解直角三角形的相关计算高频考点预测练-2025年中考数学三轮复习备考

解直角三角形的相关计算高频考点预测练 2025年中考数学三轮复习备考 1．如图1，墙壁上的点处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． (1)如图2，当时，求灯口与墙壁的距离； (2)如图3，现有一靠墙放置的学习桌，与地面平行，其距离地面的高度为80cm．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口需距离桌面70cm．求点距离地面的高度．（参考数据：，，，，，） 2．如图，已知四边形是某公园中的小池塘，点和点分别在点的正东与正南方向，点位于点北偏西方向，点位于点北偏东方向，经测量得米，米，求小池塘的边的长．（参考数据：，，，，结果精确到0.1米） 3．“和平广场”是我市的重要地标之一，而和平广场的“观沧海石雕”是该广场的标志性景观，具有深厚的文化内涵和艺术价值．这座石雕以“观沧海”为主题，通过艺术手法展现了沧海壮阔的景象，同时也体现了葫芦岛市作为海滨城市的地域特色．在综合与实践活动中，某学习小组想测量石碑的高度，具体操作如下：小茜站在处观测时（为小茜眼睛到地面的高度，米），测得石碑顶端点E的仰角，站在相距米的处观测时，测得点的仰角，点，，在同一条直线上．（结果精确到米，参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求石碑高度． 4．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） (1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 5．山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图是位于山西大同的应县木塔．如图，小方站在点处操纵无人机到与水平距离为米的处，无人机在处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为米，点，，，在同一平面上，求应县木塔的高度．参考数据，，， 6．如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，为了测量此展板的最高点A到地面l的高度．绘制了如图2所示的展板侧面的截面图（底座高度忽略不计），并测得，，与水平线的夹角，与水平线的夹角，请求出展板最高点A到地面l的距离（精确到1cm，参考数据：，，，， ，） 7．某种落地灯如图1所示，立杆垂直于地面，高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，支杆与悬杆之间的夹角为．将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图2），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，）      8．王震将军铜像不仅是石河子市的重要地标，也是军垦文化的象征，承载着人们对王震将军的崇敬和对军垦先辈们的缅怀，激励着新一代军垦人传承和弘扬兵团精神．某班数学实践小组想要测量王震将军铜像的高度．小组成员讨论后，设计了如下两种测量方案，并画出相应的测量草图． 备注：两位同学的观测点C、D到地面的距离相等，线段EF长表示王震将军铜像的高度，点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内； 方案一 方案二 问题解决：请你选择一种方案计算王震将军铜像的高度．（结果精确到1）（参考数据： ．） 9．为了提升全社会对古树的保护意识，增强生态韧性，实现绿色发展，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离6米的点B处放置测角仪，测角仪支架的高度为米，在点E处测得古树顶端D的仰角（点A，B，C，D，E，F，P在同一平面内，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 10．图是某学校门禁的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图是其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离为．（结果保留整数，参考数据：，，） (1)李华站在摄像头前水平距离的点处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线上）．请估算李华的身高； (2)王强同学是该校年龄最小且个头最矮的，已知王强同学的头部高度为，若王强同学进校时恰好也能使用人脸识别系统，则王强同学的最低身高为_____． 11．随着中国经济的迅速发展和国家政策的大力支持，国产汽车在市场中的占有律越来越高．如图是某型号红旗汽车近光灯照明示意图．车主王先生发现近光灯的上行光线照射高度偏低，于是要求工程师调高高度．已知车灯离地面的距离为，有效射程为．原上行光线与水平方向的夹角为，工程师向上调高了至． (1)求灯光有效射程末端提高了多少米？ (2)现有一人骑电动车迎面刚好行驶到车灯的有效范围内，若人的眼睛到地面的距离为，调整后的车灯会不会照射到电动车驾驶员的眼睛？请说明理由．（参考数据：结果保留两位小数） 12．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． (1)求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号） (2)求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 13．小明和小亮两人相约周末自驾从点出发前往位于点南偏东方向处的露营基地处游玩，小明选择驾驶燃油车从点出发，沿西南方向行驶到超市花费20分钟时间购买物资，再驾车前往位于超市正东方向千米处的露营基地．小亮驾驶电动汽车从出发，到位于点东北方向的充电站充电，充电时间为100分钟，完成充电后立即从点出发，前往位于点正南方向的露营基地． (1)求出发点与超市的距离；（结果保留根号） (2)已知小明驾驶燃油车的速度为80千米／小时，小亮驾驶电动汽车的速度为100千米／小时，请计算说明小明和小亮谁先到达露营基地．（参考数据：，，，） 14．如图所示，小明想测量山坡上一棵大树的高度（与地面垂直），首先在水平地面上点处测得大树底端的仰角为，大树顶端的仰角为，然后再测得山坡的坡度，最后测得坡底到大树底端的距离为34米．（注：图中各点都在一个平面内，参考数据：，，，，，） (1)求，之间的距离； (2)求大树的高度． 15．根据以下素材，探索完成目标． 素材1．如图1是某地风力发电设备，其示意图如图2所示，三个长度相等的叶片，均匀地分布在支点O上，塔架垂直水平地面． 素材2．一综合实践小组，为测量该风力发电设备塔架和叶片的长，设计如下的方案：借助太阳光线，某时刻，用1米长的米尺垂直地面，在地面上的影子长是米，此时，测得塔架的影子长是63米，三个叶片在旋转一周的过程中（时间忽略不计），测得三个叶片的影子最长是45米． 目标1．根据该小组的方案，求出塔架的高度． 目标2．计算叶片端点A离地面的最近距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《解直角三角形的相关计算高频考点预测练-2025年中考数学三轮复习备考》参考答案 1．(1)灯口与墙壁的距离为； (2)点距离地面的高度为． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）过点作于点，延长交于点，在和中，分别利用正弦和余弦函数的定义求解即可； （2）过点作于点，延长交于点，交于点，在中，利用三角函数的定义求得，在中，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，延长交于点， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴， 答：灯口与墙壁的距离为； （2）解：过点作于点，延长交于点，交于点， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 答：点距离地面的高度为． 2．小池塘的边的长约为42.1米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，数形结合、正确计算是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到，，然后解直角三角形求出，然后求出，，然后在中，利用求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， 米，． 由题意知，， 是等腰直角三角形， ， （米）， 米，（米）． 在中，， （米）， （米）． 答：小池塘的边的长约为42.1米． 3．(1)长约为米 (2)石碑高度约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）设米，根据题意得米，推得在，，解一元一次方程即可； （2）结合（1）求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点， 根据题意得：，米，米， ， 设米，则米， 在中，，， ， 米， 在中，，， ， ， 解得：， （米）， 答：长约为米． （2）解：由（1）得：， （米） 答：石碑高度约为米． 4．(1)公里 (2)丙最晚达目的地D点 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点D作交于点，在取点，使，得，设，可求出，得出，在中由列方程求出，，在中由勾股定理可求出公里； （2）过点作于点，得出四边形是矩形，得，在取点，使，得，设，则根据求出，由分别求出公里，公里，公里，公里，分别求出三条路线用时，再进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图， 根据题意得， ∵， ∴ ∴ 设则 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴ ∴ 在中，, 答：小雨家A离寺庙D的距离为公里； （2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形， ∴， 在取点，使， 根据题意得， ∴ ∴， 设，则 ∴, ∴， ∴ ∴， 在中，公里， 在中， ∴公里， 又公里， ∴①用时为小时； ②用时为小时； ③用时为小时， ∵， ∴丙最晚达目的地D点． 5．应县木塔的高度均为米． 【分析】过点作于点，的延长线于点，根据题意得，，，利用，即可求出、，则． 【详解】解：如图，过点作于点，的延长线于点， 根据题意得，，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 米， ，， ，， 米， 米． 答：应县木塔的高度均为米． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题关键是根据题意正确作出辅助线求解． 6． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 如图所示，，利用正弦的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 在中，， ∵ ∴ 在中，， ∵ ∴ ∴A到地面l的距离为． 7． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键． 过D作于E，过C作于F，过B作于G，在中，根据，得出，从而求出，得出，最后在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出最后结果即可． 【详解】过D作于E，过C作于F，过B作于G，如图所示： 由题，，， 在中，， 解得：， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 答：的长约为． 8．铜像的高度为． 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形实际应用．根据题意，方案一：由题意得．且，设，则，再列式，即可求出结果；方案二：延长交于点，同理得出，求解即可． 【详解】解：方案一： 设交于点， 由题意得．且， 四边形都是矩形， 设， 在中，， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：铜像的高度为． 方案二： 如图，延长交于点， 由题意得．且， 四边形都是矩形， 设， 在中，， ， 在中， ， ， ， 解得， ， 答：铜像的高度为． 9．古树的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交的延长线于点F，交的延长线于点G，则，可求，设，则，可求，从而可求，，由，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，交的延长线于点G，则， 则四边形是矩形， 山坡上坡度， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ，， ， 在中，， ， ， ； 答：古树的高度约为． 10．(1)李华的身高约为； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）作辅助线如图所示，则有四边形是矩形，所以，，在中，，然后代入计算即可； （）过作，交俯角线于点，过作于点，则有四边形是矩形，所以，，在中，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：如图，过作，分别交水平线于点，仰角、俯角线于点，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴李华的身高约为； （2）解：如图，过作，交俯角线于点，过作于点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴王强同学的最低身高约为； 故答案为：． 11．(1) (2)调整后的车灯会照射到电动车驾驶员的眼睛，理由见解析 【分析】（）过点作，垂足为点，解直角三角形求出，进而即可求解； （）根据（）求出，进行比较即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， 由题意知：，，，，                     在中， ∵ ， 即 ， ∴ ，                               在中， ∵ ， 即 ， ∴ ， ∴ ，    ∴ 有效射程末端提高了； （2）解：由（）知：，， ∴， ∵ ， ∴ 调整后的车灯会照射到电动车驾驶员的眼睛． 12．(1)一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为； (2)日光灯C到一楼地面的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理． （1）过点B作于点E，设，根据勾股定理列方程并求解，即可得到答案； （2）过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，根据矩形性质得四边形，是矩形，结合（1）的结论，根据三角函数的性质，得，从而完成求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E． 设， ∵的坡度为， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得：（舍去）或， ∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为； （2）解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H， ∴四边形，是矩形， 根据题意，得：，， ∴，，， 由（1）可知，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴日光灯C到一楼地面的高度约为． 13．(1)； (2)小亮先到达露营基地．理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，设，在和中，利用含30度角直角三角形的性质结合勾股定理列式，即可求解； （2）作于点，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，据此求得和的长．最后分别求出两条线路完成任务所花的时间，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：作于点，设， 在中，， ∴，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：小亮先到达露营基地．理由如下： 作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴，， ∴千米， 千米， ∴小明用时小时， 小亮用时小时， ∵， ∴小亮先到达露营基地． 14．(1) (2)大树的高度为32米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点，根据题意，根据坡度求得，再解直角三角形求得，即可解答； （2）解直角三角形求得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，根据题意 ， 根据，可设， ∵， 根据勾股定理可得 ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ∴， ∴ 答：大树的高度为32米 15．目标1：84米；目标2：米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、相似三角形的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． （1）根据某时刻高度和影长比例不变列比例式求解即可； （2）如图，连接，于点H．由题意可得，然后解直角三角形可得米、米，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：目标1．由题意得用1米长的米尺垂直地面，在地面上的影子长是米， ∵测得塔架的影子长是63米， ∴，解得：，即塔架的高是84米． 目标2．如图，连接，于点H． 当三个叶片在旋转一周的过程中（时间忽略不计），测得三个叶片的影子最长是45米，即垂直光线时，影子最长． 由题意得， ∴，即，解得：米， ∴米， ∴米． ∴叶片端点A离地面的最近距离是米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$