数学（江苏苏州卷）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

2学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025年中考考前最后一卷(江苏苏州卷) 数学·参考答案 第I卷 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 6 B C B C A D 第II卷 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,请把答案填写在答题卡相应位置上) 9. 4 10. 16 11. (x-2)2 12.1 2/k>0.5 13.2 32 15.8 16.2或6 三、解答题(本大题共11小题,共82分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(本题满分5分) 解:1-3-V16+v-8+(-21{ -3-4-2+1 -2 ......................................分. 18.(本题满分5分) 1/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 $-2x-++2=+$$ 解:去分母得: 化简得-2x=-1. 1 解得x=- 检验:当x-时, 1 (x+1)(x-2)0 所以x=2是原方程的解. 19.(本题满分6分) .(1)_ 解: -a-1+2(a-1)} -+a a-l(a+1)(a-1) -1+a. .............................................分 当a=22025时,原式=1+2025-2026 ..............................................分 20. (本题满分6分) AC/BD (1)解: .乙MCE=乙NDE. 由尺规作图可知:GH为CD的垂直平分线 .CE=DE. CEM= DEN=90* IMEC-乙NED EC-ED 在 和 中 △MEC NED 乙MCE-ZNDE' '△MECNED. (2)解:四边形DMCN为菱形, 理由如下: 由尺规作图可知: MN1CD. DE=CE. 2/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(1) 可知AMECNED $ME=NE. :.四边形DMCN对角线相互垂直平分, :四边形DMCN为菱形. ......................1. 21.(本题满分6分) (1)解:由题意知,共有4种等可能的结果,其中卡片上是“意”的结果有1种, '从盒子..机...........了..........分. (2)解:根据题意,画树状图,得 开始 第一张 # 第二张已已如意 已已如意 已已如意 已已如意 由树状图可知,共有16种结果,每种结果出现的可能性都相等,其中摸出的这两张卡片上印有“已”和 “如”的结果有2种, 4_! 22.(本题满分8分) (1)解:调查的总人数为: 24-12%-200. 即本...................................分. 200 ................... 故答案为:200: 28.80: (2)解:C微标投票数为: 200-85-24-16-45=30. 把条形统计图补充完整如图 3/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 各徽标投票数的条形统计图 投票数量/票 100 g 85 45 .................................分 20 30 -24- 16 A. 0B D C E徽标类别 45 (3)解:2000x- .-450 200 (人). 答:....择...标.....有..是.........................分 23.(本题满分8分) :_1 2. 解得-2. 解得m=1. ...................... A(1.2) 7 .AC1x轴于点C .:C(1.0 B(-2,-1) 设直线BD的函数表达式为y=kx+b. C1,0) ,将 代入得, [-2k.+6=-1 #l+b=0 4/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 #_ 解得 ## 3.-.............分 12 =-2 2=3 解得 ) 1-1-2-2 当,3时, - 3x 31 .#3). 由(1)可得AC-2. S. Aao=S. Anc+S co= 即△ABD的面积为5. ......................分 24.(本题满分8分) (1)解:如图,过点D作DH1CE于点H,则乙CHD=90{}. 图1 CD-4VTo {米,斜面CF 由题意知: 的坡比为 1:3 ) ##. .D_! 设DH=x米,则CH=3x米, .Rt△CDH 在 中,1 DH}+CH}=DC{} 由幻股定理得 ($ 5/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .^+(3x)=(4Vo){}, '.x=4,即DH-4米, ·点D到地平线B的距离为4米; ;.......................分 (2)解:如图2,过点D作DG1AB于点G,设BC=a米, A .HG 145。 图2 由(1)得:DH=4米. :CH-12米, DHB= $DGB= ABC=90$$$ :.四边形DHBG为矩形, :DH-BG=4米, $DG=BH=(a+12] 米, ·乙ACB-45。. :BC=AB=a米, .AG=a-4) 米, 在Rt&ADG中, tan乙ADG=tan26.5o-AG DG' .~4 ~0.5. a+12 'a=20,经检验:a=20是原方程的解, .AB-20(米). 答:大树AB的高度是20米. 25. (本题满分10分) (1)证明:连结OC,如图 6/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..CF为0的切线 .OC1CF. .OCF=90 °$$ 即乙OCA+ DCF=90° .OF1AB. .乙AOF=90{ '.A+乙ADO=90$ .OA=OC. 'A= OCA ' DCF= ADO. .ZACO=CF, '. CDF= DCF. .DF=CF. (2)解:AB是O的直径 . ACB=90$= A $$ .0半径为5 .AB=10 .在Rt△ABC中, BCAB-AC*=10-3Vo}1 [乙A-乙A 在△AOD和△ACB中 AOD=ACB .△AODACB 00 . oD 030 5 7/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设CF=DF=$$ 则OF=OD+DF= 3 Rt△OCF 中, $$C^*}+CF^*}=OF} 在 #$^→-() 20 解得x= 3' :CF20 3 OC 5 3 tanF= 在 中, = . Rt△OCF 3 26. (本题满分10分) (1)解:设滨滨每个进价为每个用元, 则婉婉每个进价是(m-65)元, 28000 15000 根据题意得: n m-65 解得: m-140. 经检验,m=140是原分式方程的解, .m-65=140-65=75(元). 答:每个滨滨的进价140元,每个婉婉的进价为75元; (2)解:根据题意得:y=(198-140)x+(100-75)(500-x)=33x+12500. :商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与婉呢 (140x+75(500-x)>60000 140x+75(500-x)<60250 3462x530. 解得: 13 , 而x为整数 8/13 2学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -.x可取347或348或349或350; ,有4种购买方案; .......................分 34} (3)解:由(2)知y=33x+12500 <xS350 .-330. -y随的增大而增大, .$x=350时,y取最大值,最大值为33x350+12500=24050 设捐赠的滨滨a个,捐赠娓婉n个, 根据题意得: x10 .= 430-28a 15. 'a、”都为非负整数, :a=10,n=10. 答:......................分 27. (本题满分10分) (1).y=- 当x=0时,y=4. .:C(0.4 , 当-o时, 22=4 解得=-2 . 。 .4/2.0) B4.0j (2).y=- 2. .#1.# ·过定点(1) 的直线与此抛物线交于E、F两点, 9/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G(1.1) ·.如图所示,设点 ,连接DG. 图1 .DG/y轴, 。 .DG- 2. 35 .$r-l=10 .(x-)}=100$$$$ .(+)”-2{$=10 1 =kx+b$ 设直线 解析式为 , G(1.1) 将 代入得, $=k+b .b=1-k,$ .$=k+1- .将直线y=x+l-k和抛物线y=- $+($ k-$ $-$ k-6 $$ 整理得, 10/13 2025年中考考前最后一卷（江苏苏州卷） 数 学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列实数的绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数绝对值的计算，实数大小的比较，掌握：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键；分别计算出各数的绝对值，再比较绝对值的大小即可作出判断． 【详解】解：由于，， 而， 故的绝对值最大； 故选：A． 2．我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．截至2025年2月底，我国非化石能源发电装机规模首次迈上20亿千瓦台阶，非化石能源发展呈现良好态势，数据20亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 这里． 【详解】解：． 故选：B． 4．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义，首先根据两直线平行，同位角相等可得：，再根据平角的定义可求． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 5．已知是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的进行判定即可． 【详解】解：是实数，若，， ，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选C． 6．如图，在中，，，的半径为，圆心为点A．若在内任取一点，则这个点恰好在图中的阴影部分的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，扇形的面积．先求得和，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∴，， ∴这个点恰好在图中的阴影部分的概率为， 故选：B． 7．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺， 根据题意得，， 故选：． 8．如图，四边形是边长为2的正方形，E是平面内一点，，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，连接．则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，证明三角形相似是解题的关键．通过证明，可得，则当点在上时， 有最小值为，即的最小值为． 【详解】解∶如图，连接，，交于点，连接，． 四边形是正方形， ，，， ， ， 将绕点顺时针方向旋转得到线段， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 当点在上时，有最小值为， 的最小值为． 故选：D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，单项式的乘法．先根据乘方运算法则计算，再计算单项式的乘法即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10．已知，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了多项式与多形式的乘法，单项式与多项式的乘法，及整体代入法求代数式的值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多形式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则化简，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：16． 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用完全平方公式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 12．关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在原点上方，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的性质；由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：∵y随x的增大而减小， ∴． ∴． 当时，， ∵图象与y轴的交点在原点上方， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 13．如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正多边形的性质和等边三角形的性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 设为正六边形的中心，连接，则是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：设为正六边形的中心，连接，如图， ∴， ∴是等边三角形， ∵正六边形的边长为1， ∴． 故答案为：2． 14．和是关于的一元二次方程的两个实数根，数轴上和所表示的点分别为，若点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，数轴上两点的距离，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据元二次方程根与系数的关系得出，，则，．再根据点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，得出，求解即可得，从而求得，然后由求解即可． 【详解】解：∵和是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ，． 由题意知，则， 解得． ， ． 故答案为：． 15．如图，是的直径，点都在上，若点是的中点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 点A是的中点， ，设垂足为点， ， ， 和所对的弧都是， ， ，且， ， ， ， 在中，,，，， ， 是的直径， ， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，，为中点，连接．动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是1个单位长度/秒，连接，，，以运动时间为秒，则 时，为直角三角形． 【答案】2或6 【分析】是直角三角形时，有三种情况，一是，二是，三是，然后进行分类讨论求出的值． 【详解】解：过点作的垂线，交于点，交于点，如图， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 当， ，， ， ， ， ， ， ； 当， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，(舍去)， 当， 由题意知：此情况不存在， 综上所述，为直角三角形时，或6， 故答案为：2或6． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，有一定的综合性． 三、解答题（本大题共11小题，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分5分） 计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，零指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 18．（本题满分5分） 解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练掌握分式方程解题步骤，要注意验根．先去分母，化为整式方程，解出整式方程，然后代入最简公分母检验是否为零，即可． 【详解】解：去分母得：， 化简得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 19．（本题满分6分） 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2026 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式=． 20．（本题满分6分） 如图，已知．现按下列要求作图： 步骤一：分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于； 步骤二：直线分别交于点，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 【分析】根据尺规作图可知：为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可知：，，利用可证结论成立； 由尺规作图可知：，，根据可知，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可证结论成立． 【详解】（1）解：， ， 由尺规作图可知：为的垂直平分线， ，， 在和中， ； （2）解：四边形为菱形， 理由如下： 由尺规作图可知：，， 由可知， ， 四边形对角线相互垂直平分， 四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，解决本题的关键是读懂尺规作图，根据尺规作图判断与的关系． 21．（本题满分6分） 2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“意”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上为“巳”和“如”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“意”的结果有1种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“意”的概率为． （2）解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“巳”和“如”的结果有2种， ∴摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 22．（本题满分8分） 美育是传承中华文明的重要方式，是增强文化自信的重要力量．某校为建设美育育人环境，打造文明高雅的校园文化，决定举办校园文化节，组织学生为文化节进行徽标设计比赛．经过初选，确定了五幅徽标入围最后的评选．学校在各个年级随机进行“我最喜爱的徽标”问卷调查，被调查的学生只能选择其中的一幅徽标．根据调查数据绘制成下面的两幅统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是______．扇形统计图中D对应圆心角的度数为______ (2)把条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） (3)该校共有2000名学生，请你估计选择E徽标的学生有多少人? 【答案】(1)200； (2)见解析 (3)450人 【分析】本题考查条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图． （1）根据B徽标投票数所占的比例求出调查的总人数，用D徽标投票数所占的比例乘以360度，计算即可得扇形统计图中D对应圆心角的度数； （2）求出C徽标投票数，补全条形统计图即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：调查的总人数为：， 即本次调查的样本容量是200 扇形统计图中D对应圆心角的度数为， 故答案为：200；； （2）解：C徽标投票数为：， 把条形统计图补充完整如图： （3）解：（人）， 答：估计选择E徽标的学生约有450人． 23．（本题满分8分） 如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象的交点、运用待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积． （1）将点代入求出k，再将点代入反比例函数求出m，即可得点C的坐标，直线过B、C两点，用待定系数法求函数解析式即可； （2）先令，求出点D的坐标，再根据求面积即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数上， ∴， 解得， 即， ∵轴于点C， ∴， 设直线的函数表达式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：令， 解得，， 当时，， ∴， 由（1）可得， ， 即的面积为5． 24．（本题满分8分） 数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求点D到地平线的距离； (2)求大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)点到地平线的距离为4米 (2)大树的高度是20米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键． （1）过点D作于点H，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （2）过点D作于点G，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米然后利用仰角，俯角及正切即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则， 由题意知：米，斜面的坡比为， ， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， ， ，即米， 点到地平线的距离为4米； （2）解：如图2，过点作于点，设米， 由（1）得：米， 米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， 在中，， ， ，经检验：是原方程的解， （米）， 答：大树的高度是20米． 25．（本题满分10分） 如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理． （1）连结，先根据切线的性质得到，再利用和得到，然后根据对顶角相等得到，从而有结论； （2）先根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再证明，利用相似比可求出，在中，设，则，利用勾股定理得到，解方程得到的长，然后根据正切的定义求解． 【详解】（1）证明：连结，如图 ， ∵为的切线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是的直径 半径为5 在中， 在和中 ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴， 在中， 26．（本题满分10分） 2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 【答案】(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； (2)，有4种购买方案； (3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【分析】（1）设每个滨滨的进价为每个元，则每个妮妮的进价是元，根据题意得：，即可解得每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元； （2）由题意可得，根据商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，可得，而为整数，即可得答案； （3）由，，由一次函数性质可得最大值为24050，设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，即得，而、都为非负整数，故知捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个． 【详解】（1）解：设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， （元， 答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； （2）解：根据题意得：， 商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮， ， 解得：， ， 而为整数， 可取347或348或349或350； 有4种购买方案； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， 时，取最大值，最大值为， 设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个， 根据题意得：， ， 、都为非负整数， ，， 答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，方程的正整数解的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式． 27．（本题满分10分） 如图1，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)请直接写出点、、的坐标； (2)如图1，过定点的直线与此抛物线交于两点，连接，当时，求直线的解析式； (3)如图2，若点、是此抛物线上的两个动点，且，连接，以、分别为切点作此抛物线的切线，两切线交于点，过点作轴交于点，求证：线段的长度为定值． 【答案】(1)，， (2)或 (3)1 【分析】（1）分别令和求解即可； （2）首先求出顶点，如图所示，设点，连接，然后求出，然后根据求出，得到，然后表示出直线表达式为，然后与抛物线联立，求出，，然后代入求解即可； （3）设待定系数法求得直线的解析式为：，联立抛物线解析式得出，根据根与系数的关系得出，进而求得，得出，代入得，进而求得的长为定值，即可求解． 【详解】（1）∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，； （2）∵， ∴顶点， ∵过定点的直线与此抛物线交于两点， ∴如图所示，设点，连接， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将代入得，， ∴， ∴， ∴将直线和抛物线联立得， ， 整理得，， ∴，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为或； （3）证明：设， ， 则， ∴， 待定系数法求得直线的解析式为：， 联立， 解得， ， 设解析式为， 联立得， ∵与抛物线相切线交于点， ∴与抛物线只有1个交点，此交点为， 则， ， ， 同理可得， 联立， 解得：， 又∵ ， ， 则， ∵轴， ， 将代入， 得， ， ∴线段的长度为定值． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，面积问题，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28 / 29 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考考前最后一卷（江苏苏州卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9 ． ____________________ 1 0 ． ____________________ 1 1 ． ______ ______________ 1 2 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三、解答题（共 82 分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 1 7 ．（ 5 分） )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ．（ 5 分） 1 9 ．（6分） 20. （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 ． （ 6 分） 22 ． （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 8 分） 2 4 ． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 . （10分） 2 6 . （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 . （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考考前最后一卷（江苏苏州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列实数的绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 2．我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．截至2025年2月底，我国非化石能源发电装机规模首次迈上20亿千瓦台阶，非化石能源发展呈现良好态势，数据20亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．已知是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，的半径为，圆心为点A．若在内任取一点，则这个点恰好在图中的阴影部分的概率为（     ） A． B． C． D． 7．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是边长为2的正方形，E是平面内一点，，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，连接．则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 9．计算： ． 10．已知，则 ． 11．分解因式： ． 12．关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在原点上方，则实数的取值范围是 ． 13．如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是 ． 14．和是关于的一元二次方程的两个实数根，数轴上和所表示的点分别为，若点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，则 ． 15．如图，是的直径，点都在上，若点是的中点，，，则的长为 ． 16．如图，在矩形中，，，为中点，连接．动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是1个单位长度/秒，连接，，，以运动时间为秒，则 时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共11小题，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分5分） 计算： 18．（本题满分5分） 解方程：． 19．（本题满分6分） 先化简，再求值：，其中． 20．（本题满分6分） 如图，已知．现按下列要求作图： 步骤一：分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于； 步骤二：直线分别交于点，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 21．（本题满分6分） 2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 22．（本题满分8分） 美育是传承中华文明的重要方式，是增强文化自信的重要力量．某校为建设美育育人环境，打造文明高雅的校园文化，决定举办校园文化节，组织学生为文化节进行徽标设计比赛．经过初选，确定了五幅徽标入围最后的评选．学校在各个年级随机进行“我最喜爱的徽标”问卷调查，被调查的学生只能选择其中的一幅徽标．根据调查数据绘制成下面的两幅统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是______．扇形统计图中D对应圆心角的度数为______ (2)把条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） (3)该校共有2000名学生，请你估计选择E徽标的学生有多少人? 23．（本题满分8分） 如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 24．（本题满分8分） 数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求点D到地平线的距离； (2)求大树的高度．（参考数据：，，） 25．（本题满分10分） 如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 26．（本题满分10分） 2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 27．（本题满分10分） 如图1，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)请直接写出点、、的坐标； (2)如图1，过定点的直线与此抛物线交于两点，连接，当时，求直线的解析式； (3)如图2，若点、是此抛物线上的两个动点，且，连接，以、分别为切点作此抛物线的切线，两切线交于点，过点作轴交于点，求证：线段的长度为定值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（江苏苏州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列实数的绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 2．我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．截至2025年2月底，我国非化石能源发电装机规模首次迈上20亿千瓦台阶，非化石能源发展呈现良好态势，数据20亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．已知是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，的半径为，圆心为点A．若在内任取一点，则这个点恰好在图中的阴影部分的概率为（     ） A． B． C． D． 7．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是边长为2的正方形，E是平面内一点，，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，连接．则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 9．计算： ． 10．已知，则 ． 11．分解因式： ． 12．关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在原点上方，则实数的取值范围是 ． 13．如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是 ． 14．和是关于的一元二次方程的两个实数根，数轴上和所表示的点分别为，若点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，则 ． 15．如图，是的直径，点都在上，若点是的中点，，，则的长为 ． 16．如图，在矩形中，，，为中点，连接．动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是1个单位长度/秒，连接，，，以运动时间为秒，则 时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共11小题，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分5分） 计算： 18．（本题满分5分） 解方程：． 19．（本题满分6分） 先化简，再求值：，其中． 20．（本题满分6分） 如图，已知．现按下列要求作图： 步骤一：分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于； 步骤二：直线分别交于点，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 21．（本题满分6分） 2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 22．（本题满分8分） 美育是传承中华文明的重要方式，是增强文化自信的重要力量．某校为建设美育育人环境，打造文明高雅的校园文化，决定举办校园文化节，组织学生为文化节进行徽标设计比赛．经过初选，确定了五幅徽标入围最后的评选．学校在各个年级随机进行“我最喜爱的徽标”问卷调查，被调查的学生只能选择其中的一幅徽标．根据调查数据绘制成下面的两幅统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是______．扇形统计图中D对应圆心角的度数为______ (2)把条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） (3)该校共有2000名学生，请你估计选择E徽标的学生有多少人? 23．（本题满分8分） 如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 24．（本题满分8分） 数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求点D到地平线的距离； (2)求大树的高度．（参考数据：，，） 25．（本题满分10分） 如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 26．（本题满分10分） 2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 27．（本题满分10分） 如图1，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)请直接写出点、、的坐标； (2)如图1，过定点的直线与此抛物线交于两点，连接，当时，求直线的解析式； (3)如图2，若点、是此抛物线上的两个动点，且，连接，以、分别为切点作此抛物线的切线，两切线交于点，过点作轴交于点，求证：线段的长度为定值． 10 / 11 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考考前最后一卷（江苏苏州卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3分，共 24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 二、填空题（每小题 3分，共 24分） 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 三、解答题（共 82分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（6分） 20.（6分） 21．（6分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10分） 26.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！