精品解析：山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题

山东名校考试联盟 2024—2025学年高一年级下学期期中检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则求出复数，再求其模长即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 2. 已知的内角的对边分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，再根据两角和正弦公式及诱导公式即可求解． 【详解】， 因为，所以，则，即， 故选：C． 3. 已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量定理可三点共线的充要条件. 【详解】因为是两个不共线的向量，故，均不为零向量， 若三点共线，则，为共线向量， 故存在实数，使得，故， 而是两个不共线的向量，故，故， 反之，若，则，故， 故，为共线向量，而，共起点，故三点共线， 综上，三点共线的充要条件是， 故选：A 4. 下列平面图形中，不是正方体的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图判断即可. 【详解】根据题意得到选项A、B、C中的平面图形折起后均能构成正方体， 而D中的平面图形折起后，最下一行的三个不能构成正方体的三个面， 折起后是缺少一个面的正方体，且多出一个面. 故选：D. 5. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 中，由余弦定理得：， 故，所以， 故选：B. 6. 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法运算化简，利用纯虚数的定义解得参数，再根据复数的乘方计算，结合周期性求值即可. 【详解】由题意可得， 因为纯虚数，所以，解得. 则，又，，，， 则时，，，，， 即有时，， 故. 故选：B. 7. 在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理得，再由有唯一一个得出或，即可求解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若满足上述条件的有且仅有一个，则或， 则或， 则边长的取值范围是. 故选：C 8. 已知平面向量满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造平面图形，利用正弦定理可求的最大值. 【详解】 如图，设，，则， 故，，故外接圆的半径为， 且在优弧上运动变化，设外接圆的圆心为，的中点为， 延长至，使得，连接， 则，且，， 而，故， 故，当且仅当过时取最大值， 此时在优弧上， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由韦达定理求得，，即可判断选项A，D；设，则，求出，求解即可判断选项A，C. 【详解】复数是的两个根，则，， 由，所以，故B正确；，故D错误. 设，则，所以，解得， 故，， 所以，，故A正确； ，故C错误； 故选：AB 10. 已知向量，将绕原点顺时针分别旋转，到达，的位置，则（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求，的坐标，再逐项计算后可得正确的选项. 【详解】因为，故，所以， 由题设有即， 同理，， 故，，， 对于A，在上的投影向量为， 故A正确； 对于B，，故，故B正确； 对于C，，故， 故C错误； 对于D，， 故，故D正确； 故选：ABD. 11. 在四面体中，，，则下列结论正确的有（） A. 四面体的表面积为40 B. 四面体的体积为 C. 四面体外接球的表面积为 D. 记四面体内切球的球心为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用该四面体的几何特征，将四面体补形成长方体，再利用长方体的几何特征求解表面积、体积以及外接球表面积和内切球的问题. 【详解】因为四面体的对棱相等，所以四面体可嵌入长方体，设长方体的长宽高分别为, ,解得，，. 每个面为等腰三角形，面积均为10，表面积为.选项A正确. 体积计算:长方体体积为,减去四个三棱锥体积(每个为), 得四面体体积为.选项B错误. 四面体的外接球即长方体的外接球，半径,表面积为.选项C正确. 因为四面体内切球球心到各个面的距离相等，且四面体各个面是全等的，所以可以得到内切球球心到四面体各个顶点的距离也相等，即四面体的内切球球心和外接球球心重合，则长度即为外接球的半径.选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设母线为，底面半径为，即可得到且，从而求出、，再根据侧面积公式计算可得. 【详解】解：由题意圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，设母线为，底面半径为，则，且， ，，， 所以圆锥的侧面积． 故答案为：． 13. 在中，，，，的平分线交于，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用等积法可求的长度. 【详解】由余弦定理可得即， 故或（舍）， 由可得， 故， 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，，，记，其中表示两个数中的最大数．已知，向量，则点的轨迹所围成的图形面积为_____；的取值范围为_____． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】根据可得，分类讨论即可得点的轨迹，进而求得面积；根据可得，结合，分类讨论即可解得取值范围. 【详解】由题意，，因为，所以. 所以当，即或时，，即； 当，即或时，，即； 所以点的轨迹所围成的图形是以边长为2，顶点分别为的正方形，故图形面积为. 因为，，所以， 因为，，所以， 所以，至少有一个成立. ① 当时，因， 则当，即或时，由，解得或； 当时，由，得. ② 当时，因， 则当，即或时，由，解得或； 此时，解得； 当时，由，得，此时或. 综上，可得，即的取值范围为. 故答案为：4，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别是，向量，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算代入中，利用正弦定理边化角的转化及进行化简得到，即可求出； （2）由及（1）中的值求出的值，在利用余弦定理及，求出的值，即可得到的周长. 【小问1详解】 因为向量， 所以， 根据正弦定理，得， 在中，，则， 则， 即， 也即 又在中，，则， 则可得：，即， 在中，，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，由（1）知， 所以，则， 在中，由余弦定理得，， 又，则，解得， 所以的周长为． 16. 在中，点在线段上，满足，过线段中点的直线与边，分别交于点，设，． （1）用表示； （2）设的面积为，四边形的面积为，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算即可； （2）根据三点共线可得，再由（1）得出，分别表示出的面积为，四边形的面积为，进而得出，利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为，所以，所以，即， 点是线段的中点，所以， 故； 【小问2详解】 因为三点共线，所以存在实数使得，所以，即， 又因，，所以， 由（1）知，所以，所以，即, 根据基本不等式，，所以，当且仅当即时等号成立，所以， 的面积为， 四边形的面积为， 所以， 故的最小值为. 17. 已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． （1）试将写成三角形式； （2）当时，求的最大值和最小值． （3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 【答案】（1），其中. （2）的最大值为3，最小值为0. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据复数三角形的定义可得复数的三角表示形式； （2）设，利用乘法的性质可得，根据余弦函数的性质可求最值； （3）利用题设复数三角形式的乘法结合复数的乘法可证三倍角公式. 【小问1详解】 设， 则，故， 故，其中. 【小问2详解】 因为，故设， 故 ， 因为，故， 故的最大值为3，此时，最小值为0，此时. 【小问3详解】 设，则 ， 但 ， 故，. 18. 如图，在高为的四棱台中，上底面和下底面的面积分别为． （1）证明：四棱台的体积； （2）已知为正四棱台，且，，． （i）求正四棱台的体积； （ii）记几何体与几何体的体积分别为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）将棱台补成棱锥后利用棱锥的体积公式棱台的体积公式； （2）（i）由（1）中的公式可求棱台的体积；（ii）由棱锥的体积公式可求、，由等积法可求，故可求两个几何体的体积，从而得到体积比. 【小问1详解】 将四棱台的侧棱延长后，侧棱必定交于一点，设该点为， 设小棱锥的高为，则，， 而，故， 故四棱台的体积， 故 . 【小问2详解】 （i）由（1）中公式可得正四棱台的体积为： ， （ii）如图，连接， 则，， 而，故，故， 故，故几何体的体积，故， 故. 19. 已知的内角的对边分别是为内一点，且 （1）如图1，若，，，求的面积； （2）如图2，若，，求； （3）如图3，若，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，在、中利用正弦定理可得，利用三角变换可求，即得为等边三角形，故可求其面积； （2）在、中利用正弦定理可得，利用三角变换可求得的值； （3）利用各三角形的面积关系结合余弦定理可得，结合的面积公式及余弦定理可证得. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，， 故，且， 设，则，故， 在中，由正弦定理，，则 在中，由正弦定理，，则，故， 即，化简得， 则，整理得， 而，故，故即， 故，故， 故为等边三角形，故的面积为. 【小问2详解】 因为，，故，设，则， 而，，则， 因,,则,故, 在中，， 在中，有，故， 所以，即， 故. 【小问3详解】 因为， 故（*）， 在中，由余弦定理， ， ， 三式相加得， 将（*）代入，， 又，则， 代入上式，①， 由余弦定理可得②， 由 ①-②得：,则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东名校考试联盟 2024—2025学年高一年级下学期期中检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中虚数单位，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知内角的对边分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列平面图形中，不是正方体的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（ ） A B. C. D. 6. 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ） A. 0 B. C. D. 7. 在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，将绕原点顺时针分别旋转，到达，的位置，则（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 11. 在四面体中，，，则下列结论正确的有（） A. 四面体的表面积为40 B. 四面体的体积为 C. 四面体外接球的表面积为 D. 记四面体内切球的球心为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_____________． 13. 在中，，，，平分线交于，则的长度为_____． 14. 在平面直角坐标系中，，，记，其中表示两个数中的最大数．已知，向量，则点的轨迹所围成的图形面积为_____；的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别是，向量，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 在中，点在线段上，满足，过线段中点的直线与边，分别交于点，设，． （1）用表示； （2）设的面积为，四边形的面积为，求的最小值． 17. 已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． （1）试将写成三角形式； （2）当时，求最大值和最小值． （3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 18. 如图，在高为的四棱台中，上底面和下底面的面积分别为． （1）证明：四棱台的体积； （2）已知为正四棱台，且，，． （i）求正四棱台的体积； （ii）记几何体与几何体的体积分别为，求的值． 19. 已知的内角的对边分别是为内一点，且 （1）如图1，若，，，求的面积； （2）如图2，若，，求； （3）如图3，若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$