专题强化09：统计大题精讲与精练【四大题型 培优】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

专题强化09：统计大题精讲与精练 【题型归纳】 · 题型01：随机抽样 · 题型02：百分位数 · 题型03：中位数、众数、平均数、方差的计数 · 题型04：样本估计总体 【题型过关】 题型01：随机抽样 1．（2023·广东珠海·模拟预测）某大学平面设计专业的报考人数连创新高，今年报名已经结束．考生的考号按0001，0002，的顺序从小到大依次排列．某位考生随机地了解了50个考生的考号，具体如下： 0400    0904    0747    0090    0636    0714    0017    0432    0403    0276 0986    0804    0697    0419    0735    0278    0358    0434    0946    0123 0647    0349     0105    0186    0079    0434    0960    0543    0495    0974 0219    0380    0397    0283    0504    0140    0518    0966    0559    0910 0558    0442    0694    0065    0757    0702    0498    0156    0225    0327 (1)据了解，这50名考生中有30名男生，20名女生．在某次模拟测试中，30名男生平均分数是70分，样本方差是10，20名女生平均分数是80分，样本方差是15，请求出此50人该次模拟考试成绩的平均分和方差；（考生个人具体分数不知晓） (2)请根据这50个随机抽取的考号，帮助这位考生估计考生总数N，并说明理由． 2．（22-23高一上·河南安阳·期末）某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生：为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数． (1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01～60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端．求抽出的学生编号的中位数． 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481 2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322 8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943 (2)已知甲班的样本平均数为，方差为，两班总的样本平均数为，方差为． （i）求乙班的样本平均数和方差； （ii）判断两班学生的英语成绩是否有明显差异．（如果，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异） 3．（23-24高一下·贵州安顺·期末）树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 题型02：百分位数 4．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30. (1)求乙离子残留百分比直方图中的值； (2)求甲离子残留百分比的第百分位数； (3)估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表） 5．（23-24高一下·广东佛山·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 6．（23-24高一下·青海西宁·期末）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图. 根据直方图所提供的信息： (1)用分层抽样的方法在和中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率； (2)估计这40名同学周末学习时间的分位数. 题型03：中位数、众数、平均数、方差的计数 7．（24-25高二上·湖北·期中）某校艺术团共有人，男生与女生的比例是.为了解艺术团全体学生的身高，按性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为的样本，并观测样本身高数据（单位：）.已知男生样本的身高平均数为，标准差为.下表是抽取的女生样本的数据： 抽取次序 身高 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，标准差. (1)用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团女生总体身高在范围内的人数； (2)用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数和方差，求的值； (3)若女生样本数据在之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.（其中，样本平均数，标准差.）【参考数据：，，.】 8．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 9．（24-25高一上·辽宁抚顺·期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 题型04：样本估计总体 10．（24-25高二上·四川成都·期中）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数，中位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 11．（24-25高二上·湖北·阶段练习）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. （附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 12．（23-24高一下·安徽黄山·期末）为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识大宣传活动.举办了“网络防骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值，根据频率分布直方图计算样本成绩的平均数和下四分位数； (2)已知若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为. 证明：； (3)已知落在的平均成绩是59，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组样本成绩的总平均数和总方差. 【专题强化】 1．（24-25高一上·陕西·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 2．（24-25高一上·辽宁大连·期末）某公司生产A、B两种型号电动汽车电机，为了了解电机的某项指标，从这两种电机中各抽取100台进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)估计B型电机该项指标的平均值（同一组数据用该组区间中点值为代表）； (2)从A型电机指标在内采用分层抽样方式抽取2件，B型电机指标在内采用分层抽样方式抽取4件，再从这6件中任意抽取2件，求指标在和内各抽取1件的概率； (3)根据检测结果确定该项指标的一个临界值m，且，某汽车厂准备用A、B两种型号电机生产C牌和D牌汽车各1万辆，有以下两种方案可供选择： 方案一：将A型电机用于生产C牌汽车，其中该指标小于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失7000元；将B型电机用于生产D牌汽车，其中该指标大于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失3000元； 方案二：重新检测所用的电机，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需1010万元.请从汽车厂节约成本的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由. 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为3元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为4元；季度用水量超过的部分，收费标准为6元． (1)求某户居民用水费用（单位：元）关于季度用水量（单位：）的函数关系式； (2)为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了2024年第三季度本市1000户居民每户的季度用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这1000户居民中，季度用水费用超过200元的有400户，求直方图中的值以及季度用水量的第75百分位数． 4．（24-25高一上·江西南昌·期末）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的，分位数； (2)若从这个用户中抽取一个容量为的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他个用户的评分分别为，且这个数据的平均数，记这个数据的方差为，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的个数据，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 附：；参考数据：，，. 5．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数，中位数； (2)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为.则总体样本方差. 6．（24-25高二上·四川成都·期中）为了检验同学们高二以来的学习效果，某市在期末的时候将组织调研考试．在某次调研考试中学校为了解同学们的调考情况，从所有同学中随机抽取某学科的100份答卷作为样本，将样本成绩按从低到高依次分为第组（如下图所示，成绩满分为100分且成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图求样本成绩的上四分位数；（上四分位数即75百分位数） (2)已知第2组的平均成绩是54，方差是4，第3组的平均成绩为66，方差是4， ①分别求第2组和第3组的人数； ②求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式或数据： 方差：. 7．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (1)求出m的值； (2)求样本质量指标值的平均数和第75百分位数； (3)若样本质量指标值在区间内的平均数和方差为67和51，在区间[70，80]内的平均数和方差为77和21，据此估计在[60，80]内的平均数和方差. 8．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 9．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号.作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要创造者.六盘水市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛（满分100分），从所有答卷的成绩中抽取了容量为100的样本，将样本（成绩均为不低于50分的整数）分成五段：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值和估计样本的下四分位数； (2)按照分层抽样的方法，从样本中抽取20份成绩，应从中抽取多少份； (3)已知落在的平均成绩是53，方差是4；落在的平均成绩为65，方差是7，求成绩落在的平均数和方差. （注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记这两层总的样本平均数为，样本方差为，则） 10．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第75百分位数； (2)现从以上各段中采用样本量比例分配的分层随机抽样再抽取20份答卷作为“典型答卷”进一步统计研究，若落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是82和8，落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是96和1，据此估计这100份答卷中落在的所有答卷的成绩的方差. 11．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在50~100分内，满分100分），并将评分按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司． (1)求这200户居民本次问卷评分的中位数及众数； (2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ 12．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 13．（23-24高一下·河南商丘·期末）2023年12月，“尔滨”持续爆火，冰雪主题热度狂飙，随之而来的是大家对冬季户外运动装备的高需求，从雪鞋､雪板等滑雪装备，到手套､帽子等保暖用品，各家体育用品店在这个冬天迎来“滑雪十”新热潮．某体育用品制造企业为了提升产品质量，对现有的一条生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的体育用品中随机抽取了件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）． 质量指标值 产品 (1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； (2)设表示不小于的最小整数，表示不大于的最大整数，,，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值落在内的频率超过，可认为生产线技术改造成功．请根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：，） 14．（23-24高一下·福建福州·期末）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人． 年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）： (1)根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； (2)已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．（请先推导必要的公式，再代值计算） 15．（23-24高一下·福建福州·期末）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 16．（23-24高一下·山东淄博·期末）从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量（单位：度）都在内，进行适当分组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)请结合频率分布直方图，估计本小区月用电量落在内的用户月用电量的平均数； (3)抽取的100户居民月用电量落在内的用户月用电量的方差为1600，所有这100户的月用电量的平均数为188度，方差为5200，且小区月用电量落在内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，估计本小区月用电量在内的用户月用电量的标准差． 17．（23-24高一下·四川遂宁·期末）2024年中国全名健身走（跑）大赛（四川射洪站）城市联动接力赛在射洪市举行，志愿者的服务工作是城市联动接力赛成功举办的重要保障，射洪市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同. (1)求，的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 18．（23-24高一下·福建南平·期末）某校高一年级有男生200人，女生100人．为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39．下表是抽取的女生样本的数据： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第i个女生的身高为，样本平均数，方差． 参考数据：，，． (1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数； (2)如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差； (3)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化09：统计大题精讲与精练 【题型归纳】 · 题型01：随机抽样 · 题型02：百分位数 · 题型03：中位数、众数、平均数、方差的计数 · 题型04：样本估计总体 【题型过关】 题型01：随机抽样 1．（2023·广东珠海·模拟预测）某大学平面设计专业的报考人数连创新高，今年报名已经结束．考生的考号按0001，0002，的顺序从小到大依次排列．某位考生随机地了解了50个考生的考号，具体如下： 0400    0904    0747    0090    0636    0714    0017    0432    0403    0276 0986    0804    0697    0419    0735    0278    0358    0434    0946    0123 0647    0349     0105    0186    0079    0434    0960    0543    0495    0974 0219    0380    0397    0283    0504    0140    0518    0966    0559    0910 0558    0442    0694    0065    0757    0702    0498    0156    0225    0327 (1)据了解，这50名考生中有30名男生，20名女生．在某次模拟测试中，30名男生平均分数是70分，样本方差是10，20名女生平均分数是80分，样本方差是15，请求出此50人该次模拟考试成绩的平均分和方差；（考生个人具体分数不知晓） (2)请根据这50个随机抽取的考号，帮助这位考生估计考生总数N，并说明理由． 【答案】(1)平均分是74，方差是36 (2)答案见解析 【分析】（1）根据公式计算即可； （2）根据条件叙述清楚理由即可. 【详解】（1）记30名男生得分记为，20名女生得分记， 男生得分平均分   女生得分平均分， 所以总平均分， ， 所以此50人该次模拟考试成绩的平均分是74，方差是36． （2）答案一：986，理由是用给出数据的最大值986（与0986对应）估计考生总数；     答案二：1003，理由是用数据的最大值与最小值的和（）估计考生总数；     答案三：987，这50个数的算术平均值是，它应该与接近． 因此，估计今年报考这所大学美术系平面设计专业的考生总数为（人）；                 答案四：1006，理由：把这50个数据从小到大排列，这50个数把区间分成51个小区间． 由于N未知，除了最右边的区间外，其他区间都是已知的．可以利用这些区间长度来估计N． 由于这50个数是随机取的，一般情况下可以认为最右边区间的长度近似等于长的， 并且可以用前50个区间的平均长度近似代替这个区间的长度． 因为这50个区间长度的和，恰好是这50个数中的最大值986，因此得到. 2．（22-23高一上·河南安阳·期末）某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生：为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数． (1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01～60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端．求抽出的学生编号的中位数． 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481 2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322 8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943 (2)已知甲班的样本平均数为，方差为，两班总的样本平均数为，方差为． （i）求乙班的样本平均数和方差； （ii）判断两班学生的英语成绩是否有明显差异．（如果，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异） 【答案】(1)31.5； (2)（i）81；56；（ii）有明显差异. 【分析】（1）利用分层抽样求出甲班抽取的学生数，再读取编号并求出中位数. （2）（i）利用分层随机抽样的平均数和方差的公式计算即得；（ii）计算并比较得解. 【详解】（1）根据分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为， 在随机数表中依次读取的编号为，48，38，29，34，13，28，41，42，24，19， 编号从小到大依次为，13，19，24，28，29，34，38，41，42，48， 所以抽出的学生编号的中位数为． （2）（i）依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由分层随机抽样的平均数和方差的公式， 得，因此， ，即，解得， 所以，. （ii）因为， 因此，所以两班学生的英语成绩有明显差异． 3．（23-24高一下·贵州安顺·期末）树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 【答案】(1)0.01，88.33； (2)10人； (3)“美食”工作需要进一步整改，理由见解析. 【分析】（1）根据频率分布图，求得，然后推得第70百分位数位于区间内，即可根据第百分位数的求法，得出答案. （2）根据分层抽样，即可求得评分在的学生人数. （3）根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案. 【详解】（1）由图可知：，所以； 评分在内的频率为，内的频率为， 则第70百分位数位，， 所以第70百分位数为88.33. （2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为， 则应选取评分在的学生人数为：（人）. （3）由图可知，认可程度平均分为： ， 显然认可系数低于，所以 “美食”工作需要进一步整改. 题型02：百分位数 4．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30. (1)求乙离子残留百分比直方图中的值； (2)求甲离子残留百分比的第百分位数； (3)估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意可求出，利用频率之和为1可求出； （2）根据频率分布直方图中的第百分位数计算方法即可求解； （3）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解. 【详解】（1）由已知得，解得， 所以． （2）根据直方图，易知甲离子残留百分比的第百分位数在区间，设为， 则，解得， 所以甲离子残留百分比的第百分位数为. （3）乙离子残留百分比的平均值的估计值为. 5．（23-24高一下·广东佛山·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)； (2)84； (3)总平均数是62，总方差是37． 【分析】（1）根据频率之和为1列式即可得解. （2）根据频率分布直方图先明确样本成绩的所在的范围，再结合已知数据即可求解. （3）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式即可求解. 【详解】（1）由频率之和为1得， 解得． （2）因为成绩落在内的频率为 落在内的频率为 所以样本成绩的落在范围内， 设为m，则，解得， 故为84. （3）由图可知，成绩在内的市民人数为， 成绩在内的市民人数为， 故． ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37． 6．（23-24高一下·青海西宁·期末）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图. 根据直方图所提供的信息： (1)用分层抽样的方法在和中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率； (2)估计这40名同学周末学习时间的分位数. 【答案】(1)； (2)8.75小时. 【分析】（1）借助分层抽样的性质得出在和中分别抽取的人数后，借助列举法得出所有的基本事件及符合要求的基本事件后即可得解； （2）借助百分位数定义计算即可得. 【详解】（1）由图可知，40名学生中周末的学习时间在的人数为人， 周末的学习时间在的人数为人， 从中用分层抽样抽取6人，则周末的学习时间在的有4人，记为； 周末的学习时间在的有2人，记为； 则再从中选派3人接受检测的基本事件有， ，共有20个， 其中检测的3人来自同一区间的基本事件有，共有4个， 所以检测的3人来自同一区间的概率； （2）学习时间在5小时以下的频率为， 学习时间在10小时以下的频率为， 所以分位数在区间内， 则， 所以这40名同学周末学习时间的分位数为8.75小时. 题型03：中位数、众数、平均数、方差的计数 7．（24-25高二上·湖北·期中）某校艺术团共有人，男生与女生的比例是.为了解艺术团全体学生的身高，按性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为的样本，并观测样本身高数据（单位：）.已知男生样本的身高平均数为，标准差为.下表是抽取的女生样本的数据： 抽取次序 身高 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，标准差. (1)用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团女生总体身高在范围内的人数； (2)用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数和方差，求的值； (3)若女生样本数据在之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.（其中，样本平均数，标准差.）【参考数据：，，.】 【答案】(1) (2)， (3)平均数为，方差为 【分析】（1）根据女生样本中身高在的频率可直接估计总体中对应的人数； （2）根据分层抽样平均数和方差的计算公式直接求解即可； （3）剔除偏离值后，根据平均数的公式可得新的平均数，根据原数据方差可得，进而利用方差公式求得新的方差. 【详解】（1）在女生样本中，身高在的频率， 艺术团女生总体身高在范围内的人数估计为人. （2）由题意知：男生样本的身高平均数为，方差为， 女生样本的身高平均数为，方差， 则总样本的平均数为， 方差为， ，. （3）由题意知：， 由样本数据可知：，为偏离值， 剔除后，女生样本的身高平均数为， 由得：， 则剔除后，女生样本的身高的方差为. 8．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得 （2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由图得， 解之可得； （2）根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. （3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 9．（24-25高一上·辽宁抚顺·期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【答案】(1)，，中位数约为70.5 (2) (3)平均数为80，方差为37.5 【分析】（1）根据频率的性质以及频率之和为1即可求解，即可根据中位数的计算公式求解， （2）根据分层抽样比，结合列举法列举所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解， （3）根据平均数以及方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以， 解得 又，解得 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 因此中位数落在区间内， 设中位数为，则，解得. 故估计这次竞赛成绩的中位数约为70.5. （2）第四组的抽取人数为4，设所抽取的人为， 第五组的抽取人数为2，设所抽取的人为， 则从中随机抽取两名学生有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况， 记事件“抽取的两名学生在同一组”，所以事件A包含的基本事件为，，，，，，共7种情况. 所以 （3）由，得：. 又， 所以：. 剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 所以 即：. 方差： 故剩余8个分数的平均数为80，方差为37.5. 题型04：样本估计总体 10．（24-25高二上·四川成都·期中）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数，中位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1)，第75百分位数为84； (2)众数为75，中位数为75，平均数为74； (3)平均数为62，方差为37. 【分析】（1）根据频率和为1求得，结合百分数定义求第75百分位数； （2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，得，解得， 成绩在内的频率为，在内的频率为， 显然第75百分位数，由，解得， 所以第75百分位数为84. （2）由，得样本成绩的众数为75， 成绩落在[40,70)内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在[70,80)内，由，得样本成绩的中位数为75， 由. 得样本成绩的平均数为74. （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为， 所以， 总方差为. 11．（24-25高二上·湖北·阶段练习）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. （附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1)平均数为，众数为. (2). (3)平均数为，方差为. 【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解. （2）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可； （3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【详解】（1）一至六组的频率分别为， 平均数. 由图可知，众数为. 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分. （2）前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第分位数落在第5组,设为x，则，解得. “防溺水达人”的成绩至少为分. （3）)的频率为，)的频率为， 所以的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得 ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 12．（23-24高一下·安徽黄山·期末）为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识大宣传活动.举办了“网络防骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值，根据频率分布直方图计算样本成绩的平均数和下四分位数； (2)已知若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为. 证明：； (3)已知落在的平均成绩是59，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组样本成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1)；平均数为；下四分位数为； (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据频率和为1，求，再代入平均数公式，求平均数，并代入百分位数公式，即可求解； （2）利用总体方差公式，以及总体方差公式，进行推导，即可证明； （3）代入总体平均数和总体方差公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 解得：； 平均数为， 前2组的频率和为， 前3组的频率和为， 所以下四分位数在第3组，设为， 则，得 所以下四分位数为； （2）， ，， 总体方差， 又， ， ， 因为， ， ， 同理， 故， ； （3）的频率是，频数是，的频率是，频数是 所以总体平均数， 总体方差. 【专题强化】 1．（24-25高一上·陕西·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)0.03；第80百分位数为86． (2)6人 (3)65；36 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1求出，判断出第80百分位数，进而可得答案； （2）先求出抽样比，再利用分层抽样的性质即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）， ． 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第80百分位数， ，解得， 第80百分位数为86． （2）由频率分布直方图知，样本成绩为，，的三组答卷的市民有个样本， 成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应在答卷成绩为的市民中，抽取人． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 总平均数， 总方差为． 2．（24-25高一上·辽宁大连·期末）某公司生产A、B两种型号电动汽车电机，为了了解电机的某项指标，从这两种电机中各抽取100台进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)估计B型电机该项指标的平均值（同一组数据用该组区间中点值为代表）； (2)从A型电机指标在内采用分层抽样方式抽取2件，B型电机指标在内采用分层抽样方式抽取4件，再从这6件中任意抽取2件，求指标在和内各抽取1件的概率； (3)根据检测结果确定该项指标的一个临界值m，且，某汽车厂准备用A、B两种型号电机生产C牌和D牌汽车各1万辆，有以下两种方案可供选择： 方案一：将A型电机用于生产C牌汽车，其中该指标小于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失7000元；将B型电机用于生产D牌汽车，其中该指标大于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失3000元； 方案二：重新检测所用的电机，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需1010万元.请从汽车厂节约成本的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的定义求解； （2）根据分层抽样的定义分别求出来自A型电机指标在和及来自B型电机指标在和的台数，然后利用列举法结合古典概型的概率公式求解； （3）设将A、B两种型号电机应用C牌、D牌汽车时，该汽车厂损失y（万元），然后根据题意表示出，分，，三种情况讨论即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得B型电机该项指标的平均值为： . （2）根据分层抽样得，来自A型电机指标在和的各1台，分别记为x，y，来自B型电机指标在和分别为3台和1台，分别记为，，和p. 从中任意抽取两件，样本空间可记为 共15个样本点， 记事件M：指标在和内各抽取1件， 则共含3个样本点， 所以. （3）设将A、B两种型号电机应用C牌、D牌汽车时，该汽车厂损失y（万元）， ，， 所以当时，，当时，， 当时，. 综上所述，当临界值时，选择方案二； 当临界值时，选择方案一或二都行； 当临界值时，选择方案一. 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为3元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为4元；季度用水量超过的部分，收费标准为6元． (1)求某户居民用水费用（单位：元）关于季度用水量（单位：）的函数关系式； (2)为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了2024年第三季度本市1000户居民每户的季度用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这1000户居民中，季度用水费用超过200元的有400户，求直方图中的值以及季度用水量的第75百分位数． 【答案】(1)； (2)，季度用水量的第75百分位数为． 【分析】（1）根据题设依次写出、、对应解析式，进而写出分段函数形式； （2）根据频率直方图求参数，由百分位数的定义求季度用水量的第75百分位数. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 所以与之间的函数关系式为. （2）由（1）知，当时，，即季度用水量超过的占， 结合频率分布直方图知，解得． 设第分位数为， 因为季度用水量低于的所占比例为，低于的占， 所以第分位数在内，故，解得， 即季度用水量的第分位数为． 4．（24-25高一上·江西南昌·期末）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的，分位数； (2)若从这个用户中抽取一个容量为的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他个用户的评分分别为，且这个数据的平均数，记这个数据的方差为，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的个数据，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 附：；参考数据：，，. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可； （2）先根据平均数的计算公式求出丢失的数据，再计算方差，根据评分范围求解即可； （3）根据平均数和参考中方差的计算公式求解即可. 【详解】（1）由表可知这个用户评分按从小到大排列如下：，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ， 因为，， 所以这个用户评分的，分位数分别为第项数据和第项和第项数据的平均数， 分别为，，据此估计该地区所有用户评分的，分位数分别约为和． （2）设丢失数据为， 则，解得， 所以 ， 由题意知评分在，即内的满意度等级为“级”， 样本中评分在内的有人， 则可估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为. （3）由题意，，，， 因为老系统的10个数据占两个系统所有数据总和的 所以，， 即新老系统所有评分的方差为. 5．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数，中位数； (2)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为.则总体样本方差. 【答案】(1)；第75百分位数为84，中位数为75. (2)总平均数为；总方差为 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；由频率分布直方图求百分位数的计算公式即可求解； （2）根据分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以， 解得. 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m，则， 由，得，所以样本成绩的第75百分位数为84. 成绩落在[40,70)内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在[70,80)内，由，所以样本成绩的中位数为75. （2）由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 6．（24-25高二上·四川成都·期中）为了检验同学们高二以来的学习效果，某市在期末的时候将组织调研考试．在某次调研考试中学校为了解同学们的调考情况，从所有同学中随机抽取某学科的100份答卷作为样本，将样本成绩按从低到高依次分为第组（如下图所示，成绩满分为100分且成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图求样本成绩的上四分位数；（上四分位数即75百分位数） (2)已知第2组的平均成绩是54，方差是4，第3组的平均成绩为66，方差是4， ①分别求第2组和第3组的人数； ②求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式或数据： 方差：. 【答案】(1)84； (2)①10，20；②总平均数是62，总方差是36 【分析】（1）根据频率分布直方图结合百分位数的定义计算即可； （2）①利用频率分布直方图直接计算可得；②利用平均数与方差的计算公式计算即可. 【详解】（1）上四分位数即75百分位数， 成绩落在内的频率为 成绩落在内的频率为， 设第75百分位数为，则其位于区间， 则，解得， 所以上四分位数为84； （2）①由图可知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， ②两组成绩的总平均数为， 设成绩在中10人的分数分别为； 成绩在中20人的分数分别为， 则由题意可得，，， 即， 所以， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是36. 7．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (1)求出m的值； (2)求样本质量指标值的平均数和第75百分位数； (3)若样本质量指标值在区间内的平均数和方差为67和51，在区间[70，80]内的平均数和方差为77和21，据此估计在[60，80]内的平均数和方差. 【答案】(1) (2)，85 (3)74，51 【分析】（1）由各直方图面积之和为可得； （2）用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替平均数；比较频率大小确定第75百分位数所在区间，再利用面积关系求解即可； （3）根据两组样本数的比例，先利用各组样本平均数求两组的总样本平均数，再用各组样本方差与平均数、两组总样本平均数求总样本方差. 【详解】（1）由题意知，解得， （2）样本质量指标值的平均数为， 前3组的频率之和为，前4组的频率之和为， 故第75百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第75百分位数为85. （3）已知在区间内的平均数和方差为67和51， 在区间[70，80]内的平均数和方差为77和21， 则在[60，80]在内的平均数， 在[60，80]在内的方差. 估计在[60，80]内的平均数为，方差为. 8．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】(1)， (2)众数75，中位数70.5，平均数70.2 (3)80；37.5 【分析】（1）由前两组频数关系得频率关系解可得，由各组频率之和为求； （2）由最高小矩形底边矩形中点作为众数的估计值，利用中位数左右的直方图面积相等求解中位数，用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替平均数； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【详解】（1）由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以，解得， 又，解得， 所以，； （2）由题知，估计众数为=75； 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 因此中位数落在区间内， 设中位数为m，则，解得． 由题知各组频率分别为0.16，0.32，0.4，0.08，0.04， 各组区间中点值分别为55，65，75，85，95， 所以平均数的近似值为， 故估计这次竞赛成绩的众数约为，中位数约为，平均数约为； （3）由，得：． 又， 所以：， 剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 所以 即： 方差：. 故剩余8个分数的平均数为，方差为. 9．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号.作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要创造者.六盘水市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛（满分100分），从所有答卷的成绩中抽取了容量为100的样本，将样本（成绩均为不低于50分的整数）分成五段：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值和估计样本的下四分位数； (2)按照分层抽样的方法，从样本中抽取20份成绩，应从中抽取多少份； (3)已知落在的平均成绩是53，方差是4；落在的平均成绩为65，方差是7，求成绩落在的平均数和方差. （注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记这两层总的样本平均数为，样本方差为，则） 【答案】(1)， (2)人 (3)， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程求出的值，再根据百分位数计算规则计算可得； （2）根据分层抽样计算规则计算可得； （3）首先求出各组的人数，再根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】（1）由已知可得由已知可得 ， 样本成绩在分以下的答卷所占的比例为， 样本成绩在分以下的答卷所占的比例为， 因此样本成绩的下四分位数一定位于内，设为，则，解得， 所以因此样本成绩的下四分位数为； （2）按照分层抽样的方法，从样本中抽取份成绩，抽样的比例为， 样本成绩在有人， 则从样本成绩中抽取人； （3）落在的人数为人， 落在的人数为人， 两组成绩的总平均数， 两组成绩的总方差. 10．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第75百分位数； (2)现从以上各段中采用样本量比例分配的分层随机抽样再抽取20份答卷作为“典型答卷”进一步统计研究，若落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是82和8，落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是96和1，据此估计这100份答卷中落在的所有答卷的成绩的方差. 【答案】(1)，84； (2)46. 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解. （2）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1， 得，所以； 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 则第75百分位数，，解得， 所以第75百分位数为84. （2）依题意，抽取20份答卷中，落在内的有（份），落在内的有（份）， 落在的“典型答卷”的平均成绩， 落在的“典型答卷”的方差， 所以估计这100份答卷中落在的所有答卷的成绩的方差为46. 11．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在50~100分内，满分100分），并将评分按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司． (1)求这200户居民本次问卷评分的中位数及众数； (2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ 【答案】(1)中位数为，众数为75． (2)480户． 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式和求众数的公式计算得出结果； （2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数． 【详解】（1）由图知，， 解得． 评分在的频率为； 评分在的频率为， 故中位数在之间． 设这200户居民本次问卷评分的中位数为x， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为，众数为． （2）由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， ∴估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户． 12．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）计算出的值，根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （2）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由图得， 解得， 则， ， ， 设第80百分位数为，则， ，解得， 故这100名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. （2）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为： ， 故第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 13．（23-24高一下·河南商丘·期末）2023年12月，“尔滨”持续爆火，冰雪主题热度狂飙，随之而来的是大家对冬季户外运动装备的高需求，从雪鞋､雪板等滑雪装备，到手套､帽子等保暖用品，各家体育用品店在这个冬天迎来“滑雪十”新热潮．某体育用品制造企业为了提升产品质量，对现有的一条生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的体育用品中随机抽取了件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）． 质量指标值 产品 (1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； (2)设表示不小于的最小整数，表示不大于的最大整数，,，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值落在内的频率超过，可认为生产线技术改造成功．请根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：，） 【答案】(1)， (2)可以判定生产线技术改造是成功的 【分析】（1）根据平均数与方差公式直接计算可得解； （2）直接代入可得，，再根据频率公式可得解. 【详解】（1）由题意可知， ； （2）由（1），则， 则，， 该抽样数据落在内的频率为， 则可以判定生产线技术改造是成功的． 14．（23-24高一下·福建福州·期末）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人． 年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）： (1)根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； (2)已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．（请先推导必要的公式，再代值计算） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可； （2）先根据方差的性质推出公式，再代入题目中的数据计算即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图，平均数为. 而由于， ， 故第百分位数在区间第百分位数内，设其为. 则，得. 所以第百分位数为. （2）先证明一个结论：对，设数据的平均值和方差分别为，数据的平均值和方差分别为，则数据的平均值和方差分别为和. 证明：设数据的平均值和方差分别为，则 . 由于方差. 故，，且 . 所以 . 这就证明了结论. 回到原题，本题中，，，，，. 代入数值即知所求方差为 . 15．（23-24高一下·福建福州·期末）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 【答案】(1)一区有420个，二区有200个 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，再乘以500，可求出500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； （2）根据频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率，二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率，从而可表示出，再根据可求出其范围. 【详解】（1）由频率分面上直方图可知，一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以一区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个， 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个； （2）频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为 ， 二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为 ， 所以 ， 因为，所以， 即. 16．（23-24高一下·山东淄博·期末）从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量（单位：度）都在内，进行适当分组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)请结合频率分布直方图，估计本小区月用电量落在内的用户月用电量的平均数； (3)抽取的100户居民月用电量落在内的用户月用电量的方差为1600，所有这100户的月用电量的平均数为188度，方差为5200，且小区月用电量落在内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，估计本小区月用电量在内的用户月用电量的标准差． 【答案】(1) (2)（度） (3) 【分析】（1）根据频率和为1求出x即可； （2）应用频率分布直方图计算平均数即可； （3）先分别求出平均数及方差再根据方差公式计算方差继而求出标准差. 【详解】（1）由频率分布直方图，可得， 所以． （2）月用电量落在内的用户数分别为： ， 所以估计本小区月用电量落在内的用户月用电量的平均数为： （度） （3）由（2）知月用电量落在的户数为60，用户的月用电量的平均数为140，则月用电量落在内的户数为， 设前60户的月用电量分别为，平均数，方差， 后40户的月用电量分别为，平均数为，方差为， 全部100户的月用电量分别为， 平均数，方差， 所以，所以． ，得， ，得， 所以 ， 所以． 所以月用电量在区间内的用户的月用电量的标准差为． 17．（23-24高一下·四川遂宁·期末）2024年中国全名健身走（跑）大赛（四川射洪站）城市联动接力赛在射洪市举行，志愿者的服务工作是城市联动接力赛成功举办的重要保障，射洪市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同. (1)求，的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 【答案】(1) (2)平均数为，第25百分位数为63 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图分别表示出各组的频率，由第一、二组的频率之和为及总的频率之和为1列方程组解出，的值； （2）分别写出每一组的频率，由平均数计算公式得到平均数，根据频率和得到第25百分位数所在的组，由概率和为0.25解出第25百分位数的值； （3）由第二组、第四组的频率之比得到分层抽样后两组人数所占比例，再结合两组各自的平均数和方差，由公式、分别求出两组所有面试者的方差. 【详解】（1），解得 （2）可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为， 因为， 设第25百分位数为，则，则， 解得，故第25百分位数为63． （3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 18．（23-24高一下·福建南平·期末）某校高一年级有男生200人，女生100人．为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39．下表是抽取的女生样本的数据： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第i个女生的身高为，样本平均数，方差． 参考数据：，，． (1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数； (2)如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差； (3)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值． 【答案】(1)； (2)剩余女生样本身高的平均数与方差分别为，； (3)，. 【分析】（1）先求得抽取的女生身高在[160，165]之内的频率，进而可求解； （2）求得，从而可知为离群值，进而可求得平均数和方差； （3）先推导，代入数据即可求解. 【详解】（1）因为抽取的女生身高在[160，165]之内的频率为， 所以估计该校女生身高在[160，165]之内的人数为； （2）因为，所以， 故，则为离群值. 则剔除离群值剩下数据的平均数为：， 故剩余女生样本身高的平均数为159， 又， 则剔除169，剩余女生样本身高的方差为：； （3）采用分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则男生20个，女生10个， 男生身高样本记为，均值，方差， 女生身高样本为，均值，方差 则总样本均值， 又因为，所以，同理可得， 故总样本方差 ， 所以，估计学生总体身高的平均数，标准差. 【点睛】易错点点睛：解答此类统计类题目，因为牵涉到很多数据的计算，并且数据基本都是小数，因此很容易出现计算错误，需要十分细心. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$