二次函数压轴之特殊四边形问题归纳练-2025年中考数学三轮复习备考

二次函数压轴之特殊四边形问题归纳练 2025年中考数学三轮复习备考 1．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 2．二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接．若，直接写出点的坐标． 3．如图1，抛物线交轴于两点，交轴于点，且． (1)求抛物线的解析式： (2)点在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在请说明理由； (3)如图2，将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，直线交抛物线于两点，直线与抛物线都只有一个公共点，直线分别交轴于两点，若的面积为，求的值． 4．已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，交轴于点为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段上，点与点关于对称轴对称，过点作轴交抛物线于点，直线交轴于点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，当最大时，直接写出点的坐标． 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴于点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点P是抛物线在第一象限内图象上的一个动点．连接，求当四边形面积最大时点P的坐标； (3)将抛物线先向右平移5个单位，再向上平移2个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线对称轴上的一点，点H是平面内一点；在（2）条件下所求点P在新抛物线上的对应点是M，点N为x轴上一动点，当最小时，直接写出以点C，N，Q，H为顶点的四边形是矩形时点H的坐标． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点．      (1)求的面积； (2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 9．如图，抛物线与 x 轴相交于 A，B两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ．    (1)直接写出 A，B，C 三点的坐标和抛物线的对称轴． (2)连接，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段上的一个动点，过点 P 作交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ． ①用含 m 的代数式表示线段 的长，并求出当 m 为何值时， 四边形 为平行四边形？ ② △BCF的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值． 10．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少； (3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线：与y轴相交于点C，顶点为D． (1)填空：点C的坐标是______；点D的坐标是______；直线CD的解析式______． (2)点P为直线CD左上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线CD于点Q，当线段PQ取得最大值时，在抛物线的对称轴上找一点G，使的周长最小，求点G的坐标； (3)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B． (1)求此抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 13．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)求的值和点的坐标． (3)是第四象限内抛物线上的动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作于点． ①当是线段的三等分点时，求点的坐标； ②连接，，，在点运动的过程中，是否存在？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点分别在抛物线上，且点在轴的同侧，若以点为顶点的四边形是面积为4的平行四边形，请求出点的坐标． 15．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点，，于点，点在坐标平面内，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数压轴之特殊四边形问题归纳练-2025年中考数学三轮复习备考》参考答案 1．(1) (2)① ② 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，数形结合的运用． （1）由待定系数法可求出答案； （2）①求出，，则，分两种情况由矩形的性质可得出答案； ②先根据①的结论画出L的图形，根据题意结合图形即可得出答案． 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：①抛物线对称轴为直线，与y轴交于点． ∴直线的表达式为， ∴设， ∵过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形， ∴，， ∴， 分以下两种情况讨论： 当（点E在点H左侧，如图1所示），，， 当时，点E在H右侧，如图2所示，，， ∴； ②L关于m的函数图象如图所示， 当时，， 当时，， 由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围． 2．(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分①当点与点重合和点与点重合时，利用平行四边形的判定和性质，求解即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：设， ①当点与点重合时，交轴于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分， ∵，， 设， ∴， 整理得，即， ∴， ∴； ②当点与点重合时，交轴于点， ∵，， 设， 同理，四边形是平行四边形，对角线互相平分， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：∵，设，则， ∴， 如图，作于点，交直线于点，过点和作轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 如图，作于点，交直线于点，过点作轴的平行线，过点和作的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 如图，作于点，交直线于点，过点作轴的平行线，过点和作的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论数学思想的应用，难度较大． 3．(1) (2)存在，或或 (3)2 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式，根与系数的关系是解题的关键． （1）由根与系数的关系可得，再由，分别求出，将点代入，即可函数的解析式： （2）设，根据平行四边形的对角线性质，分三种情况讨论即可求解： （3）先求平移后的抛物线，设，当时，，，设直线的解析式为，当时，根据直线与抛物线只有唯一公共点，可推导出，则直线的解析式为，求出点的坐标为，同理，直线的解析式为，点的坐标为，当时，结合，可得，再由的面积，求出的值为2． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，当时，， ， ， ， ， ， 将点代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当是对角线时，， ， 解得， ； ②当是对角线时，， ， 解得， ； ③当是对角线时，， ∴， 解得：， 综上所述，点的坐标为或或； （3）解： ∴将抛物线向右平移1个单位长度，可以得到抛物线， 设， 当时，， ， 设直线的解析式为， 当时，， ∵直线与抛物线只有唯一公共点， ∴方程的解为， ， ， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为，点的坐标为， 当时， 解得， 代入得， ∵， ， 的面积， 解得或(舍)， ∴的值为2． 4．(1) (2)点P的坐标为或； (3)点Q的横坐标是或4或或． 【分析】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答； （2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答； （3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）解：分两种情况： ①点P在的下方时，如图1， 当时，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴点P的坐标为； ②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 同理，的解析式为：， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 分三种情况： ①如图3，过点P作轴于F，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为； ②如图4，过点P作轴于G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或1， ∴点P的横坐标为1， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为4； ③如图5，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），，， ∵，， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是或4或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 5．(1)抛物线解析式为 (2)四边形是平行四边形求点的坐标为或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则，，则，直线的解析式为，则，根据四边形是平行四边形，得，即，由此即可求解； （3）根据题意，设，如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接，当于抛物线对称轴相切时的最最大，则，设，且，，，点是三角形的内心，则，由此列式得，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点对称轴， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为，令，则， 解得，， ∴， 令，则， ∴， 当时，，即顶点坐标为， ∵点在线段上，点与点关于对称轴对称， ∴设，则，， ∴， 这直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，，， ∵，，， ∴或， ∴当时，，即； 当时，，即； ∴四边形是平行四边形求点的坐标为或； （3）解：点是对称轴上一动点， ∴设， 如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接， ∴， ∴当于抛物线对称轴相切时的最最大，则， 设，且， ∴，， ∵点是三角形的内心， ∴， ∴， 由得，，则， 由得，， 整理①②得，， ∴， 解得，，， ∵（不符合题意，舍去），， ∴，则， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与特殊四边形的计算，两点直线的距离公式，三角形外接圆的基础知识的综合运用，数形结合分析是关键． 6．(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为：或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到答案； （2）作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示，数形结合，利用待定系数法确定直线解析式，联立求解即可得到答案； （3）由题意表示出点，点，再由菱形的性质分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； （3）解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、求函数图象的交点方法、勾股定理、菱形性质、二次函数与特殊平行四边形综合等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 7．(1) (2)点 (3)或 【分析】（1）由题意得设，将点代入可求出抛物线的解析式，据此即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （3）由题意得新抛物线的解析式为：，；作出二、四象限的角平分线，作交轴于点，可求出直线的解析式，进而求出；分类讨论时，时，时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：由题意得设， 将点代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：作轴，如图所示： ∵，为定值， ∴当最大时，四边形面积最大， 设直线的解析式为：， 将代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴当，即点时，最大，此时四边形面积最大， （3）解：由题意得：新抛物线的解析式为：，， 作出二、四象限的角平分线，作交轴于点， 则的解析式为：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 此时，设直线的解析式为：， 将代入可得：，得， ∴直线的解析式为：， 由得：， ∴； 设点，， 时， ， 此方程无解； 时， ， 解得：； ∴； 时， ， 解得：； ∴； 综上所述：点H的坐标的坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，综合性较强，需要学生具备扎实的函数基础以及较强的计算能力． 8．(1)6 (2) (3)存在，或 (4)，，，， 【分析】（1）先求出点A，B，C的坐标，然后根据计算即可； （2）配方得到顶点式，即可得到对称轴，然后利用二次函数的增减性解题即可； （3）过点作轴于点，点作轴于点，证明，利用三角形的全等的性质解题即可； （4）分段画出图形，利用数形结合进行解题即可． 【详解】（1）解：令，则，解得，， ∴点A，B的坐标为，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴； （2）， ∴当时，n随m的增大而减小时； （3）由（2）知当时，随的增大而增大，                              ∴点P在对称轴右侧， 过点作轴于点，点作轴于点，    则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， 当时，即 解得： (舍去)， 当时，即 ，    解得： (舍去)， ∴点的坐标为或； （4）当时，解得， 当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点，    当时， 如图，矩形除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有一个公共点；   ，点E在抛物线与y轴交点处，解得，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    令，则抛物线的顶点在上，这时，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    综上所述，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，出m的取值范围为，，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合，掌握二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键． 9．(1)，，，对称轴 (2)①，②，S的最大值为 【分析】（1）已知了抛物线的解析式，当时可求出A，B两点的坐标，当时，可求出C点的坐标．根据对称轴，可得出对称轴； （2）①的长就是当时，抛物线的值与直线所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出所在直线的解析式，然后将m分别代入直线和抛物线的解析式中，得出两函数的值的差就是的长．根据直线的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出的长，然后让，即可求出此时m的值； ②设直线与x轴交于点M，易得，结合，所以，即，作答即可． 【详解】（1）解：∵与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）， ∴当时，即， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 当时，即， ∴， ∵对称轴直线， ∴对称轴直线； （2）解：如图：连接，    ①设直线的函数关系式为， 把，，分别代入得： 解得 所以直线的函数关系式为：． 当时， ∴． 当时， ∴． 在中，当时，． ∴ 当时，， ∴ ∴线段， 线段， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形． 由， 解得：，（此时点P与点E重合，故不合题意，舍去）． 因此，当时，四边形为平行四边形． ②设直线与x轴交于点M，如图      由，， 可得：． ∵， 即， ∴． 因为点P为线段上的一个动点， 所以， 则， ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，涉及线段和面积，平行四边形等知识内容；根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础． 10．(1)二次函数解析式为 (2)当时，有最大值，且最大值为 (3)存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）根据题意可求出的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点在直线下方；第二种情况：如图所示，点在直线上方；图形结合，即可求解， 第三种情况，为菱形的对角线时． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ，解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 在中，，， ∴， 第一种情况：如图所述，点在直线下方，    四边形是菱形，则，， 且直线的解析式为， ∴设直线所在直线的解析为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，过点作轴于点， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， ∴当时，，即； 当时，，即； 第二种情况：如图所示，点在直线上方，    四边形是菱形，，， 且，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 整理得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，即， ∴设所在直线的解析式为， 把点代入得，， ∴直线的解析式为， 根据题意，设， ∴， 整理得，， ∴，即，， ，不合题意， ∴； 第三种情况，为菱形的对角线时，如图所示： 作的垂直平分线，交于P，交于N， 在直线上截取，连接、得菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 代入，， 得， 解得， ， 与联立， 得， 解得， ， 将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C， 将点也做相同的平移得到点，即， 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键． 11．(1)，， (2) (3)存在，，或或或 【分析】（1）将抛物线化成顶点式得，据此可求出的坐标，当时，可求出的坐标，用待定系数法，即可求解； （2）设，则，，抛物线顶点式的性质得当时，取最大值，此时可求，当取最小值时，的值最小，作关于直线的对称点，连接交直线于，此时最小，，即可求解； （3）由抛物线的平移得：，待定系数法同理可求直线的解析式为，①当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时，设，由勾股定理得，，由菱形的性质得，，，由，可求，， 舍去，可求，由待定系数法可求直线的解析式为，直线的解析式为，则有，直线的解析式为，直线的解析式为，即可求解；②当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时，同理可求；③当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时，同理可求：或（ⅰ）当时，同理可求；（ⅱ）如图，当时，同理可求． 【详解】（1）解： ， 当时，， ，， 设直线的解析式，则有 ， 解得：， 直线的解析式； 故答案：，，； （2）解：如图， 设， 则， ， ， 当时，取最大值， 当时， ，     ， ， ， 当取最小值时，的值最小， 如上图，作关于直线的对称点，连接交直线于， 此时最小， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式； 当时，， ； （3）解：存在； 抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线得， ， ， 解得：， ， ， 待定系数法同理可求直线的解析式为， ①如图，当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时， 设， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 在直线上， 舍去， ， 同理可求直线的解析式为， 可设直线的解析式为，则有， ， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为， 联立得， 解得， ； ②如图，当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时， 设， 同理①可求： ， ， 解得：， ， 同理①可求： 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立得， 解得， ； ③当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时， 同理可求： ， 解得：，， 或 （ⅰ）如图，当时， 同理可求： 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式可得： ； （ⅱ）如图，当时， 同理可求： 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式可得： ； 综上所述：的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，二次函数在线段最值中的应用，线段和最小值问题，待定系数法，勾股定理，菱形的性质等，掌握取得最值的条件，能根据菱形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键． 12．(1)抛物线为：； (2) (3)点的坐标为：）或． 【分析】（1）由题意设抛物线为，再进一步解答即可； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式是，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点，则，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴得对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置，即的周长为最小， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时， ∴，即； 当时， ∴， 即 ∴点的坐标为：）或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 13．(1)，点的坐标为 (2)，点的坐标为 (3)①点的坐标为或；②存在，的长为． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、两个函数求交点，二次函数的性质，正方形的性质等，正确画出辅助线是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）联立解方程组即可； （3）①根据坐标求出线段长，利用三等分即可求解； ②作辅助线见解析，根据正方形的性质，列式求解即可． 【详解】（1）将点，点代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式为， 点的坐标为． （2）将点代入，解得， 联立，解得（舍去），， 点的坐标为． （3）①由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ． 是线段的三等分点， 或． 当时，即，解得，（舍去）， 点的坐标为． 当时，即，解得，（舍去）， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． ②存在，的长为． 如图，过点作轴，过点作轴，令直线与轴的交点为，点关于直线对称的点为， ，， ，， ， 四边形是正方形． ， ． 由正方形的对称性可知， ． 把代入，得， 点在抛物线上， 当点与点重合时，即满足， ． 14．(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式，根据平移的性质得出抛物线的函数表达式； （2）令，得出，，由平移可得，，设点的纵坐标为，当点都在轴的上方时，点只能在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点，当点都在轴的下方时，点在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点，点在点的左侧，不存在面积为4的平行四边形，据此，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得． 抛物线的函数表达式为， 将抛物线向右平移2个单位得到抛物线， 抛物线的函数表达式为．    （2）令，则，解得，， ，，由平移可得，， ， 点在轴的同侧， 为平行四边形的边， ，． 设点的纵坐标为， 以点为顶点的四边形是面积为4的平行四边形， ，， 当点都在轴的上方时，点只能在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点， ，则， 解得，， ，． 当点都在轴的下方时，点在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点， ，则， 解得，， ，． 点在点的左侧，不存在面积为4的平行四边形， 综上，点的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查特殊四边形的存在性问题，平移的性质，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，解一元二次方程，平行四边形的性质等，解题的关键是综合运用上述知识，注意分类讨论． 15．(1) (2)或或； (3)经过定点． 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，对称轴为直线，得，即可解得抛物线解析式为； （2）过作轴于，求出，，可得，故，，都是等腰直角三角形，又，即得，设，分三种情况：①，为对角线，则，的中点重合，，②，为对角线，同理，③，为对角线，同理，解方程组可得答案； （3）设过点的直线为，则，即得直线解析式为，由得，设，，则，，有，设，可得，，即可得，设直线解析式为，把，代入可解得直线解析式为，从而知直线解析式为，故直线必过定点． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，对称轴为直线， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）过作轴于，如图： 在中，令得， ，， ， ， ，轴， ，，都是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，令得， ， 设，又， ①，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； ②，为对角线，同理， 解得， ； ③，为对角线，同理， 解得， ， 综上所述，的坐标为或或； （3）直线必经过某个定点，理由如下： 设过点的直线为，则， ， 直线解析式为， 由得， 设，，则，， ， 设， ，在直线上， ，， ， 整理得， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为， ， 直线解析式为， ， 直线解析式为， 令得， 直线必过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，抛物线与直线的交点问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$