第15章 章末整合提升 体系构建 素养提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

该高中数学单元复习讲义以“随机事件的概率—古典概型—互斥与独立事件—独立事件概率计算”为逻辑主线，通过实例表格（如天气统计、电影类型数据）和例题解析系统梳理知识脉络，清晰呈现概率概念、计算方法及事件关系等重难点的内在联系。 讲义亮点在于情境化例题设计，如用4月天气统计估计不下雨概率，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。古典概型中通过树形图、列举法训练逻辑推理思维，跟踪训练涵盖基础题与综合题（如射击概率计算），助力不同层次学生掌握方法，为教师实施精准分层教学提供有力支持。

一、随机事件的概率 　　通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.了解概率的意义及频率与概率的区别. 【例1】　随机抽取一个年份，对某市4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 （1）在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率； 解：（1）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，在4月份任取一天，该市不下雨的概率约为P＝＝. （2）该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率. 解：（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等），这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为， 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率约为. 反思感悟 1.频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率. 2.概率是一个确定的常数，是客观存在的，在实验前已经确定，与试验次数无关，可以用频率估计概率. 【跟踪训练】 　电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. （1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； 解：（1）由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50. 故所求概率为＝0.025. （2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； 解：（2）由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝372. 故所求概率估计为1－＝0.814. （3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可以使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大（只需写出结论）？ 解：（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率. 二、古典概型 　　古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P（A）＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m. 【例2】　（1）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（　B　） A.　　 B.　　　 C.　　 D. 解析：（1）画出树形图，如图，由树形图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率P＝＝. （2）（2023·全国甲卷4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（　D　） A.　 B.　　 C.　 D. 解析：（2）记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝，故选D. 反思感悟 　　在古典概型中，计算概率的关键是准确找出样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树形图，把样本点一一列出.而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目. 【跟踪训练】 甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（　　） A.　 B.　　 C.　 D. 解析：B　甲、乙两人分别从6个出口中选择1个出口各有6种不同的选法，故共有6×6＝36个样本点，又他们离开的出口编号之和为8的样本点有（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4），共5个，所以他们离开的出口编号之和为8的概率为. 三、互斥事件、对立事件与相互独立事件 1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况. 2.若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A与，与B，与也相互独立. 【例3】　〔多选〕甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以事件A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以事件B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（　　） A.事件A1，A2互斥 B.事件B与事件A1相互独立 C.P（A1B）＝ D.P（B）＝ 解析：ACD　根据题意画出树形图，得到有关事件的样本点数，所以事件A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确；P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（B）＝＝，P（A1B）＝＝，故C、D正确；因为P（A1B）＝，P（A1）P（B）＝×＝，则P（A1B）≠P（A1）P（B），事件B与事件A1不独立，故B错误. 反思感悟 事件间关系的判断方法 （1）判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系； （2）对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断； （3）判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P（AB）与P（A）P（B）是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立. 【跟踪训练】 1.一个质地均匀的正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，拋掷这个正方体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，则（　　） A.E与F不是互斥事件 B.F与G是对立事件 C.E与F是相互独立事件 D.F与G是相互独立事件 解析：A　因为E∩F＝{1}，所以E与F不是互斥事件，A正确；由F∩G＝⌀，即F与G互斥，但F∪G≠Ω，即F与G不是对立事件，B错误；由P（E）＝，P（F）＝，P（EF）＝≠P（E）·P（F），故E与F不是相互独立事件，C错误；由P（F）＝，P（G）＝，P（FG）＝0≠P（F）·P（G），所以F与G不是相互独立事件，D错误.故选A. 2.若事件A与B相互独立，P（A）＝0.7，P（B）＝0.8，则P（A∪B）＝　0.94　. 解析：因为A与B相互独立，且P（A）＝0.7，P（B）＝0.8，则P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.7×0.8＝0.56，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.7＋0.8－0.56＝0.94. 四、相互独立事件概率的计算 　　相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质（是互斥还是相互独立），再选择相应的公式计算求解. 【例4】　我国的乒乓球运动领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立. （1）求这场选拔赛三局结束的概率； 解：（1）设“第i局甲胜”为事件Ai，“第j局乙胜”为事件Bj（i，j＝1，2，3，4，5）， 记M1＝“三局结束比赛”，则M1＝A1A2A3＋B1B2B3， ∴P（M1）＝P（A1A2A3）＋P（B1B2B3） ＝P（A1）P（A2）P（A3）＋P（B1）P（B2）P（B3） ＝0.6×0.6×0.6＋0.4×0.4×0.4 ＝0.28. （2）若第一局比赛乙队获胜，求这场选拔赛五局结束的概率. 解：（2）记M2＝“五局结束比赛”，则M2＝A2A3B4＋A2B3A4＋B2A3A4， ∴P（M2）＝P（A2A3B4）＋P（A2B3A4）＋P（B2A3A4） ＝0.6×0.6×0.4＋0.6×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.6＝0.432. 反思感悟 求相互独立事件概率的步骤 （1）标记事件； （2）判断事件的独立性； （3）分清所涉及的事件及事件状态（互斥还是对立）； （4）套用公式. 【跟踪训练】 　甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）两人都射中的概率； 解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.事件A与B是相互独立的. （1）两人都射中的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72. （2）两人中恰有一人射中的概率； 解：（2）两人中恰有一人射中的概率为P（A）＋P（B）＝0.8×（1－0.9）＋（1－0.8）×0.9＝0.26. （3）两人中至少有一人射中的概率. 解：（3）∵“两人中至少有一人射中”的对立事件为“两个人都没有射中”， ∴所求的概率等于1－P（）＝1－P（）·P（）＝1－0.2×0.1＝0.98. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $