专题5 解答题题位训练方程、不等式及函数的实际应用-【冲刺名校】（南通专用）2025年中考数学二轮三轮复习题型对位押题预测训练（解析版+原卷版）

专题5 南通解答题题位训练方程、不等式及函数的实际应用（解析版） 【题型预览】 类型一 一元二次方程的应用 类型二 分式方程的应用 类型三 一元一次不等式的应用 类型四 一次函数的应用 类型五 反比例函数的应用 类型六 二次函数的应用 【好题精炼】 类型一 一元二次方程的应用 1．（2025•南通模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： （1）降价x元后的月销售量为 　（400+20x）　 件；（用含x的式子表示） （2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【分析】（1）利用月销售量＝400+20×该款吉祥物每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出月销售量； （2）利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）根据题意得：降价x元后的月销售量为（400+20x）件． 故答案为：（400+20x）； （2）根据题意得：（68﹣x﹣45）（400+20x）＝8400， 整理得：x2﹣3x﹣40＝0， 解得：x1＝﹣5，x2＝8． 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 2．（2024•海门区校级模拟）小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率． （2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【分析】（1）设每月盈利的平均增长率为x，根据该商店4月份及6月份的盈利额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据2020年7月份的盈利额＝2020年6月份的盈利额×（1+增长率），即可求出结论． 【详解】解：（1）设每月盈利的平均增长率为x， 依题意，得：6000（1+x）2＝7260， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：每月盈利的平均增长率为10%． （2）7260×（1+10%）＝7986（元）． 答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 类型二 分式方程的应用 3．（2023•南通）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元） 甲 x+300 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等． （1）求x的值； （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？ 【分析】（1）利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出x的值； （2）设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工（22﹣m）天，根据22天完成的施工面积不少于15000m2，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，利用总费用＝3600×甲工程队施工时间+2200×乙工程队施工时间，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）根据题意得：， 解得：x＝600， 经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意． 答：x的值为600； （2）设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工（22﹣m）天， 根据题意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000， 解得：m≥6， 设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3600m+2200（22﹣m）， 即w＝1400m+48400， ∵1400＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝1400×6+48400＝56800． 答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 4．（2025•海门区一模）为响应国家“双碳”目标，某市加快新能源汽车充电桩布局．现有甲、乙两支专业安装队参与充电桩铺设，信息如下： 信息一 安装队 每天安装个数（单位：台） 每天安装成本（单位：元） 甲 x+20 5000 乙 x 3000 信息二 甲队完成某区域600个充电桩的安装所需天数，与乙队完成同区域400个充电桩的安装所需天数相等． （1）求x的值； （2）某项目要求甲队先单独施工若干天，再由乙队单独继续施工，总工期为20天，且安装总量不少于1000个，求该项目安装成本的最小值． 【分析】（1）根据甲队完成某区域600个充电桩的安装所需天数，与乙队完成同区域400个充电桩的安装所需天数相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设甲队单独施工m天，则乙队单独施工（20﹣m）天，根据安装总量不少于1000个，列出一元一次不等式，解得m≥10，再设该项目安装成本为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， 答：x的值为40； （2）设甲队单独施工m天，则乙队单独施工（20﹣m）天， 由题意得：（40+20）m+40（20﹣m）≥1000， 解得：m≥10， 设该项目安装成本为w元， 由题意得：w＝5000m+3000（20﹣m）＝2000m+60000， ∵2000＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝10时，w有最小值＝2000×10+60000＝80000， 答：该项目安装成本的最小值为80000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 类型三 一元一次不等式的应用 5．（2024•南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， ∴， ∴， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台， ∴80a+60（10﹣a）≤700， ∴a≤5， ∵每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180， ∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为200万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． 类型四 一次函数的应用 6．（2022•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示． （1）写出图中点B表示的实际意义； （2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时，它们的利润和为1500元，求a的值． 【分析】（1）根据图形即可得出结论； （2）用待定那个系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式即可； （3）分0≤a≤30和30＜a≤120两种情况列方程求解即可． 【详解】解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元； （2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0）， 把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k， 解得k＝20， ∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤120）； 当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k′x（k′≠0）， 把（30，750）代入解析式得：750＝30k′， 解得：k′＝25， ∴y乙＝25x； 当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝mx+n（m≠0）， 则， 解得：， ∴y乙＝15x+300， 综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙； （3）①当0≤a≤30时， 根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500， 解得：a＝60＞30，不合题意； ②当30＜a≤120时， 根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500， 解得：a＝80， 综上，a的值为80． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 7．（2021•南通）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下： A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折； B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折． 例如，一次购物的商品原价为500元， 去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）； 去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）． （1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式； （2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由． 【分析】（1）根据题意，可以写出两家超市的促销方式下y关于x的函数解析式； （2）根据题意和（1）中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以解答本题． 【详解】解：（1）由题意可得，当x≤300时，yA＝0.9x；当x＞300时，yA＝0.9×300+0.7（x﹣300）＝0.7x+60， 故； 当x＞100时，yB＝100+0.8（x﹣100）＝0.8x+20； ； （2）由题意，得0.9x＞0.8x+20，解得x＞200， ∴200＜x≤300时，到B超市更省钱； 0.7x+60＞0.8x+20，解得x＜400， ∴300＜x＜400，到B超市更省钱； 0.7x+60＝0.8x+20，解得x＝400， ∴当x＝400时，两家超市一样； 0.7x+60＜0.8x+20，解得x＞400， ∴当x＞400时，到A超市更省钱； 综上所述，当200＜x＜400到B超市更省钱；当x＝400时，两家超市一样；当x＞400时，到A超市更省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 8．（2024•崇川区三模）甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的图象如图所示． （1）求乙车到达B地的时间； （2）求乙车到达B地时甲车距A地的路程； （3）求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 【分析】（1）根据图象中的数据，可以先求出乙车从A地到B地的速度，然后即可求得m的值； （2）根据图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，再根据（1）中m的值，即可计算出乙车到达B地时甲车距A地的路程； （3）根据题意可知，乙车返回前甲、乙两车相距40千米，存在两种情况，相遇之前和相遇之后，然后即可列出相应的方程，再求解即可． 【详解】解：（1）由图象可得， 乙车从A地到B地的速度为：180÷1.5＝120（千米/时）， ∴120m＝300， 解得m＝2.5， 即乙车到达B地的时间为2.5时； （2）由图象可得， 甲车的速度为：（300﹣180）÷1.5＝120÷1.5＝80（千米/时）， 则乙车到达B地时甲车距A地的路程是：300﹣2.5×80＝300﹣200＝100（千米）， 即乙车到达B地时甲车距A地的路程是100千米； （3）乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，设乙车行驶的时间为t小时， 甲乙相遇之前：80t+120t+40＝300， 解得t＝1.3； 甲乙相遇之后：80t+120t﹣40＝300， 解得t＝1.7； 答：乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间是1.3小时或1.7小时． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．（2024•南通二模）为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如表： 型号 甲 乙 效率（单位：千克/时） m﹣30 m 每台价格（单位：万元） 4 6 已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等． （1）求m的值； （2）若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【分析】（1）根据“搬运时间＝搬运量÷搬运效率“及“甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等”列方程并求解即可； （2）设购买甲种型号的机器人a台，则购买乙种型号的机器人（10﹣a）台，根据“每小时甲种型号机器人搬运量+每小时乙种型号机器人搬运量≥710”列不等式并求出a的解集；设购买机器人的总费用为W元，写出W关于a的函数表达式，根据它的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W的值最小，求出其最小值及此时（10﹣a）的值即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 解得m＝90， 经检验，m＝90是所列分式方程的解， ∴m的值为90． （2）设购买甲种型号的机器人a台，则购买乙种型号的机器人（10﹣a）台． ∵m＝90， ∴甲种型号机器人的效率是90﹣30＝60（千克/时），乙种型号机器人的效率是90（千克/时）． 根据题意，得60a+90（10﹣a）≥710， 解得a； 设购买机器人的总费用为W万元，则W＝4a+6（10﹣a）＝﹣2a+60， ∵﹣2＜0， ∴W随a的增大而减小， ∵a且a为非负整数， ∴当a＝6时，W的值最小，W最小＝﹣2×6+60＝48，此时10﹣6＝4（台）， ∴购买甲种型号的机器人6台、乙种型号的机器人4台才能使总费用最少，最少费用是48万元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握分式方程的解法及一次函数的增减性是解题的关键． 10．（2024•启东市一模）已知A，B两地相距30km．甲8：00由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：km）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙9：30由A地出发以40km/h的速度驾车前往B地． （1）求甲的速度； （2）请直接写出乙与B地的距离y（单位：km）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象； （3）当乙在行驶途中与甲相距5km时，请求出x的值． 【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”计算即可； （2）根据“乙与B地的距离＝AB两地的距离﹣乙与A地的距离”写出乙出发后y与x的关系式，将y＝0代入求出乙到达B地的时间，从而写出乙与B地的距离y与甲出发后所用时间x之间的函数关系式（写成分段函数）； （3）利用待定系数法求出甲的函数关系式，当1.5≤x≤2.25时，且两人相距5km时，两者对应函数之差的绝对值为5，解关于x的方程即可． 【详解】解：（1）根据“速度＝路程÷时间”，得甲的速度为30÷3＝10（km/h）， ∴甲的速度为10km/h． （2）根据“乙与B地的距离＝AB两地的距离﹣乙与A地的距离”写出乙出发后y与x的关系式，得y＝30﹣40（x﹣1.5）＝﹣40x+90， 当乙到达B地时，﹣40x+90＝0， 解得x＝2.25，即当x＝2.25时乙到达B地， ∴当1.5＜x≤2.25时，乙的y与x之间的函数关系式为y＝﹣40x+90． ∴乙的y与x之间的函数关系式为y，其图象如图所示： （3）设甲的y与x的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（0，30）和（3，0）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴甲的y与x的函数关系式为y＝﹣10x+30． 当1.5≤x≤2.25时，且两人相距5km时，得|﹣10x+30﹣（﹣40x+90）|＝5， 解得x或． ∴x的值为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题意，掌握路程、时间、速度之间的数量关系，利用待定系数法求函数表达式和解绝对值方程是解题的关键． 11．（2024•海安市一模）A，B两地相距180km，甲车从A地驶往B地，乙车同时从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，乙车出发1小时后，中途休息mh．设甲车行驶的时间为x（h），甲、乙两车离A地的距离分别为y1（km）、y2（km），图中线段OP表示y1与x的函数关系． （1）甲车的速度为 　60　 km/h； （2）若两车同时到达目的地，则甲车行驶几小时后与乙车相遇； （3）若甲、乙两车在距A地90km至96km（包括90km和96km）之间的某处相遇，求m的取值范围． 【分析】（1）根据图象，用甲行驶的路程除以行驶时间即可得出速度； （2）根据甲乙同时出发同时到达目的地，可以求出m的值，再根据实际情况求出甲和乙相遇时甲所用时间； （3）分别求出相遇点距A地90km和94千米时m的值，再求出m的取值范围． 【详解】解：（1）由图可得，甲车的速度为180÷3＝60（km/h）， 故答案为：60； （2）∵乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地， ∴乙车行驶时间为180÷80＝2.25（h）， ∵3﹣2.25＝0.75（h）， ∴m＝0.75h， ∵甲、乙同时从A、B出发，1.75小时，甲行驶了1.75×60＝105（km），此时乙还在休息， 105+80＝185＞180， ∴甲在乙休息时与乙相遇， ∴（h）， ∴甲车行驶小时后与乙车相遇； （3）①当甲、乙两车在距A地90km时相遇，此时相遇点距B地为90km， ∴甲车行驶的时间为（h）， ∵甲、乙同时出发， ∴乙车行驶时间为m， ∴m； ②当甲、乙两车在距A地96km时相遇，此时相遇点距B地为84km， ∴甲车行驶的时间为1.6（h）， ∵甲、乙同时出发， ∴乙车行驶时间为m1.6， ∴m， 综上所述，m的取值范围为m． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是理解题意，用时间、速度、路程之间的关系解答． 12．（2024•南通一模）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同． （1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？ （3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可； （2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可； （3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可． 【详解】解：（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元， 根据题意，得， 解得x＝70， 经检验，x＝70是原分式方程的根，且符合题意， 70﹣20＝50（元）， 答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元； （2）设该商店购进A种羽毛球拍m副， 根据题意，得70m+50（100﹣m）≤5900， 解得m≤45，m为正整数， 答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副； （3）设总利润为w元， w＝25m+20（100﹣m）＝5m+2000， ∵5＞0， ∴w随着m的增大而增大， 当m＝45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000＝2225（元）， 此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100﹣45＝55（副）， 答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键． 类型五 反比例函数的应用 13．（2024•海门区一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线EF和线段FG组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求该产品的生产成本； （2）该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低40%，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【分析】（1）根据题意得到．把x＝45代入解析式得到，设该产品的生产成本为a元/件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为（45﹣38）×400＝2800元．由题意得4月份成本为（1﹣40%）×38＝22.8元/件，列不等式即可得到结论． 【详解】解：（1）由图象得曲线EF解析式为 ． 令x＝45，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为a元/件，则（66﹣a）×100＝（45﹣a）×400， 解得a＝38， 答：该产品的生产成本为38元/件； （2）3月份利润为：（45﹣38）×400＝2800元． 由题意得4月份成本为（1﹣40%）×38＝22.8元/件， 则 ， 解得x≥27， ∴4月份该产品销售单价的范围是27≤x＜45． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 类型六 二次函数的应用 14．（2025•海安市一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ （3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）用图象法即可解答． 【详解】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740， ∴y＝﹣10x+740（44≤x≤52）， （2）w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890， ∵﹣10＜0， ∴当x＜57时，w随x的增大而增大， ∵44≤x≤52， ∴当x＝52时，w有最大值，最大值为w＝﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640元， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元； （3）∵利润不低于2250元， 且44≤x≤52，w随x增大而增大， 由﹣10（x﹣57）2+2890＝2250得x＝65或x＝49， ∴49≤x≤52． ∴纪念品的销售单价x的范围是49≤x≤52． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，熟知最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答是关键． 15．（2024•海门区二模）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如表： 时间：第x天（1≤x≤60，且x为整数） 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价（元/件） 0.5x+35 50 日销售量（件） 124﹣2x 设该商品的日销售利润为w元． （1）求日销售利润w关于x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【分析】（1）依据题意，当1≤x≤30时，w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620；又当31≤x≤60时，w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）的解析式，根据二次函数的性质计算可以得解． 【详解】解：（1）当1≤x≤30时， w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620； 当31≤x≤60时， w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480． ∴w与x的函数关系式为w． （2）当1≤x≤30时， w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296． ∵﹣1＜0， ∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296； 当31≤x≤60时， w＝﹣40x+2480． ∵﹣40＜0， ∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240． ∵1296＞1240， ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 16．（2024•通州区二模）某超市购进某种商品的成本为25元/kg，经过调查发现，这种商品在前30天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为y日销量m（kg）与时间x（天）之间满足函数关系：m＝﹣2x+72（0＜x≤30，x为整数）． （1）求前15天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ （2）求前30天中日销售利润不低于1080元的天数． 【分析】（1）依据题意，前15天的每一天利润＝（x+37﹣25）（﹣2x+72）＝﹣2（x﹣12）2+1152，结合﹣2＜0，可以分析得解； （2）依据题意，当0＜x≤15时，由（1），令利润＝﹣2（x﹣12）2+1152＝1080，求出x的值后，结合又﹣2＜0，且0＜x≤15，即可判断这个时间日销售利润不低于1080元的天数；又当15＜x≤30时，利润＝（﹣2x+72）（55﹣25）＝﹣60x+2160，故﹣60x+2160≥1080，从而15＜x≤18，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，前15天的每一天利润＝（x+37﹣25）（﹣2x+72） ＝（x+12）（﹣2x+72） ＝﹣2x2+48x+864 ＝﹣2（x﹣12）2+1152． ∵﹣2＜0， ∴当x＝12时，利润最大，最大日销售利润是1152元． 答：前15天中第12天的销售利润最大，最大日销售利润，1152元． （2）由题意，当0＜x≤15时， 由（1），令利润＝﹣2（x﹣12）2+1152＝1080， ∴x＝6或x＝18（舍去）． 又﹣2＜0，且0＜x≤15， ∴6≤x≤15时，日销售利润不低于1080元，共10天． 当15＜x≤30时， 利润＝（﹣2x+72）（55﹣25）＝﹣60x+2160． ∴﹣60x+2160≥1080． ∴15＜x≤18，共3天． 综上，共有10+3＝13（天）． 答：前30天中日销售利润不低于1080元的天数为13天． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 17．（2024•海安市二模）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）直接写出s关于t的函数关系式 　st2+16t　 和v关于t的函数关系式 　v＝﹣t+16　 （不要求写出t的取值范围） （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 【分析】（1）根据图象，利用待定系数法分别求出一次函数和二次函数解析式即可； （2）把v＝9代入一次函数解析式求出t，再把t的值代入二次函数解析式求出s即可； （3）分析得出当v＝10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可． 【详解】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点， 设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c， ∵二次函数经过（2，30），（4，56）， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为st2+16t． ∵一次函数经过（0，16），（8，8）， ∴，解得：， ∴一次函数表达式为v＝﹣t+16． 故答案为：st2+16t，v＝﹣t+16； （2）∵v＝﹣t+16， ∴当v＝9时， ﹣t+16＝9，解得t＝7， ∵st2+16t， ∴当t＝7时，s×72+16×7＝87.5， ∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m； （3）∵当t＝0时，甲车的速度为16m/s， ∴当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大， 当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小， ∴当v＝10m/s时，两车之间距离最小， 将v＝10代入v＝﹣t+16中，得t＝6， 将t＝6代入st2+16t中，得s＝78， 此时两车之间的距离为：10×6+20﹣78＝2（m）， ∴6秒时两车相距最近，最近距离是2m． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图象，求出表达式是解题的基本前提． 18．（2024•启东市二模）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值； （3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由． 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意； （3）利用二次函数的性质求出y的最大值，设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，可得a+7b＝1500，推出b的最大值为214，此时a＝2，再求出实际植物面积即可判断； 【详解】解：（1）y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x（9≤x＜18） （2）由题意：﹣2x2+36x＝160， 解得x＝10或8． ∵x＝8时，36﹣16＝20＞18，不符合题意， ∴x的值为10． （3）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162， ∴x＝9时，y有最大值162， 设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵， 由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600， ∴a+7b＝1500， ∴b的最大值为214，此时a＝2， 需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2＜162， ∴丙种植物，最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 南通解答题题位训练方程、不等式及函数的实际应用（原卷版） 【题型预览】 类型一 一元二次方程的应用 类型二 分式方程的应用 类型三 一元一次不等式的应用 类型四 一次函数的应用 类型五 反比例函数的应用 类型六 二次函数的应用 【好题精炼】 类型一 一元二次方程的应用 1．（2025•南通模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： （1）降价x元后的月销售量为 　 　 件；（用含x的式子表示） （2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 2．（2024•海门区校级模拟）小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率． （2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？ 类型二 分式方程的应用 3．（2023•南通）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元） 甲 x+300 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等． （1）求x的值； （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？ 4．（2025•海门区一模）为响应国家“双碳”目标，某市加快新能源汽车充电桩布局．现有甲、乙两支专业安装队参与充电桩铺设，信息如下： 信息一 安装队 每天安装个数（单位：台） 每天安装成本（单位：元） 甲 x+20 5000 乙 x 3000 信息二 甲队完成某区域600个充电桩的安装所需天数，与乙队完成同区域400个充电桩的安装所需天数相等． （1）求x的值； （2）某项目要求甲队先单独施工若干天，再由乙队单独继续施工，总工期为20天，且安装总量不少于1000个，求该项目安装成本的最小值． 类型三 一元一次不等式的应用 5．（2024•南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 类型四 一次函数的应用 6．（2022•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示． （1）写出图中点B表示的实际意义； （2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时，它们的利润和为1500元，求a的值． 7．（2021•南通）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下： A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折； B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折． 例如，一次购物的商品原价为500元， 去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）； 去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）． （1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式； （2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由． 8．（2024•崇川区三模）甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的图象如图所示． （1）求乙车到达B地的时间； （2）求乙车到达B地时甲车距A地的路程； （3）求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 9．（2024•南通二模）为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如表： 型号 甲 乙 效率（单位：千克/时） m﹣30 m 每台价格（单位：万元） 4 6 已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等． （1）求m的值； （2）若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 10．（2024•启东市一模）已知A，B两地相距30km．甲8：00由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：km）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙9：30由A地出发以40km/h的速度驾车前往B地． （1）求甲的速度； （2）请直接写出乙与B地的距离y（单位：km）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象； （3）当乙在行驶途中与甲相距5km时，请求出x的值． 11．（2024•海安市一模）A，B两地相距180km，甲车从A地驶往B地，乙车同时从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，乙车出发1小时后，中途休息mh．设甲车行驶的时间为x（h），甲、乙两车离A地的距离分别为y1（km）、y2（km），图中线段OP表示y1与x的函数关系． （1）甲车的速度为 　 km/h； （2）若两车同时到达目的地，则甲车行驶几小时后与乙车相遇； （3）若甲、乙两车在距A地90km至96km（包括90km和96km）之间的某处相遇，求m的取值范围． 12．（2024•南通一模）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同． （1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？ （3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 类型五 反比例函数的应用 13．（2024•海门区一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线EF和线段FG组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求该产品的生产成本； （2）该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低40%，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 类型六 二次函数的应用 14．（2025•海安市一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ （3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 15．（2024•海门区二模）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如表： 时间：第x天（1≤x≤60，且x为整数） 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价（元/件） 0.5x+35 50 日销售量（件） 124﹣2x 设该商品的日销售利润为w元． （1）求日销售利润w关于x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 16．（2024•通州区二模）某超市购进某种商品的成本为25元/kg，经过调查发现，这种商品在前30天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为y日销量m（kg）与时间x（天）之间满足函数关系：m＝﹣2x+72（0＜x≤30，x为整数）． （1）求前15天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ （2）求前30天中日销售利润不低于1080元的天数． 17．（2024•海安市二模）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）直接写出s关于t的函数关系式 　 和v关于t的函数关系式 　 （不要求写出t的取值范围） （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 18．（2024•启东市二模）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值； （3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由． 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4 1 学科网（北京）股份有限公司 $$