北京市东城区2024-2025学年高三下学期综合练习(二)数学试题

北京市东城区2024—2025学年度第二学期高三综合练习（二） 数学参考答案及评分标准 2025.5 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）A （2）A （3）B （4）C （5）D （6）B （7）B （8）C （9）C （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11） （12） （13）；1 （14） （15）① ③ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分） 解：（Ⅰ）连接与交于点，连接. 因为平面，平面平面， 平面， 所以. 在中，为中点，所以为中点. ………………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则 ，，，. 因此，,. 设平面的法向量， 则即 令，则，，于是. 设平面的法向量， 则即 令，则，，于是. 设平面与平面的夹角为， 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. ………………13分 （17）（共14分） 解：（Ⅰ） . 当时， 即时，取得最小值. 由, 解得. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 由， 解得，所以. ………………8分 若选条件②： 因为在区间上单调，所以. 所以. 由已知得，即. 解得，即. 综上. 所以. 因为，所以. 所以在区间上的取值范围为. ………………14分 若选条件③： 因为的最小正周期，所以. 由， 解得或， 即或. 所以. 所以. 因为，所以. 所以在区间上的取值范围为. ………………14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）2016年至2024年这9年中， 12月平均高温和平均低温都低于前一年的年份是2017年、2018年、2020年和2022年，所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月份平均高温和平均低温都低于前一年的概率为. ………4分 （Ⅱ）在2015年至2024年这10个冬季周期中，，（单位：摄氏度）的值见下表. 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 a 8 10 10 9 9 9 11 10 9 10 b 8 9 9 10 10 9 9 11 9 10 其中满足的是2015，2020，2023和2024. 从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，共有种不同情 形. 若恰有2个冬季周期中，则有种不同情形； 若有3个冬季周期中，有种不同情形， 所以从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中的概率为. ……………10分 （Ⅲ） 答案示例1：可以预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度. 理由如下：北京市近10年1月平均高温有9年低于4摄氏度，故可以预测北京 市2026年1月平均高温低于4摄氏度. 答案示例2：无法预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度. 理由如下：由于北京市1月平均高温受诸多因素影响，故仅依据图2中信息，无 法预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度. ……………13分 （19）（共15分） 解：（Ⅰ）由题意得， 所以． 因为，所以. 所以椭圆的方程为,焦距为． ……………5分 （Ⅱ）由已知得，直线的斜率存在.设直线的方程为． 由 得． 由，得． 设，则，． 直线的斜率为，直线的斜率为． 由已知，即． 由， 解得． 所以直线的方程为,点到直线的距离为． ． 所以的面积. ………………15分 （20）（共15分） 解：（Ⅰ）函数的定义域为. 因为，所以. 由，得，解得. 所以1为的零点. ………………3分 （Ⅱ）当时，. 所以. （i）当时，， 从而，在区间上单调递增； 当时，， 从而，在区间上单调递减. 当变化时，与的变化情况如下表： ↘ 0 ↗ 综上，为的极小值点． ………………7分 （ii）令． 所以． 因为均在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增． 又因为， 所以存在唯一，使得. 从而当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以存在最小值 因为，所以. 因为，， 所以当时，在点A处的切线斜率的取值范围为. 因为，所以在点B处的切线斜率的取值范围为. 因为，所以对于任意，均存在，使得 曲线在点处的切线斜率与在点处的切线 斜率互为相反数. ……………15分 （21）（共15分） 解：（Ⅰ）因为数列，所以中的数列满足，． 因为，所以中所有满足的数列有 ；；；． ……………4分 （Ⅱ）假设存在满足条件的数列， 则满足，有． 所以与同为奇数或同为偶数． 所以是偶数． 所以是偶数． 又是奇数，矛盾． 所以假设不成立，不存在满足条件的数列. ……………9分 （Ⅲ）当数列是的“恒元”时， 因为数列中，是个连续正整数的一个排列， 所以当时，有，且至多一项为1． 不妨记，所以，且． 当时，. 当时，有. 此时，或． 又，所以，，或，． ①当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，. 因为，，所以．所以． 当时，有，，，，所以（舍）． ②当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，, 所以． 当时，有，，，， 所以．所以（舍）． 又由于数列和满足条件． 综上所述，． …………… 15分 数学参考答案 第 4 页（共 8 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市东城区2024—2025学年度第二学期高三综合练习（二） 数 学 2025.5 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） （2）已知，则复数的实部为 （A） （B） （C） （D） （3）已知单位向量，的夹角为，若，则的取值范围为 （A） （B） （C） （D） （4）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 （A） （B） （C） （D） （5）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为 （A） （B） （C） （D） （6）已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是 （A） （B） （C） （D） （7）已知，，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为，则的倾斜角的最大值为 （A） （B） （C） （D） （9）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值. 在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：m/s）和燃料的质量（单位：kg）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为m/s，最大速度对应的马赫数分别为和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是 （A） （B） （C） （D） （10）设无穷数列满足，则 （A）存在，为等差数列 （B）存在，为等比数列 （C）存在，为递减数列 （D）存在，为递增数列 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）在中，，，，则 . （12）已知,则实数_____ . （13）已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线， 垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距 离之和的最小值为，则 . （14）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了 “垣”“堑”等建筑的体积问题. 某工程要完成一个形 如直四棱柱 的“堑”型沟渠的土方 作业（如图），其中，与平面 所成的 角均为，，米，米，米， 则需要挖土 立方米. （15）已知曲线C：. 给出下列四个结论： ① 曲线C为中心对称图形； ② 曲线C与直线有两个交点； ③ 曲线C恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④ 曲线C上任意两点，，当时，. 其中正确结论的序号是 . 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，，，点M在棱上，平面. （Ⅰ）求证：M为的中点； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值. （17）（本小题14分） 已知函数. （Ⅰ）若的最小值为，求的值； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围． 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （18）（本小题13分） 已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示． （Ⅰ）从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率； （Ⅱ）将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率； （Ⅲ）依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度？请说明理由. （19）（本小题15分） 已知椭圆的一个顶点为，且过点． （Ⅰ）求椭圆的方程及焦距； （Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线的斜率分别记为与，当时，求的面积． （20）（本小题15分） 设函数，其中． （Ⅰ）当时，求的零点； （Ⅱ）当时，证明： （i）为的极小值点； （ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. （21）（本小题15分） 已知有穷整数数列，满足．记集合为 ．若数列，则称数列是的“恒元”． （Ⅰ）已知数列，请写出中所有满足的数列； （Ⅱ）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”？若存在， 请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 数学 第 6 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$