专题12.1 定义、命题、证明【九大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版2024）

专题12.1 定义、命题、证明【九大题型】 【苏科版2024】 【题型1 定义、命题、定理的判断】 1 【题型2 命题的改写】 3 【题型3 真假命题】 4 【题型4 互逆命题】 7 【题型5 举反例】 8 【题型6 反证法】 10 【题型7 代数证明】 13 【题型8 几何证明】 17 【题型9 逻辑推理】 22 知识点：定义、命题、证明、定理 对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义； 可以判断真假的陈述句叫作命题； 命题所作的判断都是正确的，像这样的命题叫作真命题(真命题)；命题所作的判断是错误的，像这样的命题叫作假命题； 两个命题互换了条件与结论的位置，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题； 用“因为………，所以……“的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明； 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理，定理可以作为证明后续命题的依据； 通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法. 【题型1 定义、命题、定理的判断】 【例1】（24-25七年级·郾城区期中）下列不属于定义的是（    ） A．两边相等的三角形是等腰三角形 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程 【变式1-1】（24-25七年级·辽宁阜新·期末）下列语句中，属于命题的是(   ) A．相等的角是对顶角 B．两直线相交有几个交点？ C．画线段 D．作 【变式1-2】（24-25七年级·安徽芜湖·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【变式1-3】（24-25七年级·河南开封·期中）下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【题型2 命题的改写】 【例2】（24-25七年级·山东潍坊·期末）把命题“同角的余角相等”用“如果…那么…”的形式写出来，下列写法正确的是（　　） A．如果几个角是同一个角的余角，那么这几个角都相等 B．如果一个角是这个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么同角的余角都相等 D．如果两个角的和为90゜，那么这两个角可能相等 【变式2-1】（24-25七年级·黑龙江绥化·阶段练习）把命题“同号两数的积是正数”改写成“如果…那么…”的形式是 ． 【变式2-2】（24-25七年级·湖南湘西·期末）命题“如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”的题设是 ，结论是 ，它是 命题． 【变式2-3】（24-25七年级·湖北·期中）把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是 ． 【题型3 真假命题】 【例3】（24-25七年级·陕西安康·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．互补的角是邻补角 B．若实数a，b满足，则 C．若实数a，b满足，则， D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【变式3-1】（24-25七年级·山西晋城·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．三角形的内角和等于 C．四边形的外角和等于 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【变式3-2】（24-25七年级·河北邢台·期中）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）． 【变式3-3】（24-25七年级·安徽安庆·期末）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可以组成 个真命题． 【题型4 互逆命题】 【例4】（24-25七年级·广西·期中）“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【变式4-1】（24-25七年级·河北唐山·期中）我们把原命题是真命题，但它的逆命题是假命题的命题称为“半真命题”．例如：命题“如果，那么．”就是一个“半真命题”．关于①、②两个命题，下列判断正确的是（      ） ①两个全等三角形的周长相等；②两直线平行，内错角相等 A．只有①是“半真命题” B．只有②是“半真命题” C．①②都是“半真命题” D．①②都不是“半真命题” 【变式4-2】（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）命题“如果，那么”的逆命题为 ． 【变式4-3】（24-25七年级·浙江杭州·期中）下列命题：①同位角相等；②三条边相等的三角形是等边三角形；③若，则；其中逆命题是真命题的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【题型5 举反例】 【例5】（24-25七年级·河北邢台·期中）和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级·浙江杭州·阶段练习）“若，则”是一个假命题，可以用举反例的方法说明它是假命题： ． 【变式5-2】（24-25七年级·河南驻马店·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）能说明命题：“若两个角，互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是 ． 【题型6 反证法】 【例6】（24-25七年级·江苏南京·自主招生）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 【变式6-1】（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【变式6-2】（24-25七年级·天津·期中）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【变式6-3】（24-25七年级·江苏·专题练习）用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【题型7 代数证明】 【例7】（24-25七年级·山东青岛·期末）问题提出： 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． a．每次只能移动1个金属片； b．较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 把个金属片从1号针移到3号针，最少移动多少次？ 问题探究：为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论． 探究一：当时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号表示，共移动了1次． 探究二：当时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是： a．把第1个金属片从1号针移到2号针； b．把第2个金属片从1号针移到3号针； c．把第1个金属片从2号针移到3号针． 用符号表示为：，，．共移动了3次． 探究三：当时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为的情形，移动的顺序是： a．把上面两个金属片从1号针移到2号针； b．把第3个金属片从1号针移到3号针； c．把上面两个金属片从2号针移到3号针． 其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为： ，，，，，，．共移动了7次． （1）探究四：请仿照前面步骤进行解答：当时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：___________________________________________________． （2）探究五：根据上面的规律你可以发现当时，需要移动________次． （3）探究六：把个金属片从1号针移到3号针，最少移动________次． （4）探究七：如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，当时如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，那么与的关系是__________． 【变式7-1】（24-25七年级·天津·期中）观察相邻两个奇数的和： （1）相邻两个奇数的和与4之间有什么关系？提出你的猜想． （2）通过证明，验证你的猜想是否正确． 【变式7-2】（2024·陕西咸阳·二模）对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差数”．例如∶对于三位数，则是“极差数”；对于三位数，则是“极差数”．求证：任意一个“极差数”一定能被11整除． 【变式7-3】（24-25七年级·重庆渝中·期末）任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数m，记． 例如：当n＝1234时，则m＝3412，则f（1234）＝＝﹣22． （1）直接写出f（2120）＝　 　，f（7298）＝　 　． （2）求证：对任意一个四位数n，f（n）均为整数． （3）若s＝2900+10a+b，t＝1000b+100a+31（1≤a≤5，1≤b≤5，a、b均为整数），当f（s）+f（t）是一个完全平方数时，求所有满足条件的s的值． 【题型8 几何证明】 【例8】（24-25七年级·河南南阳·期末）（1）已知四边形如图（1）所示．求证； （2）如图（2）所示的模板，按规定，，的延长线相交成的角，因交点不在板上，不便测量，质检员测得，．如果你是质检员，如何知道模板是否合格？为什么？ 【变式8-1】（24-25七年级·江苏南京·期中）证明命题：三角形的外角和等于360°．（要求画出图形，写出已知、求证、证明） 【变式8-2】（24-25七年级·山东日照·阶段练习）如图，中，点E在边上，，，垂足分别是D，F，． (1)求证： (2)若，，求的度数． 【变式8-3】（24-25七年级·浙江衢州·期中）【概念学习】 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． 【概念理解】 （1）判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． （2）若，求证：为“智慧三角形”． 【概念应用】 （3）当为“智慧三角形”时，求出的度数． 【题型9 逻辑推理】 【例9】（24-25七年级·浙江杭州·阶段练习）小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 【变式9-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）六名运动员比赛中国象棋每两人赛一局第一天与各赛了局与各赛了局赛了局而且和和之间都还没赛过那么已赛了多少局（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】（24-25七年级·湖南长沙·期中）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点A爬行到点B，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有 种不同的爬行路径．    【变式9-3】（2024·北京门头沟·二模）电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 （填方块上的字母）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.1 定义、命题、证明【九大题型】 【苏科版2024】 【题型1 定义、命题、定理的判断】 1 【题型2 命题的改写】 3 【题型3 真假命题】 4 【题型4 互逆命题】 7 【题型5 举反例】 8 【题型6 反证法】 10 【题型7 代数证明】 13 【题型8 几何证明】 17 【题型9 逻辑推理】 22 知识点：定义、命题、证明、定理 对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义； 可以判断真假的陈述句叫作命题； 命题所作的判断都是正确的，像这样的命题叫作真命题(真命题)；命题所作的判断是错误的，像这样的命题叫作假命题； 两个命题互换了条件与结论的位置，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题； 用“因为………，所以……“的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明； 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理，定理可以作为证明后续命题的依据； 通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法. 【题型1 定义、命题、定理的判断】 【例1】（24-25七年级·郾城区期中）下列不属于定义的是（    ） A．两边相等的三角形是等腰三角形 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】C 【分析】根据定义的含义进行判断即可. 【详解】由定义的含义可知A，B，D都是定义，只有C不属于定义， 故选C. 【点睛】本题考查了定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义. 【变式1-1】（24-25七年级·辽宁阜新·期末）下列语句中，属于命题的是(   ) A．相等的角是对顶角 B．两直线相交有几个交点？ C．画线段 D．作 【答案】A 【分析】根据命题的定义：判断一件事情的陈述句叫做命题，进行判断即可． 【详解】解：A、是陈述句，且做出判断，符合题意； B、是疑问句，不符合题意； C、是陈述句，但未做出真假判断，不符合题意； D、是陈述句，但未做出真假判断，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的定义；掌握命题的两个因素陈述句、做出判断是解题的关键． 【变式1-2】（24-25七年级·安徽芜湖·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基本事实，故原说法错误，不符合题意； B、定理都是真命题，正确，符合题意； C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意； D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级·河南开封·期中）下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】根据定理是正确的命题判断． 【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理； 两直线平行，同旁内角互补，B是定理； n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理； 相等的角不一定是对顶角，D不是定理． 故选D． 【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【题型2 命题的改写】 【例2】（24-25七年级·山东潍坊·期末）把命题“同角的余角相等”用“如果…那么…”的形式写出来，下列写法正确的是（　　） A．如果几个角是同一个角的余角，那么这几个角都相等 B．如果一个角是这个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么同角的余角都相等 D．如果两个角的和为90゜，那么这两个角可能相等 【答案】A 【分析】根据命题有题设与结论两部分组成即可把同角的余角相等”用“如果…那么…”的形式，然后进行判断． 【详解】命题“同角的余角相等”用“如果…那么…”的形式写出为：如果几个角是同一个角的余角，那么这几个角都相等． 故选A． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 【变式2-1】（24-25七年级·黑龙江绥化·阶段练习）把命题“同号两数的积是正数”改写成“如果…那么…”的形式是 ． 【答案】如果两数同号，那么这两个数的积是正数 【分析】本题考查命题的改写，根据命题的改写方法，进行改写即可，熟练掌握命题的改写方法是解题的关键． 【详解】根据命题的改写可知：如果两数同号，那么这两个数的积是正数， 故答案为：如果两数同号，那么这两个数的积是正数． 【变式2-2】（24-25七年级·湖南湘西·期末）命题“如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”的题设是 ，结论是 ，它是 命题． 【答案】 ∠1＝∠2，∠2＝∠3； ∠1＝∠3； 真 【分析】根据命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项即可作答． 【详解】解：“如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”的题设是：∠1＝∠2，∠2＝∠3．结论是∠1＝∠3，是真命题． 故答案为：∠1＝∠2，∠2＝∠3；∠1＝∠3；真． 【点睛】本题主要考查了命题的定义，命题分为题设和结论两部分，对于以“如果…，那么…”形式叙述的命题，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论． 【变式2-3】（24-25七年级·湖北·期中）把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个角是锐角，那么这个角的余角是锐角 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个角是锐角，放在“如果”的后面，结论是这个角的余角是锐角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：条件为：一个角是锐角，结论为：这个角的余角是锐角， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角的，那么这个角的余角是锐角． 故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角的余角是锐角． 【题型3 真假命题】 【例3】（24-25七年级·陕西安康·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．互补的角是邻补角 B．若实数a，b满足，则 C．若实数a，b满足，则， D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查命题，解题的关键是熟练掌握基本概念，根据邻补角的定义，实数的性质及平行公理逐项判断即可． 【详解】解：A．互补的角不一定是邻补角，则原命题是假命题，不符合题意； B．实数a，b满足，则，则原命题是假命题，不符合题意； C．若实数a，b满足，则，则原命题是假命题，不符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（24-25七年级·山西晋城·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．三角形的内角和等于 C．四边形的外角和等于 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．根据平行线的判定定理以及三角形的内角和以及四边形的外角和，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 内错角相等，两直线平行，是真命题，不合题意； B. 三角形的内角和等于，是真命题，不合题意； C. 四边形的外角和等于，原命题是假命题，符合题意； D. 平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不合题意． 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级·河北邢台·期中）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，平行线的性质．利用平行线的传递性进行判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”是真命题． 故答案为：真． 【变式3-3】（24-25七年级·安徽安庆·期末）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可以组成 个真命题． 【答案】3 【分析】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可． 【详解】解：命题①，如果，那么， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴该命题是真命题； 命题②，如果那么， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 命题③，如果，，那么， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴该命题为真命题； 综上分析可知：可以组成3个真命题． 故答案为：3． 【题型4 互逆命题】 【例4】（24-25七年级·广西·期中）“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查命题真假的判断，写逆命题；先写出命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：命题“如果，，那么”的逆命题是：如果，那么，； 当，那么，或，； 故逆命题错误； 故答案为：假． 【变式4-1】（24-25七年级·河北唐山·期中）我们把原命题是真命题，但它的逆命题是假命题的命题称为“半真命题”．例如：命题“如果，那么．”就是一个“半真命题”．关于①、②两个命题，下列判断正确的是（      ） ①两个全等三角形的周长相等；②两直线平行，内错角相等 A．只有①是“半真命题” B．只有②是“半真命题” C．①②都是“半真命题” D．①②都不是“半真命题” 【答案】A 【分析】本题考查了命题及逆命题，真假命题，根据真命题写成它的逆命题，再判断它们的真假即可求解，正确写成命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：①两个全等三角形的周长相等，是真命题，它的逆命题是周长相等的两个三角形全等，是假命题，所以①是“半真命题”； ②两直线平行，内错角相等，是真命题，它的逆命题是内错角相等，两直线平行，是是真命题，所以②不是“半真命题”； ∴只有①是“半真命题”， 故选：． 【变式4-2】（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）命题“如果，那么”的逆命题为 ． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查根据原命题写逆命题，熟练掌握逆命题与原命题的关系是解题的关键．将原命题的结论改为条件，条件改为结论即可得出逆命题． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题为：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 【变式4-3】（24-25七年级·浙江杭州·期中）下列命题：①同位角相等；②三条边相等的三角形是等边三角形；③若，则；其中逆命题是真命题的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题和逆命题，同位角定义，等边三角形的性质，乘方运算，先根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，再根据同位角定义、等边三角形的性质、实数的乘方判断即可． 【详解】解：①同位角相等，逆命题是相等的角是同位角，是假命题； ②三条边相等的三角形是等边三角形，逆命题是等边三角形三条边相等，是真命题； ③若，则，逆命题是若，则，是真命题； 综上分析可知：逆命题是真命题的有②③． 故选：C． 【题型5 举反例】 【例5】（24-25七年级·河北邢台·期中）和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，掌握举反例时，需要满足命题的条件，但不满足命题的结论是解题的关键． 举出反例说明，满足命题的条件，不满足命题的结论即可得出答案． 【详解】A.两直线不平行，同位角不相等，可以作为反例说明“同位角相等”是假命题，符合题意； B.和不是同位角，不符合题意； C.和不是同位角，不符合题意； D.两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选A． 【变式5-1】（24-25七年级·浙江杭州·阶段练习）“若，则”是一个假命题，可以用举反例的方法说明它是假命题： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、假命题的概念解答即可． 【详解】解：当时，，， 当时，可以说明“若，则”是一个假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-2】（24-25七年级·河南驻马店·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算，再判断即可，本题考查了举反例，正确理解题意是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，且，符合题意； D. ，不满足，不符合题意， 故选C． 【变式5-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）能说明命题：“若两个角，互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是 ． 【答案】， 【分析】举出一个反例即可． 【详解】解：若两个角，互补，则这两个角不一定一个是锐角一个是钝角， 如，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了说明命题是假命题的方法，证明一个命题是假命题举出一个反例是解决此类题的关键． 【题型6 反证法】 【例6】（24-25七年级·江苏南京·自主招生）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 【答案】(1)和，进行一次上述操作后，都有一数是4的倍数； (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了反证法和有理数的四则运算： （1）根据定义进行判断即可； （2）奇数经过一次操作后一定会变为偶数，因此只需要证明偶数经过操作后有一数是4的倍数即可；若偶数为4的倍数，则问题得证，若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），当（k为整数），则，经过操作后可变为，问题得证；当（k为整数），则经过操作后可得，对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，则可推出要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，据此问题得证． 【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； ∵，且112是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； （2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数， ∴经过有限步后奇数一定会变为偶数， 若偶数为4的倍数，则问题得证， 若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数）， 当（k为整数），则， ，， ∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意； 当（k为整数），则， ，，， ，， 对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数， 设（p为整数），则， ，，， 同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数， 如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数， ∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的， ∴假设不成立， ∴原结论正确． 【变式6-1】（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【答案】，，不成立，必相交 【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可． 【详解】证明假设与不相交，则． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交不成立． 与必相交． 【变式6-2】（24-25七年级·天津·期中）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 【变式6-3】（24-25七年级·江苏·专题练习）用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【分析】利用反证法证明的第一步假设和互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确． 【详解】证明：连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即和不可能互相平分． 【点睛】此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设和互相平分进而得出矛盾是解题关键． 【题型7 代数证明】 【例7】（24-25七年级·山东青岛·期末）问题提出： 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． a．每次只能移动1个金属片； b．较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 把个金属片从1号针移到3号针，最少移动多少次？ 问题探究：为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论． 探究一：当时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号表示，共移动了1次． 探究二：当时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是： a．把第1个金属片从1号针移到2号针； b．把第2个金属片从1号针移到3号针； c．把第1个金属片从2号针移到3号针． 用符号表示为：，，．共移动了3次． 探究三：当时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为的情形，移动的顺序是： a．把上面两个金属片从1号针移到2号针； b．把第3个金属片从1号针移到3号针； c．把上面两个金属片从2号针移到3号针． 其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为： ，，，，，，．共移动了7次． （1）探究四：请仿照前面步骤进行解答：当时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：___________________________________________________． （2）探究五：根据上面的规律你可以发现当时，需要移动________次． （3）探究六：把个金属片从1号针移到3号针，最少移动________次． （4）探究七：如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，当时如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，那么与的关系是__________． 【答案】（1）当时，移动顺序为：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）． （2），（3），（4） 【分析】根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【详解】解：（1）当时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是： （1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）． 故答案为：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）． （2）解：设 是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，f（1）=1； n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即 n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小盘从3柱→2柱，大盘从1柱→3柱，小盘从2柱→1柱，中盘从2柱→3柱，小盘从1柱→3柱，完成． [用种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用 种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，    故答案为： （3）由（2）知： 故答案为： （4） 故答案为： 【点睛】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数，利用盘子少一个时的移动次数移动到2柱，把最大的盘子移动到3柱，然后再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成移动过程是解题的关键，本题对阅读并理解题目信息的能力要求比较高． 【变式7-1】（24-25七年级·天津·期中）观察相邻两个奇数的和： （1）相邻两个奇数的和与4之间有什么关系？提出你的猜想． （2）通过证明，验证你的猜想是否正确． 【答案】（1）相邻两个奇数的和是4的倍数；（2）见解析 【分析】（1）根据图中第二行的数字排列可知； （2）将相邻两个奇数分别设出，再进行计算可得. 【详解】解：（1）由图可知相邻两个奇数的和分别为4、8、12、16…，猜想：相邻两个奇数的和是4的倍数． （2）设n为正整数，则相邻两个奇数可以分别表示为和， 它们的和为． 因为n为正整数，所以4n是4的倍数， 所以猜想“相邻两个奇数的和是4的倍数”是正确的． 【点睛】本题考查了规律-数字型，关键是观察图中数字排列，并能够列代数式进行计算，从而证明猜想正确. 【变式7-2】（2024·陕西咸阳·二模）对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差数”．例如∶对于三位数，则是“极差数”；对于三位数，则是“极差数”．求证：任意一个“极差数”一定能被11整除． 【答案】证明见解析． 【分析】设出任意一个“极差数”的形式，根据定义即可求证． 【详解】证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”一定能被11整除 【点睛】本题考查数字类型的材料问题．旨在考查学生的信息处理能力． 【变式7-3】（24-25七年级·重庆渝中·期末）任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数m，记． 例如：当n＝1234时，则m＝3412，则f（1234）＝＝﹣22． （1）直接写出f（2120）＝　 　，f（7298）＝　 　． （2）求证：对任意一个四位数n，f（n）均为整数． （3）若s＝2900+10a+b，t＝1000b+100a+31（1≤a≤5，1≤b≤5，a、b均为整数），当f（s）+f（t）是一个完全平方数时，求所有满足条件的s的值． 【答案】（1）1；-26；（2）证明见解析；（3）所有满足条件的s的值为：2913、2914、2924、2925、2935． 【分析】（1）根据题目所给定义式求解即可； （2）设n=1000a+100b+10c+d，则m=1000c+100d+10a+b，然后根据定义式计算f（n）的值，即可得到解答； （3）根据f（n）的定义式及s、t的值可以得到f（s）、f（t）及f（s）+f（t）的表达式，把使f（s）+f（t）是一个完全平方数的a与b都求出来，即可把所有满足条件的s的值求出来． 【详解】解：（1）由题意可得： f（2120）＝， f（7298）＝， 故答案为1；-26； （2）设n=1000a+100b+10c+d，则m=1000c+100d+10a+b，其中a、c为1-9的数字，b、d为0-9的数字， 由题意可得： f（n）= = =10a+b-10c-d， ∴对任意一个四位数n，f（n）均为整数； （3）∵s＝2900+10a+b， ∴f（s）=, ∵t＝1000b+100a+31， ∴f（t）=， ∴f（s）+f（t）=9（b-a）-2， ∵1≤a≤5，1≤b≤5，a、b均为整数， ∴-4≤b-a≤4，a、b均为整数， 依次把-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4代入9（b-a）-2可得： 当b-a=2或3时，9（b-a）-2为完全平方数， ∴有或或或或，对应的s分别为： 2913、2924、2935、2914、2925， 即所有满足条件的s的值为：2913、2914、2924、2925、2935． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，熟练掌握此类题型的解答方法及数位的有关知识是解题本题的关键． 【题型8 几何证明】 【例8】（24-25七年级·河南南阳·期末）（1）已知四边形如图（1）所示．求证； （2）如图（2）所示的模板，按规定，，的延长线相交成的角，因交点不在板上，不便测量，质检员测得，．如果你是质检员，如何知道模板是否合格？为什么？ 【答案】（1）见解析；（2）不合格，理由见解析 【分析】本题考查了多边形内角和定理和垂直的定义，关键是根据图形求出要求的角的度数． （1）连接，根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长， 交于点G．根据四边形内角和等于，结合垂直的定义，计算可求的度数，然后根据题意进行判断． 【详解】（1）如图所示，连接 ∵，，， ∴； （2）不合格． 理由如下：延长， 交于点G． ∵， ∴． ∵，，四边形的内角和为 ∴ ∴该模板不合格． 【变式8-1】（24-25七年级·江苏南京·期中）证明命题：三角形的外角和等于360°．（要求画出图形，写出已知、求证、证明） 【答案】见解析 【分析】根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明即可． 【详解】已知：为三个外角， 求证：． 证明：∵，， ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及邻补角，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键． 【变式8-2】（24-25七年级·山东日照·阶段练习）如图，中，点E在边上，，，垂足分别是D，F，． (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，，得出，再结合内错角相等，两直线平行得，即可作答． （2）先根据三角形内角和性质算出，再结合两直线平行，同位角相等，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式8-3】（24-25七年级·浙江衢州·期中）【概念学习】 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． 【概念理解】 （1）判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． （2）若，求证：为“智慧三角形”． 【概念应用】 （3）当为“智慧三角形”时，求出的度数． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）证明见解析； （3）或或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余求出，再证明即可； （2）求出的度数，得到即可求证； （3）由可得，再分，，，，，，六种情况解答即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“智慧三角形”； （2）∵，， ∴， ∴， ∴为“智慧三角形”； （3）∵， ∴， 当为“智慧三角形”时，分以下几种情况讨论： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∵， ∴此种情况不存在； ③当时， 则， ∴， ∴； ④当时， ∴， ∴， ∴； ⑤当时， ∴， ∴； ⑥当时， 则， ∴， ∴此种情况不存在； 综上，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或． 【题型9 逻辑推理】 【例9】（24-25七年级·浙江杭州·阶段练习）小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意对小陈说的两句话来假设真假，再对后面两人说的话逐一分析，得出矛盾的即假设不成立，不矛盾的则符合条件． 【详解】解：1、假设小陈说“我没做这件事”是真话，则“小张也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小张；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈，与小陈的假设矛盾； 2、假设小陈说“我没做这件事”是假话，则“小张也没做这件事”是真话，从这里可以得出做好事的就是小陈；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈；符合；假设小张说“我没做这件事”是真话，则“也不知道谁做了这件事”是假话，符合； ∴做好事的是小陈， 故选B． 【点睛】逻辑推理问题，用到的数学知识不多，主要依靠对已知条件的分析，寻找适当的突破口，常用枚举、归谬等方法． 【变式9-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）六名运动员比赛中国象棋每两人赛一局第一天与各赛了局与各赛了局赛了局而且和和之间都还没赛过那么已赛了多少局（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】共有6个人，、各参加了局比赛，、各参加了局比赛，参加了局比赛，且与没有比赛过，与也没有比赛过，依此类推即可确定． 【详解】解：由于、各参加了局比赛，、各参加了局比赛，参加了局比赛，且与没有比赛过，与也没有比赛过， 所以与赛过的是、、、四人； 与赛过的是、、、四人； 又因为只赛了两局，与各赛了局， 所以与赛过的是、、； 而与赛过的是、、； 所以共赛了局． 故选：D． 【点睛】考查了推理与论证，根据每人最多赛四盘及每人已赛的盘数间的逻辑关系进行推理是完成本题的关键． 【变式9-2】（24-25七年级·湖南长沙·期中）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点A爬行到点B，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有 种不同的爬行路径．    【答案】64 【分析】如下图，将图形分为五步，分别求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数，再求第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数的乘积，即可求出爬行路径种数． 【详解】解：如下图，将图形分为五步，求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径种数， 第一步：2； 第二步：2； 第三步：4； 第四步：2； 第五步：2； ， ∴则共有64种不同的爬行路径． 故答案为：64．    【点睛】本题考查了学生分析问题的能力，并能利用列表法或书张图思想解答问题，综合性较强． 【变式9-3】（2024·北京门头沟·二模）电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 （填方块上的字母）． 【答案】B、D、F、G 【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷， A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案． 【详解】解：由题图中第三行第一列的“1”可知,第二行第一列是雷。 用假设法推理如下：①假设A是雷，则由B下方的2可知：B不是雷；C不是雷；与C下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则A不可能是雷； ②假设B不是雷，由B下方的“2”可知：C是雷，由C下方的“2”可知：D是雷；与D下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则B是雷； ③假设A不是雷，B是雷，则由B下方的“2”可知，C不是雷；由C下方的“2”可知，D是雷；由D下方的“2”可知：E不是雷；由E下方的“3”可知，F是雷；由F下方的4可知：G是雷，∴B、D、F、G一定是雷． 故答案为：B、D、F、G． 【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷，着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$