专题6 解答题题位训练圆六大类型集中训练-【冲刺名校】（南通专用）2025年中考数学二轮三轮复习题型对位押题预测训练（解析版+原卷版）

专题6 解答题题位训练圆六大类型集中训练（解析版） 专题诠释： 专题诠释： 本专题对位南通市中考数学解答题中的圆。南通地区解答题圆属于必考内容，难度不大，一般考查圆的基本性质、圆的切线性质和判定和圆中的计算。但学生在这个题型要想获得满分也不容易。本专题就是希望孩子通过训练，确保这个题型取得满分。 类型一 垂径定理的应用 1．（2024•海安市二模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90cm，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由； （2）若，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆周角定理分析得出OD⊥EF，即可得出圆心O到“杠杆EF”的距离为圆的半径； （2）利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可． 【详解】解：（1）连接OD， ∵D为弧BC的中点， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°， ∴OD⊥EF， ∴OD的长是圆心O到“杠杆EF”的距离， ∵AB＝90cm， ∴OD＝OA＝45cm； （2）∵DA＝DF， ∴∠F＝∠BAD， 由（1）得：∠CAD＝∠BAD， ∴∠F＝∠BAD＝∠CAD， ∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD， ∵DF＝6， ∴（2OD）2﹣OD2＝（6）2， 解得：OD＝6， ∴S阴影＝S扇形BOD+S△AOD66＝6π+9． 【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法等知识，利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF是解题关键． 类型二 圆周角定理 2．（2022•南通）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE． （1）求直径BD的长； （2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积． 【分析】（1）由BD为⊙O的直径，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的长； （2）因为BC＝DC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积． 【详解】解：（1）∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝∠DCE＝90°， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴BC＝DC＝2， ∴BD＝24； （2）∵BE＝5， ∴CE＝3， ∵BC＝DC， ∴S阴影＝S△CDE26． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 3．（2025•南通模拟）如图1，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，． （1）求证：AO⊥CD； （2）求BD的长； （3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交⊙O于F，求AF的长度． 【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BDC＝90°，再由DB∥OA即可得出结论； （2）作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，如图1，则BM＝DM，利用勾股定理计算出AB的长，再利用面积法得到AH的长，接着利用勾股定理计算出OH的长，然后证明△AOH≌△OBM得到BM＝OH，而得到BD的长； （3）作CG⊥AF于G，连接CF、BF，如图2，证明△CBF为等腰直角三角形得到CFBC，利用△ACG为等腰直角三角形得到CG＝AGAC，然后利用勾股定理计算出GF，从而得到AF的长． 【详解】（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠D＝90°， ∵OA∥BD， ∴∠CEO＝∠D＝90°， ∴AO⊥CD； （2）解：连接AB，作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，如图1，则BM＝DM， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∴AB4， ∵AH•BCAC•AB， ∴AH4， 在Rt△OAH中，OH3， ∵OA∥BD， ∴∠AOH＝∠EBO， 在△AOH和△OBM中， ， ∴△AOH≌△OBM（ASA）， ∴BM＝OH＝3， ∴BD＝2BM＝6； （3）解：作CG⊥AF于G，连接CF、BF，如图2， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF＝45°， ∴CF＝BF， ∴△CBF为等腰直角三角形， ∴CFBC＝5， 在Rt△ACG中，CG＝AGAC， 在Rt△GFC中，GF2， ∴AF＝AG+GF23． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 类型三 圆的切线的性质 4．（2023•南通）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE． （1）求证：四边形ODCE是菱形； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥AB，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠AOC＝∠BOC＝60°，从而可得△ODC和△OCE都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得OD＝CD＝CE＝OE，即可解答； （2）连接DE交OC于点F，利用菱形的性质可得OF＝1，DE＝2DF，∠OFD＝90°，然后在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长，从而求出DE的长，最后根据图中阴影部分的面积＝扇形ODE的面积﹣菱形ODCE的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵⊙O和底边AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝60°， ∵OD＝OC，OC＝OE， ∴△ODC和△OCE都是等边三角形， ∴OD＝OC＝DC，OC＝OE＝CE， ∴OD＝CD＝CE＝OE， ∴四边形ODCE是菱形； （2）解：连接DE交OC于点F， ∵四边形ODCE是菱形， ∴OFOC＝1，DE＝2DF，∠OFD＝90°， 在Rt△ODF中，OD＝2， ∴DF， ∴DE＝2DF＝2， ∴图中阴影部分的面积＝扇形ODE的面积﹣菱形ODCE的面积 OC•DE 2×2 2， ∴图中阴影部分的面积为2． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2024•海门区一模）日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O相交于点E，与BC相交于点B，连接AC，OC，BD＝CD＝30cm，OA⊥AC． （1）求∠B的度数； （2）连接CE，求CE的长． 【分析】（1）证明OB＝OC，再利用切线的性质证明∠∠B＝∠OCB＝∠ACO，再利用三角形内角和定理求解； （2）求出AC，AE，利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）如图，连接OD． ∵BC 与⊙O相切于点D， ∴OD⊥BC， ∵BD＝DC， ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B． ∵OA⊥AC，OA为半径， ∴CA与⊙O相切于点A． 而BC与⊙O相切于点D， ∴∠ACB＝2∠BCO， ∵∠B+∠ACB＝90°， ∴3∠B＝90°， ∴∠B＝30°； （2）由（1）知 ，∠OAC＝90°， ∵CA，CD与⊙O相切， ∴CA＝CD＝30． ∴， ∴， 在Rt△ACE 中，（cm）． 【点睛】本题考查平行投影，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意， 6．（2021•南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC． （1）求∠B的度数； （2）若AB＝2，求的长． 【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥PE，则判断OC∥AE，所以∠DAC＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC得到∠DAC＝∠OAC； （2）根据同弧上圆周角和圆心角的关系求出∠COE，根据弧长公式即可求出的长． 【详解】解：（1）连接OC，如图， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD， ∴OC∥AE， ∴∠CAD＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠CAD＝∠OAC＝35°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OAC+∠B＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠OAC＝90°﹣35°＝55°； （2）连接OE， ∵⊙O的直径AB＝2， ∴OA＝1， ∵， ∴∠COE＝2∠CAE＝2×35°＝70°， ∴的长为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得OC∥AE是解决问题的关键． 7．（2024•崇川区三模）如图，CD是⊙O的直径，AE⊙O相切于点B，连接BC、BD，过圆心O作OE∥BC，连接EB并延长，交DC延长线于点A． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若F是OE的中点，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积． 【分析】（1）先根据圆周角定理和平行线的性质证得∠E＝∠OBD，再根据等腰三角形的性质证得∠D＝∠OBD，进而可得证； （2）先根据直角三角形斜边中线性质和等边三角形的判定证明△OBF是等边三角形，则∠BOE＝∠OBF＝60°，则，利用含30度角的直角三角形的性质求得，，然后利用阴影部分的面积等于S扇形BOF﹣S△BOG求解即可． 【详解】（1）证明：连接OB， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CBD＝90°， ∵OE∥BC， ∴∠BGE＝∠CBD＝90°， ∴∠E+∠EBG＝90°， ∵AE与⊙O相切于点B， ∴OB⊥AE， ∴∠OBD+∠EBG＝90°， ∴∠E＝∠OBD， ∵OB＝OD， ∴∠D＝∠OBD， ∴∠D＝∠E； （2）解：如图，连接BF， ∵∠OBE＝90°，F是OE的中点， ∴BE＝OF， ∵OB＝OF， ∴OB＝OF＝BF， ∴△OBF是等边三角形， ∴∠BOE＝∠OBF＝60°， ∵∠OGD＝90°，即OF⊥BD， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 8．（2024•南通二模）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD． （1）求证：∠COD＝2∠P； （2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）由PA与⊙O相切于点A，得PA⊥OA，则∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°，由AE⊥PB于点E，得∠AEP＝90°，则∠P+∠PAE＝90°，所以∠OAD＝∠P，则∠COD＝2∠OAD＝2∠P； （2）作OF⊥AD于点F，由PB是⊙O的切线，得PB⊥OB，可证明四边形OBEF是矩形，由⊙O的直径AC＝8，得OA＝OD＝OB＝FE＝4，而∠OAD＝∠P＝60°，则△AOD是等边三角形，所以∠AOD＝60°，AD＝OA＝4，则AF＝DF＝2，求得AE＝6，OF＝2，由tan60°，求得PE＝2，即可由S阴影＝S△PAE+△OAD﹣S扇形OAD求得S阴影＝10． 【详解】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A， ∴PA⊥OA， ∴∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°， ∵AE⊥PB，垂足为E， ∴∠AEP＝90°， ∴∠P+∠PAE＝90°， ∴∠OAD＝∠P， ∵∠COD＝2∠OAD， ∴∠COD＝2∠P． （2）解：作OF⊥AD于点F，则∠OFA＝90°， ∵PB是⊙O的切线， ∴PB⊥OB， ∴∠OBE＝∠BEF＝∠OFE＝90°， ∴四边形OBEF是矩形， ∵AC是⊙O的直径，且AC＝8， ∴OA＝OD＝OB＝FE＝4， ∵∠OAD＝∠P＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4， ∴AF＝DFAD＝2， ∴AE＝AF+FE＝2+4＝6，OF2， ∵tan60°， ∴PE＝2， ∴S阴影＝S△PAE+△OAD﹣S扇形OAD6×24×210， ∴阴影部分的面积为10． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、圆周角定理、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（2024•海安市一模）如图，点A，D，C在半径为8的⊙O上，过点D作⊙O的切线BD，交OA的延长线于点B．连接CD，且∠DCA＝∠OAC＝30°． （1）求证：BD∥AC； （2）求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，交CA于E，根据圆周角定理得到∠BOD＝60°，得到∠AEO＝90°，根据切线的性质得到∠AEO＝∠BDO＝90°，根据平行线的性质推出即可； （2）在Rt△OBD中，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOD的面积，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OD，交CA于E， ∵∠C＝30°，∠C∠BOD， ∴∠BOD＝60°， ∵OAC＝30°， ∴∠AEO＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠BDO＝90°， ∠AEO＝∠BDO， ∵ ∴BD∥AC； （2）解：在Rt△OBD中，∠BOD＝60°， ∴BD＝OD•tan60°＝8， ∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOD8×832π． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中． 10．（2025•南通模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝60°，⊙O的切线CD与AB的延长线相交于点D． （1）求证：BD＝BC； （2）若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，可证明△BOC是等边三角形，则∠BOC＝∠BCO＝60°，由CD与⊙O相切于点C，得∠OCD＝90°，即可求得∠D＝90°﹣∠BOC＝30°，∠BCD＝90°﹣∠BCO＝30°，所以∠BCD＝∠D，则BD＝BC； （2）作CE⊥OB于点E，则CE＝OC•sin60°＝3，可求得S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC＝6π﹣9． 【详解】（1）证明：连接OC，则OC＝OB， ∵∠ABC＝60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠BOC＝∠BCO＝60°， ∵CD与⊙O相切于点C， ∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∴∠D＝90°﹣∠BOC＝30°，∠BCD＝90°﹣∠BCO＝30°， ∴∠BCD＝∠D， ∴BD＝BC． （2）解：作CE⊥OB于点E，则∠OEC＝90°， ∵OC＝OB＝6， ∴CE＝OC•sin60°＝63， ∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC6×36π﹣9， ∴阴影部分的面积是6π﹣9． 【点睛】此题重点考查切线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 类型四 切线的判定 11．（2007•泰安）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG．当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数． 【分析】（1）连接AD，OD，根据等腰三角形的性质与平行线的性质，可得DF⊥OD，故得到证明； （2）根据题意，△ABC是等边三角形，可得BG是AC的垂直平分线，再根据平行线的性质，可得△ACG是等边三角形，故∠AGC＝60°． 【详解】（1）证明：连接AD，OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC．（2分） ∵△ABC是等腰三角形， ∴BD＝DC， 又∵AO＝BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC． ∵DF⊥AC，（4分） ∴DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线．（5分） （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴BG⊥AC． ∵△ABC是等边三角形， ∴BG是AC的垂直平分线， ∴GA＝GC．（7分） 又∵AG∥BC，∠ACB＝60°， ∴∠CAG＝∠ACB＝60°． ∴△ACG是等边三角形． ∴∠AGC＝60°．（9分） 【点睛】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及角度的大小的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题． 类型五 切线的判定与性质 12．（2025•昆山市模拟）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长． 【分析】（1）连接OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝6，则OMOA＝3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长． 【详解】（1）证明：如图，连接OA， ∵∠AEC＝30°， ∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°， ∵AB＝AD， ∴∠D＝∠B＝30°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA， ∴直线AD是⊙O的切线． （2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M， ∴AM＝EM， ∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°， ∴∠OAM＝30°， ∴OMOA10＝5， ∴AM5， ∴AE＝2AM＝2×510． 【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大． 13．（2020•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N． （1）求证：MN是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为5，sinB，求ED的长． 【分析】（1）连接OM，求出OM∥BD，求出OM⊥MN，根据切线的判定推出即可； （2）连接DM和CE，求出DM⊥BC，CE⊥BD，解直角三角形求出BC和BE，再求出答案即可． 【详解】（1）证明：连接OM，如图1， ∵OC＝OM， ∴∠OCM＝∠OMC， 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴CDAB＝BD， ∴∠DCB＝∠DBC， ∴∠OMC＝∠DBC， ∴OM∥BD， ∵MN⊥BD， ∴OM⊥MN， ∵OM过O， ∴MN是⊙O的切线； （2）解：连接DM，CE， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°， 即DM⊥BC，CE⊥AB， 由（1）知：BD＝CD＝5， ∴M为BC的中点， ∵sinB， ∴cosB， 在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4， ∴BC＝2BM＝8， 在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB， ∴ED＝BE﹣BD5． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 14．（2023•阜新）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠E＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得OD∥BE，然后利用平行线的性质可得∠ODE＝90°，即可解答； （2）连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，根据已知易得△OBC是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得OB＝OC＝BC＝2，∠BOC＝60°，然后在Rt△OBF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，最后根据图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵DE⊥CB， ∴∠E＝90°， ∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD， ∴∠ODB＝∠DBE， ∴OD∥BE， ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F， ∵∠ABC＝60°，OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝OC＝BCAB＝2，∠BOC＝60°， 在Rt△OBF中，OF＝OB•sin60°＝2， ∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积 BC•OF 2 ， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 类型六 弧长及扇形面积的计算 15．（2024•海门区二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF．连接AF，BD，∠BDC＝16°． （1）求∠A的度数； （2）求的长． 【分析】（1）连接AC，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠BDC＝16°，根据线段的垂直平分线的性质得出AC＝AF，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可求得∠BAF＝∠BAC＝16°； （2）连接OA，OC，BC，解直角三角形求出∠ABC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：（1）连接AC， ∵∠BAC和∠BDC都是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠BDC＝16°， ∵AB⊥CD，CE＝EF， ∴AC＝AF， ∴∠BAF＝∠BAC＝16°； （2）连接BC， ∵AB⊥CD，， ∴tan∠ABC， ∴∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝120° ∴的长为π． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键． 16．（2024•南通）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长． 【分析】（1）计算得出△ABC的面积和扇形的面积，作差得到阴影部分的面积； （2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，通过勾股定理得出BP的长． 【详解】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵⊙A与BC相切于点D， ∴AD， S＝S△ABC﹣S扇形； （2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大， ∵AP，AB＝3， ∴BP． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，扇形面积的计算等，掌握综合知识是解题的关键． 类型七 作图—基本作图 17．（2020•南通）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． （2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图： ①连接OA； ②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B； ③在射线OB上截取BC＝OA； ④连接AC． 若AC＝3，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质得到结论； （2）连接AB，如图②，由作法得OA＝OB＝AB＝BC，先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB＝∠OBA＝60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C＝∠BAC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长． 【详解】（1）证明：在△ABE和△ACD中 ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AB＝AC； （2）解：连接AB，如图②， 由作法得OA＝OB＝AB＝BC， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝60°， ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠BAC， ∵∠OBA＝∠C+∠BAC， ∴∠C＝∠BAC＝30° ∴∠OAC＝90°， 在Rt△OAC中，OAAC3． 即⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定与性质． 18．（2024•通州区二模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与AC，AB分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线AB，AC于点E，F． （1）求∠AFD的度数； （2）若AF＝3，∠ADF＝60°，求BD的长． 【分析】（1）连接OD，由AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，又OA＝OD，得∠BAD＝∠ADO故∠CAD＝∠ADO，得AC∥OD，又EF与半圆O相切于点D，可得结论； （2）由含30度直角三角形的性质和勾股含定理求出DF，证明△ADF∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求出BD． 【详解】（1）证明：如图，连接OD， ∵EF与半圆O相切于点D， ∴OD⊥DF， 由题意知，AD平分∠BAC， 即∠BAD＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， 又OD⊥DF， ∴DF⊥AC， ∴∠AFD＝90°； （2）解：由（1）知，∠AFD＝90°，∠BAD＝∠CAD， 在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3，AF2+DF2＝AD2， ∴∠DAF＝30°， ∴AD＝2DF， ∴AF＝3， ∴32+DF2＝（2DF）2， ∴DF， ∴AD＝2， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝∠AFD＝90°， ∴△ADF∽△ABD， ∴， ∴， 解得BD＝2． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 解答题题位训练圆六大类型集中训练（原卷版） 专题诠释： 本专题对位南通市中考数学解答题中的圆。南通地区解答题圆属于必考内容，难度不大，一般考查圆的基本性质、圆的切线性质和判定和圆中的计算。但学生在这个题型要想获得满分也不容易。本专题就是希望孩子通过训练，确保这个题型取得满分。 类型一 垂径定理的应用 1．（2024•海安市二模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90cm，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由； （2）若，求阴影部分的面积．（结果保留π） 类型二 圆周角定理 2．（2022•南通）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE． （1）求直径BD的长； （2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积． 3．（2025•南通模拟）如图1，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，． （1）求证：AO⊥CD； （2）求BD的长； （3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交⊙O于F，求AF的长度． 类型三 圆的切线的性质 4．（2023•南通）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE． （1）求证：四边形ODCE是菱形； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 5．（2024•海门区一模）日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O相交于点E，与BC相交于点B，连接AC，OC，BD＝CD＝30cm，OA⊥AC． （1）求∠B的度数； （2）连接CE，求CE的长． 6．（2021•南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC． （1）求∠B的度数； （2）若AB＝2，求的长． 7．（2024•崇川区三模）如图，CD是⊙O的直径，AE⊙O相切于点B，连接BC、BD，过圆心O作OE∥BC，连接EB并延长，交DC延长线于点A． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若F是OE的中点，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积． 8．（2024•南通二模）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD． （1）求证：∠COD＝2∠P； （2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积． 9．（2024•海安市一模）如图，点A，D，C在半径为8的⊙O上，过点D作⊙O的切线BD，交OA的延长线于点B．连接CD，且∠DCA＝∠OAC＝30°． （1）求证：BD∥AC； （2）求图中阴影部分的面积． 10．（2025•南通模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝60°，⊙O的切线CD与AB的延长线相交于点D． （1）求证：BD＝BC； （2）若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积． 类型四 切线的判定 11．（2007•泰安）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG．当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数． 类型五 切线的判定与性质 12．（2025•昆山市模拟）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长． 13．（2020•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N． （1）求证：MN是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为5，sinB，求ED的长． 14．（2023•阜新）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求图中阴影部分的面积． 类型六 弧长及扇形面积的计算 15．（2024•海门区二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF．连接AF，BD，∠BDC＝16°． （1）求∠A的度数； （2）求的长． 16．（2024•南通）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长． 类型七 作图—基本作图 17．（2020•南通）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． （2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图： ①连接OA； ②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B； ③在射线OB上截取BC＝OA； ④连接AC． 若AC＝3，求⊙O的半径． 18．（2024•通州区二模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与AC，AB分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线AB，AC于点E，F． （1）求∠AFD的度数； （2）若AF＝3，∠ADF＝60°，求BD的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$