临考押题卷01（天津专用）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（天津专用）

临考押题卷（天津专用） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果等于（    ） A．1 B． C．7 D． 2．比大，比小的整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 4．据报道，今年“五一”假期天津市接待游客人次同比增长了，较今年春节假期接待游客总数增长约人次．将数据用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 5．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，可以看作是中心对称但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．计算的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 7．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，在反比例函数（a为常数）的图象上，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 10．如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A． B． C． D． 11．如图，中，，，，绕点C顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点D，连接，则的长度是（    ）． A． B． C．4 D． 12．利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，有下列结论： （1）垂直于墙的一边长可以为15； （2）矩形苗圃园的最小面积是，最大面积是； （3）垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为． 其中正确的个数有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．不透明袋子中装有12个球，其中有8个红球、4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ． 14．（2024·天津南开·二模）计算的结果为 ． 15．计算的结果为 ． 16．若一次函数(k是常数，)的图象不经过第三象限，则k的值可以是 (写出一个即可)． 17．如图，在边长为4的正方形的外侧，作直角三角形，，且． （Ⅰ）与的长度和为 ； （Ⅱ）若O为的中点，连接，则的长为 ． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点P，使，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题（本大题共7题，第19-20每题8分，第21-25每题10分，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 20．某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查，随机抽取了a名工人每人每天加工零件的件数（单位：件），绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为__________，图①中的m值为__________； (2)求统计的这组工人加工零件数据的平均数、众数和中位数． 21．已知为的直径，为上一点，． (1)如图①，点是弧上一点，求的大小； (2)如图②，过点作的切线，过点作于点，与交于点，若，求的长． 22．如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为． (1)求斜坡的高度的长； (2)求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）． 23．已知小明的家、书店、快递站依次在同一条直线上，书店距小明的家，小明从家出发用先到达了书店，在书店停留了一会购买学习资料，再匀速前往距家的快递站，到达快递站用取到快递后匀速回家．下面图中x表示时间(单位：)，y表示小明离家的距离(单位：)．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间/ 2 4 8 10 小明离家的距离/ 200 ②填空：小明从书店到快递站的速度为_______； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小明取到快递准备回家时，爸爸从家出发沿同一路线匀速去找他，已知爸爸的速度为，那么小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间是多少？(直接写出结果即可) 24．在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点． (1)填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S． ①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 25．已知抛物线（为常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若有点是轴上一点，连接，点是的中点，连接． 当点的坐标为，且时，求的值； 当的最小值是时，求的值． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临考押题卷（天津专用） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果等于（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法．根据有理数的加法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 2．比大，比小的整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，分别估算出和的取值范围即可． 【详解】解：，， 比大，比小的整数是2． 故选：B． 3．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题主要考查立体几何的三视图，掌握三视图的定义及图示的特点是解题的关键． 【详解】解：主视图是从正面看，可以看到立体的几何包括上下两层，第一层有三个正方形，第二层中间有一个正方形， 即主视图为： 故选：A． 4．据报道，今年“五一”假期天津市接待游客人次同比增长了，较今年春节假期接待游客总数增长约人次．将数据用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：用科学记数法表示应为， 故选：B． 5．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，可以看作是中心对称但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 6．计算的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【知识点】二次根式的加减运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊三角函数及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 把三角函数值代入再按实数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：D． 7．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法 【分析】利用约分，通分，因式分解计算即可． 本题考查了分式的化简计算，利用约分，通分，因式分解计算是解题的关键． 【详解】 ， 故选A． 8．已知点，，在反比例函数（a为常数）的图象上，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了平方的非负性，反比例函数的图像分布与性质，根据可得反比例函数的图象在一、三象限，在各象限，y随x的增大而减小，进而可得答案．准确判定图像的分布，活用反比例函数的性质比较大小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在各象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴， 故选：D． 9．若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】题考查了一元二次方程根与系数的关系，． 由一元二次方程根与系数的关系直接求出的值，再将问题中代数式展开代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故选A． 10．如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，三角形外角的性质， 利用基本作图得到平分，则，利用基本作图可得，所以，可得，所以，，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：由基本作图得到平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 11．如图，中，，，，绕点C顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点D，连接，则的长度是（    ）． A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】由旋转的性质可证、是等边三角形，从而，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：绕点顺时针旋转得，点落在边上， ，，， ，， ，， 是等边三角形， ， ∴，， ∴ 是等边三角形， ，， ， 的中点为， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 12．利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，有下列结论： （1）垂直于墙的一边长可以为15； （2）矩形苗圃园的最小面积是，最大面积是； （3）垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为． 其中正确的个数有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，建立二次函数模型，并熟练掌握二次函数的性质． 设垂直于墙一边的长度为，则平行于墙的一边长度为，根据平行于墙的一边长不小于，得出x的取值范围为，从而判断（1）正确；令苗圃的面积为y，根据矩形的面积长乘以宽列出函数解析式，由函数的性质求出最值可以判断（2）；令，解方程求出x，再根据x的取值范围可以判断（3）． 【详解】解：设垂直于墙一边的长度为，则平行于墙的一边长度为， 由题意知， 解得， ∴垂直于墙的一边长可以为15，故（1）正确，符合题意； 令苗圃的面积为y， 则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，y取得最大值，最大值为， 当时，y取得最小值，最小值为，故（2）错误，不符合题意； 当苗圃的面积为128时，， 解得， ∵， ∴， ∴垂直于墙的一边长为时，满足矩形苗圃园面积为，故（3）错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．不透明袋子中装有12个球，其中有8个红球、4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有12个小球，其中红球有8个， ∴摸出一个球是红球的概率是， 故答案为：． 14．（2024·天津南开·二模）计算的结果为 ． 【答案】/ 【知识点】幂的乘方运算、合并同类项 【分析】本题考查幂的乘方与合并同类项．根据幂的乘方与合并同类项法则进行解题即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．计算的结果为 ． 【答案】６ 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算、二次根式的混合运算，利用平方根公式去括号，再根据二次根式的性质计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：6 ． 16．若一次函数(k是常数，)的图象不经过第三象限，则k的值可以是 (写出一个即可)． 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用一次函数图象与系数的关系即可，掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数(k是常数，)的图象不经过第三象限， ∴， ∴k的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 17．如图，在边长为4的正方形的外侧，作直角三角形，，且． （Ⅰ）与的长度和为 ； （Ⅱ）若O为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（Ⅰ）根据是直角三角形，，，直接解直角三角形即可得到与的长度，即可得到结果； （Ⅱ）过点O，E作的垂线，垂足为，过点E作的垂线，交延长线与点Q，证明四边形是矩形，解直角三角形即可得到的长度，证明，求出的长度，最后利用勾股定理即可得到结果． 【详解】解：（Ⅰ）三角形中，，且，， ， ， 故答案为：； （Ⅱ）过点O，E作的垂线，垂足为，过点E作的垂线，交延长线与点Q， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， O为的中点， ， G为的中点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，正方形的性质，三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点P，使，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 画图见解析，如图，取的内接圆与网格线的交点、、、，连接，交于点，连接并延长交于，连接，点即为所求． 【知识点】格点作图题、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、圆周角定理，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． （1）利用勾股定理解题即可； （2）先根据直角所对的弦是直径确定圆心，利用直径所对圆角为直角，结合圆周角定理作图即可． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：， 故答案为：； （2）如图，取的内接圆与网格线的交点、、、， 连接，交于点， 由图可知，， ∴，为的内接圆的直径， ∴点为圆心， 连接并延长交于，连接，则， 由圆周角定理可知：， ∴， 即点即为所求． 故答案为：如图，取的内接圆与网格线的交点、、、，连接，交于点，连接并延长交于，连接，点即为所求． 三、解答题（本大题共7题，第19-20每题8分，第21-25每题10分，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 首先分别计算出两个不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集，最后根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）解：原不等式组的解集为． 故答案为：． 20．某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查，随机抽取了a名工人每人每天加工零件的件数（单位：件），绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为__________，图①中的m值为__________； (2)求统计的这组工人加工零件数据的平均数、众数和中位数． 【答案】(1)20，25 (2)平均数为124，众数为130，中位数为125 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求一组数据的平均数、求众数 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，计算a；根据所占百分数=频数÷样本容量，计算m即可． （2）利用平均数、众数和中位数的定义计算即可． 本题考查了中位数，众数，平均数，样本估计总体，扇形统计图，熟练掌握统计图的意义，准确计算中位数，平均数是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得 (人)， ∴， 解得， 故答案为：20,25； （2）∵， ∴这组数据的平均数为124（个）． ∵这组数据中，130出现了5次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为130（个）． ∵将这20个数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是120和130， ∴， ∴这组数据的中位数为125（个）． 21．已知为的直径，为上一点，． (1)如图①，点是弧上一点，求的大小； (2)如图②，过点作的切线，过点作于点，与交于点，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】切线的性质定理、等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】（1）连接，由为的直径，，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，于是得到结论； （2）连接，与相交于，由是的切线，得到，求得，根据平行线的判定定理得到，由平行线的性质得到，由为的直径，得到，由垂径定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 为的直径，， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：连接，与相交于， 是的切线， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 22．如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为． (1)求斜坡的高度的长； (2)求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）． 【答案】(1)斜坡的高度EF的长为m； (2)旗面宽AB的长约为m． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用含的直角三角形的性质可得米； （2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，从而得，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）在中，， ，由勾股定理． 斜坡的高度的长为； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，即四边形为矩形， 则， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， （m）， 旗面宽的长约为m． 23．已知小明的家、书店、快递站依次在同一条直线上，书店距小明的家，小明从家出发用先到达了书店，在书店停留了一会购买学习资料，再匀速前往距家的快递站，到达快递站用取到快递后匀速回家．下面图中x表示时间(单位：)，y表示小明离家的距离(单位：)．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间/ 2 4 8 10 小明离家的距离/ 200 ②填空：小明从书店到快递站的速度为_______； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小明取到快递准备回家时，爸爸从家出发沿同一路线匀速去找他，已知爸爸的速度为，那么小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间是多少？(直接写出结果即可) 【答案】(1)①，，；②；③； (2)小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间为． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，掌握速度、时间、 路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）①由“速度路程时间”和“路程速度时间”计算出时小明离家的距离；根据图象，直接写出当和时对应的值即可； ②根据“速度路程时间”计算即可； ③ 利用待定系数法求解即可； （2）小明准备回家时到与爸爸相遇经历了，依题意得：，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：小明从家到书店的速度为： ， 时小明离家的距离为： ， ∴时小明离家的距离为， 由图象可知，当时，， ∴时小明离家的距离为， 当时，， ∴时小明离家的距离为， 故答案为：，，； 小明从书店到快递站的速度为： ， 故答案为：； 当时，， 当时，设y关于时间x的函数解析式为（为常数，且）， 将坐标代入得： ， 解得：， ∴， ∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为： （2）解：小明回家的速度为： ， 设小明准备回家时到与爸爸相遇经历了，依题意得： ， 解得：， ∴小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间为： ． 24．在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点． (1)填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S． ①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平移的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、已知正切值求边长 【分析】（1）由，点E是的中点，可得，由等边的顶点，可求； （2）①如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， 则，由题意知，，，当重合时，是等边三角形，，，则，当矩形与重叠部分为五边形时，，由平移的性质可知，，根据计算求解即可；②如图2，当时，重合部分为等边，，，则，由平移可知，此时重合部分面积最小，；由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，点E是的中点， ∴， ∵等边的顶点， ∴； 故答案为：； （2）①解：如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， ∴， 由题意知，，， 当重合时，是等边三角形，，， ∴， ∴当矩形与重叠部分为五边形时，，即， 由平移的性质可知，， ∴； ∴； ②解：如图2， 当时，重合部分为等边，，， ∴， 由平移可知，此时重合部分面积最小，； 由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大， ∵，， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦等知识．熟练掌握坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦是解题的关键． 25．已知抛物线（为常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若有点是轴上一点，连接，点是的中点，连接． 当点的坐标为，且时，求的值； 当的最小值是时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（）把代入函数解析式，再转化成顶点式即可求解； （）求出，根据点在轴负半轴，可得，进而得，再根据可得，解方程即可求解； 由点为的中点得点的运动轨迹为直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时，即的最小值为，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，中点坐标公式，勾股定理，轴对称的性质，三角形的三边性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， ∴点的坐标为， 在中，当时，，， ∵点在轴负半轴， ∴，即， ∴， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为，点在轴负半轴上， ∴， 在中，由勾股定理，得． ∵，即， ∴， 解得或， 又∵， ∴； 由知点，，点， ∵点是轴上一点，点为的中点， ∴随着点的运动，点的运动轨迹为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时，即的最小值为， 由对称的性质可知，点的坐标为， ∵点在轴负半轴上， ∴， 在中，， 即， 解得或， ∵， ∴． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$