二次函数压轴之特殊四边形归纳练-2025年中考数学三轮复习备考

二次函数压轴之特殊四边形归纳练-2025年中考数学三轮复习备考 1．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为，直线1经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C作轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标； （3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．    3．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．    (1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； (2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长； (3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 6．已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式． （2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，且． （1）求的值； （2）在抛物线上求一点使得四边形是以为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 8． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4． 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部． （1）直接写出点D（m，n）所有的特征线； （2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式； （3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？ 9．如图，二次函数图象经过A（﹣3，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴； （3）该抛物线的对称轴上有一点D，在该抛物线上是否存在一点E，使得以D、E、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形． （1）求点F的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．    11．如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为 （－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）. （1）求抛物线的解析式和直线BD解析式； （2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由. 12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0），B（，0）两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形，求出点M的坐标； (3)设（1）中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A(1，0)，且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限． （1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式； （2）连接AB，求AB的长； （3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论． 14．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由. 15．如图，抛物线的顶点坐标是，与x轴交于点A、点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数压轴之特殊四边形归纳练-2025年中考数学三轮复习备考》参考答案 1．(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）分两种情况，分别根据等腰三角形的判定和性质、平移和矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵，， ∴，， ①如图，当为矩形一边，且点在轴的下方，过作轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在的对称轴直线上，， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到； ②当为矩形一边，且点在轴的上方，的对称轴直线与轴交于点， ∴，， ∵在的对称轴直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点； 综上所述，点的坐标为或时，以，为顶点，且以为边的四边形是矩形． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质及图像的平移，平移的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间距离等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解题的关键． 2．（1）；（2），；（3）存在，或1． 【分析】（1）将点，点代入中，即可求解析式； （2）求出BC的直线解析式为，设，则，所以，即可求面积的最大值； （3）设，①当时，，可求P点横坐标；②当时，，可求P点横坐标． 【详解】解：（1）将点，点代入中， 则有， ， ； （2）， 对称轴为， 轴， ， ， 点，点， 的直线解析式为， 设， 交线段BC于点F， ， ， 当时，四边形ECFD的面积最大，最大值为； 此时； （3）设， ①当时， ， ， ， ， 点横坐标为1； ②当时， ， ， 或（舍）， 点横坐标为． 综上所述：P点横坐标为或1． 【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 3．(1)， (2) (3)存在点F，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形． 【分析】（1）根据对称轴和过点列二元一次方程组求解即可； （2）如图：过点M作交于D，设点，则；然后表示出，再根据是等边三角形可得,，根据三角函数解直角三角形可得，进而求得即可解答； （3）如图可知：线段为菱形的边和对角线，然后通过作图、结合菱形的性质和中点坐标公式即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得：， 所以抛物线的函数表达式为； 当时，，则顶点M的坐标为． （2）解：如图：过点M作交于D 设点，则, ∴， ∵是等边三角形, ∴, ∴,即，解得：或（舍去） ∴，， ∴该三角形的边长． （3）解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形 ①如图：线段作为菱形的边， 当为菱形的对角线时，作关于直线的对称线段交于E，连接,作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时． 当为菱形对角线时，， 设，， 则，解得：或， ∴或 ②线段作为菱形的对角线时， 如图：设 ∵菱形, ∴,的中点G的坐标为，点G是的中点， ∴，解得， ∴， 设， 则有：，解得：， ∴．    综上，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、等边三角形的性质、解直角三角形、菱形的判定等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 4．（1）；（2）2＜m＜；（3）m=6或m=﹣3． 【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为，由，消去y得到，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题； （3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题． 【详解】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=， ∴抛物线C的函数表达式为． （2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为， 由， 消去y得到 ， 由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有， 解得2＜m＜， ∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜． （3）结论：四边形PMP′N能成为正方形． 理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H． 由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在上，∴，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍弃），∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形． 情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m）， 把M（m﹣2，2﹣m）代入中，，解得m=6或0（舍弃）， ∴m=6时，四边形PMP′N是正方形． 综上所述：m=6或m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形． 5．（1），B(3， 0)；（2）；（3）不存在，理由见解析 【详解】．解：(1) 当y＝0时， ∴A(－1， 0) 当x＝0时， ∴ C(0，－3) ∴∴ 抛物线的解析式是： 当y＝0时， 解得： x1＝－1 x2＝3 ∴ B(3， 0) （2）由（1）知 B(3， 0) ， C(0，－3) 直线BC的解析式是： 设M（x，x-3）(0≤x≤3)，则E（x，x2-2x-3） ∴ME=(x-3)-( x2-2x-3)=-x2+3x = ∴当 时，ME的最大值＝ （3）答：不存在．                                      由（2）知 ME 取最大值时ME＝，E，M ∴MF＝，BF=OB-OF=． 设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形， 则BP∥MF，BF∥PM． ∴P1或 P2 当P1时，由（1）知 ∴P1不在抛物线上． 当P2时，由（1）知 ∴P2不在抛物线上． 综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形． 6．（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或． 【分析】（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解； （2）S△DAC=2S△DCM，则，，即可求解； （3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）二次函数表达式为：， 将点A的坐标代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：①， 则点， 将点的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：； （2）存在，理由： 二次函数对称轴为：，则点， 过点作轴的平行线交于点， 设点，点， ∵， 则， 解得：或5（舍去5）， 故点； （3）设点、点，， ①当是平行四边形的一条边时， 点向左平移4个单位向下平移16个单位得到， 同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点， 即：，，而， 解得：或﹣4， 故点或； ②当是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：，，而， 解得：， 故点或； 综上，点或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 7．（1），；（2）D；（3）存在，，这个菱形不是正方形． 【分析】（1）把A（0，-4）代入可求c，运用两根关系及x2-x1=5，对式子合理变形，求b； （2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点； （3）根据四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形． 【详解】解:（1）抛物线经过点 又由题意可知，是方程的两个根， ， 由已知得 又 解得， 当时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去． ； （2）∵四边形是以为对角线的菱形，根据菱形的性质，点必在抛物线的对称轴上， 又 拋物线的顶点即为所求的点； （3）∵四边形是以为对角线的菱形，点的坐标为 根据菱形的性质， 点必是直线与抛物线的交点， 当时， 在抛物线上存在一点，使得四边形为菱形． 四边形不能成为正方形， 因为如果四边形为正方形，点的坐标只能是，但这一点不在抛物线上. 【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法． 8．（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上． 【详解】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线； （2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可． 试题解析：解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n； （2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为，∴，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，将n=m+1带入得到m=2，n=3； ∴D（2，3），∴抛物线解析式为． （3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时： 根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离==． ②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=． 综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上． 点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标． 9．（1）y=x2﹣x﹣4；（2）x=；（3）存在，点E的坐标为（，﹣）、（，）或（﹣，）． 【详解】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），根据点A、B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出抛物线的对称轴； （3）分线段BC为对角线以及BC为边两种情况考虑，根据点B、C、D的坐标结合平行四边形的性质即可得出点E的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点E的坐标，此题得解． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 将A（﹣3，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）代入y=ax2+bx+c（a≠0）中得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y=x2﹣ x﹣4． （2）∵抛物线的解析式为y=x2﹣ x﹣4， ∴该抛物线的对称轴为x=﹣=． （3）∵点D在抛物线的对称轴上，∴设点D的坐标为（，m）． 以D、E、B、C为顶点的四边形是平行四边形分两种情况（如图所示）： ①当线段BC为对角线时，∵B（4，0）、C（0，﹣4）、D（，m）， ∴点E的坐标为（4﹣， ﹣4﹣m），即（，﹣4﹣m）， ∵点E在抛物线y=x2﹣ x﹣4上， ∴﹣4﹣m=× ﹣× ﹣4=﹣，此时点E的坐标为（ ，﹣）； ②当线段BC为边时，∵B（4，0）、C（0，﹣4）、D（，m）， ∴点E的坐标为（+4，m+4）或（ ﹣4，m+4），即（，m+4）或（﹣ ，m+4）． ∵点E在抛物线y=x2﹣ x﹣4上，∴m+4=× ﹣× ﹣4=或m+4= ×﹣ ×（﹣）﹣4=， 此时点E的坐标为（， ）或（﹣， ）． 综上可知：在该抛物线上存在一点E，使得以D、E、B、C为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为（，﹣）、（，）或（﹣，）． 考点：二次函数综合题． 10．（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1  （2）（，）；    （3）Q，R或Q（，﹣10），R（） 【分析】（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案； （2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案； （3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵A（0，1），B（，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1， ∵点F的横坐标为， ∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣， ∴F点的坐标为（，﹣）， 又∵点A在抛物线上， ∴c＝1， 对称轴为：x＝﹣， ∴b＝﹣2a， ∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1， ∵四边形DBFE为平行四边形． ∴BD＝EF， ∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣）， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1； （2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，      则P'（n，﹣n+1）， ∴PP'＝﹣n2+n， S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣， ∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）． （3）∵， ∴x＝0或x＝， ∴C（，﹣）， 设Q（，m）， ①当AQ为对角线时， ∴R（﹣）， ∵R在抛物线y＝+4上， ∴m+＝﹣+4， 解得m＝﹣， ∴Q，R； ②当AR为对角线时， ∴R（）， ∵R在抛物线y＝+4上， ∴m﹣+4， 解得m＝﹣10， ∴Q（，﹣10），R（）． 综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键． 11．(1) y=x2＋2x－3 ， y=x－1 (2) 存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形 【分析】（1）把A、D两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c的值，让二次函数的y等于0求得抛物线与x轴的交点B，把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式． （2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，进而根据y=－3求得合适的a的值即可． 【详解】解：（1）将A（－3，0），D(－2，－3)的坐标代入y=x2＋bx＋c得， ，解得： ． ∴抛物线的解析式为y=x2＋2x－3 ． 由x2＋2x－3=0，得：x1=－3，x2=1，∴B的坐标是（1，0）． 设直线BD的解析式为y=kx＋b，则 ，解得： ． ∴直线BD的解析式为y=x－1． （2）∵直线BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD, ∴直线EF的解析式为：y=x－a． 若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴． ∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为－3． 由得y2＋（2a＋1）y＋a2＋2a－3=0，解得：y= ． 令=－3，解得：a1=1，a2=3． 当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去； ∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意． ∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形． 12．(1) (2)M（−1，0） (3)存在，P点坐标为（，）或（，）或（，3） 【分析】（1）将A（1，0），B（-3，0）代入y=-x2+bx+c，即可求解； （2）设M（-1，m），由题意可知CM=CA，则1+（m-3）2=1+9，即可求解； （3）求出D（-1，4），E（-1，2），设P（t，-t2-2t+3），Q（t，t+3），分三种情况讨论：①当DE为平行四边形的对角线时；②当DP为平行四边形的对角线时；③当DQ为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：将A（1，0），B（−3，0）代入， ∴，解得：．， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线x=−1， 令x=0，则y=3， ∴C（0，3）， 设M（−1，m）， ∵△MAC是以AM为底的等腰三角形， ∴CM=CA， ∴1+（m−3）2=1+9， 解得m=0或m=6（舍去）， ∴M（−1，0）； （3）解：存在P点，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（2）知D（-1，4）， 设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得， ∴y=x+3， ∴E（-1，2）， 设P（t，-t2-2t+3），Q（t，t+3）， 当DE为平行四边形的对角线时， ， ∴t=-1， ∴P（-1，4）（舍）； ②当DP为平行四边形的对角线时， 4-t2-2t+3=2+t+3， 解得t=， ∴P（，）或（，）； ③当DQ为平行四边形的对角线时， 4+t+3=2-t2-2t+3， 解得t=-1（舍）或t=-2， ∴P（-2，3）； 综上所述：P点坐标为（，）或（，）或（，3）． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． 13．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）AB=；（3）四边形ABCN是矩形，证明见解析 【分析】（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式； （2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长； （3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，判定四边形ABCN是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明，即可解答． 【详解】解：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）． 将（5，c）（1，0）代入函数解析式， 得， 解得． 故抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2； （2）联立抛物线与直线，得， 解得，， 即B（2，1），C（5，﹣2）． 由勾股定理，得AB==； （3）四边形ABCN是矩形， 证明：如图： ∵M是AC的中点， ∴AM=CM． ∵点B绕点M旋转180°得到点N， ∴BM=MN， ∴四边形ABCN是平行四边形， ∵A（1，0），B（2，1），C（5，﹣2）． ∴， ， ， ∴ ∴， ∴是矩形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，并联立函数解析式解方程组得出交点坐标，利用了勾股定理求两点之间距离并判定直角三角形．其中利用函数值相等得出点（5，c）是函数图像的点是解题关键， 14．(1)点A（1，0），点B（4，0），点C（0，4） (2)平行四边形，理由见解析 (3)存在；F（0，1）或（0，﹣1）或（0，） 【分析】（1）令x＝0和y＝0，解方程可求解； （2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解； （3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5，4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于y＝x2﹣5x+4，令y＝0，则0＝x2﹣5x+4， ∴x1＝4，x2＝1， ∴点A（1，0），点B（4，0）， 令x＝0，则y＝4， ∴点C（0，4）； （2）解：四边形OCPQ为平行四边形，理由如下： ∵点B的坐标为（4，0），点C（0，4）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4， 设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4）， 则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∵﹣1＜0， 故PQ有最大值， 当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO， ∴PQ＝CO，PQOC， ∴四边形OCPQ为平行四边形； （3）解：∵D是OC的中点，点C（0，4）， ∴点D（0，2）， 由（2）知：当x＝2时，PQ的最大值为4， 当x＝2时，y＝x2﹣5x+4＝﹣2， ∴Q（2，﹣2）， 由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2， 过点Q作QH⊥x轴于点H， 则QHCO，故∠AQH＝∠ODQ， 而∠DQE＝2∠ODQ. ∴∠HQA＝∠HQE， 则直线AQ和直线QE关于直线QH对称， ∴设直线QE的表达式为y＝2x+r， 将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6， ∴直线QE的表达式为y＝2x﹣6， 联立y＝x2﹣5x+4得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点E的坐标为（5，4）， 设点F的坐标为（0，m）， ∴BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17， BF2＝m2+42＝m2+16， EF2＝（m﹣4）2+52， 当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1； 当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解； 当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝ ； 故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）. 【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 15．(1) (2)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标是得，，将点坐标代入即可求出的值，从而得出抛物线的解析式； （2）分是平行四边形边以及是平行四边形对角线两种情况讨论，结合平行四边形性质以及坐标特点即可求出点坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标是， ，，， 抛物线与轴交于点、点， ， 解得：， 抛物线的函数表达式：； （2）解：存在， 抛物线的顶点坐标是， 抛物线的对称轴， 点的横坐标为， 分情况讨论： ①当是平行四边形边时，由于， 设，则， 解得：或， 当时，， 当时，， 故或； ②当是平行四边形对角线时， ，， 的中点坐标为， 设，则， 解得：， 当时，， ∴， 综上，点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质等知识，解决本题的关键是分是平行四边形边以及是平行四边形对角线两类情况讨论． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$