3.2.1双曲线的标准方程-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

走进数学世界 The standard equation for a hyperbola 授课老师：吕武林 授课日期：2024.11.13 复习引入 一 F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＞|F1F2|，则平面上满足 |PF1|＋|PF2 | =2a的动点P的轨迹称为椭圆。 1 椭圆的定义是什么？ 焦点在x轴的椭圆方程： 焦点在y轴的椭圆方程： 复习引入 一 均满足= 椭圆的标准方程是什么，你还记得怎么推导的吗？ 2 3 问题情境 二 如图所示，某中心O接到其正西、正东、正北方向三个观测点A、B、C的报告，A、B、C、O均在同一平面内： 两个观测点A，C同时听到了一声巨响， 观测点B听到的时间比A观测点晚 4 s，已知各观测点到该中心的距离都是 3海里. 发出巨响的位置为点P，假定当时声音传播速度为 1海里 /s，你能确定该巨响发生的点的位置吗？ 1.|PA|=|PC| P 满足这个条件的点的轨迹是什么？ 问题情境 二 想一想？ P A B 2.|PB|-|PA|=4×1=4 (海里） 满足这个条件的点是否存在？ 若存在,它的轨迹是什么？ 5 数学试验演示 [1]取一条拉链； [2]如图把它固定在 板上的两点F1、F2； [3] 拉动拉链（P）. 思考：拉链运动的轨迹是什么？ （要求：请认真观察图中动画，对比椭圆定义的生成，思考点P在运动过程中那些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？） 新知探究 三 椭圆的定义 F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＞|F1F2|，则平面上满足 |PF1|＋|PF2 | =2a的动点P的轨迹称为椭圆。 其中，两个定点F1、F2称为椭圆的焦点;两个焦点间的距离|F1F2|称为椭圆焦距. 类比 双曲线的定义 F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足| |PF1|-|PF2 | |=2a的动点P的轨迹称为双曲线。 其中，两个定点F1、F2称为双曲线的焦点;两个焦点间的距离|F1F2|称为双曲线焦距. 新知探究 三 1.双曲线定义 8 新知探究 三 思考：定义中的|PF1|-|PF2 |如果不加绝对值符号，还能表示双曲线吗？ |PF1|-|PF2 | =2a |PF1|-|PF2| =-2a 9 新知探究 三 思考：定义中的2a＜|F1F2|,如果变成2a=|F1F2|或2a>|F1F2|,还能表示双曲线吗？ 2a=|F1F2| 2a>|F1F2| ① 若2a=2c, 即||PF1|-|PF2||= |F1F2| F1 F2 P 轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 ② 若2a>2c, 即||PF1|-|PF2|| > |F1F2| 轨迹不存在(不表示任何图形） 10 新知探究 3 双曲线在生活中的广泛应用 11 新知探究 三 求曲线方程的步骤： （1）建系 （2）设点 （3）列式并用坐标表示 （4）化简并检验 2.双曲线方程 问题：回顾椭圆的标准方程的推导步骤及方法，能否类比推导双曲线的标准方程？ 12 新知探究 三 2.双曲线方程 思考：推导椭圆方程时是如何建系的？ 请参照椭圆方程的推导过程，建立适当的平面直角坐标系，求出双曲线的方程。 13 新知探究 二 移项得 两边平方得： 化为： 14 新知探究 三 双曲线的标准方程： 均满足= 焦点在x轴的双曲线方程： P 焦点在y轴的双曲线方程： P 15 1.哪些方程是双曲线的方程,如果是双曲线，请确定焦点位置，确定a、b、c的值？ 新知应用 四 例1、求适合下列条件的曲线方程： 两个定点的坐标分别是（-5，0），（5，0），且曲线上的点与两定点距离之差的绝对值等于6； 课堂练习 定义法 解：由双曲线的定义可知， 所以 所以 17 练习 根据双曲线定义求双曲线标准方程 五 如图所示，某中心O接到其正西、正东、正北方向三个观测点的报告： 两个观测点A，C同时听到了一声巨响， 观测点B听到的时间比A观测点晚 4 s，已知各观测点到该中心的距离都是3海里. 假定当时声音传播速度为 1海里/s，且A、B、C、O均在同一平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗？ 解决课前问题 满足|PB|-|PA|=4 的点的轨迹是什么？ 解决课前问题 五 如图，以O为原点，AB,OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则 A（-3，0），B（3，0），C（0，3），点P在以A，B为焦点的双曲线上 对于双曲线，由条件可得： 即 其方程为： 又因为P在直线 y=-x 上，联立： 解得: 所以，点P在中心O的西北方向的 海里处. 20 总结反思 六 . 我学到了什么 我有哪些收获 本节课 21 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, b2=c2-a2 a, b, c中c最大 a>b>0, b2=a2-c2 a, b, c中a最大 ||PF1|－|PF2||=2(2a<|F1F2|) |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 双曲线与椭圆之间的区别与联系 总结反思 六 课后作业 七 1.课本练习P121页 练习A第1-2题 2.课时作业（三十一) 基本巩固1-9题 Lavf58.46.101 Lavf58.76.100 $$