第04讲 10.2 事件的相互独立性（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册

第04讲 10.2 事件的相互独立性 课程标准 学习目标 ①理解两个事件相互独立的概念。 ②能进行一些与事件独立有关的概念的计算。 ③通过对实例的分析，会进行简单的应用。 1.数学抽象：两个事件相互独立的概念； 2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算； 知识点01：相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 【即学即练1】（23-24高一下·安徽黄山·期末）设事件与事件满足：，，，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件不是相互独立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C．事件与事件是相互独立事件 D．事件与事件不是相互独立事件 【答案】C 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据独立事件概率公式，即可判断选项. 【详解】因为，所以事件和事件是相互独立事件，故C正确， 则与，与和和都是相互独立事件. 故选：C 知识点02：相互独立事件概率的求法 已知两个事件，相互独立，它们的概率分别为，，则有 事件 表示 概率 ，同时发生 ，都不发生 ，恰有一个发生 ，中至少有一个发生 或 ，中至多有一个发生 或 知识点03：互斥事件与相互独立事件的区别与联系 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生， 即 概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥， 则 题型01 相互独立事件的判断 【典例1】（23-24高一下·吉林延边·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 【答案】C 【知识点】独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的定义可得答案. 【详解】， ， ，，，， ，，，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·安徽滁州·开学考试）袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球． (1)求摸出的两个球中有红球的概率； (2)记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立． 【答案】(1) (2)事件M，N不相互独立. 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）运用列举法，结合古典概型的知识来计算概率； （2）结合分类原理，计算概率，然后通过判断事件的概率关系来确定是否相互独立. 【详解】（1）从6个球中不放回地随机摸出两个球，总共有种情况. 假设摸出的两个球中没有红球，则列举出所有组合情况， 即，共6种. 则摸出的两个球全是白球概率为：.所以摸出的两个球中有红球的概率为. （2）由（1），事件M的概率为， 事件N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，有两类情况：两球均为奇数或两球均为偶数. 两球均为奇数的情况有，3种；两球均为偶数的情况有, 3种； 共6种，则； 即摸出的两个球全是白球且编号之和为偶数，有,共2种，则概率为. 因为不成立，所以事件M，N不相互独立. 【变式1】（多选）（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（    ） A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁 【答案】ABC 【知识点】独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的定义来判断各选项中的两个事件是否相互独立.分别求出各事件发生的概率以及它们同时发生的概率，然后进行比较. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，每次都有种不同的结果. 事件甲：第一次点数为奇数，即第一次掷出、、，共种情况，所以. 事件乙：第二次点数为偶数，即第二次掷出、、，共种情况，所以. 事件丙：两次点数相同，即、、、、、，共种情况，所以. 事件丁：两次点数之和为偶数，可分为“两次点数均为奇数”和“两次点数均为偶数”. “两次点数均为奇数”有种情况，“两次点数均为偶数”也有种情况，所以. 甲与丙：甲与丙同时发生，即第一次点数为奇数且两次点数相同，有、、， 共种情况，所以. 而，即，所以甲与丙相互独立. 乙与丙：乙与丙同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数相同，有、、，共种情况，所以. 而，即，所以乙与丙相互独立. 乙与丁：乙与丁同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数之和为偶数， 也就是第一次点数也为偶数，有种情况，所以. 而，即，所以乙与丁相互独立. 丙与丁：丙与丁同时发生，即两次点数相同且两次点数之和为偶数， 也就是两次点数均为偶数或均为奇数，有、、、、、，共种情况， 所以. 而，即，所以丙与丁不相互独立. 甲与丙、乙与丙、乙与丁相互独立. 故选：ABC. 【变式2】（多选）（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（   ） A．A与C B．A与D C．B与C D．B与D 【答案】ABC 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据给定条件，列举出样本空间，求出有关概率，再利用相互独立事件的判定公式逐项计算判断. 【详解】掷两个质地均匀的骰子的样本空间： ，共36个样本点， ，共18个样本点， ，共24个样本点， ，共10个样本点， ，共9个样本点， ， 对于A，，，A是； 对于B，，，D是； 对于C，，，C是； 对于D，，，D不是. 故选：ABC 【变式3】（24-25高二上·上海·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)，，相互独立，理由见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）根据古典概型的概率公式求出，，，再根据独立事件的定义判断． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，； （2）事件和事件相互独立，理由如下： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立． 【变式4】（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)事件A和事件B相互独立，理由见解析 【知识点】写出基本事件、独立事件的判断、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）根据题意，用列举法进行求解即可； （2）根据相互独立事件的定义，结合古典概型公式进行求解即可. 【详解】（1）依题意试验的样本空间为： （2）事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以事件A和事件B相互独立. 题型02相互独立事件与互斥事件 【典例1】（24-25高二上·上海·期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】利用互斥事件的概念判断选项A；利用对立事件的定义判断选项B；利用古典概型判断选项C；利用事件独立性概念判断选项D． 【详解】由题可得，样本空间为 ，共有36个样本点， 其中 共包含18个样本点， 共包含9个样本点， ，共有18个样本点， 对于．若为奇数，则一个为奇数，一个为偶数，若为奇数，则都为奇数，∴事件和事件不能同时发生，∴事件与事件是互斥事件，故正确； 对于B．事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，例如， ∴事件与事件是互斥但不对立事件，故B错误； 对C．，C正确； 对D．所以 又因为所以， 所以与相互独立，D正确． 故选：B． 【典例2】（多选）（24-25高二下·重庆·阶段练习）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 【答案】ABD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 【变式1】（24-25高三下·上海·阶段练习）投掷一枚均匀的骰子，事件: 点数大于 2 ; 事件: 点数小于4 ; 事件: 点数为偶数. 则下列关于事件描述正确的是（     ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C．与是独立事件 D．与是独立事件 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可. 【详解】依题意事件，事件，事件， 所以与不是互斥事件，显然不可能是对立事件，故A、B错误； 因为，所以，又，， 所以，所以与是独立事件，故C正确； 因为，所以，又， 所以，所以与不是独立事件，故D错误； 故选：C 【变式2】（24-25高二上·广东汕尾·期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断. 【详解】由题意，用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数， 则该试验的样本空间为：， 则，事件，， 事件，. 对于A，，故A错误； 对于B，因，故事件A与事件B相容，故B错误； 对于C，因，，则， 而，因，故事件A与事件B相互独立，即C正确； 对于D，因，，故D错误. 故选：C. 【变式3】（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若，则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】计算出，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 又因为，，所以， 所以事件与事件相互独立、事件与事件不互斥，故不对立. 故选：C. 【变式4】（多选）（24-25高二上·广东广州·期末）一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件A和事件B相互独立 D．事件B和事件C相互独立 【答案】BCD 【知识点】事件的运算及其含义、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】由题分别找出，的值，根据事件独立性的判断即可求得C、D选项； 再由并事件的计算公式求得A、B选项. 【详解】由题，， 故事件A和事件B相互独立，事件B和事件C相互独立,故选项C、D正确. 对于A选项，，故选项A错误； 对于B选项，,故选项B正确； 故选：BCD. 题型03独立事件的乘法公式 【典例1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）某次乒乓球单打比赛在甲､乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】分两种情况，甲连胜2局或前两局甲一胜一负，第三局甲胜，再利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式求解. 【详解】甲获胜包含两种情况： ①甲连胜2局，概率为：， ②前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为：， 则甲战胜乙的概率为， 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·云南·阶段练习）一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的6个小球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球. (1)从中随机抽取1个，求抽到红球或蓝球的概率； (2)若采用有放回方式连续抽取2次，每次随机取1个，求两次都抽到白球的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）结合题意直接利用古典概型概率公式求解即可. （2）先求出每次抽到白球的概率，再结合独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）总共有6个球，其中红球1个，蓝球3个， 抽到红球或蓝球的情况数为种， 则由古典概型概率公式得抽到红球或蓝球的概率. （2）由题意得总共有6个球，则每次抽到白球的概率为， 因为是有放回抽取，两次抽取相互独立，所以两次都抽到白球的概率. 【变式1】（24-25高三下·上海·阶段练习）一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为，乙熔断的概率为，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（    ） A．1 B．0 C． D．或 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】记甲熔断为事件，乙熔断为事件， 则、，又与相互独立， 所以，即两根保险丝都熔断的概率为. 故选：C 【变式2】（24-25高一下·江西·阶段练习）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】先设出三个事件然后根据题意及独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式列方程求对应三个事件的概率，再根据公式算出甲命中乙也命中的概率. 【详解】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”， 由题意解得 故甲命中乙也命中的概率为. 故选D. 【变式3】（24-25高二上·上海长宁·期末）已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 【答案】/ 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式结合已知条件求解即可. 【详解】因为事件A与事件B互相独立，且，， 则. 故答案为：. 【变式4】（24-25高二下·广东珠海·开学考试）已知事件与事件相互独立，且，，则 【答案】/ 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的概率公式求出，再由公式可求得结果. 【详解】因为事件、是相互独立的，则， 所以，. 故答案为：. 题型04独立事件的实际应用 【典例1】（2024·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是.，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，方案一即可表示为，方案二先考虑随机选取两门的概率为，再计算这两门都及格的概率即可. （2）为了比较概率大小，可作差与比较即可. 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 （2） ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 【典例2】（23-24高二上·云南·阶段练习）某地为宣传防疫政策,组织专家建设题库供各单位学习,半个月后,当地电视台举办中小学学生防疫知识竞答闯关比赛,规则如下:每队三人,需要从题库中选三道题依次回答,每人一题．第一道题回答正确得10分,回答错误得0分;第二道题回答正确得20分,回答错误扣10分;第三道题回答正确得30分,回答错误扣20分．每组选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛,选拔了三位选手,这三位选手在进行题库训练时的正确率如下表: 选手 1号 2号 3号 正确率 80% 80% 90% 假设选手答题结果互不影响,用频率代替概率． (1)若学校安排1号、2号、3号依次出场回答,则“闯关成功”的概率是多少？ (2)如何安排出场顺序使“闯关成功”的概率最大？ 【答案】(1)0.864 (2)出场顺序为1号、2号、3号 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】(1)若闯关成功,则有三种情况: 三道题全对;第一道题答错、其余都答对;第二道题答错、其余都答对,求出各种情况的概率并相加即可; (2)因为1号与2号答题的正确率相同,所以只需考虑3号出场顺序即可,分三种情况,3号排第一,第二,第三,分别求出闯关成功概率,比较大小即可. 【详解】（1）解:根据题意,“闯关成功”则必须三道题全对或者第一道题答错、其余都答对或者第二道题答错、其余都答对,而其他各种答题结果总得分都低于30分, 若三道题全对,则得分60, 此时概率． 若第一道题答错、其余都答对,则得分50, 此时概率． 若第二道题答错、其余都答对,则得分30, 此时概率． 所以“闯关成功”的概率; （2）由于1号与2号答题的正确率相同,所以只需考虑以下三种出场顺序: ①3号排第一;②3号排第二;③3号排第三． 若3号排第一,则“闯关成功”的概率, 若3号排第二,则“闯关成功”的概率, 若3号排第三,由（1）知“闯关成功”的概率, 综上可知,出场顺序为1号、2号、3号时,“闯关成功”的概率最大． 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为 ．    【答案】/0.8125 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】先计算出灯不亮的概率，进而利用对立事件求概率公式进行计算. 【详解】记开关闭合为事件A，B，C，D， 因为开关断开且开关至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮， 所以灯不亮的概率为, 所以灯亮的概率为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·河南新乡·期末）某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他在科目考试第一次合格的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他可获得证书的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）根据独立事件概率计算公式求解即可； （2）先计算他考试的次数为2、3、4且获得证书的概率，进而即可求解. 【详解】（1）科目考试合格的概率为， 则他在科目考试第一次合格的概率为. （2）他考试的次数为2且获得证书的概率为， 他考试的次数为3且获得证书的概率为， 他考试的次数为4且获得证书的概率为， 所以他可获得证书的概率为. 【变式3】（23-24高二下·陕西咸阳·期中）已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立． (1)若乙对同一目标射击两次，求恰有一次命中目标的概率； (2)若甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式进行求解；（2）先求目标没被命中的概率，进而用对立事件的概率公式进行求解. 【详解】（1）设乙第一次命中目标为事件，第二次命中目标为事件， 乙对同一目标射击两次，恰有一次命中目标为事件， 则， ． （2）设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件，丙命中目标为事件， 三人对同一目标射击，目标被命中为事件， 可知，三人对同一目标射击，目标不被命中为事件， 有， 由已知， ， 三人对同一目标各射击一次，目标被命中的概率为． 【变式4】（23-24高一上·辽宁营口·期末）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率； （2）求恰有一人破译密码的概率. 【答案】（1）0.42；（2）0.46. 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、相互独立事件与互斥事件、独立事件的实际应用 【解析】（1）由相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解； （2）由互斥事件概率的加法公式及相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解. 【详解】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立， 由题意可知， 所以； （2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥 所以 . 题型05 相互独立事件的综合应用 【典例1】（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得. 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 【典例2】（24-25高二下·四川眉山·开学考试）骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5， (1)先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率； (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由. 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率、写出基本事件、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）求出基本事件总数，利用列举法求出事件包含的基本事件个数，再利用古典概型求解即可； （2）分别求出挑战第一关和第二关通过的概率，根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率求解即可. 【详解】（1）先后抛掷骰子两次，基本事件总数， 事件包含的基本事件有：共3个， 事件的概率为； （2）抛掷1次骰子有共6种结果， 出现的点数不小于2的情况有共5种，则挑战第一关通过的概率为； 抛掷骰子两次，基本事件总数， 抛掷2次出现的点数之和不小于7的情况有 共21种， 则挑战第2关通过的概率为， 则连续挑战2关并过关的概率为， 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 因为，所以这种游戏不公平． 【变式1】（24-25高三上·山西太原·期末）已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据要写条件，利用互斥事件、对立事件和相互独立的定义，逐一判断选项即可. 【详解】对于A，事件和事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不互斥，A错误； 对于B，，，，事件与事件相互独立，B正确； 对于C，事件与事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不对立，C错误； 对于D，，，，事件与事件不独立，D错误. 故选：B 【变式2】（多选）（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则（    ） A． B．事件与事件相互独立 C． D．事件与事件为互斥事件 【答案】BC 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系、概率的基本性质 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由古典概率得，A错误； 对于B，，，，则， 即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生，D错误． 故选：BC 【变式3】（多选）（2025·江西·模拟预测）已知事件发生的概率分别为，则（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 【答案】ACD 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式逐项计算判断. 【详解】对于A，若与互斥，则，A正确； 对于B，若与相互独立，则，B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，则，C正确； 对于D，若与相互独立，则，D正确. 故选：ACD 【变式4】（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 【答案】 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】应用古典概率求法求从第1个盒子中取到白球的概率，再应用独立乘法公式和互斥事件加法求从第3个盒子中取到白球的概率. 【详解】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是， 当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 当从第1个盒子中取到黑球且概率为，则第2个盒子中有1个白球2个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 综上，从第3个盒子中取到白球的概率是. 故答案为：； A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知事件A，B相互独立，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算得解. 【详解】事件A，B相互独立，，，所以. 故选：A 2．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（    ） A．0.408 B．0.384 C．0.246 D．0.532 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】应用互斥事件概率及独立事件乘法公式计算即可. 【详解】由题意可得所求事件的概率为． 故选：A． 3．（24-25高二上·广西钦州·期末）甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则该题被攻克的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解. 【详解】因为该题未被攻克的概率为，所以该题被攻克的概率为. 故选：B 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 【答案】C 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】先将任取的两个数用一组有序实数表示，可列出试验和事件包括的样本点，利用古典概率模型求其概率，再根据各选项的要求逐一判断即可. 【详解】从集合中依次不放回的任取两个数，若用一组有序实数表示， 则试验的样本空间为： ， 则 ， . 对于A，因，故A正确，不合题意； 对于B，因，故为不可能事件，即B正确，不合题意； 对于C，因，则，则， 即事件 A，B 相互不独立，故C错误，符合题意； 对于D，因，故必有，即D正确，不合题意. 故选：C. 5．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则事件与相互独立 D．若与相互独立，则 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据交事件的性质即可求A，根据互斥事件的性质即可求解C，根据相互独立的性质即可求解CD. 【详解】对于A，若，则,故A错误， 对于B，若与互斥，则,故B正确， 对于C, ,结合，故，故事件与相互独立，C正确， 对于D, 若与相互独立，则,D正确， 故选：A 6．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】对于A与C，根据互斥事件的定义判断即可；对于B，分别计算、、，验证是否成立即可；对于D，明确的含义即可求解其概率. 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，表示选出的盒子既有笔记本，又有笔袋，故只能选第四个礼盒，故，故D错误． 故选：B． 7．（24-25高二上·湖北·期末）已知事件，满足，，则（    ） A．若与相互独立，则 B．若与互斥， C．因为，所以与相互对立 D．若，则 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的包含关系 【分析】A项，根据相互独立事件同时发生概率乘法公式可得；B项，由互斥事件定义可知两事件不可能同时发生即可判断；C项，不能判断是否互斥与对立；D项，由可得. 【详解】选项A，若与相互独立，则与相互独立， 所以，故A错误； 选项B，若与互斥，则，不可能同时发生，即，故B错误； 选项C，，则由于不确定与是否互斥， 所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果， 设事件“出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”， 则，，但事件，并不互斥，也不对立，故C错误； 选项D，若，则，则，故D正确. 故选：D. 8．（2025·广东惠州·模拟预测）事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（    ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、概率的基本性质 【分析】利用对立事件的概率公式求出，根据求出的值，再利用独立事件的定义判断可得出结论. 【详解】由概率公式可得， 因为， 即，可得， 所以，因此，事件与事件独立. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）已知随机事件，，，，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则事件与事件相互独立 B．若，则事件与事件互为对立事件 C．若事件，则 D．若事件，相互独立，则 【答案】AC 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、确定所给事件的对立关系 【分析】根据相互独立事件的定义判断A，利用反例判断B，根据子事件的性质判断C，根据判断D. 【详解】对于A，根据事件独立性的定义可得，独立，故A正确； 对于B，记事件：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数， 事件：投掷一枚硬币，正面朝上，则，满足， 但，不是对立事件，故B错误； 对于C：若，则，故C正确； 对于D，若，独立，可得，故D错误. 故选：AC 10．（24-25高一上·辽宁大连·期末）某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互对立 C．C与D相互对立 D．B与D相互独立 【答案】ABD 【知识点】独立事件的乘法公式、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】分别求出样本空间和事件、、、，再利用互斥事件、对立事件及相互独立事件的定义逐一判断. 【详解】抽奖者从中任取一个球的样本空间为， 事件，事件，事件，事件， 且，则与互斥，且与互为对立事件，AB正确； 且真包含于，事件C与D不相互对立，C错误； ，，事件B与D相互独立，D正确. 故选：ABD 三、填空题 11．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是 ． 【答案】/0.375 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】元件都不正常的概率， 则元件至少有一个正常工作的概率为， 而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生， 所以这个电路是通路的概率. 故答案为： 12．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比察中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 ． 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】应用互斥、对立事件的概率求法及独立事件乘法公式求目标事件的概率即可. 【详解】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中， 所以其概率为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一下·山东东营·开学考试）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束． 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响． (1)求乙获胜的概率; (2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）由独立事件的乘法公式以及概率的加法公式计算可得结果； （2）将投篮结束时乙只投了2个球的所有情形的概率相加即可. 【详解】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中， 则． 记“乙获胜”为事件C， 则 ； （2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D， 则 ． 14．（24-25高二上·广东茂名·期中）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”． (1)判断事件A，B是否相互独立； (2)分别求事件和C的概率． 【答案】(1)不相互独立 (2)；. 【知识点】事件的运算及其含义、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】（1）求出事件A，B，的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算出，再由独立事件的定义判断即可； （2）由得出，求出事件C的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可. 【详解】（1）解：由题可知，事件“”，事件“至少有一颗骰子的点数为5”， 则事件的所有情况为：，共5种情况， 所以， 事件的所有情况为：， 共11种情况，所以， 事件的所有情况为：，所以， ，所以与不相互独立. （2）， 事件“”，事件的所有情况为： ，共12种情况， 所以. B能力提升 1．（24-25高二上·陕西渭南·期末）某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】由互斥事件和独立事件的概率公式计算即可得解. 【详解】记事件“该同学在笔试中结果为优秀”，记事件“该同学在实验操作中结果为优秀”， 则由题得， 且事件“该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀”， 又事件互斥，这两项测试的结果相互不受影响， 所以该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为. 故选：D 2．（24-25高一上·河南驻马店·期末）投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】对于AB，根据互斥事件和对立事件的定义结合题意分析判断，对于C，根据分析判断，对于D，根据独立事件的定义分析判断. 【详解】对于AB，由题意可知当朝上的点数为6时，事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B既不互斥，也不对立，所以AB错误； 对于C，由题意可知， 所以，所以C错误； 对于D，因为， 所以，所以与相互独立，所以D正确. 故选：D 3．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【知识点】独立事件的判断、相互独立事件与互斥事件 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 4．（24-25高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 【答案】(1) (2)相互独立，理由见解析 【知识点】有放回与无放回问题的概率、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由题意可得共有16个基本事件，再列举出事件包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得共有12个基本事件，再分别列举出事件和同时发生的基本事件，然后求出，再利用独立事件的定义分析判断即可. 【详解】（1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片， 共包含个基本事件， 其中事件：包含3个基本事件， 所以. （2）若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 事件，所以， 事件，所以， 当同时发生，即2张卡片上数宁之和是3的倍数同时积足4的倍数，有两种取法， 所以， 因为，所以事件与事件是独立的. 5．（24-25高一上·江西宜春·期末）某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)事件不相互独立，理由见解析 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件的概率公式，即可求解； （2）根据条件，分别求出，，再利用相互独立事件的判断方法，即可求解. 【详解】（1）因为，即只摸次球， 红包总金额不高于元，即为元或元， 从袋中随机摸出个球，对应的红包金额为元的概率为，为元的概率为， 故甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率为. （2）当时，“甲员工获得的红包总金额为元或元或元”， 因为，所以. 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 所以； 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 因为，所以， 所以， 所以事件不相互独立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 10.2 事件的相互独立性 课程标准 学习目标 ①理解两个事件相互独立的概念。 ②能进行一些与事件独立有关的概念的计算。 ③通过对实例的分析，会进行简单的应用。 1.数学抽象：两个事件相互独立的概念； 2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算； 知识点01：相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 【即学即练1】（23-24高一下·安徽黄山·期末）设事件与事件满足：，，，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件不是相互独立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C．事件与事件是相互独立事件 D．事件与事件不是相互独立事件 【答案】C 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据独立事件概率公式，即可判断选项. 【详解】因为，所以事件和事件是相互独立事件，故C正确， 则与，与和和都是相互独立事件. 故选：C 知识点02：相互独立事件概率的求法 已知两个事件，相互独立，它们的概率分别为，，则有 事件 表示 概率 ，同时发生 ，都不发生 ，恰有一个发生 ，中至少有一个发生 或 ，中至多有一个发生 或 知识点03：互斥事件与相互独立事件的区别与联系 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生， 即 概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥， 则 题型01 相互独立事件的判断 【典例1】（23-24高一下·吉林延边·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 【典例2】（24-25高二上·安徽滁州·开学考试）袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球． (1)求摸出的两个球中有红球的概率； (2)记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立． 【变式1】（多选）（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（    ） A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁 【变式2】（多选）（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（   ） A．A与C B．A与D C．B与C D．B与D 【变式3】（24-25高二上·上海·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【变式4】（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 题型02相互独立事件与互斥事件 【典例1】（24-25高二上·上海·期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【典例2】（多选）（24-25高二下·重庆·阶段练习）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 【变式1】（24-25高三下·上海·阶段练习）投掷一枚均匀的骰子，事件: 点数大于 2 ; 事件: 点数小于4 ; 事件: 点数为偶数. 则下列关于事件描述正确的是（     ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C．与是独立事件 D．与是独立事件 【变式2】（24-25高二上·广东汕尾·期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 【变式3】（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若，则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 【变式4】（多选）（24-25高二上·广东广州·期末）一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件A和事件B相互独立 D．事件B和事件C相互独立 题型03独立事件的乘法公式 【典例1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）某次乒乓球单打比赛在甲､乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·云南·阶段练习）一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的6个小球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球. (1)从中随机抽取1个，求抽到红球或蓝球的概率； (2)若采用有放回方式连续抽取2次，每次随机取1个，求两次都抽到白球的概率. 【变式1】（24-25高三下·上海·阶段练习）一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为，乙熔断的概率为，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（    ） A．1 B．0 C． D．或 【变式2】（24-25高一下·江西·阶段练习）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·上海长宁·期末）已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 【变式4】（24-25高二下·广东珠海·开学考试）已知事件与事件相互独立，且，，则 题型04独立事件的实际应用 【典例1】（2024·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是.，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【典例2】（23-24高二上·云南·阶段练习）某地为宣传防疫政策,组织专家建设题库供各单位学习,半个月后,当地电视台举办中小学学生防疫知识竞答闯关比赛,规则如下:每队三人,需要从题库中选三道题依次回答,每人一题．第一道题回答正确得10分,回答错误得0分;第二道题回答正确得20分,回答错误扣10分;第三道题回答正确得30分,回答错误扣20分．每组选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛,选拔了三位选手,这三位选手在进行题库训练时的正确率如下表: 选手 1号 2号 3号 正确率 80% 80% 90% 假设选手答题结果互不影响,用频率代替概率． (1)若学校安排1号、2号、3号依次出场回答,则“闯关成功”的概率是多少？ (2)如何安排出场顺序使“闯关成功”的概率最大？ 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为 ．    【变式2】（23-24高一下·河南新乡·期末）某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他在科目考试第一次合格的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他可获得证书的概率． 【变式3】（23-24高二下·陕西咸阳·期中）已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立． (1)若乙对同一目标射击两次，求恰有一次命中目标的概率； (2)若甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率． 【变式4】（23-24高一上·辽宁营口·期末）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率； （2）求恰有一人破译密码的概率. 题型05 相互独立事件的综合应用 【典例1】（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【典例2】（24-25高二下·四川眉山·开学考试）骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5， (1)先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率； (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由. 【变式1】（24-25高三上·山西太原·期末）已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 【变式2】（多选）（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则（    ） A． B．事件与事件相互独立 C． D．事件与事件为互斥事件 【变式3】（多选）（2025·江西·模拟预测）已知事件发生的概率分别为，则（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 【变式4】（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知事件A，B相互独立，，，则（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（    ） A．0.408 B．0.384 C．0.246 D．0.532 3．（24-25高二上·广西钦州·期末）甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则该题被攻克的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 5．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则事件与相互独立 D．若与相互独立，则 6．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 7．（24-25高二上·湖北·期末）已知事件，满足，，则（    ） A．若与相互独立，则 B．若与互斥， C．因为，所以与相互对立 D．若，则 8．（2025·广东惠州·模拟预测）事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（    ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 二、多选题 9．（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）已知随机事件，，，，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则事件与事件相互独立 B．若，则事件与事件互为对立事件 C．若事件，则 D．若事件，相互独立，则 10．（24-25高一上·辽宁大连·期末）某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互对立 C．C与D相互对立 D．B与D相互独立 三、填空题 11．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是 ． 12．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比察中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 ． 四、解答题 13．（24-25高一下·山东东营·开学考试）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束． 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响． (1)求乙获胜的概率; (2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 14．（24-25高二上·广东茂名·期中）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”． (1)判断事件A，B是否相互独立； (2)分别求事件和C的概率． B能力提升 1．（24-25高二上·陕西渭南·期末）某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南驻马店·期末）投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 3．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 4．（24-25高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 5．（24-25高一上·江西宜春·期末）某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$