1.2一元二次方程的解法（配方法） 巩固练习 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 1.2一元二次方程的解法（配方法） （巩固练习） 【典型例题】 【例1】用配方法解一元二次方程，此方程可化为　　 A． B． C． D． 【例2】若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A.M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【例3】已知，的值为　　． 【例4】若（为实数），则的最小值为 ． 【例5】用配方法解方程：． 【例6】用配方法解下列方程： （1）4x2 -4x -1 = 0；          （2）7x2 -23x +6 = 0. 【举一反三】 【变式1】用配方法解一元二次方程，配方正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是_______数． 【变式4】如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是______ 【变式5】解方程： （1）x2﹣4x﹣8＝0； （2）3x2+6x﹣4＝0． 【变式6】我们可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知关于a，b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，请你利用配方法求a+b的值． 【巩固练习】 1.一元二次方程x2﹣4x+m＝0可以通过配方转化为（x﹣p）2＝5的形式，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．9 2.已知实数，满足，则的最小值为　　 A．8 B．5 C．4 D．0 3.若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（ ） A． B． C． D． 4.在解方程时，对方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，说法正确的是　　 A． 两人都正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲不正确，乙正确 D．两人都不正确 5. 一元二次方程，经过配方可变形为 . 6.△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是　　三角形． 7.已知实数满足，则代数式的最小值等于 . 8.在求解代数式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵无论a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代数式2（a﹣3）2+4≥4，即当a＝3时，代数式2a2﹣12a+22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a2+6a﹣8的最值为 . 9.解方程： （1）x2﹣4x+3＝0； (2) 10.阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值 11.先阅读后解题： 若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值． 解：等式可变形为：m2+2m+1+n2﹣6n+9＝0 即（m+1）2+（n﹣3）2＝0， 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0， 所以m+1＝0，n﹣3＝0 即m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： （1）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+2b2﹣2a﹣16b+33＝0，则△ABC的周长是 　　； （2）求代数式a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系； （3）请比较多项式x2+3x﹣4与2x2+2x﹣3的大小，并说明理由． 12.选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：． 根据上述材料解决下面问题： （1）写出的两种不同形式的配方． （2）已知，求的值． （3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由． 答案解析 【典型例题】 【例1】用配方法解一元二次方程，此方程可化为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【例2】若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A.M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【答案】A 【例3】已知，的值为　　． 【答案】-1 【例4】若（为实数），则的最小值为 ． 【答案】 【例5】用配方法解方程：． 【答案】由，得，即， 配方，得：，即，解得：， 所以原方程的解为：，． 【例6】用配方法解下列方程： （1）4x2 -4x -1 = 0；                （2）7x2 -23x +6 = 0. 【答案】(1) 移项,得： 二次项系数化成1得： 配方, 即,则 解得： (2)方程变形得： 配方得： 即 开方得： 解得： 【举一反三】 【变式1】用配方法解一元二次方程，配方正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【变式2】用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【变式3】无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是_______数． 【答案】正 【变式4】如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是______ 【答案】 【变式5】解方程： （1）x2﹣4x﹣8＝0； （2）3x2+6x﹣4＝0． 【答案】解：（1）∵x2﹣4x﹣8＝0， ∴x2﹣4x＝8， 则x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12， ∴x﹣2＝±2， ∴x1＝2+2，x2＝2﹣2； （2）∵3x2+6x﹣4＝0， ∴3x2+6x＝4， 则x2+2x＝， ∴x2+2x+1＝+1，即（x+1）2＝， ∴x+1＝±， ∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． 【变式6】我们可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知关于a，b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，请你利用配方法求a+b的值． 【答案】已知等式变形得：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0， 即（a+1）2+（b﹣2）2＝0， ∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， 解得：a＝﹣1，b＝2， 则a+b＝﹣1+2＝1． 【巩固练习】 1.一元二次方程x2﹣4x+m＝0可以通过配方转化为（x﹣p）2＝5的形式，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．9 【答案】A 2.已知实数，满足，则的最小值为　　 A．8 B．5 C．4 D．0 【答案】A 3.若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 4.在解方程时，对方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，说法正确的是　　 B． 两人都正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲不正确，乙正确 D．两人都不正确 【答案】A 6. 一元二次方程，经过配方可变形为 . 【答案】 6.△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是　　三角形． 【答案】等腰 7.已知实数满足，则代数式的最小值等于 . 【答案】-8 8.在求解代数式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵无论a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代数式2（a﹣3）2+4≥4，即当a＝3时，代数式2a2﹣12a+22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a2+6a﹣8的最值为 . 【答案】最大值﹣5 9.解方程： （1）x2﹣4x+3＝0； (2) 【答案】解：（1）x2﹣4x+3＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1； (2)∵， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ． 10.阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值 【答案】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方， ； 第二种形式：选取二次项和常数项配方， ； 或 ； 第三种形式：选取一次项和常数项配方， ； （2）解：， 配方，得：， 即， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； 11.先阅读后解题： 若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值． 解：等式可变形为：m2+2m+1+n2﹣6n+9＝0 即（m+1）2+（n﹣3）2＝0， 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0， 所以m+1＝0，n﹣3＝0 即m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： （1）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+2b2﹣2a﹣16b+33＝0，则△ABC的周长是 　　； （2）求代数式a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系； （3）请比较多项式x2+3x﹣4与2x2+2x﹣3的大小，并说明理由． 【答案】（1）已知等式整理得：（a2﹣2a+1）+2（b2﹣8b+16）＝0， 即（a﹣1）2+2（b﹣4）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣4＝0， 解得：a＝1，b＝4， ∵△ABC的三边长a，b，c都是正整数， ∴3＜c＜5，即c＝4， 则△ABC周长为1+4+4＝9； 故答案为：9； （2）原式＝（a2+4b2+4ab）﹣4（a+2b）+7 ＝（a+2b）2﹣4（a+2b）+4+3 ＝（a+2b﹣2）2+3， ∵（a+2b﹣2）2≥0， ∴原式≥3＞0， 当a+2b﹣2＝0时，原式有最小值为3； （3）x2+3x﹣4＜2x2+2x﹣3，理由为： ∵（x2+3x﹣4）﹣（2x2+2x﹣3） ＝x2+3x﹣4﹣2x2﹣2x+3 ＝﹣x2+x﹣1 ＝﹣（x2﹣x+）﹣ ＝﹣（x﹣）2﹣≤﹣＜0， ∴x2+3x﹣4＜2x2+2x﹣3． 12.选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：． 根据上述材料解决下面问题： （1）写出的两种不同形式的配方． （2）已知，求的值． （3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由． 【答案】（1）或． （2）， ． ，．． （3）不能，理由如下：原式变形：． ． 即． ，，． ．a、b、c三条线段不能围成三角形． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$