第02讲 三角形中的中位线（知识解读+题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第02讲 三角形中的中位线 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 【题型3与三角形中位线有关的证明】 【题型4 三角形中位线的实际应用】 知识点1：三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【典例1】如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长为 ． 【变式1-1】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，取的中点，连接，若，则等于 ． 【变式1-2】如图，在中，是中位线，，那么 ； 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，的边，的中点的横坐标分别是，则 ． 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 【典例2】如图，在中，，点D在边上，，点E是内部一点，，延长交于点F，连接，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，D是的中点，F是的中点，E在上，且，若的面积是18，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】如图，在中，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的面积是 ． 【变式2-3】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm，则△DEF的面积是 cm 【题型3与三角形中位线有关的证明】 【典例3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【变式3-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 【变式3-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，对角线、交于点O，E，F分别是、的中点，且．求证：． 【题型4 三角形中位线的实际应用】 【典例4】如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求． 请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小． (1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△PDE周长的最小值． 【变式4-1】如图，A，B两点被湖水隔开，岸边有一点C，的中点分别是D，E，现测得，则A，B两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，小明为了测量某湖两岸两点间的距离，先在外选定一点，然后测量得到的中点，且，从而计算出两点间的距离是（   ） A．30m B．40m C．60m D．90m 【变式4-3】已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，以此类推，则第2022个三角形的周长为（  ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，平行四边形的对角线相交于点，点是的中点，，若平行四边形的周长为16，则的周长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．8 2．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，点，分别是，的中点，若，则四边形的周长是（  ） A． B． C． D． 3．如图，在中，分别是边的中点，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 5．如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 7．如图，是的中线，是的中点，延长与交于点，若，则的长为（   ） A．3 B．2 C． D． 二、填空题 8．如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为 ． 9．如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则 ． 10．如图，分别是和的平分线，．若，则的周长为 ．     3、 解答题 11．如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 12．课本再现 三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：，分别是的边，的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形． ②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 三角形中的中位线 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 【题型3与三角形中位线有关的证明】 【题型4 三角形中位线的实际应用】 知识点1：三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【典例1】如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长为 ． 【答案】41 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，证明，得到，，根据三角形中位线定理求出，计算即可，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：平分，， ， 在和中， ， ， ，， 是的边的中点， 是的中位线， ， 的周长， 故答案为：41． 【变式1-1】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，取的中点，连接，若，则等于 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键；由题意易得点O为的中点，，然后根据三角形的中位线可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即点O为的中点， ∵点是的中点，， ∴， ∵点是的中点， ∴； 故答案为4． 【变式1-2】如图，在中，是中位线，，那么 ； 【答案】10 【分析】本题考查了中位线的性质，根据三角形的中位线平行且等于第三边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵在中，是中位线， ∴， 故答案为：10． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，的边，的中点的横坐标分别是，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了坐标 于图形，中位线的判定和性质，掌握两点之间距离的计算，中位线是关键． 根据题意得到，且是中位线，则即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵点的横坐标分别是， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 【典例2】如图，在中，，点D在边上，，点E是内部一点，，延长交于点F，连接，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，由三角形内角和定理可求，由，可得，由，可求，则，即为的中点，，由勾股定理得，，由为的中点，可得，可求，则，根据求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即为的中点， ∴， 由勾股定理得，， 又∵为的中点， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，中位线等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，中位线是解题的关键． 【变式2-1】如图，在中，D是的中点，F是的中点，E在上，且，若的面积是18，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积．解题的关键是熟练掌握“三角形中线能把三角形的面积平分，利用这个结论就可以求出三角形的面积” ． 【详解】解：∵D是的中点，的面积是18， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 故选：B． 【变式2-2】如图，在中，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的面积是 ． 【答案】48 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，线段中点的定义求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：点、分别是、的中点，， ， 是的中点，， ， ∴， 在中，， ∴的面积为， 故答案为：48． 【变式2-3】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm，则△DEF的面积是 cm 【答案】4.5// 【分析】连接BE，根据△ABC的面积求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DEBC，得到△DEF的面积＝△DEB的面积，得出答案． 【详解】解：连接BE， ∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18 cm， ∴△AEB的面积△ABC的面积＝9（cm）， ∵点D是AB的中点， ∴△DEB的面积△AEB的面积＝4.5（cm）， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DEBC， ∴△DEF的面积＝△DEB的面积＝4.5（cm）， 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形的面积、三角形中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【题型3与三角形中位线有关的证明】 【典例3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点是的中点，结合点F是的中点可得是的中位线，据此即可求证． 【详解】证明：∵ ∴点是的中点． ∵点F是的中点． ∴是的中位线， ∴ 【变式3-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质．熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是解决问题的关键． 取中点G，连接，根据三角形中位线定理可得到，由平行线的性质可得，从而可推出为等腰三角形，从而证得． 【详解】证明：连接，取中点G，连接， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，对角线、交于点O，E，F分别是、的中点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线性质定理，取的中点，连接，，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．解题的关键是构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明． 【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，，   、分别为、的中点， 是的中位线， ，， 同理可得，，， ， ． ， 又，， ， ． 【题型4 三角形中位线的实际应用】 【典例4】如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求． 请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小． (1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△PDE周长的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)8 【分析】（1）作点D关于BC的对称点T，连接ET交BC于P，连接PD，点P即为所求作． （2）过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F．利用三角形中位线定理求出DE，DF，再利用勾股定理求出ET，可得结论． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求． （2）解：过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F． ∵AD＝DB，AE＝EC， ∴DE＝BC＝3， ∵DF⊥BC，AH⊥BC， ∴DF∥AH，AD＝DB， ∴BF＝FH， ∴DF＝AH＝2， ∵DT⊥BC，DE∥BC， ∴DE⊥DT， 在Rt△DET中，DE＝3．DT＝2DF＝4， ∴ET＝ ＝5， ∴PE+PD+DE＝DE+PE+PT＝DE+ET＝3+5＝8， ∴△DEP的周长的最小值为8． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称最短问题，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型． 【变式4-1】如图，A，B两点被湖水隔开，岸边有一点C，的中点分别是D，E，现测得，则A，B两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D，E分别为线段中点 ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 【变式4-2】如图，小明为了测量某湖两岸两点间的距离，先在外选定一点，然后测量得到的中点，且，从而计算出两点间的距离是（   ） A．30m B．40m C．60m D．90m 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理可得到，可得到答案． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故选：C． 【变式4-3】已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，以此类推，则第2022个三角形的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对边的长度的，因此新三角形周长是前一个三角形周长的． 【详解】解：△ABC周长为1， ∵每条中位线均为其对边的长度的， ∴第2个三角形对应周长为； 第3个三角形对应的周长为（）2； 第4个三角形对应的周长为（）3； … 以此类推，第n个三角形对应的周长为（）n﹣1； ∴第2022个三角形对应的周长为（）2021，即， 故选：C． 【点睛】此题考查了中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的是解决问题的关键． 一、单选题 1．如图，平行四边形的对角线相交于点，点是的中点，，若平行四边形的周长为16，则的周长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主查了平行四边形的性质，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 因为四边形是平行四边形，所以；再根据点E是的中点，得出是的中位线，，再根据四边形的周长是16，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴O是的中点． 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形的周长是16， ∴， ∴， ∴的周长为 ． 故选A． 2．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，点，分别是，的中点，若，则四边形的周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图−基本作图，角平分线的定义，等角对等边，平行四边形的性质，先由作图知平分，然后利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出，再由中位线的性质和平行四边形的性质可得，进而根据已知得出，进而求得平行四边形的周长． 【详解】解：由作图知平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形的周长， 故选：D． 3．如图，在中，分别是边的中点，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，先运用三角形内角和列式计算得，再结合分别是边的中点，证明是的中位线，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，掌握知识点的应用是解题的关键．根据尺规作图——作角平分线即可判断A；证明是等边三角形，利用勾股定理求出，即可判断B；由等边三角形的判定即可判断C；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断D． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴，故A正确； ∵， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故C正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线，故D正确， 故选：B． 5．如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了三角形中位线定理中的数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半，掌握三角形中位线定理是解题的关键．先确定是的中位线，则． 【详解】解：取和的中点，， 是的中位线， ， 故选：B． 6．如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查中位线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．利用中位线的性质得，，，，，，可判断选项A，利用可判断选项B，利用证明可判断选项C，利用，，可判断选项D． 【详解】解：∵、、分别是、、中点， ∴，，，，，， 故选项A正确； ∵， 故选项B错误； ∵，， ∴，， 又∵， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D正确； 故选：B． 7．如图，是的中线，是的中点，延长与交于点，若，则的长为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是关键． 如图所示，取线段的中点，连接，得到，可证，得，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，取线段的中点，连接， ∵是的中线，即点是中点， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 二、填空题 8．如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了中位线的定义和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行四边形是解题的关键． 根据三等分点可得E、F分别是线段的中点可得且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形可得、，再证明可得，再根据三角形中位线的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵ E、F是的三等分点， ∴，即点F是的中点，点E是的中点， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 9．如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则 ． 【答案】5 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴， 故答案为：5． 10．如图，分别是和的平分线，．若，则的周长为 ．     【答案】30 【分析】由分别是和的角平分线推出即和都是等腰三角形，根据三角形中位线定理可得，即可解题． 此题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，属于基础题． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 同理：． 又∵， ∴E、D分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 则的周长为： ， 由，得的周长为30， 故答案为：30． 3、 解答题 11．如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，且，，且，从而得到，且，进而得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明： 分别是边和上的中线， ∴点，分别是边，的中点， ∵点，分别是线段，的中点． 是的中位线，是的中位线， ∴，且，，且， ∴，且， 四边形是平行四边形， 12．课本再现 三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：，分别是的边，的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形． ②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）①3；②见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质． （）延长到点，使，连接，，．证明四边形是平行四边形，可得，且，再证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得结论； （）①连接，由三角形中位线的性质得，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论； ②连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证． 【详解】解：（1）证明：如图1，延长到点，使，连接，，． ，， 四边形是平行四边形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形， ，且． 又， ，且． （2）①如图，连接， ∵，，分别是，，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，都是平行四边形． 故答案为：3； ②证明：如图2，连接． ，，，分别是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$