圆中阴影面积计算—2025年中考数学总复习考前板块训练

圆中阴影面积计算 2025年中考数学总复习考前板块训练 1．如图1，已知等腰三角形的外接圆圆心为点，，为的直径，交于点，，； (1)求的长； (2)连，求证：四边形为菱形； (3)直接写出图2中阴影部分的面积． 2．如图，内接于，是的直径，点E在上，点C是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 3．如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若的长为，求图形中阴影部分的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，交轴于点，点，交轴的正半轴于点，平分交于点，过点作于点，交轴于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 5．如图，是的内接三角形，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积．（结果保留准确值） 6．如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． (1)写出图中任意一组相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，求图中阴影部分的面积． 7．如图，在中，是的直径，C是上一点，在上找一点D，使得，连接，过点C作的垂线，垂足为E． (1)求证：是的切线． (2)若，，求阴影部分的面积． 8．如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 9．如图，为的直径，点是的中点，，垂足为，、的延长线交于点． (1)写出一个与相等的角：________；写出一个与相等的弧：________． (2)求证：是的切线； (3)若，，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 10．如图所示，的顶点A，在上，顶点在外，边与相交于点，，连接，，已知． (1)求证：直线是的切线． (2)若线段与线段相交于点，连接． ①求证：； ②若，求弓形阴影部分的面积． 11．如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接．    (1)求证：是的切线； (2)当时（如图2），求的长； (3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 12．如图，是的内接三角形，，点D在的延长线上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 13．如图，四边形内接于，为直径，过点C作的垂线，垂足为点E，连接． (1)求证：； (2)连结，若，，，求、、围成的阴影部分的面积． 14．如图，点A、B、C在上，为直径，的平分线交于点D，作分别交的延长线于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)若，求弧、线段、线段所围成的阴影部分图形的面积（结果保留π）． 15．如图，为的直径，为上一点，，延长至点，使得，过点D作，垂足E在的延长线上，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)当时，求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《圆中阴影面积计算—2025年中考数学总复习考前板块训练》参考答案 1．(1) (2)见解析 (3)阴影部分的面积为 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）连接，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用垂径定理，直角三角形的性质得到，利用等边三角形的判定与性质和菱形的定义解答即可； （3）连接，，过点O作于点E，利用（2）的结论，菱形的性质，等边三角形的判定与性质求得，，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用扇形与三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）解：连接，，过点O作于点E，如图， 由（2）知：为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴ ∴阴影部分的面积 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，扇形与三角形的面积公式，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由点是的中点，得到，根据圆周角定理得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接．过点O作于点H，先证明是等边三角形，，．从而求得，．即可由求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵C是弧中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：连接．过点O作于点H． ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积． 正确地作出辅助线是解题的关键． 3．(1)见解析； (2)阴影部分的面积为． 【分析】（1）连接OD，由推出是等边三角形，再利用全等三角形判定定理证明，得到，再根据切线的判定定理即可证明； （2）由的长计算出半径，再根据含的直角三角形的性质求出的边长，利用阴影部分面积的面积扇形的面积，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接OD， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的切线． （2）的长为，， ， ， ， ， ， ，， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，扇形的面积公式，勾股定理，坐标与图形，等边三角形的判定和性质，切线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）连接，证明，推出，即可证明为的切线； （2）设，根据题意得到，利用勾股定理建立方程求出x的值，利用三角函数求得，再根据阴影部分的面积，利用扇形和三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图所示，连接，设， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴阴影部分的面积 ． 5．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质以及弓形面积的计算，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，证明即可； （2）过点作，垂足为点，根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即， 是半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作，垂足为点 ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 答：图中阴影部分的面积为． 6．(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，解直角三角形，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明， （2）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到； （3）根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：（）（答案不唯一）． （2）证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ． 7．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握切线的判定是解决本题的关键． （1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案. 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接、， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练掌握圆的基本知识是解本题的关键． （1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O的切线． （2）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 9．(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定与性质，扇形的面积，连接经过切点的半径和连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． （1）根据点是的中点，利用圆周角定理，即可解答； （2）连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （3）利用直角三角形的边角关系定理求得的度数，利用圆周角定理得到的度数，利用直角三角形的边角关系定理求得的长度，再利用阴影部分的面积解答即可． 【详解】（1）解：点是的中点， ，， 故答案为：；； （2）证明：连接，如图， 点是的中点， ， ， ， ． ， ， ． 为的半径， 是的切线； （3）解：连接，如图， ，为的直径， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ． 阴影部分的面积 ． 10．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据圆周角定理，可得，根据平行线的性质即可求解； （2）①是等腰直角三角形，根据相似三角形的判定即可求证；②根据相似三角形的性质，可得，根据是等腰直角三角形，得，根据扇形面积与三角形面积可得弓形阴影的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴直线是的切线． （2）解：①证明： 由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合．熟练掌握圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，扇形面积公式，三角形面积公式，是解题的关键． 11．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图1，连接，则有，再证明可得，根据切线的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形为正方形，再求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答； （3）如图3，连接，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据以及扇形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，连接，则有．    在和中， ∴， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2）解：如图2，连接 ，由（1）可知， ．    当时，四边形为矩形． 又∵， ∴四边形为正方形． ∵， ∴，即 ∴， ∴． （3）解：如图3，连接，设，则，    ∵四边形是菱形， ∴．则， ∵是的切线，即． ∴，即． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 12．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理、扇形的面积公式，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，证明即可得证； （2）过点O作，垂足为点E，求出，，再根据计算即可得解． 【详解】（1）证明：如答图1，连接，   ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． （2）解：过点O作，垂足为点E，   ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 答：图中阴影部分的面积为． 13．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解本题的关键． （1）先判断出，然后用等角的余角相等即可证明结论； （2）求出和，，再利用面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质、矩形的判定与性质、锐角三角函数、扇形的面积公式等知识点． （1）连接，得到，由角平分线得到，则，得到，由，得到，即可得证； （2）作于点G，连，，可求出，由即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：作于点G，连， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 15．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （1）利用直径所对的角为直角得，进而求得得度数． （2）连接，根据和都是等腰三角形，即可得到，再根据三角形内角和即可得到，进而得出是⊙O的切线； （3）根据，，可以得到半圆的面积，即可得的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）为的直径， ， ， （2）如图所示，连接， 在中，， ， 中， ， ∴是的切线； （3）当时，， ∵为的直径， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积=半圆的面积的面积 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$