精品解析：河北省邯郸市五校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

2024~2025年高一下学期期中联考考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答題卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B. 正三棱锥的每个面都是正三角形 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 4. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（ ） A. B. C. D. 5. 素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（ ） A. B. C. D. 6. 在四边形中，，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是矩形，那么这个几何体可能是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 正四棱锥 D. 正方体 10. 设为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面直径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为__________． 13. 已知，复数，若为纯虚数，则的虚部为__________． 14. 在中，为边上的中线，且，则角的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数. （1）若z为纯虚数，求a的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值． 16. 如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） （1）已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； （2）要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂层油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克． 17. 如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点． （1）若，求的值； （2）若，当A，F，C三点共线时，求的值． 18. 某景区为了吸引游客，计划建设一个五边形区域的游览区，如图所示，其中三角形区域ABE为观赏区，四边形区域BCDE为游乐场活动区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为游览区的主要道路（不考虑宽度），且，，，，． （1）求四边形的面积； （2）求游览区的主要道路的总长度的最大值． 19. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R为外接圆的半径． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025年高一下学期期中联考考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答題卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【详解】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为且， 所以，解得. 故选：C 3. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B. 正三棱锥的每个面都是正三角形 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知D正确，C错误. 【详解】对于A，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该直四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，故A错误； 对于B：正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，故B错误； 对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥， 以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥组合而成的几何体，故C错误； 对于D：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正确； 故选：D 4. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直观图得到平面图，再计算出相关线段的长，从而求出周长与面积，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，故， 则平面图形的面积为：，周长为：， 故原平面图形的周长的平方与面积的比值. 故选：C 5. 素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据球和圆柱的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆柱的高为，则银杯内壁的表面积， 得. 故选：A 6. 在四边形中，，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先可得四边形为平行四边形，由得到，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，，所以四边形为平行四边形， 若，则， 所以，则， 所以，则四边形是矩形， 所以由“”推不出“四边形是正方形”，故充分性不成立； 由“四边形是正方形”推得出“”，故必要性成立； 所以“”是“四边形是正方形”必要不充分条件. 故选：B 7. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形的几何特征，利用正弦定理、余弦定理求解出结果即可. 【详解】，， ，，， ， 在中，米. 在中，由正弦定理得米. 在中，由余弦定理得： ， 米. 故选：D. 8. 在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据外心的性质，得到，，再根据和，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设的三边分别为， ，， 因为，所以点是外接圆的圆心， 所以，， 所以，即， ，即， 所以，即， . 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是矩形，那么这个几何体可能是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 正四棱锥 D. 正方体 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解. 【详解】用一个平面去截圆锥得到的截面可能为三角形、圆等，不可能出现矩形， 用一个平行于底面的平面去截正四棱锥得到的截面为正方形（也是矩形），故C正确， 用一个平面去截圆柱，正方体，截面的形状都有可能是矩形. 故选：BCD 10. 设为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、D，根据复数的模及复数代数形式的运算判断B、C. 【详解】对于A：当时，满足，此时，，，故A错误； 对于B：设，，， 所以， 同理可得， 若，则，则，故B正确； 对于C：因为，所以， 又因为，所以，即，故C正确； 对于D：若，但是与不一定能比大小，如，， ，满足，但与不能比大小，故D错误； 故选：BC 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正切函数的性质判断A，利用正弦定理得到，再由二倍角公式判断B，利用余弦定理将角化边，即可判断C，首先证明，同理可得，，再利用作差法及两角差的正弦公式计算，即可判断D. 【详解】对于A：若， 则可得或或，即或或，故A错误； 对于B：若，则由正弦定理可得，则， 所以，即，故B正确； 对于C：若，由余弦定理可得， 即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以，即，所以是直角三角形，故C正确； 对于D：因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，同理可得，， 所以， 则 ， 即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面直径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设母线为，则，即可求出，再由表面积公式计算可得. 【详解】因为圆锥的底面直径为，即底面半径，设母线为，则，则， 所以该圆锥的表面积. 故答案为： 13. 已知，复数，若为纯虚数，则的虚部为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算及纯虚数、共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，得， 所以， 因为为纯虚数，所以，即， 所以， 所以的虚部为为， 故答案为： 14. 在中，为边上的中线，且，则角的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据数量积的运算律及定义得到，即，再由余弦定理求出的范围，即可得解. 【详解】设，则，， 所以 ， 所以，则， 由余弦定理， 当且仅当时取等号， 又，所以，即的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数. （1）若z为纯虚数，求a的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值． 【答案】（1）； （2），最小值为. 【解析】 【分析】（1）由纯虚数的定义列式求出值. （2）求出复数对应点的坐标，列出不等式组求出范围；再由复数模的定义，结合二次函数求出最小值. 【小问1详解】 复数为纯虚数，则且， 所以. 【小问2详解】 复数在复平面内对应的点位于第二象限， 则且，解得， ，当且仅当时取等号， 所以a的取值范围是，的最小值为. 16. 如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） （1）已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； （2）要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂层油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克． 【答案】（1）4992g； （2）72000g. 【解析】 【分析】（1）利用圆柱与棱柱的体积公式求出零件的体积，借助铁的密度求出铁的质量. （2）利用圆柱与棱柱的表面积公式求出零件的表面积，即可得解. 【小问1详解】 圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而铁的密度为，所以生产一件这样的铸铁零件需要克铁. 【小问2详解】 此零件的表面积为（）， 因此1000个零件的表面积为， 所以需油漆的质量为（）. 17. 如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点． （1）若，求的值； （2）若，当A，F，C三点共线时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底，表示，再由向量数量积的运算律即可求解； （2）由三点共线的向量表示，列出等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：，，又， 所以，所以， 所以， ， ； 【小问2详解】 ，当A，F，C三点共线时， 由（1）， 所以， ，， 因为当A，F，C三点共线， 所以 即， 因为不共线， 所以，解得： 18. 某景区为了吸引游客，计划建设一个五边形区域的游览区，如图所示，其中三角形区域ABE为观赏区，四边形区域BCDE为游乐场活动区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为游览区的主要道路（不考虑宽度），且，，，，． （1）求四边形的面积； （2）求游览区的主要道路的总长度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可得到，最后由面积公式计算可得； （2）设，中用正弦定理得，进而应用辅助角公式、正弦型函数的性质求最大值，即可得解. 【小问1详解】 如图，连接， 在中，由余弦定理得 ，则， ∵，则，又， ∴， 在中，，， 由正弦定理可得， ∴，又，则， 所以，所以， 所以，， 所以. 【小问2详解】 设，由，得， 在中，由正弦定理， 又， ∴ ∴ ， 又， ∴， 当，即时，取得最大值， 又， 则， 所以游览区的主要道路的总长度的最大值为. 19. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R为外接圆的半径． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理计算可得； （2）由正弦定理可得，进而得到的大小，由正弦定理和三角恒等变换得到，从而根据的范围计算可得； （3）由题意得出，，然后化简，从而利用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由正弦定理，所以，， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理， 即， 又因为为锐角三角形，所以，又，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，即，所以， 所以， 即的取值范围为. 【小问3详解】 因为，，， 所以， 由余弦定理， 所以， 又因为为锐角三角形，所以，所以， 所以由正弦定理，得， 又因为，所以， 所以，即, 又因为为锐角三角形，所以， 两边同时除以，得， 因为且为锐角三角形， 所以，所以， 所以， 所以 ， 令，则， 所以 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $