第11讲 经济问题 -六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               经济问题 第11讲     专题概述 随着我国市场经济的快速发展，经济问题也逐步进入了数学课堂。数学题目中的经济问题，主要是以商业百分数的形式出现的成本、定价、利润、折扣是商业百分数中常见的词汇。另外，关于利息和利率的问题，也属于商业百分数应用题。 做好这类数学题，要求我们一定要熟练掌握以下基本公式： (1) 定价=成本+利润 利润=成本×利润率 定价=成本×[1+利润率] 利润率= = (2) 利润率= 卖出价=买入价×[1+利润率] 买入价=卖出价÷[1+利润率] (3) 利息=本金×利率×存期 利率= 本息和=本金+利息 =本金×[1+利率×存期] 另外，在经济问题中，我们还要注意折扣问题。因为定价高了，商品卖不出去，商家就会降低利润减价出售。减价也叫打折。比如减价20%，就是按照定价的[1-20%=80%]出售，通常也叫八折销售。 重点例题1、2 【例1】图书大厦在节假日开展促销活动：凡是购买一种书100本以上的，就按照书价的九折收款。某学校到图书大厦购买甲、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的 ，只有甲种书得到了优惠。已知，买甲种书所付的总钱数是买乙种书所付钱数的2倍，且乙种书每本定价为15元，求：在优惠之前，甲种书每本定价多少元？ 【思维点拨】读题可知，买甲种书得到了优惠，而买乙种书是按照定价付款的。又知道乙种书的册数是甲种书册数的 ，买甲种书所付的总钱数是买乙种书所付钱数的2倍，我们就可以求出甲种书的定价了。 解法一：（元） 解法二：设甲种书购买x册，则甲种书的定价为 （元） 解法三：设买甲种书x册，甲种书的定价为y元，则 答：在优惠之前，甲种书每本定价20元。 【例2】某商场的货架上有200只工艺摆件，每售出一只工艺摆件，可获得30%的利润，当这批工艺摆件售出 时，一共获得利润2250元。问：每只工艺摆件的进货价是多少元？ 【思维点拨】想要求出每只工艺摆件的进货价，我们可以求出每只工艺摆件所获得的利润，再用每只工艺摆件的利润与利润率之间的对应关系，就可以求出每只工艺摆件的进货价了。 （元） （元） 答：每只工艺摆件的进货价是50元。 培优拔尖1 1.某件衬衫的标价为120元，如果以标价的90%降价出售，仍相对于进货价获利20%，则该衬衫的进货价是多少元？ 2.一件电动玩具，如果按照原售价打九折出售，可获利70元；如果按照原售价打九五折出售，可获利100元。问：这件电动玩具的进货价是多少元？ 3.某商业大厦买进200台电视机，如果按照定价销售，可获利润4000元；如果按照九五折出售，则要亏损1000元。这种电视机每台进价多少元？ 重点例题3、4 【例3】为了尽快清理库存，某商家决定对皮衣减价促销。这种皮衣原来的定价为1250元，现以八折的优惠价格出售，仍可以盈利25%。顾客张女士看上了一件皮衣，她要求商家在八折的基础上再让利100元。如果真是这样，商家是盈利还是亏损呢？ 【思维点拨】判断商家是盈利还是亏损，我们可以先计算出该皮衣的成本，即 。在八折的基础上，再让利100元。为 （元），仍高于成本 100 元，商家仍然盈利 100 元。 解：皮衣成本： 皮衣让利后的售价： 皮衣盈利： 答：如果真是这样，商家仍然盈利 100 元。 【例4】某大型水果超市公司到鸭梨产地去收购鸭梨收购价为每千克 1.2 元。从产地到超市公司的距离是 400 千米，运费为每吨货物每运 1 千米收 1.5 元，如果在运输和销售过程中损耗是 10%，那么超市公司要实现 25% 的利润率，零售价应是每千克多少元？ 【思维点拨】以 1 千克鸭梨为例，收购价为 1.2 元，运费为 元，则成本为 元，要实现 25% 的利润率，应收入 元；由于损耗，实际的销售重量为 千克。因此，鸭梨的实际零售价为每千克 元。 解：以 1 千克鸭梨为例，列式如下： 答：超市公司要实现 25% 的利润率，零售价应是每千克 2.5 元。 培优拔尖2 1.某商场有一批裙子，购进价为每件 104 元，售出价为每件 130 元。当售到只剩下70件时，已经获利5200元。请问：这批裙子有多少件？ 2.某商场同时卖出两双不同款式的皮鞋，这两双皮鞋都是按照120元售出的，但其中一双皮鞋赚了20%，另一双亏了20%。问：某商场同时卖出这两双不同款式的皮鞋，是赚了还是亏了？ 3.某商场出售高档笔记本，每售出一本可获得利润18元，当售出40%的笔记本后，剩下的每本减价10元出售，直至全部售完，一共获得利润3000元。请问：商场一共售出这种笔记本多少本？ 重点例题5、6 【例5】某刀具按定价的八折出售，仍旧能获得20%的利润。请问：定价时期望的利润率是多少？ 【思维点拨】假设定价为1，根据"某刀具按定价的八折出售"，因此实际卖价就是1×80%=0.8。根据题意，"某刀具按定价的八折出售，仍旧能获得20%的利润"，也就是说"成本×（1+20%）=卖价"，实际卖价为0.8，因此成本价为0.8÷（1+20%）=。知道卖价和成本，根据公式，就可以求出定价时期望的利润率了。 解：设实际卖价为1，则 实际卖价：1×80%=0.8 成本价：0.8÷（1+20%）= 定价时期望的利润率： 答：定价时期望的利润率为50%。 【例6】节日期间，某商场购进了一批电器。最初，电器按照30%的利润定价，待售出全部电器的60%后，又开始打八折出售，直到售完。请问：这批电器的实际利润率是多少？ 【思维点拨】假设这批电器的成本为1，再求出这批电器的售价，根据公式"实际利润率=（售价一成本）÷成本"，就可以求出这批电器的实际利润率了。 解： 设这批电器的成本为1，则 最初定价： 打折前后售出的价款： 实际利润率： 答： 这批电器的实际利润率是19.6%。 培优拔尖3 1.某高档墨汁按照定价的84%出售，仍能够获得5%的利润，问：定价时的利润率是多少？ 2.某品牌的手机，按照20%的利润定价，后又打八折出售，结果每部亏了80元。问：这款手机每部的成本是多少元？ 3. 某科技产品，如果按照定价的八折出售，能够获利20%，由于商品的成本降低，按照原定价的七五折出售，能够获得25%的利润。请问：现在，这种科技产品的成本是原来成本的百分之几？ 重点例题7、8 【例7】小刘把自己挣得的第一个月工资共3000元存入了银行，存期为5年，到期后他从银行一共取回本金和利息3847.5元。请问：这种储蓄的年利率是多少？ 【思维点拨】解法一： 读题可知，小刘取回的钱是本金3000元和5年的利息。因此，我们可以通过列方程来解答。 设年利率为x%，则有 解法二：我们也可以利用年利率公式直接求出结果。 答：这种储蓄的年利率是 5.65%。 【例8】某民营企业向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需要付利息6.1万元，甲种贷款的年利率为14%，乙种贷款的年利率为16%。请问：该企业申请甲、乙两种贷款的金额各是多少万元？ 【思维点拨】根据年利率公式以及"每年需要付利息6.1万元"，列方程即可。 解：该企业申请甲种贷款x万元，则申请乙种贷款为（40-x）万元，根据题意，列方程 解得x=15，则乙种贷款是40-15=25（万元）。 答：该企业申请甲、乙两种贷款的金额分别是15万元和25万元。 培优拔尖4 1.李大爷有一张今年存人的三年期的存单，年利率是4.25%。他计算，到期后他大约可得利息841.5元。问：李大爷的这张存单中存了多少钱？ 2.王婆婆购买了甲、乙两支股票，一年后合计升值10%，其中甲股票升值4%，乙股票升值12%，甲股票投资了4000元。问：乙股票投资了多少元？ 3.司马先生向银行申请甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需要支付利息8.42万元。其中，甲种贷款的年利率是12%，乙种贷款的年利率是13%。问：这两种贷款的金额各是多少万元？ 答案：甲、乙两种贷款的金额分别是42万元和26万元。 第11讲 经济问题 强化训练 1.有甲、乙两种商品，它们的成本一共是2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来这两种商品都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元。问：甲种商品的成本是多少元？ 2.某玩具店第一天卖出玩具小狗98个，每个获利44元1角；第二天卖出玩具小狗133个，获得的利润是成本的40%。已知第一天卖玩具小狗所得的钱数和第二天所得的钱数一样多。问：每个玩具小狗的成本是多少元？ 3.某超市购进了一批萝卜，按30%的利润定价。当卖出这批萝卜的80%后，为了尽快卖完，决定将剩下的按照定价的50%降价销售。问：销售完后，实际获得的利润率是多少？ 4.某商品的进价为800元，出售时标价为1200元。后因商品积压，商店准备打折销售，如果保持利润率不低于5%，最多可以打多少折？ 5.某书店以每本10.08元的价格购进某种图书，每本售价16.80元，卖到还剩10本时，除了收回全部成本，还获利504元。请问：书店购进这种图书多少本？ 6.某种商品，甲店进价比乙店便宜10%，甲店按20%的利润定价，乙店按15%的利润定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元，则甲店的进价是多少元？ 7.李先生向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需要付利息5万元，甲种贷款年利率是12%，乙种贷款年利率是14%。他申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？ 8.小华有1000元钱，打算存入银行2年。有两种储蓄办法：一种是存两年期，年利率为5.94%；另一种是先存一年期，年利率是5.67%。第一年到期后把本金和利息都取出来，合在一起再存一年。请问：哪种方法得到的利息多些？多多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               经济问题 第11讲     专题概述 随着我国市场经济的快速发展，经济问题也逐步进入了数学课堂。数学题目中的经济问题，主要是以商业百分数的形式出现的成本、定价、利润、折扣是商业百分数中常见的词汇。另外，关于利息和利率的问题，也属于商业百分数应用题。 做好这类数学题，要求我们一定要熟练掌握以下基本公式： (1) 定价=成本+利润 利润=成本×利润率 定价=成本×[1+利润率] 利润率= = (2) 利润率= 卖出价=买入价×[1+利润率] 买入价=卖出价÷[1+利润率] (3) 利息=本金×利率×存期 利率= 本息和=本金+利息 =本金×[1+利率×存期] 另外，在经济问题中，我们还要注意折扣问题。因为定价高了，商品卖不出去，商家就会降低利润减价出售。减价也叫打折。比如减价20%，就是按照定价的[1-20%=80%]出售，通常也叫八折销售。 重点例题1、2 【例1】图书大厦在节假日开展促销活动：凡是购买一种书100本以上的，就按照书价的九折收款。某学校到图书大厦购买甲、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的 ，只有甲种书得到了优惠。已知，买甲种书所付的总钱数是买乙种书所付钱数的2倍，且乙种书每本定价为15元，求：在优惠之前，甲种书每本定价多少元？ 【思维点拨】读题可知，买甲种书得到了优惠，而买乙种书是按照定价付款的。又知道乙种书的册数是甲种书册数的 ，买甲种书所付的总钱数是买乙种书所付钱数的2倍，我们就可以求出甲种书的定价了。 解法一：（元） 解法二：设甲种书购买x册，则甲种书的定价为 （元） 解法三：设买甲种书x册，甲种书的定价为y元，则 答：在优惠之前，甲种书每本定价20元。 【例2】某商场的货架上有200只工艺摆件，每售出一只工艺摆件，可获得30%的利润，当这批工艺摆件售出 时，一共获得利润2250元。问：每只工艺摆件的进货价是多少元？ 【思维点拨】想要求出每只工艺摆件的进货价，我们可以求出每只工艺摆件所获得的利润，再用每只工艺摆件的利润与利润率之间的对应关系，就可以求出每只工艺摆件的进货价了。 （元） （元） 答：每只工艺摆件的进货价是50元。 培优拔尖1 1. 某件衬衫的标价为120元，如果以标价的90%降价出售，仍相对于进货价获利20%，则该衬衫的进货价是多少元？ 【答案】 90元 【分析】 （元） 2. 一件电动玩具，如果按照原售价打九折出售，可获利70元；如果按照原售价打九五折出售，可获利100元。问：这件电动玩具的进货价是多少元？ 【答案】 470元 【分析】 （元） （元） 3. 某商业大厦买进200台电视机，如果按照定价销售，可获利润4000元；如果按照九五折出售，则要亏损1000元。这种电视机每台进价多少元？ 【答案】 480元 【分析】 （元） （元） （元） （元） 重点例题3、4 【例3】为了尽快清理库存，某商家决定对皮衣减价促销。这种皮衣原来的定价为1250元，现以八折的优惠价格出售，仍可以盈利25%。顾客张女士看上了一件皮衣，她要求商家在八折的基础上再让利100元。如果真是这样，商家是盈利还是亏损呢？ 【思维点拨】判断商家是盈利还是亏损，我们可以先计算出该皮衣的成本，即 。在八折的基础上，再让利100元。为 （元），仍高于成本 100 元，商家仍然盈利 100 元。 解：皮衣成本： 皮衣让利后的售价： 皮衣盈利： 答：如果真是这样，商家仍然盈利 100 元。 【例4】某大型水果超市公司到鸭梨产地去收购鸭梨收购价为每千克 1.2 元。从产地到超市公司的距离是 400 千米，运费为每吨货物每运 1 千米收 1.5 元，如果在运输和销售过程中损耗是 10%，那么超市公司要实现 25% 的利润率，零售价应是每千克多少元？ 【思维点拨】以 1 千克鸭梨为例，收购价为 1.2 元，运费为 元，则成本为 元，要实现 25% 的利润率，应收入 元；由于损耗，实际的销售重量为 千克。因此，鸭梨的实际零售价为每千克 元。 解：以 1 千克鸭梨为例，列式如下： 答：超市公司要实现 25% 的利润率，零售价应是每千克 2.5 元。 培优拔尖2 1.某商场有一批裙子，购进价为每件 104 元，售出价为每件 130 元。当售到只剩下70件时，已经获利5200元。请问：这批裙子有多少件？ 【答案】 550件 【分析】 2.某商场同时卖出两双不同款式的皮鞋，这两双皮鞋都是按照120元售出的，但其中一双皮鞋赚了20%，另一双亏了20%。问：某商场同时卖出这两双不同款式的皮鞋，是赚了还是亏了？ 【答案】 亏10元 【分析】 3.某商场出售高档笔记本，每售出一本可获得利润18元，当售出40%的笔记本后，剩下的每本减价10元出售，直至全部售完，一共获得利润3000元。请问：商场一共售出这种笔记本多少本？ 【答案】 250本 【分析】 设一共售出x本笔记本，根据题意列方程 重点例题5、6 【例5】某刀具按定价的八折出售，仍旧能获得20%的利润。请问：定价时期望的利润率是多少？ 【思维点拨】假设定价为1，根据"某刀具按定价的八折出售"，因此实际卖价就是1×80%=0.8。根据题意，"某刀具按定价的八折出售，仍旧能获得20%的利润"，也就是说"成本×（1+20%）=卖价"，实际卖价为0.8，因此成本价为0.8÷（1+20%）=。知道卖价和成本，根据公式，就可以求出定价时期望的利润率了。 解：设实际卖价为1，则 实际卖价：1×80%=0.8 成本价：0.8÷（1+20%）= 定价时期望的利润率： 答：定价时期望的利润率为50%。 【例6】节日期间，某商场购进了一批电器。最初，电器按照30%的利润定价，待售出全部电器的60%后，又开始打八折出售，直到售完。请问：这批电器的实际利润率是多少？ 【思维点拨】假设这批电器的成本为1，再求出这批电器的售价，根据公式"实际利润率=（售价一成本）÷成本"，就可以求出这批电器的实际利润率了。 解： 设这批电器的成本为1，则 最初定价： 打折前后售出的价款： 实际利润率： 答： 这批电器的实际利润率是19.6%。 培优拔尖3 1.某高档墨汁按照定价的84%出售，仍能够获得5%的利润，问：定价时的利润率是多少？ 【答案】 25% 【分析】 设定价为 "1"，成本： 利润率： ( 2.某品牌的手机，按照20%的利润定价，后又打八折出售，结果每部亏了80元。问：这款手机每部的成本是多少元？ 【答案】 2000元 【分析】 设成本价为 "1"，则定价为： 卖价为： 3.某科技产品，如果按照定价的八折出售，能够获利20%，由于商品的成本降低，按照原定价的七五折出售，能够获得25%的利润。请问：现在，这种科技产品的成本是原来成本的百分之几？ 【答案】 90% 【分析】 设定价为 "1"，原成本价为： 现成本价为： 重点例题7、8 【例7】小刘把自己挣得的第一个月工资共3000元存入了银行，存期为5年，到期后他从银行一共取回本金和利息3847.5元。请问：这种储蓄的年利率是多少？ 【思维点拨】解法一： 读题可知，小刘取回的钱是本金3000元和5年的利息。因此，我们可以通过列方程来解答。 设年利率为x%，则有 解法二：我们也可以利用年利率公式直接求出结果。 答：这种储蓄的年利率是 5.65%。 【例8】某民营企业向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需要付利息6.1万元，甲种贷款的年利率为14%，乙种贷款的年利率为16%。请问：该企业申请甲、乙两种贷款的金额各是多少万元？ 【思维点拨】根据年利率公式以及"每年需要付利息6.1万元"，列方程即可。 解：该企业申请甲种贷款x万元，则申请乙种贷款为（40-x）万元，根据题意，列方程 解得x=15，则乙种贷款是40-15=25（万元）。 答：该企业申请甲、乙两种贷款的金额分别是15万元和25万元。 培优拔尖4 1. 李大爷有一张今年存人的三年期的存单，年利率是4.25%。他计算，到期后他大约可得利息841.5元。问：李大爷的这张存单中存了多少钱？ 【答案】 6600元 【分析】 2. 王婆婆购买了甲、乙两支股票，一年后合计升值10%，其中甲股票升值4%，乙股票升值12%，甲股票投资了4000元。问：乙股票投资了多少元？ 【答案】 12000元 【分析】 设乙种股票投资了x元，列方程 3.司马先生向银行申请甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需要支付利息8.42万元。其中，甲种贷款的年利率是12%，乙种贷款的年利率是13%。问：这两种贷款的金额各是多少万元？ 【答案】甲、乙两种贷款的金额分别是42万元和26万元。 【分析】 乙种贷款： 甲种贷款：68-26=42（万元） 第11讲 经济问题 强化训练 1.有甲、乙两种商品，它们的成本一共是2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来这两种商品都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元。问：甲种商品的成本是多少元？ 【答案】 1200元 【分析】 甲商品按 的利润销售，乙商品按 的利润销售。如果2200元的成本都是乙商品，那么应获利 （元）。实际获利131元，所以甲商品的成本是 （元）。 2.某玩具店第一天卖出玩具小狗98个，每个获利44元1角；第二天卖出玩具小狗133个，获得的利润是成本的40%。已知第一天卖玩具小狗所得的钱数和第二天所得的钱数一样多。问：每个玩具小狗的成本是多少元？ 【答案】 49元 【分析】 设每个玩具小狗的成本是x元，则第一天卖 元，一共卖 元；第二天每个卖 元，一共卖 元。因为第一天卖玩具小狗所得的钱和第二天所得的一样多，所以有 ，解得x=49，也就是说每个玩具小狗的成本是49元。 3. 某超市购进了一批萝卜，按30%的利润定价。当卖出这批萝卜的80%后，为了尽快卖完，决定将剩下的按照定价的50%降价销售。问：销售完后，实际获得的利润率是多少？ 【答案】 17% 【分析】 假设这批萝卜的数量为"100"，成本为"1"，则定价为（元），按此定价卖出的数量是，降价后的价钱是（元），降价后卖出的数量是。 总收入： 总成本： 实际利润： 实际利润率： 4. 某商品的进价为800元，出售时标价为1200元。后因商品积压，商店准备打折销售，如果保持利润率不低于5%，最多可以打多少折？ 【答案】 七折 【分析】 折后售价至少为800×（1+5%）=840（元），此时为840÷1200==7折。 5. 某书店以每本10.08元的价格购进某种图书，每本售价16.80元，卖到还剩10本时，除了收回全部成本，还获利504元。请问：书店购进这种图书多少本？ 【答案】 100本 【分析】 最后10本卖得的钱全部都是利润，最后总利润为504+10×16.8=672（元）。每本获利16.8-10.08=6.72（元），说明总数为672÷6.72=100（本）。 6. 某种商品，甲店进价比乙店便宜10%，甲店按20%的利润定价，乙店按15%的利润定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元，则甲店的进价是多少元？ 【答案】 144元 【分析】 设乙店的进价为"1"，则甲店的进价为1×（1-10%）=0.9，甲店定价为0.9×（1+20%）=1.08，乙店定价为1×（1+15%）=1.15，则乙店的进价为11.2÷（1.15-1.08）=160（元），甲店的进价为160×0.9=144（元）。 7. 李先生向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需要付利息5万元，甲种贷款年利率是12%，乙种贷款年利率是14%。他申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？ 【答案】 甲、乙两种贷款的金额分别是30万元和10万元。 【分析】 设甲贷款的金额是x万元，则0.12x+0.14×(40-x)=5 8. 小华有1000元钱，打算存入银行2年。有两种储蓄办法：一种是存两年期，年利率为5.94%；另一种是先存一年期，年利率是5.67%。第一年到期后把本金和利息都取出来，合在一起再存一年。请问：哪种方法得到的利息多些？多多少元？ 【答案】 第一种利息多些，多2.2元。 【分析】 第一种：1000×5.94%×2=118.8（元） 第二种： 学科网（北京）股份有限公司 $$前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练 习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 随着我国市场经济的快速发展，经济问题也逐步进入了数学课堂。数 学题目中的经济问题，主要是以商业百分数的形式出现的成本、定价、 利润、折扣是商业百分数中常见的词汇。另外，关于利息和利率的问 题，也属于商业百分数应用题。 做好这类数学题，要求我们一定要熟练掌握以下基本公式： (1) 定价=成本+利润 利润=成本×利润率 定价=成本×[1+利润率] 利润率= 利润 成本 × 100% = 售价 成本 × 100% (2) 利润率= 卖出价−买入价 买入价 × 100% 经济问题第 11讲 专题概述 卖出价=买入价×[1+利润率] 买入价=卖出价÷[1+利润率] (3) 利息=本金×利率×存期 利率= 利息 本金 × 100% 本息和=本金+利息 =本金×[1+利率×存期] 另外，在经济问题中，我们还要注意折扣问题。因为定价高了，商品 卖不出去，商家就会降低利润减价出售。减价也叫打折。比如减价 20%，就是按照定价的[1-20%=80%]出售，通常也叫八折销售。 【例 1】图书大厦在节假日开展促销活动：凡是购买一种书 100本 以上的，就按照书价的九折收款。某学校到图书大厦购买甲、乙两 种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的 3 5 ，只有甲种书得到了优 惠。已知，买甲种书所付的总钱数是买乙种书所付钱数的 2倍，且 乙种书每本定价为 15元，求：在优惠之前，甲种书每本定价多少 元？ 【思维点拨】读题可知，买甲种书得到了优惠，而买乙种书是按照 重点例题 1、2 定价付款的。又知道乙种书的册数是甲种书册数的 3 5 ，买甲种书所 付的总钱数是买乙种书所付钱数的 2倍，我们就可以求出甲种书的 定价了。 解法一：15 × 3 5 × 2 ÷ 90% = 20（元） 解法二：设甲种书购买 x册，则甲种书的定价为 15 × 3 5 × 2 ÷ 90% + x = 20（元） 解法三：设买甲种书 x 册，甲种书的定价为 y 元，则 90%xy = 15 × 3 5 × 2 0.9xy = 18x 0.9y = 18 y = 20 答：在优惠之前，甲种书每本定价 20元。 【例 2】某商场的货架上有 200只工艺摆件，每售出一只工艺摆件， 可获得 30%的利润，当这批工艺摆件售出 3 4 时，一共获得利润 2250 元。问：每只工艺摆件的进货价是多少元？ 【思维点拨】想要求出每只工艺摆件的进货价，我们可以求出每只 工艺摆件所获得的利润，再用每只工艺摆件的利润与利润率之间的 对应关系，就可以求出每只工艺摆件的进货价了。 2250 ÷ 200 × 3 4 = 15（元） 15 ÷ 30% = 50（元） 答：每只工艺摆件的进货价是 50元。 1.某件衬衫的标价为 120元，如果以标价的 90%降价出售，仍相对于 进货价获利 20%，则该衬衫的进货价是多少元？ 2.一件电动玩具，如果按照原售价打九折出售，可获利 70元；如果 按照原售价打九五折出售，可获利 100元。问：这件电动玩具的进货 价是多少元？ 培优拔尖 1 3.某商业大厦买进 200台电视机，如果按照定价销售，可获利润 4000 元；如果按照九五折出售，则要亏损 1000元。这种电视机每台进价 多少元？ 【例 3】为了尽快清理库存，某商家决定对皮衣减价促销。这种皮 衣原来的定价为 1250元，现以八折的优惠价格出售，仍可以盈利 25%。顾客张女士看上了一件皮衣，她要求商家在八折的基础上再 让利 100元。如果真是这样，商家是盈利还是亏损呢？ 【思维点拨】判断商家是盈利还是亏损，我们可以先计算出该皮衣 的成本，即 1250 × 0.8 ÷ (1 + 25%) = 800元。在八折的基础 上，再让利 100元。为 1250 × 0.8−100 = 900（元），仍高于成 本 100 元，商家仍然盈利 100 元。 重点例题 3、4 解：皮衣成本： 1250 × 0.8 ÷ (1 + 25%) = 800(元) 皮衣让利后的售价： 1250 × 0.8−100 = 900(元) 皮衣盈利： 900−800 = 100(元) 答：如果真是这样，商家仍然盈利 100 元。 【例 4】某大型水果超市公司到鸭梨产地去收购鸭梨收购价为每千 克 1.2 元。从产地到超市公司的距离是 400 千米，运费为每吨货 物每运 1 千米收 1.5 元，如果在运输和销售过程中损耗是 10%， 那么超市公司要实现 25% 的利润率，零售价应是每千克多少元？ 【思维点拨】以 1 千克鸭梨为例，收购价为 1.2 元，运费为 1.5 × 400 ÷ 1000 = 0.6 元，则成本为 1.2 + 0.6 = 1.8 元， 要实现 25% 的利润率，应收入 1.8 × (1 + 25%) = 2.25 元；由 于损耗，实际的销售重量为 1 × (1−10%) = 0.9 千克。因此，鸭 梨的实际零售价为每千克 2.25 ÷ 0.9 = 2.5 元。 解：以 1 千克鸭梨为例，列式如下： (1.2 + 1.5 × 400 ÷ 1000) × (1 + 25%) 1 × (1−10%) = 1.8 × (1 + 25%) 0.9 = 2.25 0.9 = 2.5(元) 答：超市公司要实现 25% 的利润率，零售价应是每千克 2.5 元。 1.某商场有一批裙子，购进价为每件 104 元，售出价为每件 130 元。 当售到只剩下 70件时，已经获利 5200元。请问：这批裙子有多少件？ 2.某商场同时卖出两双不同款式的皮鞋，这两双皮鞋都是按照 120元 售出的，但其中一双皮鞋赚了 20%，另一双亏了 20%。问：某商场同 时卖出这两双不同款式的皮鞋，是赚了还是亏了？ 3.某商场出售高档笔记本，每售出一本可获得利润 18元，当售出 40% 的笔记本后，剩下的每本减价 10 元出售，直至全部售完，一共获得 利润 3000元。请问：商场一共售出这种笔记本多少本？ 培优拔尖 2 【例 5】某刀具按定价的八折出售，仍旧能获得 20%的利润。请问： 定价时期望的利润率是多少？ 【思维点拨】假设定价为 1，根据"某刀具按定价的八折出售"，因 此实际卖价就是 1×80%=0.8。根据题意，"某刀具按定价的八折出 售，仍旧能获得 20%的利润"，也就是说"成本×（1+20%）=卖价"， 实际卖价为 0.8，因此成本价为 0.8÷（1+20%）= 2 3 。知道卖价和成 本，根据公式，就可以求出定价时期望的利润率了。 解：设实际卖价为 1，则 实际卖价：1×80%=0.8 重点例题 5、6 成本价：0.8÷（1+20%）= 2 3 定价时期望的利润率： 1− 2 3 ÷ 2 3 = 50% 答：定价时期望的利润率为 50%。 【例 6】节日期间，某商场购进了一批电器。最初，电器按照 30% 的利润定价，待售出全部电器的 60%后，又开始打八折出售，直到 售完。请问：这批电器的实际利润率是多少？ 【思维点拨】假设这批电器的成本为 1，再求出这批电器的售价， 根据公式"实际利润率=（售价一成本）÷成本"，就可以求出这批 电器的实际利润率了。 解： 设这批电器的成本为 1，则 最初定价：1 + 30% = 1.3 打折前后售出的价款： 1.3 × 60% + 1.3 × 80% × (1−60%) = 1.196 实际利润率： (1.196−1) ÷ 1 = 19.6% 答： 这批电器的实际利润率是 19.6%。 1.某高档墨汁按照定价的 84%出售，仍能够获得 5%的利润，问：定价 培优拔尖 3 时的利润率是多少？ 2.某品牌的手机，按照 20%的利润定价，后又打八折出售，结果每部 亏了 80元。问：这款手机每部的成本是多少元？ 3.某科技产品，如果按照定价的八折出售，能够获利 20%，由于商品 的成本降低，按照原定价的七五折出售，能够获得 25%的利润。请问： 现在，这种科技产品的成本是原来成本的百分之几？ 【例 7】小刘把自己挣得的第一个月工资共 3000元存入了银行， 存期为 5年，到期后他从银行一共取回本金和利息 3847.5元。请 问：这种储蓄的年利率是多少？ 【思维点拨】解法一： 读题可知，小刘取回的钱是本金 3000元和 5年的利息。因此，我们可以通过列方程来解答。 设年利率为 x%，则有 3000 + 3000 × x = 5.5 = 3847.5 3000 + 15000 × x = 3847.5 15000 × x = 847.5 x = 5.65% 解法二：我们也可以利用年利率公式直接求出结果。 (3847.5−3000) ÷ 5 + 3000 = 5.65% 答：这种储蓄的年利率是 5.65%。 【例 8】某民营企业向银行申请甲、乙两种贷款共 40万元，每年 需要付利息 6.1万元，甲种贷款的年利率为 14%，乙种贷款的年利 率为 16%。请问：该企业申请甲、乙两种贷款的金额各是多少万元 ？ 【思维点拨】根据年利率公式以及"每年需要付利息 6.1万元"，列 重点例题 7、8 方程即可。 解：该企业申请甲种贷款 x万元，则申请乙种贷款为（40-x）万元， 根据题意，列方程 14%x + (40−x) × 16% = 6.1 解得 x=15，则乙种贷款是 40-15=25（万元）。 答：该企业申请甲、乙两种贷款的金额分别是 15万元和 25万元。 1.李大爷有一张今年存人的三年期的存单，年利率是 4.25%。他计算 ，到期后他大约可得利息 841.5元。问：李大爷的这张存单中存了多 少钱？ 2.王婆婆购买了甲、乙两支股票，一年后合计升值 10%，其中甲股票 升值 4%，乙股票升值 12%，甲股票投资了 4000元。问：乙股票投资 了多少元？ 培优拔尖 4 3.司马先生向银行申请甲、乙两种贷款，共计 68万元，每年需要支 付利息 8.42万元。其中，甲种贷款的年利率是 12%，乙种贷款的年 利率是 13%。问：这两种贷款的金额各是多少万元？ 答案：甲、乙两种贷款的金额分别是 42万元和 26万元。 第 11 讲 经济问题 强化训练 1.有甲、乙两种商品，它们的成本一共是 2200元，甲商品按 20%的 利润定价，乙商品按 15%的利润定价，后来这两种商品都按定价的 90% 打折出售，结果仍获利 131元。问：甲种商品的成本是多少元？ 2.某玩具店第一天卖出玩具小狗 98个，每个获利 44元 1角；第二天 卖出玩具小狗 133个，获得的利润是成本的 40%。已知第一天卖玩具 小狗所得的钱数和第二天所得的钱数一样多。问：每个玩具小狗的成 本是多少元？ 3.某超市购进了一批萝卜，按 30%的利润定价。当卖出这批萝卜的 80% 后，为了尽快卖完，决定将剩下的按照定价的 50%降价销售。问：销 售完后，实际获得的利润率是多少？ 4.某商品的进价为 800元，出售时标价为 1200元。后因商品积压， 商店准备打折销售，如果保持利润率不低于 5%，最多可以打多少折？ 5.某书店以每本 10.08 元的价格购进某种图书，每本售价 16.80 元， 卖到还剩 10本时，除了收回全部成本，还获利 504元。请问：书店 购进这种图书多少本？ 6.某种商品，甲店进价比乙店便宜 10%，甲店按 20%的利润定价，乙 店按 15%的利润定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2元，则甲 店的进价是多少元？ 7.李先生向银行申请甲、乙两种贷款共 40万元，每年需要付利息 5 万元，甲种贷款年利率是 12%，乙种贷款年利率是 14%。他申请甲、 乙两种贷款的金额各是多少？ 8.小华有 1000元钱，打算存入银行 2年。有两种储蓄办法：一种是 存两年期，年利率为 5.94%；另一种是先存一年期，年利率是 5.67%。 第一年到期后把本金和利息都取出来，合在一起再存一年。请问：哪 种方法得到的利息多些？多多少元？