2025年伊朗数学奥林匹克试题（第二轮）

2025年伊朗数学奥林匹克第二轻 翻译 Photaesthesia Day 1 题目1. 试求所有正整数n>2.使得n与它的任意一个素 因子之和都是完全平方数 题目2. 阿里和沙延在一个无穷方格表上玩一个回合制游 戏.开始时,所有方格都是白色的,阿里先手,在第一个回 合中,他将一个单位方格染成黑色,在接下来的回合中,每 名玩家必须将一个与现有的黑格有公共边的白格染成黑色 这个游戏共进行2808个回合,结束时每名玩家恰好染黑了 1404个格子,设A是游戏结束时的黑格构成的集合,阿里 和沙延的目标分别是使图形A的周长尽可能小和尽可能大 他们为此目标按最优策略行动,(定义所有两侧一个是黑格 一个是白格的线段长度之和为图形A的周长.) 若两名玩家都按最优策略行动,试问A的周长的可能 值为何? 第1/3页 题目3. 不等边三角形ABC的内心为1.其内部有一点P满 足 2/ABP= BCA.2/ACP= CBA 直线PB和PC分别与直线A/交于点B'和C'.过点B平 行于AB的直线与B/交于点X.过点C'平行于AC的直线 与CI交于点Y. 证明:三角形PXY和ABC相似 Day2 题目4. 已知不等边锐角三角形ABC的外心为O. 设直线 BO和CO与从A向BC所引的高线分别交于点P和Q 点X是三角形OPO的外心,点O是点O关于直线BC的 对称点,点Y是三角形BXP和CXO外接圆的第二个交点 证明:X.O三点共线 题目5.试求所有函数f:R+→R使得对所有x,y,z>0.都 有 3(3+3+z)→f(x+y+z):f(xy+yz+xz)>(x+y+z)(xy+yz+xz). 题目6. 阿里举办了一个大型派对,他与他的n一1位朋友 一起,总共n个人按固定的顺序围坐在一张圆桌旁,阿里想 把n颗放在自已面前的苹果分给大家。因为阿里和他的朋 友们不习惯独自享用食物,所以只有在某个时刻每个人都拿 到了苹果,他们才会开始进食,在每步中,每个手里有至少 第2/3页 一颗苹果的人将一个苹果传给自己的右手边(顺时针方向) 第一个还没有苹果的人 试求所有的正整数n。 使得经过若干步后可以达到一个 每人都恰有一颗苹果的状态 第3/3页