边形，由，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，   ， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，四边形是矩形； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 44．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再由，得， 则四边形是平行四边形，再证即可得出结论； （2）由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再由面积法求出，然后由矩形的性质得，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ， ∴是直角三角形，， ∴的面积， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ． 45．（21-22九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接 ，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由在平行四边形性质得到且，由平行线的性质得到，根据三角形的判定可证得，由全等三角形的性质得到，，可得，根据矩形的判定即可得到结论；（2）由矩形的性质得到，进而求得，，由可求得，由勾股定理可求得∴，，由平行四边形性质得，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质及判定，平行四边形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握相关几何证明方法是解决本题的关键． 46.（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线的性质，三角形三边的不等关系，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；取的中点E，连接，则，，当三点共线时，最大，即可求得最大值． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴当三点共线时，最大，最大值为； ∵， ∴的最大值为7； 故选：A． 47．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，．先证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，，再证明为等腰直角三角形，有勾股定理得出，由三角形中位线判定和性质可得出，最后利用三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 即， 在和中， ∴， ∴，，， ∵，是中点，， ∴， 又∵，S是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵是中点，S是的中点， ∴， 在中， ， ∴的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了综合性的三角形问题，等角对等边，等腰直角三角形的判定以及性质， 全等三角形的判定以及性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质，三角形三边关系的应用，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 48．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，是平面上一动点，连接，，是的中点，连接，当，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，添加辅助线，利用三角形的中位线性质求解是解答的关键．取的中点F，连接，，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当B、F、E共线时取等号，进而得到答案． 【详解】解：取的中点F，连接，，如图， ∵是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线，又， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，当B、F、E共线时取等号， ∴的最大值为， 故选：D． 【题型11 求矩形中最小值问题】 49．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论．熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，     的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为， 故选：C． 50．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判定出当、、三点共线时，最长是解题的关键．取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再根据等边三角形的性质求出的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得，判定当、、三点共线时，最长，然后求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ，点为的中点， ， 等边三角形的边长为2，为中线， ， ， 在中，， 当、、三点共线时，最长，最大值为， 的最大值为：， 故答案为： 51．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点D是边上一动点，过点D作，交于点E，则线段长度的最小值为 ． 【答案】4 【分析】要想求出长度的最小值，把转化成，只需要求出的最小值即可，根据垂线段最短，当时最小，再根据含的直角三角形的性质即可解决此题． 【详解】取的中点F，连接，过点F作于点． 则． 当时最小，最小，此时点D与G重合． ∵ ． 设 在中 ∴ ∴， ∴ ， ∴线段长度的最小值为4． 【点睛】本题主要考查了含的直角三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，解决此题的关键是要想到把转化成． 52．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 53．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．先推导出点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，得到当共线时，的值最小，利用勾股定理计算，从而得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵矩形，直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点，连接，， ∵， ∴当共线时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 54．（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．过点C作于点E，连接，证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，由面积求得，当M运动到E位置时，，取得最小值，得的最小值为． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点E， ∵于点P，于点Q， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当M运动到E位置时，，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 55．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)，； (2)t为秒时，四边形的面积为； (3)t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【分析】（1）由题意得：，，再根据，即可列式； （2）证明四边形是直角梯形，再根据梯形面积公式列方程求解即可； （3）过点作于点，则四边形是矩形，得到，，分两种情况求解：当点在点上方时；当点在点下方时，利用勾股定理分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 四边形是矩形，， ， ，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形，， ，，， 四边形是直角梯形， 四边形的面积， 四边形的面积为， ， 解得：， 答：t为秒时，四边形的面积为； （3）解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 点P和点Q的距离为， ， 当点在点上方时，， 由勾股定理得：， ， ； 当点在点下方时，， 由勾股定理得：， ， ， 综上可知，t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了列代数式，矩形的判定和性质，梯形的判定和性质，勾股定理，一元一次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 56．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长： ， ； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时（直接写出结果）为直角三角形． 【答案】(1)①，；②4 (2)或 【分析】（1）①由题意可得出答案；②由平行四边形的性质得出，则可得出答案； （2）当时，，不可能为直角；分两种情况，当为直角时，当为直角时，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动， 由题意得，，， 故答案为：，； ②当时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，， 由题意知不可能为直角， 当为直角时，四边形是矩形， ∴，如图1， 则， ∴； 当为直角时，如图，过点P作于点M， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上，或时，为直角三角形， 故答案为：或． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩形的性质和判定等知识，构造出直角三角形是解本题的关键． 57．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为． (1)分别求和的长度； (2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； (3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)，详见解析 (3)存在，t的值为和4，详见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质求出，根据含的直角三角形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，则，即可得，，即可求解； （2）先证四边形是平行四边形，再证四边形是矩形，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图， ∵动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； （3）存在， 当为边时，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为或4； 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 58．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】（1）作于点，由矩形的性质及得，，，，则，而，则，于是得到问题的答案； （2）作于点，由折叠得，，，因为，且，所以，求得，则，由，求得，则此时到直线的距离为6； （3）分两种情况讨论，①，作于点，则，且，由，且，得，求得；②，由，得，求得． 【详解】（1）解：如图1，作于点， 四边形是矩形，且顶点，分别在轴和轴上，， ，，，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，作于点， 由折叠得，，， ，且， ， 解得， ， ， ， 解得， 此时到直线的距离为6； （3）解：①如图3，当时，作于点，则， ∴，且，， ∴四边形是矩形， ， ，且， ， 解得； ②当时， ，且，，， ， 解得， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 矩形的重难点题型汇编（十二大题型） 重难点题型归纳 【题型1：利用矩形的性质求角度】 【题型2：利用矩形的性质求线段长度】 【题型3：利用矩形的性质求面积】 【题型4：求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5：矩形与折叠综合应用】 【题型6：直角三角形斜边上的中线问题】 【题型7：添加条件对矩形的判定】 【题型8：矩形的判定-证明题】 【题型9：矩形的性质与判定综合】 【题型10：求矩形中最大值问题-梯子模型】 【题型11：求矩形中最小值问题】 【题型12：矩形中动点问题-分类讨论】 【题型1：利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，将的顶点摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在对角线上，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，点是矩形边上一点，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点F， 若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，，则 ． 【题型2：利用矩形的性质求线段长度】 7．如图，在矩形中，点为边上一点，连接与交于点．若，，则（   ） A．3 B． C． D． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在线段上，垂直平分，若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，在数轴上，以原点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴交于点D，则点D表示的实数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，对角线与相交于点分别为的中点，若，则的长为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 11．矩形与如图放置，点共线，点共线，连接，取的中点，连接．若，则的长是（   ） A．4 B． C． D． 12．如图，在矩形中，点B 的坐标是，则的长是 ． 13．如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为 ． 【题型3：利用矩形的性质求面积】 14．如图，为矩形对角线上的一点，过点作，分别交、于点、，若，，的面积为，的面积为，则（   ） A．12 B．8 C．6 D．10 15．如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 16．如图，在矩形中，点为边上一个动点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 17．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 18．如图，在矩形中，对角线、相交于点，为边上任意一点（不与点、重合），过点作，，垂足分别为、，若，，则 ． 19．如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 20．（1）如图1，四边形的对角线互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E．则四边形的面积为_________． （2）如图2，矩形中，，点G，H分别是上任一点，求四边形的面积． （3）如图3，四边形放在了一组平行线中，已知，四边形的面积为，则相邻两条平行线间的距离为多少厘米． 【题型4：求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 21．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，E是OC上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是（    ） A． B． C． D． 23．如图，一次函数与坐标轴相交于，两点，是射线上的一点，过作轴于点，轴于点，若矩形的面积为20，则点的坐标为 ．    24．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ． 26．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 【题型5：矩形与折叠综合应用】 27．如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ）    A．5 B．4 C．3 D．6 28．在矩形中，，，现将矩形折叠使点与点重合，则折痕的长是（    ） A． B． C． D． 29．如图，在矩形纸片中，，．现将其沿折叠，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则四边形的周长为（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 30．如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，由折叠得是解题的关键．根据矩形的性质可得，，由平行线的性质及直角三角形的性质求出，根据折叠的性质可得，进而可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 由折叠可知：， ， ， ． 故选：B． 31．如图，在矩形中，，，分别是边上的点，将四边形沿翻折，两点的对应点分别为． (1)如图1，当点落在上时，求证：； (2)如图2，若，点与点重合，求的长； (3)如图3，当点恰好落在的中点，交于点，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 32．如图，在中，对角线与相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是矩形的为（    ） A． B． C． D． 33．如图，E、F、G、H分别是四边形的四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（   ） A．有一个角是直角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 34．如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【题型8 矩形的判定-证明题】 35．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 36．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，． (1)求证：． (2)判定四边形的形状，并说明理由． 37．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在中，于点E，于点F，求证：四边形是矩形． 38．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 39．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点为边上一点，以，为邻边作，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 40．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，对角线与交于点O，于点E，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长． 41．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 42．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 43．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 44．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 45．（21-22九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接 ，若，，，求的长． 46.（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 47．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，是平面上一动点，连接，，是的中点，连接，当，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型11 求矩形中最小值问题】 49．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为为（   ） A． B．4 C． D．8 50．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 51．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点D是边上一动点，过点D作，交于点E，则线段长度的最小值为 ． 52．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 53．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 54．（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 55．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 56．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长： ， ； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时（直接写出结果）为直角三角形． 57．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为． (1)分别求和的长度； (2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； (3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 58．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$