2025年江苏省南京中考数学锐角三角函数部分解答题专项练习苏科版

2025届南京中考数学锐角三角函数部分解答题专项练习苏科版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 在中考数学中，锐角三角函数的相关题目是重点内容，以下是一些针对锐角三角函数的解题技巧： 1.理解并牢记基本概念和公式 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°； cos30°；tan30°； sin45°；cos45°；tan45°＝1； sin60°；cos60°； tan60°； 2. 构造直角三角形 当题目中没有直角三角形时，可通过作辅助线构造直角三角形，以便运用锐角三角函数的定义解题。例如，在一些几何图形中，可作垂线构造直角三角形。 利用等腰三角形 “三线合一” 的性质构造直角三角形。若已知等腰三角形的相关信息，可作底边上的高，将等腰三角形转化为两个直角三角形。 3.建立方程求解 在涉及边长、角度等多个未知量的问题中，可根据锐角三角函数的关系建立方程。例如，在直角三角形中，已知一个锐角的三角函数值和一条边的长度，可设出未知边的长度，根据三角函数的定义列出方程求解。 利用勾股定理和锐角三角函数的关系联立方程。在直角三角形中，除了三角函数关系，还可结合勾股定理a2+b2=c2（其中a、b为直角边，c为斜边）建立方程求解。 4.转化思想 角度的转化：若两个角相等，则它们的三角函数值相等。例如，若∠A = ∠B，则sin A = sin B，cos A = cos B，tan A = tan B。 边与角的转化：根据锐角三角函数的定义，可将边的关系转化为角的关系，或将角的关系转化为边的关系。例如，已知sin A=，若已知sin A的值和c的值，可求出a的值。 5.实际问题的解决 在解决与实际生活相关的锐角三角函数问题时，如测量高度、距离等，要准确理解题意，将实际问题转化为数学模型，找出直角三角形以及已知的边和角。 注意题目中的隐含条件，如水平距离、垂直距离等，合理运用三角函数知识求解。 总之，在解答中考数学锐角三角函数的题目时，要灵活运用上述技巧，多做练习，提高解题能力。 一、解答题 1．计算：． 2．计算：． 3．计算：． 4．计算：． 5．计算：． 6．如图是由小正方形组成的网格，点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，在上找格点D，使，在的延长线上画点E，使；（此问的画线不超过3条） (2)如图2，在上画点F，使，画的高．（此问的画线不超过5条） 7．如图，已知． (1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）条件下，若，，则的半径为______． 8．如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交线段于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）作出的图中，若，，求的长度． 9．如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作菱形，使点在线段上，点在线段上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求菱形的面积． 10．周末，小强一家和他的朋友小熊去黄庄游玩．他们从基地大门A处去景点D处，小强一家带着小朋友沿的路线步行到儿童乐园C玩耍再到景点D；小熊则先步行到油菜花田B处拍照，再慢跑去景点D和小强一家汇合．已知C在A北偏西方向上，D在A的正北方向上且米，点在点的东北方向上，D在B的北偏西方向上，D在C的北偏东方向上．（参考数据：，，） (1)求基地大门A处到B的距离（结果保留根号）； (2)若小强一家的平均速度为50米/分，小熊的步行速度为30米/分，慢跑速度为100米/分，哪家先到达景点D？请通过计算说明． 11．问题探究 （1）如图1，在中，，，O是的外接圆的圆心，则的长为__________． 问题解决 （2）如图2，矩形是一个公园，其中米，米，P为中点．现计划在公园中修建两座雕塑M、N，要求M、N间距为40米，且．为便于灯光布置，还要求M、N的位置满足．同时计划从入口处A到雕塑M之间建一条小路，为节约建设成本，小路应尽可能短．请求出小路长的最小值．（点M、N、P与矩形在同一平面内，道路的宽度与雕塑M、N及入口A的大小均忽略不计，结果保留根号） 12．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮在A处调整航向，沿着北偏东方向航行到B处后，再沿着南偏东方向航行40海里到达码头C．求货轮从A到码头C的距离．（结果保留根号） 13．如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 14．如图，在平行四边形中，，是边上一点，延长交的延长线于点，连接． (1)若，求证：四边形是矩形． (2)在（1）的条件下，，，求的余弦值． 15．如图，在中，为边上一点，，连接并延长至点，连接，，且_____．求证：_____． (1)给出下列信息：①；②；③．请从中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，分别填入横线上，使之构成真命题，并加以证明； (2)在（1）的条件下，若，，求． 16．如图，在中，，与边相切于点D，与，分别相交于点E，F，与相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的半径和的长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂；先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再化简二次根式，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 2．3 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 3．． 【分析】本题考查实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题关键．先利用算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则进行计算，然后加减计算即可求解． 【详解】解： ． 4．3 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的运算，先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：原式． 5． 【分析】本题考查了实数的运算，特殊三角函数，算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，首先计算特殊角的三角函数值、算术平方根、负整数指数幂和零指数幂，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 6．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）在格点找到点F，和点D，连接，，，在中；在点B下1个单位为点G，连接，并延长交延长线于点E，由网格知，，，所以为等腰三角形，所以，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以为等腰三角形，所以； （2）连接，交于点D，连接交于点F．由网格知，，，，所以，所以，所以，，由网格图知，，所以；作直线交于点G，连接，由网格图知，，同理，，，所以，所以，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示：点D，点E即为所求； （2）连接，交于点D，连接交于点F．即为， 作直线交于点G，连接，即为所求； 【点睛】本题考查利用网格特性结合勾股定理、几何图形性质（平行四边形、等腰三角形等 ）、相似三角形判定及性质、三角函数定义进行作图，解题关键是合理借助网格格点确定线段长度和角度关系以满足题目要求的条件． 7．(1)见解析 (2) 【分析】（1）作边的垂直平分线，与边的交点即为D点，作的角平分线，与边的垂直平分线的交点即为O点； （2）由（1）作图可知为边的垂直平分线，则，根据可求出，进而可得，设的半径为r，根据，即可求出的半径． 【详解】（1）解：如图，D点和O点即为所求； （2）解：如图，设与的交点为E 由（1）作图可知为边的垂直平分线， ∴, ， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内切圆的定义，勾股定理，解直角三角形，以及利用面积法求三角形内切圆的半径．熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）过点D作于点E，由角平分线的性质可得，进而可得．根据，可得．证明，可得，即，即可得的长． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求． （2）解：过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 9．(1)见解析 (2)24 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交线段于点E，交线段于点F，则四边形即为所求作的线段； （2）根据，，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，根据菱形的性质求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求作的四边形； 根据作图可知：垂直平分， 则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴、互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：， 在中，， 又， ， 在中，， 四边形是菱形， ，， ． 【点睛】本题主要考查了基本作图，菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． 10．(1)基地大门A处到B的距离为米 (2)小强一家先到，计算见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作，设，分别解，进行求解即可； （2）求出的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作，由题意可知：， 设， 在中，， 在中，，， ∵， 解得：， ∴； 答：基地大门A处到B的距离为米； （2）小强一家先到，理由如下： 由（1）可知：， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴小强一家到达点的时间为：（分钟）， 小熊到达点的时间为：（分钟）， ∴小强一家先到． 11．（1）；（2） 【分析】（1）连接，，过点O作于点D，由点O是的外接圆的圆心得到，，根据垂径定理得到，，进而根据解直角三角形即可解答； （2）作的外接圆，连接，，由圆周角定理得到，因此是等腰直角三角形，米，即的直径为米．连接，根据勾股定理求出米．又，因此当为直径，有最小值，即可解答． 【详解】解：连接，，过点O作于点D， ∵O是的外接圆的圆心，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）作的外接圆，连接，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 即的半径为米，即直径为米， 连接， ∵四边形是矩形， ∴米，， ∵点P是的中点， ∴米， ∴米； ∵， ∴当取得最大值，即为直径，时，有最小值，为米． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，三角函数，三角形三边关系的应用等，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 12．海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作于点，根据方位角的定义可得，，再分别解和求出、的长，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，作于点，则， 由题意得，，， ， 在中，，， 海里，海里， 在中，， 海里， 海里． 答：货轮从A到码头C的距离为海里． 13．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，证明，得到，即可得出结论； （2）设与的另一交点为，连接交于点，连接，证明，得到，进一步得到，设，则，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理得到，解得，再求出，证明，得到，设，则，则，求得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵与边相切于点D， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：设与的另一交点为，连接交于点，连接，如图： ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 在中，． 14．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，，即可根据“”证明，则，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形； （2）作于点，因为，，所以，，则，因为，所以，，由，求得，则，求得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，延长交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：作于点，则， 四边形是平行四边形，四边形是矩形，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 的余弦值为． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． 15．(1)①②，③，见解析(答案不唯一) (2) 【分析】（1）若条件：①②，结论：③，则可通过证明，进一步得出，即可证明结论；若条件：①③，结论：②，则可证明得到结论；若条件：②③，结论：①，可添加辅助线，过点作，垂足为点，先证明，证明，再证明，，即可证明结论； （2）过点作，垂足为点，先求出，再求，最后根据三角函数的定义计算即可． 【详解】（1）解：“条件：①②，结论：③”或“条件：①③，结论：②”或“条件：②③，结论：①” 条件：①②，结论：③，证明如下： ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ； 条件：①③，结论：②，证明如下： ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 条件：②③，结论：①，证明如下： 分别过点B，C作的垂线，垂足分别为点F，G， 则， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，过点作，垂足为点， ，， ， ， ， 在，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的定义，等腰三角形的三线合一性质等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 16．(1)见解析 (2)的半径为， 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，结合题意推出，由平行线的性质可得，再由圆周角定理得出，即可得证； （2）连接，由切线的性质可得，设，则，解直角三角形得出的半径为，，从而可得，，，，，，，，由（1）可得，由平行线的性质可得，解直角三角形得出，证明，由相似三角形的性质得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ， ∵与边相切于点D， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴的半径为，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$