2025年九年级数学中考二轮专题复习圆中切线的证明练习

2025年九年级数学中考二轮专题复习圆中切线的证明练习 1．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与AB的延长线交于点E，AD⊥CD，点C是的中点． （1）求证：直线CD与⊙O相切于点C； （2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从B点出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，，结果保留一位小数）． 2．如图，△ABC为等边三角形，O为BC的中点，作⊙O与AC相切于点D． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）延长AC到E，使得CE＝AC，连接BE交⊙O与点F、M，若AB＝4，求FM的长． 3．如图，D是⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD是⊙O的切线，OE∥AD交CD的延长线于点E，连结EB． （1）求证：EB是⊙O的切线． （2）若AC＝2，AD＝，求⊙O的半径． 4．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径． 5．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，连接BD，过A点作AE∥BD交CD的延长线于E． （1）求证：AE为⊙O的切线； （2）若AB∥CD，AB＝8，CD＝6，求⊙O半径的长． 7．如图，AB为⊙O的直径，点D在⊙O外，∠BAD的平分线与⊙O交于点C，连接BC、CD，且∠D＝90°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠DCA＝60°，BC＝3，求BC的长． 8．如图，菱形ABCD，AB＝4，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，过点E作EF⊥AD于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）连接OF，若∠BAD＝60°，求OF的长． 9．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若BG＝OB，AC＝6，求BF的长． 10．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧BE中点，AE⊥CD于点D，延长DC，AB交于点F，已知AD＝4，FC＝FB． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）求线段FC的长． 11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，且∠DOC＝∠DCO，E是弧AC上的一点，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，连接OA （1）求证：AO⊥BC； （2）若3∠CAF＝2∠ABC，求证：CF是⊙O的切线； （3）若⊙O的半径为1，求CD的长． 12．如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AC是⊙O的直径，∠DAC＝2∠BAC，过点B的直线与AC的延长线、DC的延长线分别相交于点E、F，且EF＝CF． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，CE＝3，求CD的长． 13．如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE＝AB，∠BAC＝2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F． （1）求证：EF＝BF； （2）求证：BC是⊙O的切线． （3）若AB＝4，BC＝3，求DE的长， 14．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长． 15．如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC． （1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线； （2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论． 参考答案 1．【解答】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠OAC＝∠DAC， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴OC∥AD， ∵AD⊥CD， ∴CD⊥OC， ∴CD为⊙O的切线， ∴直线CD与⊙O相切于点C； （2）解：∵∠CAD＝30°， ∴∠CAE＝∠CAD＝30°， 由圆周角定理得，∠COE＝60°， ∴OE＝2OC＝6，EC＝OC＝3， 的长为：＝π， ∴蚂蚁爬过的路程＝3+3+π≈11.3． 2．【解答】（1）证明：连接OD，作OG⊥AB于G，如图1所示： 则∠OGB＝90°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠OCD＝∠OBG＝∠ABC＝60°， ∵O为BC的中点， ∴OB＝OC， ∵⊙O与AC相切于点D， ∴AC⊥OD， ∴∠ODC＝90°＝∠OGB， 在△OBG和△OCD中，， ∴△OBG≌△OCD（AAS）， ∴OG＝OD，∴AB与⊙O相切； （2）解：连接OA、OM，作OH⊥FM于H，如图2所示： 则∠OHB＝90°，FH＝MH， ∵CE＝AC，AC＝BC， ∴CE＝BC， ∴∠CBE＝∠CEB＝∠ACB＝30°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°， ∵∠OGB＝90°， ∴四边形OHBG是矩形， ∴OH＝BG， ∵△ABC是等边三角形，O为BC的中点， ∴OB＝BC＝AB＝2， ∵∠BOG＝90°﹣60°＝30°， ∴OH＝BG＝OB＝1，OG＝BG＝， 在Rt△OMH中，OM＝OG＝，OH＝1， ∴MH＝＝， ∴FM＝2MH＝2． 3．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示： ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∴∠ODE＝90°， ∵OE∥AD， ∴∠BOE＝∠OAD，∠ADO＝∠DOE， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠OAD， ∴∠BOE＝∠DOE， 在△OBE和△ODE中，， ∴△OBE≌△ODE（SAS）， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°， ∴EB⊥OB， ∵OB是⊙O的半径， ∴EB是⊙O的切线． （2）解：连接BD，如图2所示： 设⊙O的半径为r， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，cos∠BAD＝＝＝， 在Rt△ODE中，cos∠＝， ∵∠BAD＝∠DOE， ∴＝， ∴OE＝r2， ∵OE∥AD， ∴△CAD∽△COE， ∴＝，即＝， 整理得：3r2﹣r﹣2＝0， 解得：r＝1，或r＝﹣（舍去）， ∴⊙O的半径为1． 4．【解答】解：（1）如图，连接OD，AD， ∵AC是直径， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC， ∵∠CDE＝∠BAC． ∴∠CDE＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵∠ADO+∠ODC＝90°， ∴∠ODC+∠CDE＝90° ∴∠ODE＝90° 又∵OD是⊙O的半径 ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AB＝3BD， ∴AC＝3DC， 设DC＝x，则AC＝3x， ∴AD＝＝2x， ∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED， ∴△CDE∽△DAE， ∴＝，即＝＝ ∴DE＝4，x＝， ∴AC＝3x＝14， ∴⊙O的半径为7． 5．【解答】（1）证明：连接OD、CD， ∵CE是⊙O的直径， ∴∠EDC＝90°， ∵DE∥OA， ∴OA⊥CD， ∴OA垂直平分CD， ∴OD＝OC， ∴OD＝OE， ∴∠OED＝∠ODE， ∵DE∥OA， ∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC， ∵AC是切线， ∴∠ACB＝90°， 在△AOD和△AOC中 ∴△AOD≌△AOC（SAS）， ∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∵OD是半径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：连接OD，CD， ∵BD是⊙O切线， ∴∠ODB＝90°， ∴∠BDE+∠ODE＝90°， ∵CE是⊙O的直径， ∴∠CDE＝90°， ∴∠ODC+∠ODE＝90°， ∴∠BDE＝∠ODC， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠BDE＝∠OCD， ∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BCD， ∴ ∴BD2＝BE•BC， 设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6， ∴42＝x（x+6）， 解得x＝2或x＝﹣8（舍去）， ∴BE＝2， ∴BC＝BE+EC＝8， ∵AD、AC是⊙O的切线， ∴AD＝AC， 设AD＝AC＝y， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2， ∴（4+y）2＝y2+82， 解得y＝6， ∴AC＝6， 故AC的长为6． 6．【解答】（1）证明：如图，连接OA， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AB＝AD，OB＝OD ∴∠BAO＝∠DAO ∴∠OAD+∠ADB＝90° ∵AE∥BD， ∴∠DAE＝∠ADB， ∴∠OAD+∠EAD＝90°， 即AE⊥OA， ∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：如图，延长AO交BD于点F，连接OB， ∵AE∥BD，AB∥CD， ∴四边形ABDE为平行四边形， ∴AB＝AD＝DE＝8， ∴∠BAO＝∠ABO ∵AE为⊙O的切线，∴∠DAE+∠DAF＝90°， ∵∠ADF+∠DAF＝90°， ∴∠DAE＝∠ADF， ∵∠ABD＝∠ADF， ∴∠DAE＝∠ABD＝∠ACD， ∵∠E＝∠E， ∴△ADE∽△CAE， ∴ ∴AE2＝DE•CE， ∴， ∴AE＝4， ∴， ∴， ∴＝6， 由（1）知OA⊥BD， ∴在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2， 设OB＝x，则OF＝6﹣x， ∴， 解得：x＝． 即⊙O的半径为． 7．【解答】解：（1）证明：连接OC， ∵AC是∠BAD的平分线， ∴∠CAD＝∠BAC， 又∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴OC∥AD， ∴∠OCD＝∠D＝90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠ACD＝60°， ∴∠OCA＝30°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCB＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OCB是等边三角形， ∴OB＝OC＝BC＝3，∠COB＝60°， ∴的长：＝π． 8．【解答】（1）证明：连接OE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠CAD＝∠CAB， ∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠CAB， ∴∠CAD＝∠OEA， ∴OE∥AD， ∵EF⊥AD， ∴∠AFE＝90°， ∴∠CAD+∠AEF＝90°， ∴∠OEA+∠AEF＝90°，即∠OEF＝90°， 又∵OE是⊙O半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接BE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90° ∵∠BAD＝60°， ∴∠CAD＝∠CAB＝30°， 在Rt△ABE中，， 在Rt△AEF中，， 在Rt△OEF中，OE═＝2， ∴． 9．【解答】证明（1）如图：连接OE，BE ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠A ∵BC是直径 ∴∠CEB＝90°，且AB＝BC ∴CE＝AE，且CO＝OB ∴OE∥AB ∵GE⊥AB ∴EG⊥OE，且OE是半径 ∴EG是⊙O的切线 （2）解：∵BG＝OB，OE⊥EG， ∴BE＝OG＝OB＝OC， ∴△OBE是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∵AC＝6， ∴CE＝3，BE＝＝， ∴OE＝， ∵OB＝BG，OE∥AB， ∴BF＝OE＝． 10．【解答】（1）证明：连接OC． ∵C是的中点， ∴AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴DA∥OC， ∵AD⊥DC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OCD＝90°， 即OC⊥DC， ∵OC为半径， ∴DC为⊙O的切线； （2）∵FC＝FB， ∴设BF＝x，则CF＝x， ∵CD是⊙O的切线， ∴CF2＝BF•AF， 设OA＝OC＝OB＝r， ∴2x2＝x（x+2r）， ∴x＝2r， ∴BF＝2r， ∵OC∥AD， ∴△OCF∽△ADF， ∴， ∴＝， ∴r＝3， ∴BF＝6， ∴FC＝FB＝6． 11．【解答】（1）证明： 在△AOB和△AOC， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO＝∠CAO， ∴AO⊥BC； （2）证明：∵AO＝BO＝CO，∠BAO＝∠CAO， ∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB， ∵∠DOC＝∠DCO，∠DOC＝2∠OBC， ∴∠ABO＝2∠OBC， ∴∠ABO＝∠ABC， ∵3∠CAF＝2∠ABC， ∴∠CAF＝∠ABC， ∴∠CAF＝∠ABO， ∴∠CAF＝∠OCA， ∴AF∥OC， ∵CF⊥AF， ∴CF⊥OC； （3）解：∵∠AOD＝2∠BAO，∠ADO＝2∠ACO， ∴∠AOD＝∠ADO， ∴AD＝AO＝OC＝1， ∵∠DOC＝∠DCO＝∠CAO， ∴△COD∽△CAO， ∴＝， ∴OC2＝CD•AC， 设CD＝x，则AC＝x+1， ∴x（x+1）＝1， 解得x1＝，x2＝， ∴CD＝． 12．【解答】解：（1）连接OB．则∠BOC＝2∠BAC． ∵∠DAC＝2∠BAC， ∴∠BOC＝∠DAC， ∵EF＝CF， ∴∠FEC＝∠FCE， ∵∠FCE＝∠ACD， ∴∠FEC＝∠ACD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠BOC+∠ACD＝90°， ∴∠OBE＝180°﹣（∠BOE+∠FEC）＝90°， ∴BE⊥OB， ∴BE是⊙O的切线； （2）在Rt△OBE中，， 由（1）知，∠BOE＝∠DAC，∠OBE＝∠ADC， ∴△ADC∽△OBE， ∴， 即， ∴． 13．【解答】（1）证明：∵AE＝AB， ∴△ABE是等腰三角形， ∵AB为⊙O的直径， ∴AF⊥BE， ∴EF＝BF； （2）证明：∵AE＝AB， ∴△ABE是等腰三角形， ∴∠ABE＝（180°﹣∠BAC＝）＝90°﹣∠BAC， ∵∠BAC＝2∠CBE， ∴∠CBE＝∠BAC， ∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝（90°﹣∠BAC）+∠BAC＝90°， 即AB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （3）解：连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∵在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝＝5， ∴＝， 解得：AD＝3.2， ∵AE＝AB＝4， ∴DE＝AE﹣AD＝4﹣3.2＝0.8． 14．【解答】（1）证明：如图，连结OB，则OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA， AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， 而OA⊥l，即∠OAC＝90°， ∴∠ACB+∠CPA＝90°， 即∠ABP+∠OBP＝90°， ∴∠ABO＝90°， OB⊥AB， 故AB是⊙O的切线； （2）解：由（1）知：∠ABO＝90°， 而OA＝5，OB＝OP＝3， 由勾股定理，得：AB＝4， 过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB， ∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°， ∴△ODP∽△CAP， ∴， 又∵AC＝AB＝4，AP＝OA﹣OP＝2， ∴， ∴， ∴． 15．【解答】（1）证明：连接OC， ∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径， ∴AB⊥AD， ∵CD∥AB，BC∥OD， ∴四边形BODC是平行四边形， ∴OB＝CD， ∵OA＝OB， ∴CD＝OA， ∴四边形ADCO是平行四边形， ∴OC∥AD， ∵CD∥BA， ∴CD⊥AD， ∵OC∥AD， ∴OC⊥CD， ∴CD是半圆的切线； （2）解：∠AED+∠ACD＝90°， 理由：如图2，连接BE， ∵AB为半圆的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EBA+∠BAE＝90°， ∵∠DAE+∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAE， ∵∠ACE＝∠ABE， ∴∠ACE＝∠DAE， ∵∠ADE＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°． 学科网（北京）股份有限公司 $$