2025年数学中考复习二轮专题突破：实际问题与二次函数

2025年数学中考复习二轮专题突破：实际问题与二次函数 一、二次函数的实际应用-拱桥问题 1．如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． （1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 2．如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． （1）请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； （2）现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 二、二次函数的实际应用-抛球问题 3．如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． （1）求的值． （2）已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 4．二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图象模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，k的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 三、二次函数的实际应用-喷水问题 5．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求水流喷出的最大高度． 6．如图所示，草坪上的喷水装置高，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为处，达到最高点，点距离地面． （1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； （2）这个喷水装置的喷头能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取，结果保留整数）． 7．某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 四、二次函数的实际应用-销售问题 8．某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？ 9．杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价y（元）与销售月份x之间的关系满足，每千克成本z（元）与销售月份x之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是．（其中x是满足的整数） （1）问：2月份每千克蔬菜成本是多少？ （2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益． 10．随着互联网技术的飞速发展和消费者购物习惯的深刻改变，越来越多的商家向线上转型发展，＂直播带货＂已经成为商家的一种促销的重要手段。某商家在直播间销售一种进价为每件 10 元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量 （件）与销售单价 （元）满足 ，设销售这种商品每天的利润为 （元）。 （1）求 与 之间的函数关系式； （2）若商家每天获得 1250 元的利润，并尽快减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）若销售单价不低于 28 元，且每天至少销售 50 件时，求 的最大值． 11．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 12 14 16 18 20 销售量y/盒 56 52 48 44 40 （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 五、二次函数的实际应用-几何问题 12．如图，花圃基地要用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米． （1）若矩形的面积为182平方米，求矩形的边的长． （2）要想使花圃的面积最大，边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？ 13．如图，已知正方形 的边长为 ，点 是对角线 上一点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 至 的位置，连接 、 ． （1）求证： ； （2）当 为何值时， 的面积最大？请说明理由． 14．如图，小明用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．请你帮助小明解决下列问题 （1）求S与x之间的函数关系式； （2）x的取值范围是 ； （3）该矩形菜园的面积为时，的长． 15．湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题. 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的． 素材二 一般采用的是长方体包装盒． （1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率； （2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长． 16．有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题： （1）若为，求此时窗户的透光面积？ （2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明． 17．如图，抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）试求A，B，C的坐标； （2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD． ①求点D的坐标； ②判断四边形ADBC的形状，并说明理由； （3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年数学中考复习二轮专题突破：实际问题与二次函数 一、二次函数的实际应用-拱桥问题 1．如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． （1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 【答案】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：能通过，理由如下： 当时，， 能通过． 【解析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后用待定系数法（利用顶点式）求出抛物线解析式即可； （2）把代入（1）所求抛物线解析式，算出对应的函数值，然后作出判断即可． （1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：当时，， 能通过． 2．如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． （1）请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； （2）现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 【答案】（1）解：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． 由题意，得点，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 满足设计要求的抛物线的函数表达式为 （2）解：点，在同一高度，点，关于对称轴直线对称， ∵，处的照明灯水平距离为， ∴可知点距离对称轴个单位长度， 点的横坐标为， 在中，当时， 点的纵坐标为， 即照明灯的高度为 【解析】（1）根据题意，建立适当的平面直角坐标系，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，故顶点为，把抛物线解析式设为顶点式，再利用待定系数法将代入求得二次项系数，求解即可； （2）由二次函数的对称性求得点A到对称轴的距离，从而求出点A的横坐标，再代入解析式即可求出点A的纵坐标，点A的纵坐标即是所求． 二、二次函数的实际应用-抛球问题 3．如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． （1）求的值． （2）已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 【答案】（1）解：由题意得，， 解得： （2）解：由上得，抛物线解析式为， 当时，， 整理得，， 解得：或， ∵， ∴． 【解析】（1）根据二次函数的对称轴公式计算即可； （2）由（1）得到抛物线的解析式，然后把代入求出m值即可． 4．二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图象模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，k的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴，， 解得：，； （2）解：由①知：，， ∴， ∴最大值， 当时，， 解得：，， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．而火箭第二级的引发点的高度为， ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二级则， 解得：， ∴， ∴这两个位置之间的距离为． 【解析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出火箭运行的最高点，即可得到符合条件的点的横坐标，然后代入一次函数解析式解题即可. 三、二次函数的实际应用-喷水问题 5．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求水流喷出的最大高度． 【答案】解：（1）由题意可得，抛物线经过（0，1.5）和（3，0）， 解得：a=-0.5，c=1.5， 即函数表达式为y=. （2）解： ∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2. 答：水流喷出的最大高度为2米． 【解析】（1）建立平面直角坐标系，根据题意可得抛物线经过（0，1.5）和（3，0），将两点代入抛物线的解析式可列出方程，解方程可求出a和c的值，据此可求出函数表达式， （2）先将抛物线进行配方可得：，据此可找出顶点坐标，进而可求出最大值. 6．如图所示，草坪上的喷水装置高，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为处，达到最高点，点距离地面． （1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； （2）这个喷水装置的喷头能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取，结果保留整数）． 【答案】（1）解：以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，抛物线顶点， 设抛物线对应的函数解析式为， 由抛物线经过点，可得， 解得， ； （2）解：令， 解得，（舍去）， ， 喷灌面积， 答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 【解析】（1）以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知，抛物线顶点，设抛物线对应的函数解析式为，根据待定系数法将点P坐标代入解析式即可求出答案. （2）根据x轴上点的坐标特征可得点B坐标，则OB=9，再根据扇形面积即可求出答案. 7．某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（5，8）， ∴设 y＝a(x－5)2＋8， 把（13，0）代入，得：0＝a(13－5)2＋8， 解得：a＝－， ∴在 y 轴右侧抛物线的函数表达式为：y＝－ (x－5) 2＋8． （2）解：在 中， 当 时， 答： 这个装饰物的设计高度为 . 【解析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）当x=0时，计算函数值即可解题. 四、二次函数的实际应用-销售问题 8．某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为．把代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：由题意得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答∶当这种干果每千克降价10元时，超市获利最大，最大利润是4000元． 【解析】（1）根据题意运用待定系数法即可求出一次函数关系式； （2）设利润为w，根据利润等于每件的利润乘以销售量即可二次函数关系式，再根据二次函数的最值即可求解。 9．杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价y（元）与销售月份x之间的关系满足，每千克成本z（元）与销售月份x之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是．（其中x是满足的整数） （1）问：2月份每千克蔬菜成本是多少？ （2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益． 【答案】（1）解：设每千克成本与销售月份之间的关系式为：，把代入得， 解得， 即 当时，， 月份每千克蔬菜成本是元 （2）解：由(1)可得，每千克蔬菜的收益 当时，有最大值，， 月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元 【解析】（1）通过待定系数法求出二次函数解析式，再利用解析式求得2月份每千克蔬菜成本； （2）利用利润=销售单价-成本得到，根据最值解答即可． 10．随着互联网技术的飞速发展和消费者购物习惯的深刻改变，越来越多的商家向线上转型发展，＂直播带货＂已经成为商家的一种促销的重要手段。某商家在直播间销售一种进价为每件 10 元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量 （件）与销售单价 （元）满足 ，设销售这种商品每天的利润为 （元）。 （1）求 与 之间的函数关系式； （2）若商家每天获得 1250 元的利润，并尽快减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）若销售单价不低于 28 元，且每天至少销售 50 件时，求 的最大值． 【答案】（1）解： （2）解：当 时，即 ，解得 ， 因为要尽快减少库存，而销售量随 的增大而减少，所以 x=15，这时可以减少库存，因此销售单价定为15元。 （3）解：根据条件列式为 ，解得 ， ， 当 时， W 随 的增大而减少。 所以当 时W 最大，即最大值W=-10×（28-25）2+2250=2160。 【解析】（1）题可以先求出每件日用商品每天的利润是（x-10）元，然后乘以销售量，就是这种商品每天的利润，列式计算即可； （2）题根据（1）题的公式，可以将W=1250代入求解出x的两个值，然后根据W与x的函数关系式和函数图形可以发现，销售量随 的增大而减少，因此取销售单价最小的那个x值即可； （3）题可以列出不等式组，然后求出x的取值范围。最后将W与x的函数关系式变形，即可得出当 时W 最大，然后代入计算即可。 11．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 12 14 16 18 20 销售量y/盒 56 52 48 44 40 （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1）解：设． ． 解得：． （2）解：设日销售利润为元． ． 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （3）解： ． 最大利润为392元， ． 整理得：． ． 解得：． 当时，， 每盒糖果的利润（元），故舍去． 【解析】 (1)设y与x的函数表达式为：y=kx+b(k≠0)，把表格中的两组数值代入可得k和b的值，即可求出y与x的函数关系式； (2)设日销售利润为w元，w=每盒糖果的利润×销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少； (3)得到新的日销售利润的关系式，根据二次函数的性质，最大利润为392元，那么，求得相应的m的值后，取合适的解即可. 五、二次函数的实际应用-几何问题 12．如图，花圃基地要用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米． （1）若矩形的面积为182平方米，求矩形的边的长． （2）要想使花圃的面积最大，边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？ 【答案】（1）解：长为x米，则长为米， ， 解得：（不符合题意，舍去） ∴长为米， 答：矩形的边的长为米 （2）解：设矩形的面积为S平方米，长为x米，则 ， ∵，且， ∴当时，有最大值， 即当边的长应为米时，面积最大值为192平方米 【解析】（1）设矩形的长为x米，则长为米，再由面积为182平方米可得，解方程求出BC的长，进而求出AB的长； （2）设矩形的面积为S平方米，长为x米，长为米，再由面积公式可用含x的代数式表示S，且是一个二次函数关系，则可求得此二次函数的最大值，从而可得边的长． 13．如图，已知正方形 的边长为 ，点 是对角线 上一点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 至 的位置，连接 、 ． （1）求证： ； （2）当 为何值时， 的面积最大？请说明理由． 【答案】（1）证明： 绕点 顺时针旋转 至 的位置， ， 在正方形 中， ， ， ，即 （2）解：在正方形 中， ， 由（1）知 ， ， ， 设 ，正方形 的边长为 ， 故 ， ， 当 ，即 时， 的面积最大． 【解析】（1）根据题意先求出DE=DF，∠EDF=90°，再利用SAS证明三角形全等即可； （2）根据题意先求出∠EAF=90°，再利用勾股定理AC=2，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。 14．如图，小明用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．请你帮助小明解决下列问题 （1）求S与x之间的函数关系式； （2）x的取值范围是 ； （3）该矩形菜园的面积为时，的长． 【答案】（1）解：设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则， 则， ∴； （2） （3）解：由题意得：，整理得：， 解得：，， ， ∴不符合题意，取， 即的长为. 【解析】（1）设菜园垂直于墙的一边的长为，然后矩形面积公式列函数关系式即可； （2）根据平行于墙的一边不能超过墙的长度列不等式解题； （3）令，即可得到，解方程解题即可． 15．湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题. 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的． 素材二 一般采用的是长方体包装盒． （1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率； （2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长． 【答案】（1）解：设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为， 根据题意得： 解得：，（不符合题意舍去） 纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为 答：纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为. （2）解：设裁掉正方形的边长为， 根据题意得：， ∴当时，有最大值 ∴被裁掉的正方形边长为厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大． 故答案为：有，被裁掉的正方形边长为20厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大. 【解析】（1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为，根据“ 2022年达到了72千克 ”列出方程，再求解即可； （2）设裁掉正方形的边长为，再利用长方形的面积公式求出，最后利用二次函数的性质分析求解即可. 16．有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题： （1）若为，求此时窗户的透光面积？ （2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明． 【答案】（1）解：由题意，，， ∴， ∴此时窗户的透光面积为 （2）解：设，则， ∵， ∴， 则窗户的透光面积， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大； ∵， ∴与例题相比透光的最大面积变大 【解析】（1）根据矩形和正方形的性质得到：，，进而即可求出AD的长度，最后根据面积计算公式计算即可； （2）设，则，根据矩形性质得窗户的透光面积，进而利用二次函数的性质求得最大面积为，即可求解． 17．如图，抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）试求A，B，C的坐标； （2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD． ①求点D的坐标； ②判断四边形ADBC的形状，并说明理由； （3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：当y=0时，0=﹣ x2+ x+2， 解得：x1=﹣1，x2=4， 则A（﹣1，0），B（4，0）， 当x=0时，y=2， 故C（0，2） （2）解：①过点D作DE⊥x轴于点E， ∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5， ∴D（3，﹣2）； ②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴AC=BD，AD=BC， ∴四边形ADBC是平行四边形， ∵AC= ，BC= ，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴四边形ADBC是矩形 （3）解：由题意可得：BD= ，AD=2 ， 则 ， 当△BMP∽△ADB时， ， 可得：BM=2.5， 则PM=1.25， 故P（1.5，1.25）， 当△BMP1∽△ABD时， P1（1.5，﹣1.25）， 当△BMP2∽△BDA时， 可得：P2（1.5，5）， 当△BMP3∽△BDA时， 可得：P3（1.5，﹣5）， 综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）． 【解析】（1）利用y=0，x=0分别得出方程，解方程得出A，B，C的坐标； （2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标； ②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状； （3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案． 18．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． 【答案】（1）解：∵抛物线经过点A，点C，且， ∴， ∴将其分别代入抛物线，可得， 解得． 故此抛物线的函数表达式为： （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设N的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，且为， 把代入抛物线得，N的坐标为， 当N的坐标为，有最大值 （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为， 令得，， 解得，，， ∴点B的坐标为； ①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时， ∴； ②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时， ∵， ∴， ∴的横坐标为3， ∴； 当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时， ∵， ∴的横坐标为， ∴； 综上所述，K、L点的坐标为或或 【解析】（1）由题意易得A、C的坐标，然后用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）设直线的解析式为y=kx+t，由题意将A、C的坐标代入一次函数的解析式可得关于k、t的方程组，解方程组求出k、t的值，即可得直线AC的解析式；设N的坐标为，则，于是可将线段MN的长用含n的代数式表示出来，将解析式配成顶点式并根据二次函数的性质可求解； （3）令抛物线的解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标： ①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时，易得K1、L1的坐标； ②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时，可得K2、L2的坐标； 当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时，可得K3、L3的坐标. 综合上述情况可得K，L点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$