第15章 概率全章题型总结【5个知识点14大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第15章 概率全章题型总结【5个知识点14大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 随机事件和样本空间】 1．随机现象 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象. 2．随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具 有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 3．样本空间 我们把随机试验E的每一个可能结果称为样本点，用ω表示，所有样本点组成的集合称为样本空间， 用Ω表示.如果一个随机试验E有n个可能结果，则称样本空间Ω={}为 有限样本空间. 4．随机事件 样本空间的子集称为随机事件，简称事件.事件一般用A，B，C等大写英文字母表示.当一个事件仅包含 单一样本点时，称该事件为基本事件. 显然，Ω(全集)是必然事件，(空集)是不可能事件. 5．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 【题型1 样本空间】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式1-3】（23-24高一下·全国·课后作业）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【题型2 随机事件的判断】 【例2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【变式2-1】（24-25高二下·湖北襄阳·阶段练习）对满足的非空集合、，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件；      ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件；      ④“若，则”是必然事件. 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-2】（24-25高一·全国·课后作业）掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子（如图），观察向上的ｰ面的点数，下列属必然事件的是（    ） A．出现的点数是7 B．出现的点数不会是0 C．出现的点数是2 D．出现的点数为奇数 【变式2-3】（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【题型3 事件的关系和运算】 【例3】（24-25高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一·全国·课后作业）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 【变式3-3】（24-25高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【知识点2 古典概型】 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 【题型4 古典概型的判断】 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）下列试验是古典概型的是（　　） A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B．在区间上任取一个实数，使 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．某人射击中靶或不中靶 【变式4-1】（23-24高一下·新疆·期末）下列实验中，是古典概型的有（    ） A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四名同学用抽签法选一人参加会议 D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率 【变式4-2】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）下列试验中是古典概型的是（    ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列关于古典概型的说法正确的是（    ） ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等； ③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则. A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【题型5 古典概型概率的计算】 【例5】（23-24高一下·江苏南京·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·江苏南通·期末）一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【知识点3 频率与概率】 1．概率的基本性质 (1)对任意的随机事件A，都有P（A）≥0. (2)必然事件和不可能事件分别用Ω和∅表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 2．频率与概率 (1)频率的稳定性(用频率估计概率) 一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机 事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定，我们将频率的这个性质称为频率的稳定性. (2)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (3)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. 【题型6 确定性事件与随机事件的概率】 【例6】（2025高一·全国·课后作业）下列说法一定正确的是（    ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．随机事件发生的概率与试验次数无关 【变式6-1】（2025高一·全国·专题练习）通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 【变式6-2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明（    ） A．该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件 B．该厂生产的100件产品中合格的产品一定有99件 C．该厂生产的10件产品中没有不合格产品 D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99% 【变式6-3】（24-25高二上·新疆喀什·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续抛掷100次，则第99次出现正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型7 辨析概率与频率的关系】 【例7】（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 【变式7-1】（23-24高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数； ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ④概率就是频率． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【变式7-3】（23-24高一下·天津河东·期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（    ） 四面体的面 1 2 3 4 频数 44 36 42 78 A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72 C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2 【题型8 利用频率估计概率】 【例8】（2024高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【变式8-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 【变式8-2】（2024高一下·全国·专题练习）有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表： 一发次数n 10 20 50 100 200 500 甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450 一发成功的频率 一发次数n 10 20 50 100 200 500 乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453 一发成功的频率 请根据以上表格中的数据回答下列问题： (1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格； (2)根据（1）中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率． 【变式8-3】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 【知识点4 互斥事件】 1．互斥事件 不能同时发生的两个事件称为互斥事件. 2．互斥事件的概率加法公式 如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A,B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B). 3．对立事件 如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件.事件A的对立事件记为，对立事件概率公式. 【题型9 互斥事件和对立事件的判定】 【例9】（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【变式9-1】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 【变式9-2】（2024高一下·全国·专题练习）在一次随机试验中，是彼此互斥的事件，且是必然事件，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．与是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【变式9-3】（23-24高一下·陕西渭南·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件 C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件 【题型10 互斥、对立事件的概率公式】 【例10】（24-25高一上·山东潍坊·期末）设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在如图所示的并联电路中，元件A正常工作的概率为0.6，元件B正常工作的概率为0.7，且A，B元件工作状态相互独立．则整个电路正常工作的概率为（   ） A．0.42 B．0.88 C．0.7 D．0.6 【变式10-2】（2025高三·全国·专题练习）掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则在一次试验中，事件发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【知识点5 独立事件】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【题型11 独立事件的判断】 【例11】（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【变式11-1】（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式11-2】（24-25高一下·全国·课后作业）设，，为三个随机事件，其中与互斥，与相互独立，则下列命题一定成立的是（    ） A．与相互独立 B．与互斥 C．与互斥 D．与相互独立 【变式11-3】（23-24高一下·吉林延边·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 【题型12 相互独立事件的概率】 【例12】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高一下·江西·阶段练习）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求两人在两轮比赛中都答对的概率； (2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； (3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. 【变式12-3】（24-25高一下·甘肃武威·阶段练习）2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． (1)求恰好有一人购买华为手机的概率； (2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 【题型13 古典概型与其他知识综合】 【例13】（2024高一下·全国·专题练习）2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图 (1)根据频率分布直方图，估计这人的第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【变式13-1】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组. (1)求直方图中a的值和第25百分位数； (2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，求两名幸运市民年龄都在内的概率. 【变式13-2】（23-24高一下·江苏淮安·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数； (2)利用频率直方图的组中值求2000名师生的平均成绩； (3)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率． 【变式13-3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下： (1)求样本数据的70%分位数；（精确到0.01） (2)公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． ①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品； ②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率． 【题型14 概率综合】 【例14】（23-24高一下·江西·阶段练习）春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业. (1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率； (2)若小红应聘成功的概率是，小军应聘成功的概率是，小青应聘成功的概率是，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率. 【变式14-1】（23-24高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【变式14-2】（2024·四川成都·模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权. (1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率； (2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率. 【变式14-3】（23-24高一下·甘肃武威·期末）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 概率全章题型总结【5个知识点14大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 随机事件和样本空间】 1．随机现象 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象. 2．随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具 有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 3．样本空间 我们把随机试验E的每一个可能结果称为样本点，用ω表示，所有样本点组成的集合称为样本空间， 用Ω表示.如果一个随机试验E有n个可能结果，则称样本空间Ω={}为 有限样本空间. 4．随机事件 样本空间的子集称为随机事件，简称事件.事件一般用A，B，C等大写英文字母表示.当一个事件仅包含 单一样本点时，称该事件为基本事件. 显然，Ω(全集)是必然事件，(空集)是不可能事件. 5．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 【题型1 样本空间】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意结合样本空间的概念即可求解． 【解答过程】由题意可知，考查的是个位数字与十位数字的和的情况， 因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9， 所以该试验的样本空间为. 故选：B． 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 【解题思路】根据根的判别式得到，然后找样本点即可. 【解答过程】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为和， 方程有实数解， ， 则 , ，共含19个样本点． 故选：C. 【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【解题思路】根据题意结合列举法运算求解. 【解答过程】从A，B，C，D，E五人中选两人， 不同的选法有：， 所以样本空间中样本点的个数为10． 故选：B. 【变式1-3】（23-24高一下·全国·课后作业）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【解题思路】列出样本空间，进而可得到事件A与事件B，根据事件的运算求解即可. 【解答过程】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间． 其中事件A包含的样本点有：，，，共4个． 事件包含的样本点有：，共2个． 所以事件包含的样本点有：，，，，共5个； 事件包含的样本点有：共1个． 故选：C. 【题型2 随机事件的判断】 【例2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【解题思路】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断. 【解答过程】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二下·湖北襄阳·阶段练习）对满足的非空集合、，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件；      ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件；      ④“若，则”是必然事件. 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解题思路】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【解答过程】①：因为，，所以，因此“若任取，则”是必然事件，故本命题是真命题； ②：当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此“若，则”是随机事件，故本命题是假命题； ③：任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立， 因此“若任取，则”是随机事件,故本命题是真命题； ④：因为，所以一定有，显然“若，则”是必然事件，故本命题是真命题． 因此①③④为真命题. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一·全国·课后作业）掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子（如图），观察向上的ｰ面的点数，下列属必然事件的是（    ） A．出现的点数是7 B．出现的点数不会是0 C．出现的点数是2 D．出现的点数为奇数 【解题思路】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义判断即可. 【解答过程】掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子， 是不可能出现0的， 所以事件出现的点数不会是0为必然事件，B正确； 掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子， 是不可能出现7的， 所以事件出现的点数是7为不可能事件，A错误； 掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子， 可能出现2点，也可能不出现3点， 所以事件出现的点数是2和事件出现的点数为奇数都为随机事件，C，D错误， 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断 【解答过程】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C. 【题型3 事件的关系和运算】 【例3】（24-25高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可. 【解答过程】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据事件关系，即可判断选项. 【解答过程】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一·全国·课后作业）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 【解题思路】由题意，得到事件，所包含的基本事件，由此分析判断即可． 【解答过程】解：由题意可知，，，，， 所以，，2，， 则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确． 故选：C． 【变式3-3】（24-25高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，则，，可判断A,C; 事件B与D是互斥事件,判断B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判断D. 【解答过程】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，， 故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确， 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故，D错误， 故选：D. 【知识点2 古典概型】 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 【题型4 古典概型的判断】 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）下列试验是古典概型的是（　　） A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B．在区间上任取一个实数，使 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．某人射击中靶或不中靶 【解题思路】借助古典概率特征：①有限性；②等可能性逐项分析即可得. 【解答过程】对A：取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不是古典概型，故A错误； 对B：一次试验的结果有无限个，故不是古典概型，故B错误； 对C：满足古典概型特征，是古典概型，故C正确； 对D：两个样本点发生的可能性可能不同，故不是古典概型，故D错误． 故选：C. 【变式4-1】（23-24高一下·新疆·期末）下列实验中，是古典概型的有（    ） A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四名同学用抽签法选一人参加会议 D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率 【解题思路】根据古典概型的性质判断各项所描述的试验是否满足要求即可. 【解答过程】由古典概型性质：基本事件的有限性及它们的发生是等可能的， A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足； B：基本事件坐标系中整数点是无限的，不满足； C：基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足； D：基本事件是区间上所有实数是无限的，不满足； 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）下列试验中是古典概型的是（    ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【解题思路】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断． 【解答过程】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误； 对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确； 对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误； 对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误. 故选：B. 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列关于古典概型的说法正确的是（    ） ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等； ③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则. A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【解题思路】利用古典概型概念及的概率计算公式直接求解． 【解答过程】在①中，由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确； 在②中，由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误； 在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确； 在④中，基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知，故④正确． 故选：D． 【题型5 古典概型概率的计算】 【例5】（23-24高一下·江苏南京·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先计算样本空间，再代入古典概型概率公式，即可求解. 【解答过程】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张， 样本空间包含，共个， 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为，个数， 则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设3个红球为A,B,C,2个黑球为,分别列出试验的样本空间和所求事件含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得. 【解答过程】设3个红球为A,B,C,2个黑球为. 因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”， 故试验的样本空间为：， 记“两次取到的球颜色相同”,则， 由古典概型概率公式，可得. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·江苏南通·期末）一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用古典概型可解． 【解答过程】根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为， 从盘中任选两个，可得 共种情况． 选中的水果品种相同的选法有：，，有种． 所以选中的水果品种相同概率为：． 故选：C. 【变式5-3】（23-24高一下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【解答过程】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 【知识点3 频率与概率】 1．概率的基本性质 (1)对任意的随机事件A，都有P（A）≥0. (2)必然事件和不可能事件分别用Ω和∅表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 2．频率与概率 (1)频率的稳定性(用频率估计概率) 一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机 事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定，我们将频率的这个性质称为频率的稳定性. (2)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (3)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. 【题型6 确定性事件与随机事件的概率】 【例6】（2025高一·全国·课后作业）下列说法一定正确的是（    ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．随机事件发生的概率与试验次数无关 【解题思路】根据随机事件的相关概念一一判定即可. 【解答过程】“百发百中”说明投中的可能性比较大，但有可能出现三投不中的可能，即A错误； “”是事件发生的可能性，掷6次也可能不出现一次2，即B错误； 买彩票中奖的概率为万分之一，也是事件发生的可能性，买一万元的彩票也可能一元不中，即C错误； 随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关，D正确. 故选：D. 【变式6-1】（2025高一·全国·专题练习）通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 【解题思路】根据已知条件，结合孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，即可求解． 【解答过程】孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51， 前面事件发生的概率不会影响后续事件的发生， 故这次生男孩的概率约是0.51． 故选：C． 【变式6-2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明（    ） A．该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件 B．该厂生产的100件产品中合格的产品一定有99件 C．该厂生产的10件产品中没有不合格产品 D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99% 【解题思路】由概率的定义逐一分析即可 【解答过程】对于A：该厂生产的10000件产品中不合格的产品不一定有1件， 可能是多件或者没有，故A错误； 对于B：该厂生产的100件产品中合格的产品不一定有99件，故B错误； 对于C：该厂生产的10件产品中可能有不合格产品，故C错误； 对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确； 故选：D. 【变式6-3】（24-25高二上·新疆喀什·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续抛掷100次，则第99次出现正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据随机事件的概率作答． 【解答过程】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是一个随机事件，每次发生的概率都是，与抛掷的次数无关． 故选：D. 【题型7 辨析概率与频率的关系】 【例7】（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 【解题思路】利用概率的意义直接求解． 【解答过程】某医院治疗一种疾病的治愈率为， 对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确； 对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为， 不一定有一位病人被治愈，故B错误； 对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误； 对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误． 故选：A. 【变式7-1】（23-24高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数； ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ④概率就是频率． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据频数、频率、概率的定义逐项判断即可. 【解答过程】对于①：频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，二者都可以反映频繁程度，故①正确； 对于②：试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故②正确； 对于③：各个试验结果的频率之和一定等于，故③错误； 对于④：概率是大量重复试验后频率的稳定值，故④错误； 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【解题思路】根据概率与频率的关系判断. 【解答过程】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确； 抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误； 甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误. 故选：B. 【变式7-3】（23-24高一下·天津河东·期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（    ） 四面体的面 1 2 3 4 频数 44 36 42 78 A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72 C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2 【解题思路】根据频率和概率的关系分析每个选项. 【解答过程】A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A选项错误； BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为，即， B选项中所估计的概率和频率差别过大， C选项认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为，但频率只有，因此不能认为必然发生，BC选项错误； D选项，标记3的面落地概率估计是，和实验频率非常接近，D选项正确. 故选：D. 【题型8 利用频率估计概率】 【例8】（2024高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【解题思路】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【解答过程】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C. 【变式8-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 【解题思路】根据抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【解答过程】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石， 故选：C. 【变式8-2】（2024高一下·全国·专题练习）有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表： 一发次数n 10 20 50 100 200 500 甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450 一发成功的频率 一发次数n 10 20 50 100 200 500 乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453 一发成功的频率 请根据以上表格中的数据回答下列问题： (1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格； (2)根据（1）中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率． 【解题思路】（1）根据频率、频数和总数之间的关系完善表格； （2）利用频率与概率之间的关系即可得出结论. 【解答过程】（1） 一发次数n 10 20 50 100 200 500 甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450 一发成功的频率 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 0.9 一发次数n 10 20 50 100 200 500 乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453 一发成功的频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906 （2）由（1）知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近， 所以估计两人一发成功的概率均为0.9. 【变式8-3】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 【解题思路】（1）通过计算旧养殖法的箱产量低于50kg的频率来估计其概率； （2）利用平均数进行比较判断即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 ， 所以事件A的概率估计值为； （2）由频率分布直方图可得 旧养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 新养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 因为， 所以新养殖法更加优于旧养殖法. 【知识点4 互斥事件】 1．互斥事件 不能同时发生的两个事件称为互斥事件. 2．互斥事件的概率加法公式 如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A,B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B). 3．对立事件 如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件.事件A的对立事件记为，对立事件概率公式. 【题型9 互斥事件和对立事件的判定】 【例9】（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【解题思路】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【解答过程】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D. 【变式9-1】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 【解题思路】根据互斥事件和对立事件的含义分析即可得解. 【解答过程】从装口袋内一次取出2个球，按照取到白球数量分类有： 两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球都是白球. 所以①②与事件“两球都为白球”互斥而不对立， 当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥. 故选：D. 【变式9-2】（2024高一下·全国·专题练习）在一次随机试验中，是彼此互斥的事件，且是必然事件，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．与是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【解题思路】根据题意，逐项判断即可. 【解答过程】由于彼此互斥，且是必然事件，故其事件的关系如图所示， 由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立， 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立， 所以只有D中的说法正确． 故选：D. 【变式9-3】（23-24高一下·陕西渭南·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件 C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件 【解题思路】根据对立事件以及互斥事件的定义，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则两次取球的情况有， 所以事件甲丙可能同时发生，不是互斥事件，A错误； 对于B，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，是互斥不对立的事件，B错误； 对于C，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则两次取球的情况有等，所以甲丁可能同时发生，不是互斥事件，C错误； 对于D，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，两个事件不会同时发生，是互斥事件，D正确； 故选：D． 【题型10 互斥、对立事件的概率公式】 【例10】（24-25高一上·山东潍坊·期末）设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据互斥事件的概率加法公式求得，再利用对立事件的概率公式求解即可. 【解答过程】因是两个互斥事件，故， 于是，. 故选：C. 【变式10-1】（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在如图所示的并联电路中，元件A正常工作的概率为0.6，元件B正常工作的概率为0.7，且A，B元件工作状态相互独立．则整个电路正常工作的概率为（   ） A．0.42 B．0.88 C．0.7 D．0.6 【解题思路】想要电路正常工作，只需中至少有一个正常工作即可，结合对立事件的概率可求解. 【解答过程】当都不能正常工作时，整个电路就不能正常工作， 所以整个电路不能正常工作的概率为：， 所以整个电路正常工作的概率为：. 故选：B. 【变式10-2】（2025高三·全国·专题练习）掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则在一次试验中，事件发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用互斥事件及对立事件的概率计算公式求解即可. 【解答过程】依题意 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件与互斥， 从而 ． 故选：C. 【变式10-3】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,对下雨的次数进行分类讨论，求出各种情况下，两天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【解答过程】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有次． （1）次均不下雨，概率为； （2）有次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为； （3）有次下雨但不淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨； ②两天上班时下雨，下班时不下雨； ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为； （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为； （5）次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为， 所以至少有一天淋雨的概率为：， 故选：C． 【知识点5 独立事件】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【题型11 独立事件的判断】 【例11】（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【解题思路】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则 ，共18个基本事件，则， 设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是9， 则共4个基本事件，则， 且，则， ，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件两次朝上面的数字之和是10， 则，则， 且，则， 因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：C. 【变式11-1】（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得. 【解答过程】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 【变式11-2】（24-25高一下·全国·课后作业）设，，为三个随机事件，其中与互斥，与相互独立，则下列命题一定成立的是（    ） A．与相互独立 B．与互斥 C．与互斥 D．与相互独立 【解题思路】根据“互斥事件”与“相互独立事件”的定义，结合两事件相互独立的性质选出正确选项. 【解答过程】“互斥事件”是指不可能同时发生的事件， “相互独立事件”是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响， 因为与相互独立，所以与相互独立. 故选：D. 【变式11-3】（23-24高一下·吉林延边·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 【解题思路】根据相互独立事件的定义可得答案. 【解答过程】， ， ，，，， ，，，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 【题型12 相互独立事件的概率】 【例12】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求得均不正常工作的概率，再结合对立事件、独立事件概率计算公式即可求解； 【解答过程】由题可知，元件均不正常工作的概率为， 则元件中至少有一个正常工作的概率为， 从而该系统正常工作的概率为． 故选：B. 【变式12-1】（24-25高一下·江西·阶段练习）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先设出三个事件然后根据题意及独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式列方程求对应三个事件的概率，再根据公式算出甲命中乙也命中的概率. 【解答过程】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”， 由题意解得 故甲命中乙也命中的概率为. 故选D. 【变式12-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求两人在两轮比赛中都答对的概率； (2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； (3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. 【解题思路】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可； （2）两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案； （3）分甲和乙均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可. 【解答过程】（1）依题意，设事件“甲两轮都答对问题”，“乙两轮都答对问题”， 所以. 因为事件相互独立， 所以两人在两轮比赛中都答对的概率为 （2）设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”， “甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”， “两人在两轮比赛中至少答对3道题”， 则， 由事件的独立性与互斥性， 可得 故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为. （3）设事件分别表示甲三轮答对2个，3个题目， 分别表示乙三轮答对2个，3个题目， 则， ， 设事件“两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”， 则，且分别相互独立， 所以 . 所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为. 【变式12-3】（24-25高一下·甘肃武威·阶段练习）2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． (1)求恰好有一人购买华为手机的概率； (2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 【解题思路】（1）利用独立事件乘法概率公式，结合互斥事件概率公式，即可求解； （2）首先分别计算张三和李四购买价位在5000元以上的华为手机的概率，再结合 独立事件和互斥事件概率公式，列式求解. 【解答过程】（1）设张三购买华为手机为事件，李四购买华为手机为事件， 则恰好有一人购买华为手机的概率 （2）设张三购买5000元以上手机为事件，李四购买5000元以上手机为事件， 张三购买5000元以上的华为手机为事件，李四购买5000元以上的华为手机为事件， 则，, 所以至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率 . 【题型13 古典概型与其他知识综合】 【例13】（2024高一下·全国·专题练习）2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图 (1)根据频率分布直方图，估计这人的第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【解题思路】（1）根据百分位数的估算方法，即可求得答案； （2）确定两组抽取人数，列举出从6人中随机抽取2人的样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【解答过程】（1）设第80百分位数为，前三组频率之和为， 前四组频率之和为， 故， 解得： （2）由样本频率估计总体频率，在和两区间内频率分别为0.2，0.1， 区间应抽取（人），设为，，，甲， 区间应抽取（人），设为，乙， 则从6人中随机抽取2人的样本空间为： ，，甲，乙，，，甲，乙，，甲，乙，，甲乙，甲，乙，共15个基本事件， 记“甲、乙两人至少有一人被选上”， 则甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲乙，甲，乙，共9个基本事件，     所以， 故甲、乙两人至少有一人被选上的概率为． 【变式13-1】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组. (1)求直方图中a的值和第25百分位数； (2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，求两名幸运市民年龄都在内的概率. 【解题思路】（1）根据频率和为1可求a的值，判断第25百分位数在第二组，设为x，列方程可求解； （2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为4人，年龄在的人数为2人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可. 【解答过程】（1），、 解得 因为第一组的频率为，， 第二组的频率为，， 所以第25百分位数在第二组，设为，则， 解得， 所以第25百分位数为30. （2）年龄在的市民人数为， 年龄在的市民人数为， 用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人， 年龄在的人数为人， 设年龄在的7人为A，B，C，D，年龄在的2人为E，F， 从这6为市民中抽取两名的样本事件为，共15种， 其中2名年龄都在内的样本事件有6种， 所以两名幸运市民年龄都在内的概率为. 【变式13-2】（23-24高一下·江苏淮安·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数； (2)利用频率直方图的组中值求2000名师生的平均成绩； (3)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率． 【解题思路】（1）根据频率分布直方图性质可得a，根据中位数的定义计算即可； （2）根据平均数定义计算即可； （3）根据古典概型公式计算即可． 【解答过程】（1）根据频率分布直方图性质，可得， 所以， 因为共五组，前四组的频率和且最后一组的频率， 设中位数为x，则 根据中位数的定义，可得， 所以； （2）根据平均数定义，可得， 即2000名师生的平均成绩为80. （3）因为第四组与第五组的频率之比为2:1， 故按照分层抽样第四组抽取人数为4人，记为a，b，c，d；第五组抽取人数为2人，记为e，f， 从6人中选出2人，共有， 共有15种， 其中选出的2人来自同一组有7种， 则选出的2人中来自同一组的概率为． 【变式13-3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下： (1)求样本数据的70%分位数；（精确到0.01） (2)公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． ①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品； ②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率． 【解题思路】（1）利用频率直方图的中位数计算方法即可求解； （2）①利用频率直方图先计算出样本均值，即可做出判断； ②利用古典概型计算方法，先列举出总的基本事件，再选出事件所包含的基本事件，即可求出事件发生的概率. 【解答过程】（1）由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75， 所以可知70%分位数一定位于第三组内， 设70%分位数为x，则，解得 （2）①根据频率直方图计算样本平均数： 因为样本标准差，，所以，又， 则可知该产品属于一等品． ②记三件一等品为，两件二等品为， 摸出两件产品总基本事件共10个，分别为： ，，，，，，，，，， 设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件，则包含的基本事件共9个，分别是： ，，，，，，，，， 所以. 则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为. 【题型14 概率综合】 【例14】（23-24高一下·江西·阶段练习）春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业. (1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率； (2)若小红应聘成功的概率是，小军应聘成功的概率是，小青应聘成功的概率是，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率. 【解题思路】（1）列出所有基本事件，根据古典概型及对立事件求解； （2）根据独立事件的乘法公式、互斥事件的和的概率公式及对立事件求解即可. 【解答过程】（1）从这5人中随机采访3人，有（小红、小东、小军），（小红、小东、小英），（小红、小东、小青），（小红、小军、小英），（小红、小军、小青），（小红、小英、小青），（小东、小军、小英），（小东、小军、小青），（小东、小英、小青），（小军、小英、小青）共10种情况，其中至少有1人是通讯专业的，对立事件是没有通讯专业的，即（小红、小东、小青）， 所以至少有1人是通讯专业的概率为. （2）设“小红应聘成功”，“小军应聘成功”，“小青应聘成功”， 则至少有2人应聘成功的概率 . 【变式14-1】（23-24高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【解题思路】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【解答过程】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 【变式14-2】（2024·四川成都·模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权. (1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率； (2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率. 【解题思路】（1）列举法列出前三个问题回答的甲乙所有得分情况，利用古典概型即可求解； （2）分别求出甲同学连续回答了三次问题且获胜的三种情况的概率，再用概率的加法公式求解即可. 【解答过程】（1）设“甲回答问题且得分”为事件，“甲回答问题但对方得分”为事件，“乙回答问题且得分”为事件，“乙回答问题但对方得分”为事件. 记“前三个问题回答结束后乙获胜”为事件. 前三个问题回答的情况有8种：， 其中事件只包含了1种情况，即， 所以， 即前三个问题回答结束后乙获胜的概率为. （2）记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件. 由（1）可得，. 即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为. 【变式14-3】（23-24高一下·甘肃武威·期末）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 【解题思路】（1）运用列举法，结合古典概型求解概率即可； （2）（i）运用对立事件概率性质求解即可；（ii）求出各自的概率再比较即可． 【解答过程】（1）设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 则，，， 设事件，，，，，，，，， 故，，． （2）（i）记三次抽取至少有一次成功为事件B， 则． （ii）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大． 若按①②③的顺序，， 同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③②①顺序下的概率分别为，，，，， 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$