2025年中考数学复习 图形的相似中旋转问题考前冲刺专题训练

2025年九年级数学中考复习 图形的相似中旋转问题考前冲刺专题训练 1．在数学综合与实践活动中，小松和小北两位同学用一副三角板进行探究．已知中，，．如图，过点作于，再将另一块三角板的直角顶点放在点处，并绕着点旋转，两条直角边分别交线段于点． (1)小松通过观察论证发现结论：若点是的中点，则点也是中点．请完成该结论的证明． (2)小北通过观察发现：在旋转过程中，的值始终保持不变．请直接写出这个定值：___________． 2．如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，． (1)旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______． (2)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (3)连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 3．如图，在中，点在的延长线上，，为边上一动点，连接，将绕点旋转得到． (1)如图，当点落在边上时，若，求的长． (2)如图，当为的中点，点与点重合时，与交于点，求的值． (3)在（）的条件下，若的面积为，请直接写出的面积． 4．如图，菱形的边长为5，，，垂足分别为点，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长； (3)连接，与相交于点，将图1中的绕点旋转，当点落在线段上时，如图2，点在线段上，连接，与相交于点，，求的值． 5．如图①，春碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中三点在同一条直线上，点在直线上，，，初始时． (1)直接写出的度数为：___________； (2)如图②，求初始时点到的距离； (3)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（参考数据：） 6．综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接、，在纸片绕点C旋转过程中，求的值． 【尝试证明】（2）如图2，在纸片绕点C旋转过程中，当点E恰好落在的中线 的延长线上时，求证：． 【深入探究】（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，求． 7．如图1所示，在正方形中，将绕着点逆时针旋转得到，，旋转角度为．    (1)在图1中，当时，，分别交于点，． ①若正方形的边长为4，求的最小值； ②求证：； (2)将绕着点逆时针旋转一周，连接，取的中点，连接．在旋转过程中，当时，求的值． 8．问题背景：如图①，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图①中的绕点B按顺时针方向旋转，如图②所示，得到结论：①＝______；②直线与所夹锐角的度数为______； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上，如图③所示位置时，求的面积； (3)在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 9．如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，若点在边上，且，，求线段的长； (2)如图2，若点在的延长线上，点是的中点，的延长线交的延长线于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点在边上，点是的中点，，连接，将线段绕点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取最大值时，直接写出此条件下的面积的最大值． 10．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）在纸片绕点旋转到如图2所示，当时．求的面积． 【拓展延伸】 （3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 11．【操作】在矩形中，，对角线，先将“复制”下来，得到，此时与完全重合，再将“复制”的绕边的中点顺时针旋转，连接，如图． 【研讨】下面是三位同学对旋转过程的研究： (1)乐乐同学初步尝试发现：连接，当时，总有，请你为他的发现给出证明． (2)明明同学深入探究思考：在的旋转过程中，当旋转角时，试求出点到边的距离． (3)奇奇同学积极研讨发现：在旋转过程中，线段与的数量关系可表示为，求的值． 12．在中，，，． (1)问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ． (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由； (3)迁移应用：如图3是将绕点按顺时针方向旋转到一定角度得到，当点在直线上方，且时，求线段的长． 13．在矩形中，点G是边的中点，点E，F是其所在平面的两个点，且，，连接，，点H是的中点，连接． (1)如图1，若点E在边上，点F在边上，且，请直接写出与的数量关系； (2)如图2，，将绕点B旋转，连接，若，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，将绕点B旋转，连接，若． ①猜想与的数量关系（用m、n表示），并证明你的猜想； ②如图4，当绕点B顺时针旋转时，将沿翻折得到，若点K刚好与点F重合，则此时矩形的边长与应满足什么关系？请说明理由． 14．【问题背景】如图，等腰中，，点为的中点，过点作，交于，将绕点顺时针旋转，连结，如图①． 【基本感受】 （1）当时，判断与的数量关系，并说明理由； 【深入研究】 （2）当时，如图②，与满足怎样的数量关系？请给出证明； （3）在（2）的条件下，若，在旋转过程中，当三点共线时，求的面积． 15．如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点F. (1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点B按逆时针方向旋转如图2所示，得到结论： ①的值为________； ②直线与所夹锐角的度数为________； (2)小王同学继续将绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置，与交于点O，与交于点H.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由： (3)在以上探究中，当旋转至D、E、F三点共线时，直接写出的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考复习图形的相似中旋转问题考前冲刺专题训练》参考答案 1．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是证明： （1）根据斜边上的中线得到，进而推出为等边三角形，得到，进而推出为等边三角形，为等腰三角形，推出即可得出结果； （2）证明，得到，利用三角函数求出的值，即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 2．(1)， (2)的长为或 (3)能，或，理由见详解 【分析】（1）根据矩形，旋转的性质即可得到是等腰三角形，再证，得到，即可求解； （2）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，点在上时，；第二种情况，如图所示，点在延长线时，，，即；根据勾股定理，相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分类讨论：第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，由等腰三角形的判定和性质，勾股定理得到，，由此列式可解；第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，根据等腰三角形的判定和性质得到四边形是矩形，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵与重合， ∴， ∴将绕点顺时针方向旋转时，， ∴是等腰三角形， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：第一种情况，如图所示，点在上时， ∴，，， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在延长线时， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：能，或，理由如下， 第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， 由（1）可得，，， ∴设， ∵旋转， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，点是中点， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴； 第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， ∵与重合， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， 过点作与点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，能构成以为直角边的，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 3．(1)； (2)； (3)的面积为． 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可知，则有，，所以，证明，根据相似三角形的性质得出，然后根据即可求解； （）过作，交于点，则有，由性质得，又为的中点，得出，同理证明，由，则，然后代入即可求解； （）根据相似三角形的性质和面积和差即可求解． 【详解】（1）解：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，交于点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即， 由（）知：即，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 4．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由垂直得到，由四边形是菱形得到，，即可证明； （2）连接，相交于点O，求出，由（1）可知，，得到则，证明，则，即可得到答案； （3）作交于点V，作于点W，作于点Q，则，得到，，由，，由得到，则,得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ （2）如图，连接，相交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，, ∵ ∴ ∴在中， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ （3）如图，作交于点V，作于点W，作于点Q， ∴， ∴，， 由（2）可知， ， ∴， ∴ 由得到， ， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．(1) (2)点到的距离约为 (3)点在竖直方向上升了 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质； （1）利用对顶角相等求解即可； （2）过作于，在根据代入计算即可； （3）过作于，由旋转可得，，，先求出再根据，得到，解得，最后根据点在竖直方向上上升了代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：过作于， 中，，， ∴， ∴， 即点到的距离约为； （3）解：过作于， 由旋转可得，，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点在竖直方向上上升了． 6．（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据勾股定理可得，再由，可得，然后根据，可得，即可求解； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可求证； （3）先证明，可得，从而得到，进而得到，再根据，可得，从而得到，在中，利用锐角三角函数解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 7．(1)①最小值为8；②见解析 (2)或 【分析】（1）①首先证明出得到，然后得出当时，即和重合时，取得最小值，即的长度，勾股定理求出，进而求解即可； ②由①得，然后证明出，得到，求出，进而求解即可； （2）设，则，表示出，然后分两种情况：当点在上方时和当点在下方时，然后分别解直角三角形求解即可． 【详解】（1）①， ∴当时，即和重合时，取得最小值，即的长度 ∵正方形的边长为4 ∴ ∴ ∴ 最小值； ②由①得 同理可得： ． （2）设，则 垂直平分， 作于点 ①当点在上方时，如右图   ， ， 中 ； ②当点在下方时，如右图    同理： 综上或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．(1)  ， (2) (3) 【分析】（1）①利用矩形的性质、旋转的性质以及特殊角的三角函数值，证明，再结合相似三角形的性质求解即可； ②延长与交于点M，记交于点N，利用相似三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）过点A作于H，证明，结合相似三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，的底边长度不变， 找出高最大，以及最小的情况求解即可． 【详解】（1）解：①在矩形中，， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 故答案为：； ②延长与交于点M，记交于点N， ， ， ， ， 即直线与所夹锐角的度数为， 故答案为：； （2）过点A作于H ∵D，E，F共线 ∴， 又，， ∴，   ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴； （3）在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，的底边长度不变， 当A、E、F三点共线，面积最小，即， 记边上的高为h，根据垂线段最短可知， 当，重合时，的高最大为，此时面积最大， ， ， ， ， 即， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，垂线段最短，旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，先证明，得出，再由，得出，得出，再由将绕点顺时针旋转得到，即可求解； （2）连接，过点作于点，由题可得，是等腰直角三角形，可证明，再利用，得出，则，可得，，则，证明，则； （3）利用，，构造的外接圆，连接，，得出，则是定长，是定圆，点的轨迹为上部分，由点到圆上一点的最长距离可知当、、依次共线时，最长， 求出是定值，由将线段绕点旋转得到，得点的轨迹为以为圆心，为半径的，由将绕点逆时针旋转得到，通过全等确定点的轨迹为以为圆心，为半径的，过点作延长线于点，易得当最大时，的面积最大，由圆上一点到直线的最大距离可知当、、依次共线时，最大，此时，连接，，通过证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，得出，得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，过点作于点， ∵，，将绕点顺时针旋转得到， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， 如图，构造的外接圆，连接，， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是定长，是定圆，点的轨迹为上部分， 由点到圆上一点的最长距离可知当、、依次共线时，最长，此时点位置为如图的点， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， 当最长时，位置如图， ∵将线段绕点旋转得到， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， 如图，将绕点逆时针旋转得到， ∴，，点是定点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的， 如图，过点作延长线于点， ∵， ∴当最大时，的面积最大， 由圆上一点到定直线的最大距离可知当、、依次共线时，最大，此时如图， 连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，圆的定义，圆周角定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 10．（1）；（2） 12 ；（3） 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到； （2）如图 2 ，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式得到； （3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得，由是中线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到；求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵． 在和中， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 即， ， ， ； （2）如图2，过点作于点， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 故； （3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得， ， ∵是中线， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形矩形， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 设，则， 在和中， ， ， ， 由直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：； ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 11．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，并准确作出辅助线． （1）根据条件证明即可得出结论； （2）过点作于，延长交于，则四边形是矩形，利用勾股定理求得，利用对应边相等和线段的中点和锐角三角函数比求得和，过点作交于点，再利用锐角三角函数比求得即可得出结果； （3）根据条件分别证出和，再求出线段的长，利用和可得结果． 【详解】（1）证明：点是和的中点， 在与中 ， ； （2）解： 令与交于，过点作于，延长交于，则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 则， ， ， 过点作交于点， ， ， ， 点到边的距离； （3）解：连接，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ，点是的中点， ， ， ， 又由（1）得：， 即， 在旋转过程中，为定值． 12．(1)①；② (2)成立，见详解 (3) 【分析】此题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）①根据旋转的性质和勾股定理即可解答； ②证明，并根据8字形即可解答； （2）同理可知：当锐角存在时，（1）中的两个结论还成立； （3）过点作于，过点作，交的延长线于，证明，则，设，，则，由勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①由旋转得：，，， ，， ； 故答案为：； ②如图 1，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：当锐角存在时，（1）中的两个结论仍成立，理由如下： 如图 2，由旋转得：， 由（1）同理得：， ，， ， ； （3）解： 如图 3，过点作于，过点作，交的延长线于 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， ， ，， ， ， ， ． 13．(1) (2)，证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）先证明，，结合为的中位线，可得结论； （2）如图，连接，证明四边形为正方形，证明，可得，再结合三角形的中位线可得答案； （3）①仿照（2）的思路进行证明与计算即可；②如图，连接，当K与F重合时，，则，证明，可得，设，则，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∵点G是边的中点，点H是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接， ∵，矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中   ∴， ∴， ∵G、H分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． （3）解：①，理由见解析； 如图，连接， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； ②，理由如下： 如图，连接，当K与F重合时，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而，， 设，则 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等，找到需要相似三角形是解题的关键． 14．（1）．理由见解析；（2）；理由见解析；（3）的面积为或． 【分析】（1）证明，均为等边三角形，证明，即可得； （2）证明，均是等腰直角三角形，证明，即可得； （3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质结合解直角三角形，求解即可． 【详解】解：（1）．理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴； ∵点为的中点，过点作，交于， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）；理由如下： 作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 同理，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴，，， 如图，当三点共线时，作交的延长于点， 由旋转的性质知， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当三点共线时，作于点， 同理，，， ∴， ∴； 综上，的面积为或． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、二次根式的混合运算等，熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键． 15．(1)①；② (2)结论成立，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）①求出，即可求出答案；②通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，即可求解； （3）分两种情况讨论，先求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：①如图1，∵四边形是矩形， ∴，即， ∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 如图2，设与交于点O，与交于点H， ∵绕点B按逆时针方向旋转 ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴直线与所夹锐角的度数为， 故答案为：； （2）结论仍然成立， 理由如下：如图3，设与交于点O，与交于点H， ∵将绕点B按逆时针方向旋转， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴直线与所夹锐角的度数为． （3）如图4，当点E在的上方时，过点D作于G， ∵，，点E是边的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∵D、E、F三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴， ∴的面积＝； 如图5，当点E在的下方时，过点D作，交的延长线于G， 同理可求：的面积 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分情况讨论思想解决问题是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$