备战2025年中考数学二轮突破训练----二次函数的实际应用

备战2025年中考数学二轮突破训练 二次函数的实际应用 1．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 2．现有一个二级火箭进行发射．第一级运行路径形如抛物线，当运行一定水平距离时，自动引发第二级，第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ，且火箭第二级的引发点坐标为 (1)求和的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的水平距离． 3．每年6月的第三个星期日即为父亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在父亲节为父亲送礼物，感恩父亲，祝福父亲．节日前夕，某店采购了一批礼盒，成本价为60元每件，分析上一年父亲节的礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量（件）是销售单价（元/件）的一次函数． 销售单价（元/件） … 90 95 100 110 … 每天销售量（件） … 50 45 40 30 … (1)求出与的函数关系； (2)物价局要求，销售该礼盒获得的利润不得高于成本价的； ①当销售单价取何值时，该店销售礼盒每天获得的利润为1479元？ ②试确定销售单价取何值时，店里销售该礼盒每天获得的利润（元）最大？并求出该店销售该礼盒每天获得的最大利润． 4．图①是古代一种远程攻击的武器投石车，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且到发射点的水平距离m时达到最大高度．将投石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离，与地面的竖直距离，是高度为的防御墙．以点为原点，建立如图②所示的平面直角坐标系． (1)通过计算说明石块能否飞越防御墙； (2)试求石块在飞行过程中与坡面的竖直方向最大距离． 5．2025年1月29日全国各影院上映奇幻动画电影《哪吒2》，截至2025年2月13日14时43分，该片总票房（含点映及预售）已突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影，该片观影人次破2亿，成为中国影史首部观影人次破2亿的电影．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 50 60 售出电影票数量y（张） 124 84 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)该影院将电影票售价x定为多少时，每天的利润w（单位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利润票房收入运营成本） 6．如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，垂直于地面，且，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（为常数，）． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小星想驾驶一辆高为，宽为的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚之间抛物线上有两个点和（不与点重合）．它们的横坐标分别为，连接，．设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 7．如图1，是距离渭河源头鸟鼠山8公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，著名的桥梁建筑大师茅以升在他的《桥梁史》中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”．如图2，桥拱截面可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽约24米，桥拱顶点到水面的距离为8米．以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱部分抛物线的表达式； (2)问题解决：现有两艘宽为8米，高为4米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由． 8．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 9．嘉嘉外出游玩发现有两根相邻的电线杆，一根在平地上，一根在坡面上，它们之间的电线呈抛物线，她建立为1个单位长度的平面直角坐标系（如图所示），为两根电线杆，电线杆与地面垂直，到地面的距离，，，电线在点正上方时最低． (1)求电线所在抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)要在斜坡AC上种两排树，树与地面OB垂直，其中两棵树在电线的正下方，，与的水平距离为； ①当到的水平距离为时，与两棵树中哪棵树的树顶离电线更近，请通过计算说明； ②与两棵树经过生长高度都增加了后D，F都落在电线上，直接写出到的水平距离． 10．某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和60把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出60套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元． (1)求购买一套桌椅需多少钱？ (2)求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由； (3)如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？ 11．同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利用数学模型研究铅球的运动情况，其运动路径可看作抛物线的一部分，以地面水平方向为x轴，出手点与地面的垂线为y轴，单位长度为，建立了如图所示的平面直角坐标系．小明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为，铅球落地时，离出手点的水平距离是，铅球运行的水平距离为时达到最大高度． (1)求该铅球运行路径所在抛物线的表达式； (2)当铅球距出手点的水平距离为时，求铅球距离地面的高度； (3)小红在投掷铅球时，铅球出手时和落地时的位置与小明的相同，但小红投掷的铅球在距出手点水平距离为时达到最大高度．假设铅球运行的水平距离相同时，小红投掷铅球时铅球的所在位置与小明投掷铅球时铅球所在位置的高度差为，求的最大值及此时铅球运行的水平距离． 12．安济桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州又称赵州桥．其石拱的横截面形状近似拋物线，测得它的跨度为，拱高（抛物线的最高点C到中点O的距离）为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设二次函数的解析式为． (1)结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式；（a的值精确到0.01） (2)当雨季来临时，水位上混，若水面宽度不大于时，要采取紧急措施保护桥梁的安全，求点C到水面的距离最大为多少时需要采取紧急措施？ 13．巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 0 4 h 5 5.5 竖直高度 10 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求出y与x的函数关系式； (2)在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离与时间之间近似满足，且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成动作．若此次跳水她的竖直高度与水平距离满足．求她在达到最高点后能顺利完成动作的a的取值范围． 14．如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远．他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为． 与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 4 ．．． 1 2 ．．． (1)该喷枪的出水口到地面的距离为___________米． (2)观察表格中的数据，用你学过的函数知识求出与之间的函数关系式． (3)在（2）的基础上，当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为多少米？此时水流的射程为多少米？ 15．如图，儿童公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． (1)求水线最高点与点之间的水平距离； (2)当喷水口在处时， 求水线的最大高度； 身高的小安要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《备战2025年中考数学二轮突破训练----二次函数的实际应用》参考答案 1．(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 2．(1)， (2)这两个位置之间的水平距离为 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将分别代入解析式计算即可； （2）将变为，得到火箭第一级运行的最高点为，由比火箭运行的最高点低，得出，进而得到对应的的值，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：火箭第二级的引发点坐标为 ， 将代入得 解得； 将代入得， 解得； （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， 直线 解解析式为， ， 火箭第一级运行的最高点为， ， 将代入得， 解得：或， 火箭第二级的引发点坐标为 ， 不符合题意，舍去， ； 将代入得， 解得； ， 这两个位置之间的水平距离为． 3．(1) (2)①当销售单价时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为1479元；②当销售单价时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润（元）最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）利用待定系数法求一次函数解析式． （2）①根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并结合利润不得高于成本价的得出合适的解即可． ②根据题意列出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将和 分别代入得： 解得：， 所以，与的函数关系式为； （2）解：①据题意得： 解得：， 又因为不合题意，舍去， 当销售单价时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为1479元． ②据题意得，， 即 即当时，有最大值1600，但， 因为，抛物线开口向下， 在对称轴的左边，随的增大而增大， 所以，当销售单价时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润（元）最大， 最大利润元． 4．(1)石块不能飞越防御墙 (2)石块在飞行过程中与坡面的竖直方向最大距离为 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求解析式，将代入解析式，得出y的值，与作比较即可； （2）得出直线的解析式为．作直线轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点，则点的坐标为，表示出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为． 将点代入，得． 解得． ∴． 当时，． ∵， ∴石块不能飞越防御墙． （2）解：∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴直线的表达式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点． 设点，则点的坐标为， ∴． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴石块在飞行过程中与坡面的竖直方向最大距离为． 5．(1) (2)该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出y与x之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，可以求得该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即y与x之间的函数关系式是（，且x是整数）； （2）解：由题意可得， ， ∵，且x是整数， ∴当或41时，w取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 6．(1) (2)小星能将车开进车棚，详见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）车身一端点的坐标为，过作于点，将代入得，此时，即可确定能将车开进车棚； （3）分两种情况讨论，①当都在对称轴的左侧时，②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 将分别代入得 ， 解得：， 顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）解：如图， ∵对称轴为直线：， 车身的宽为， 车身一端点的坐标为， 过作于点， 将代入 得 即， 小星能将车开进车棚； （3）解：在抛物线之间， 且， ， ． ①当都在对称轴的左侧时， 则， ∴ ， （舍）． ②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， ， （舍），（舍） 综上所述：． 7．(1) (2)可以同时从桥下穿过，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意构建二次函数模型是解题的关键． （1）根据题意设出顶点式，利用待定系数法求解； （2）求出时对应的y值，与船的高度比较即可． 【详解】（1）解：， 根据题意得，抛物线顶点，经过点． 设抛物线表达式为． ． ． 桥拱部分抛物线的表达式为； （2）解：． 在中，令， 则． 可以同时从桥下穿过． 8．(1) (2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 9．(1)电线所在的抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2)①的树顶与电线的距离更近，理由见解析；②到的水平距离为 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，，利用分别求得，，得到和，据此求解即可； ②由题意设，则，分别代入二次函数解析式，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，抛物线顶点横坐标为10， 设电线所在的抛物线的解析式为， ，解得， 电线所在的抛物线的解析式为，顶点坐标为； （2）解：①设，， ， ， 解得，则，， ，解得，则，， 时，， 时， 的树顶与电线的距离为：， 的树顶与电线的距离为：， ∵， 的树顶与电线的距离更近； ②到的水平距离为， 由题意设，则， ， ， ∴， 整理得， 解得． 10．(1)购买一套桌椅需要100元 (2)；不能达到，理由见解析 (3)降价4元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元，根据题意列二元一次方程组，求解即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，由，得到关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）令，得到关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元． 依题意可得， 解得， ， 答：购买一套桌椅需要100元； （2）解：不能达到，理由如下： ． 自变量的取值范围是， 解得（为整数）， 由题意得． ，此方程无解， 销售桌椅一天的利润不能达到1250元； （3）解：由题意得， ，． ， ， 即降价4元． 11．(1) (2) (3)的最大值为，此时铅球运行的水平距离为 【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意可设抛物线的表达式为．由可得，，将代入即可求解； （2）将代入，即可求解； （3）可设小红投掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为，根据题意求出，再根据高度差为代入数据求解即可． 【详解】（1）解：铅球出手时铅球离地面的高度为， 可设抛物线的表达式为．由铅球运行的水平距离为时，铅球达到最大高度，， ， ．将代入， 得， 解得，． 故抛物线的表达式为； （2）解：将代入， 得． 即铅球距出手点的水平距离为时，铅球距离地面的高度为； （3）解：根据题意可设小红投掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为， 由题意知，该抛物线的对称轴为直线，且该抛物线经过点，则，， ．将代入， 得， 解得， ， 则 ． ， 当时，取最大值，最大值为1.6． 答：的最大值为，此时铅球运行的水平距离为． 12．(1) (2)最大为米时需要采取紧急措施 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法函数关系式． （1）把代入，求出a值即可； （2）根据题意点的横坐标为，结合（1），将代入中，求出点纵坐标，即可解答． 【详解】（1）解：由已知可得，抛物线顶点， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：根据题意点的横坐标为， 将代入中， 得：， ∴， 即当水面高度达到米时，需要采取紧急措施， ∵， ∴， ∴最大为米时需要采取紧急措施． 13．(1) (2) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，得到，则，进而求解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，抛物线顶点为，抛物线过，， 抛物线的对称轴是直线． 抛物线为． 抛物线过， ． ． 抛物线为； （2）解：， 即， 则， 当时，， 解得：． 14．(1)1 (2) (3)水流的最高点到地面的距离为3米，此时水流的射程为米 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，建立函数模型是解题的关键． （1）由表格即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入一次函数解析式求出(m)，故抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入解析式求出解析式，再令即可求解． 【详解】（1）解：由表格知当， ∴喷枪的出水口到地面的距离为1米， 故答案为：1； （2）解：观察表格中的数据可知与之间成一次函数关系， ∴设直线为，根据题意，得 ， 解得， 故直线的解析式为； （3）解：当时， 得(m)， 故抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入解析式， 解得， ∴， 令，得， 解得，或（舍去）， ∴水流的最高点到地面的距离为3米，此时水流的射程为米． 15．(1)； (2)水线的最大高度为；为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足，理由见解析． 【分析】（）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，易得喷水口在处的抛物线经过点和，那么可得抛物线的对称轴，结合点的坐标可得水线最高点与点之间的水平距离； （）根据抛物线上下平移，对称轴不变以及经过点和点求得当喷水口在处时的水线所在的抛物线的解析式，水线的最大高度即为对称轴与抛物线交点的纵坐标到轴的距离； 取，代入得到的抛物线解析式，求得对应的的值，即可判断出为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足的条件； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，解一元二次方程，建立平面直角坐标系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ∵， ∴点坐标为和，点坐标为， ∴所得抛物线的对称轴为：直线， ∵， ∴点的坐标为， ∴水线最高点与点之间的水平距离为； （2）解：设喷水口在处时，喷出的抛物线形水线的解析式为， ∵经过点，，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标为，故水线的最大高度为； 答：水线的最大高度为； 当时，， ∴，， ∴为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$