2025年中考数学解答题系列：二次根式的应用

2025年中考数学解答题系列： 二次根式的应用 1．汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准． 2．如图，正方形的面积为50，正方形的面积为242． (1)求正方形和正方形的边长； (2)求阴影部分的面积． 3．现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C．求木板（中剩余部分（阴影部分）的面积． 4．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间（结果保留根号）； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ 5．某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下方案： 沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． (1)求正方形木板的边长； (2)王师傅设计的方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 6．我市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感，在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长； (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 7．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？ (2)从高空抛出的物体，经过落地，所抛物体下落的高度是多少？ 8．山西剪纸是一门古老的传统民间艺术，具有明显的地域特色和极高的艺术价值．为传承这一艺术，某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上．如图，这是小玲同学的长方形的参赛作品． (1)通过计算，判断小玲的作品是否符合参赛标准． (2)若在参赛作品周围贴上金色彩条，使参赛作品更漂亮，求所需彩条的长度．（结果保留根号） 9．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． (1)三角形三边长分别为9，10，11； (2)三角形三边长分别为，，． 10．某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 11．如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成3个棱长为4厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 12．如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 13．某市为做好2024年城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感，对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地，为，为，绿地内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为． (1)求长方形的周长； (2)图中的空白部分另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 14．如图，将一张面积为的正方形纸片沿虚线剪掉四个面积均为的小正方形，并用剩下的部分制作一个无盖的长方体盒子．（结果保留根号） (1)求原正方形纸片的边长． (2)求这个长方体盒子的体积． 15．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学解答题系列：二次根式的应用》参考答案 1．该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准 【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据题意求出刹车距离是解题的关键． 根据题意，代入数据计算即可． 【详解】解∶ 根据题意得， 解得， ， 该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准． 2．(1)正方形的边长为，正方形ECFG的边长为 (2)493 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的应用，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可； （2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形和直角三角形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为50，正方形的面积为242， ∴正方形的边长为，正方形ECFG的边长为． （2）解：阴影部分的面积为： ， 答：阴影部分的面积是493． 3． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据正方形面积公式求出A、B、C三个正方形木板的边长，进而确定大长方形木板的长和宽，再根据阴影部分面积等于大长方形木板的面积减去A、B、C三个正方形木板的面积计算求解即可． 【详解】解：由题意得，大长方形木板的长为，宽为， ∴阴影部分面积为． 4．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据公式，代入计算即可； （2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量高度（），计算能量即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这串钥匙在下落过程中所带能量有． 5．(1) (2)不可行，见解析 【分析】此题考查了平方根的应用， （1）根据正方形的面积公式进行解题即可； （2）设长为，宽为，再列式进行计算即可． 【详解】（1）解：设正方形木板的边长为， ， 解得或（舍去）． 答：正方形木板的边长为． （2）不可行，理由如下： 设长为，宽为， ， 解得或（舍去）， ， 即所裁长方形的长大于正方形的边长． 故不可行． 6．(1)长方形的周长为米 (2)要铺完整个通道，购买地砖需要花费2800元 【分析】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：∵长方形的空闲地块，长为米，宽为米， ∴（米）， ∴长方形的周长为米； （2）解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费2800元． 7．(1)从抛出到落地所需时间是 (2)所抛物体下落的高度是 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的应用是解题的关键； （1）由题意可把代入公式进行求解即可； （2）把代入公式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入公式得：； 答：从抛出到落地所需时间是； （2）解：把代入公式得：， 解得：； 答：所抛物体下落的高度是． 8．(1)作品符合参赛标准，理由见解析 (2)所需彩条的长度为 【分析】本题考查的是二次根式的应用； （1）由题意列式，再把结果与比较即可； （2）根据题意列式，再计算即可； 【详解】（1）解：由题意可知，． ． ∴小玲的作品符合参赛标准． （2）解：由题意可得， ∴所需彩条的长度为． 9．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据海伦公式进行计算即可； （2）根据秦九韶公式进行计算即可． 【详解】（1）解：因为三角形的三边是整数，所以可以选用海伦公式计算面积． ， ． （2）解：因为三角形的三边是无理数，平方后可得整数，所以可选秦九韶公式计算． ，，， ． 10．(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 11．厘米 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，先用大正方体的体积减去3个小正方体的体积得到长方体铁块的体积，再根据长方体体积计算公式求出底面积，进而求出底面正方形的边长即可． 【详解】解：， ∴长方体铁块的底面正方形的面积为， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 12．(1) (2)585千克 【分析】本题考查二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据长方形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由大长方形的面积减去养鸡场的面积得到种植蔬菜的面积，进而乘以每平方米的产量即可求解． 【详解】（1）解：由题意，大长方形空地的周长为 ， 答：大长方形空地的周长为； （2）解：由题意，种植蔬菜的面积为 ， ∴（千克）， ∴张大伯种植蔬菜的总产量为585千克． 13．(1)长方形的周长是 (2)定期维护的总费用为2360元 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质，二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据长方形周长公式，列出算式，进行计算即可； （2）求出空白部分的面积，然后乘以40，求出结果即可． 【详解】（1）解：长方形的周长为： ， 答：长方形的周长是； （2）定期维护的总费用为： （元）． 答：定期维护的总费用为2360元． 14．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了算术平方根的定义，长方体的体积公式以及二次根式的运算． （1）根据算术平方根的定义求出大正方形和小正方形的边长，再根据底边边长的表示列式计算即可得解； （2）根据长方体的体积公式列式计算即可求出长方体盒子的体积． 【详解】（1）解：正方形的边长为，， 剪掉小正方形的边长为， 所以，长方体盒子的底面边长为． （2）长方体盒子的体积为． 15．(1)， (2)圆形团扇所用的包边长度更短 【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案； （2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米； （2）解：∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米， ∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米 ∵，， ∴，                             ∴ 圆形团扇所用的包边长度更短． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$