9.2 用样本估计总体（18大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

9.2 用样本估计总体 题型一 条形统计图及其应用 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容：为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如图所示． 请根据统计图提供的信息回答以下问题： (1)求抽取的学生数； (2)若该校有3000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数． 【答案】(1)300（人） (2)1060（人） 【知识点】根据条形统计图解决实际问题 【分析】（1）根据题中统计图即可得结果； （2）根据估计喜欢收听易中天《品三国》的频率，进而可得人数. 【详解】（1）从统计图上可以看出，抽取的学生数（人）． （2）喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为， 由于该校有3000名学生， 因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有（人）． 2．（20-21高一·全国·课后作业）某校八年级学生参加“史地生会考”，八年级（1）班25名学生的成绩(满分为100分)统计如下：90，74，88，65，98，75，81，42，85，70，55，80，95，88，72，87，60，56，76，66，78，72，82，63，100. （1）90分及以上为A级，75~89分为B级，60~74分为C级，60分以下为D级.请把下面表格补充完整. 等级 A B C D 人数 8 （2）根据（1）中完成的表格，将图中的条形图补充完整. （3）该校八年级共有1000名学生，如果60分以上为及格，那么请估计八年级有多少人及格？ （4）若要知道抽测中每一个等级的人数占总人数的百分比，则应选择___________统计图. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）880(人)；（4）扇形统计图. 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全条形统计图、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】（1）根据提供的数据及标准求解； （2）根据（1）表中的数据补图； （3）根据及格人数的比例求解； （4）根据要得到抽测中每一个等级的人数占总人数的百分比的要求结合统计图的特点选择. 【详解】（1）补充表格如下： 等级 A B C D 人数 4 10 8 3 （2）补图如下： （3）估计八年级及格人数为1000×=880(人). （4）若要知道抽测中每一个等级的人数占总人数的百分比，应选择扇形统计图. 题型二 折线统计图及其应用 1．（22-23高一·全国·随堂练习）下面是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型性肺炎疫情新增数据走势图．    (1)哪一天新增确诊的人数最多？哪一天新增疑似的人数最多？ (2)哪一天新增治愈的人数最多？哪一天新增死亡的人数最少？ (3)从图中，你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗？ 【答案】(1)2003年4月29日新增确诊的人数最多，2003年4月27日新增疑似的人数最多． (2)2003年5月13日一天新增治愈的人数最多，2003年5月12日新增死亡的人数最少． (3)发展趋势见解析 【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【分析】利用折线图提供的数据和变化趋势直接求解 【详解】（1）由折线图得：2003年4月29日新增确诊的人数最多，2003年4月27日新增疑似的人数最多．    （2）由折线图得： 2003年5月13日一天新增治愈的人数最多， 2003年5月12日新增死亡的人数最少． （3）从图中，预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势为： 北京市非典型性肺炎疫情初期确诊病例和疑似病例数量快速上升， 然后确诊病例和疑似病例数量逐渐下降． 2．（2024高一下·全国·专题练习）为了了解我国电视机的销售情况，小张在某网站上下载了此图：    (1)小张获取数据的途径是什么？ (2)由图可知，电视机的销售总量在2011年达到最大值，你认为电视机销售总量出现下滑的主要原因是什么？ 【答案】(1)通过查询获得数据 (2)市场的饱和及新兴替代品的出现 【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【分析】（1）根据小张在某网站上下载的图求解； （2）根据数据和市场的供求求解. 【详解】（1）小张获取数据的途径是通过查询获得数据． （2）结合我国的经济发展水平可知，从2012年开始，电视机销售总量出现下滑的主要原因是市场的饱和及新兴替代品的出现． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成类型的标准： ①年龄中位数在20岁以下为年轻型人口； ②年龄中位数在20~30岁为成年型人口； ③年龄中位数在30岁以上为老年型人口．    (1)试查找数据，分析我国人口年龄构成类型； (2)试结合上图谈谈全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响． 【答案】(1)答案见解析 (2)年龄中位数有所下降 【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【分析】根据折线统计图即可判断． 【详解】（1）①建国以来有一段时间年龄中位数低于20，为年轻型人口；②从2010年至2020年年龄中位数在30岁以上，为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国年龄中位数在30岁以上，仍为“老龄型”人口. （2）放开二孩政策之后，年龄中位数有所下降. 4．（21-22高一上·全国·课后作业）如图是某高校土木工程系大四年级名学生期末考试专业成绩的频率折线图，其中组距为，且本次考试中最低分为分，最高分为分.根据图中所提供的信息，判断下列说法哪些正确，哪些不正确，并说明理由. ①成绩是分的有人； ②成绩是分的人数比成绩是分的人数多； ③成绩落在分的有人； ④成绩落在分的有人. 【答案】①错误；②错误；③正确；④错误；理由见解析 【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【分析】根据折线图提供的数据及概率的意义判断可判断①②③④. 【详解】解：①错误，成绩落在分的人数为，但不能说成绩是分的有人； ②错误，由频率折线图看不出成绩是分的人数比成绩是分的人数多， 只能看出成绩落在分的人数和成绩落在分的人数相等； ③正确，成绩落在分的人数为； ④错误，无法判断成绩落在分的人数. 题型三 扇形统计图及其应用 1．（22-23高一·全国·随堂练习）下表给出了某地区近年来1000次火灾发生的不同原因，请你用自己的方式表示其中的数据． 原因 烹饪 电器 明火 吸烟 纵火 儿童玩火 其他 次数 168 270 80 176 140 60 106 【答案】答案见解析 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题 【分析】根据题意，用饼状图表示即可 【详解】 烹饪：168÷1000≈17%，电器：270÷1000=27%，明火：80÷1000=8%， 吸烟：176÷1000≈18%，纵火：140÷1000=14%，儿童玩火：60÷1000=6%，其他：105÷1000≈10%， 某地区近年来1000次火灾发生的不同原因用扇形图来表示如下：    2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当时，为“偏少”；当时，为“一般”；当时，为“良好”；当时，为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：    阅读本数（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数（名） 1 2 6 7 12 7 y 1 请根据以上信息回答下列问题： (1)求出本次随机抽取的学生总人数； (2)分别求出统计表中的的值； (3)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数. 【答案】(1)50 (2)11；3 (3)32 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据扇形统计图解决实际问题、补全频率分布表 【分析】（1）根据“一般”档次占比与对应人数即得； （2）根据“良好”档次占比与对应人数建立方程，求解即得的值，再由学生总数求得的值； （3）先算出“优秀”档次占比，再由总人数即可计算估计出“优秀”人数. 【详解】（1）由统计图表可知：当时，“一般”档次占比，对应的学生数为，故学生总人数为人； （2）由统计图表可知：当时，“良好”档次占比，即，解得， 又总人数为人，故，即，； （3）由统计图表可知：“优秀”档次占比为， 故该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数约为人. 题型四 条形统计图与折线统计图的综合问题 1．（21-22高一上·全国·课后作业）以下是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请根据图1、图2解答下列问题: (1)来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1~4月的手机销售总额一共是290万元，请将图1中的统计图补充完整; (2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元? (3)小刚观察图2后，认为4月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)万元 (3)答案见解析 【知识点】补全条形统计图、根据条形统计图解决实际问题、根据折线统计图解决实际问题 【分析】（1）用290减去1月，2月和4月的销售额可得3月份的销售额，从而可将图1中的统计图补充完整， （2）用1月份的销售额乘以1月份音乐手机所占的百分比可得结果， （3）根据两个分别计算3月份和4月份音乐手机的销售额，然后比较可得结论. 【详解】（1）（万元），补图如下图. （2）（万元），所以该店1月份音乐手机的销售额为万元. （3）不同意.理由如下: 3月份音乐手机的销售额是（万元）， 4月份音乐手机的销售额是（万元）， 而，因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了. 题型五 条形统计图与扇形统计图的综合问题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某校分别于2020年、2022年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为极少、有时、常常、总是共四种），绘制成部分统计图如下．请根据图中信息，解答下列问题： (1)________，________，“总是”对应扇形统计图中的圆心角度数为________； (2)请你补全条形统计图； (3)若该校2022年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？ (4)相比2020年，2022年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？ 【答案】(1)，，． (2)答案见解析 (3)480人 (4)有所好转 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、补全条形统计图 【分析】（1）利用开展情况为总是的人数得出总人数，进而由人数或比例求解即可； （2）利用比例计算“有时”、“常常”的人数，再填表； （3）利用比例计算数学课“总是”的人数； （4）观察条形统计图，得出结论. 【详解】（1）（人）， ， ， 圆心角度数为． （2）“有时”的人数为（人），“常常”的人数为（人）， 如图所示． （3）（人），故认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有480人． （4）相比2020年，2022年数学课开展小组合作学习的情况有所好转． 2．（23-24高一上·云南保山·开学考试）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图.    请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次一共调查了多少名购买者？ (2)请补全条形统计图； 在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为______度. (3)若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？ 【答案】(1)200名 (2)答案见解析，108 (3)928名. 【知识点】补全条形统计图、根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】（1）根据频率即可求解， （2）根据频率之和即可求解， （3）根据所占频率即可求解. 【详解】（1），即本次一共调查了200名购买者； （2）D方式支付的有：（人）， A方式支付的有：（人）， 补全的条形统计图如图所示，    在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为： （3）（名）， 使用A和B两种支付方式的购买者共有928名. 3．（23-24高一上·江西赣州·开学考试）某校为了解学生第一个“双减”后的暑假最期待什么活动，校学生会随机对该校七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果分为四个类别：A表示“广泛阅读”，B表示“劳动实践”，C表示“户外运动”，D表示“其他”，每个同学只能选择其中的一项，根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．    (1)参加这次调查的学生总人数为______ 人； (2)将条形统计图补充完整； (3)该校七年级有800名学生，估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有多少名？ 【答案】(1) (2)条形统计图见解析 (3)128名 【知识点】补全条形统计图、根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】（1）根据扇形图中C的比例结合条形图中相应的人数，即可求得答案； （2）求出B的人数，即可将条形统计图补充完整； （3）计算最期待“劳动实践”的学生比例，结合总数，即可得答案. 【详解】（1）参加这次调查的学生总人数为：人； 故答案为：； （2） 由题意得B的人数为：人， 将条形统计图补充完整如下：    （3）（名）， 答：估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有名． 题型六 折线统计图与扇形统计图的综合问题 1．（2020高一·全国·专题练习）如图所示是根据某市月日至月日的最低气温（单位：）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市月日到日最低气温（单位：）的扇形统计图和条形统计图. 【答案】答案见解析 【知识点】补全条形统计图、补全扇形统计图 【分析】列出该城市月日至月日的最低气温表（单位：），可作出扇形统计图与条形统计图. 【详解】该城市月日至月日的最低气温（单位：）情况如下表所示： 日期 最低气温 其中最低气温为的有天，占；最低气温为的有天，占； 最低气温为的有天，占；最低气温为的有天，占； 最低气温为的有天，占；最低气温为的有天，占. 扇形统计图如下图所示： 条形统计图如下图所示： 2．（22-23高一·全国·课堂例题）据《中国统计年鉴（2015）》可知，1990年､2000年和2014年我国人口年龄分布情况（百分比）如表所示. 表： 年龄 年份 1990 2000 2014 0~14岁 27.7% 22.9% 16.5% 15~64岁 66.7% 70.1% 73.4% 65岁及以上 5.6% 7.0% 10.1% (1)试用扇形统计图表示2014年三个年龄段人口所占比； (2)试用折线统计图表示1990年､2000年和2014年65岁及以上人口占比. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】（1）根据扇形图的知识求得正确答案. （2）根据折线图的知识求得正确答案. 【详解】（1）2014年0~14岁､15~64岁和65岁及以上人口占比分别为16.5%､73.4%和10.1%， 用扇形统计图表示如图所示.    （2）1990年､2000年和2014年65岁及以上人口占比的折线统计图表示如图所示.    扇形统计图能够直观地反映各个类别在总体中所占的比例，折线统计图可以看出变化趋势. 题型七 条形统计图、折线统计图、扇形统计图的综合问题 1．（2024高一下·全国·专题练习）对某校某年高中毕业生去向调查如下表： 上本科 上专科 上技校 参军 直接就业 其他 用适当的统计图表方式表示出上面的数据． 【答案】答案见解析 【知识点】补全条形统计图、补全折线统计图、补全扇形统计图 【分析】根据条形图、折线图和扇形图的特点分别画出图形即可. 【详解】用条形图、折线图和扇形图分别表示如图所示： 由上可得，用条形图与扇形图来表示较为合适． 2．（2023高一·全国·专题练习）如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温（单位：℃）的扇形统计图和条形统计图． 【答案】答案见解析 【知识点】补全扇形统计图、根据折线统计图解决实际问题、补全条形统计图 【分析】根据给定的折线统计图，求出每月的最低气温，不同气温值所占的百分比，绘制扇形统计图和条形统计图作答. 【详解】该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如表所示： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最低气温(℃) 0 1 2 0 2 2 其中最低气温为℃的有1天，占10%；最低气温为℃的有1天，占10%； 最低气温为℃的有2天，占20%；最低气温为0 ℃的有2天，占20%； 最低气温为1 ℃的有1天，占10%；最低气温为2 ℃的有3天，占30%； 故绘制的扇形统计图如图所示： 条形统计图如图所示： 3．（21-22高一下·山东聊城·阶段练习）共享单车入驻某城区5年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此5周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放10000份调查问卷，回收到有效问卷6300份，现从中随机抽取160份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格： 表（一） 使用者年龄段 25岁以下 26岁～35岁 36岁～45岁 45岁以上 人数 40 80 20 20 表（二） 使用频率 0～6次/月 7～14次/月 15～22次/月 23～31次/月 人数 10 20 40 10 表（三） 满意度 非常满意（10） 满意（9） 一般（8） 不满意（7） 人数 30 20 20 10 (1)依据上述表格完成下列三个统计图形： 　　   　 (2)某城区现有常住人口80万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数. 【答案】(1)答案见解析 (2)10（万人） 【知识点】补全条形统计图、补全折线统计图、补全扇形统计图 【分析】（1）依据表格完成三个统计图形即可； （2）由表（一）年龄在26岁～35岁之间的人数占总抽取人数的比估算80万人口中年龄在26岁～35岁之间的人数即可；由表（二）年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的人数占总抽取人数的比来估算年龄在26岁～35岁之间的40万人中每月使用共享单车在7～14次之间的人数可得答案. 【详解】（1） （2）由表（一）可知年龄在26岁～35岁之间的有80人，占总抽取人数的，所以80万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有（万人）． 由表（二）可知，年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有20人，占总抽取人数的，所以年龄在26岁～35岁之间的40万人中，每月使用共享单车在7～14次之间的约有（万人） 题型八 频率分布表及其应用 1．（22-23高一·全国·课堂例题）下面是某城市公共图书馆在一年中通过随机抽样调查得到的60天读者借书量（单位：册），并排序如下： 213    230    239    289    291    301    308    310    311    312 318    318    337    343    344    348    349    351    360    362 368    372    374    379    383    385    390    393    396    398 399    400    404    406    425    429    430    436    438    440 441    444    446    453    456    458    471    473    475    483 484    495    498    498    521    524    549    556    568    584 为估计图书馆每天借书量的分布情况，以便合理安排工作人员，试根据以上数据制作一个频率分布表以帮助分析． 【答案】答案见解析 【知识点】根据频率分布表解决实际问题、绘制频率分布表 【分析】按照如下步骤完成：（1）计算极差，（2）确定组距和组数，（3）将数据分组，（4）列频率分布表．然后根据频数分布表得出样本数据的分布规律. 【详解】（1）计算极差（即一组数据中最大值与最小值的差） 样本数据中最小值是213，最大值是584．它们的极差是371． （2）确定组距和组数 这60个数据散布在闭区间中． 为了分组的方便，我们取一个略大的区间，然后将该区间分成若干组． 若取组距为50，那么组数，因此可以将数据分为8组． （3）将数据分组 将八等分，所分八组为：，，，，，，，． （4）列频率分布表 当样本量是的观测数据中有个落入第组时，我们称是第组的频率． 计算出数据落入各组中的频率为，，…，， 列出频率分布表，如下表所示． 分组 发生天数（频数） 频率 3 2 12 14 12 11 3 3 总计 60 上表体现了样本数据落在各个小组的比例大小，从中可以看到，借书量在内的天数最多，在和内的天数次之，大部分借书量集中在之间． 2．（21-22高一·全国·课后作业）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了20名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果如下（单位：小时）： 0.2  0.3  0.3  0.4  0.5 0.6  0.6  0.7  0.7  0.8 0.8  1.0  1.1  1.3  1.4 1.4  1.6  1.7  2.0  2.3 (1)试估计该学校学生的课外阅读情况； (2)估计该学校学生的课外阅读时间超过1小时的人数占比． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】根据频率分布表解决实际问题 【分析】（1）（2）制作频率分布表来分析样本数据的频率分布，即可通过样本频率分布估计整体的频率分步 【详解】（1）由于样本的数据很难看出任何规律，因此通过制作频率分布表来分析样本数据的频率分布． 样本的最小值为0.2，最大值为2.3，故全距为2.1，可选取组距为0.5，将其分为5组．其频率分布表如下： 课外阅读时间分布区间 频数 频率 4 0.20 0.40 7 0.35 0.70 5 0.25 0.50 2 0.10 0.20 2 0.10 0.20 从上表中可以估计总体的大致分布情况．比如，该校学生的课外阅读所用时间在范围内的频率最大，大于1.5小时的频率相对较小． （2）由（1）得，估计该学校学生的课外阅读时间超过1小时的人数占比为． 题型九 频率分布直方图及其应用 1．（9-10高一下·广东河源·期末）为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小矩形的面积之比为，第二小组的频数为12．    (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上（含110次）为达标，则样本中高一年级学生的达标率约是多少？ 【答案】(1)， (2) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）根据条件计算第二小组对应矩形面积占比即可得出其频率大小，再由频数比频率即得出其样本容量； （2）根据频率分布直方图计算即可. 【详解】（1）频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的， 因此第二小组的频率为． 因为第二小组的频率， 所以样本容量． （2）由频率分布直方图可得样本中高一年级学生的达标率约为 . 2．（23-24高一下·四川自贡·期末）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值；若该市有200万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数； (2)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准，估计的值． 【答案】(1)；24万 (2) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）根据频率和为1求的值；进而求用水量不低于的频率和人数； （2）分析可知，列式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得； 因为全市居民中月均用水量不低于的频率为， 所以估计全市居民中月均用水量不低于的人数为万. （2）因为，， 可知，则，解得. 3．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)求样本中在内的频数； (3)若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）根据频率分布直方图及直方图的性质得到方程组，解得即可； （2）首先求出，即可求出频数； （3）求出，从而估计人数. 【详解】（1）依题意，， 又，且，， 解得，，； （2）因为， 所以样本中在内的频数为； （3）因为， 所以根据样本数据估计全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数约为（人）. 题型十 频率分布折线图及其应用 1．（20-21高一·全国·单元测试）某制造商为运动会生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径（单位：mm，保留两位小数）如下： 40.02        40.00        39.98        40.00        39.99 40.00        39.98        40.01        39.98        39.99 40.00        39.99        39.95        40.01        40.02 39.98        40.00        39.99        40.00        39.96 (1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图； 分组 频数 频率 合计    (2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数. 【答案】(1)图表见详解 (2)9000 【知识点】绘制频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用、绘制频率分布折线图 【分析】(1)根据所给的频数和样本容量，用频数除以样本容量做出每一组数据对应的频率,填入表中，画出对应的频率分步直方图和频率分布折线图. (2)计算抽样产品在的个数，计算合格率，即可求出这批产品的合格只数. 【详解】（1）频率分布表如下： 分组 频数 频率 2 0.10 5 4 0.20 10 10 0.50 25 4 0.20 10 合计 20 1.00 50 频率分布直方图、频率分布折线图如图所示．    （2）因为抽样的20只产品中在范围内的有18只，所以合格率为． 所以根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9000． 2．（22-23高一下·辽宁阜新·阶段练习）有一个容量为60的样本(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表： 分组 频数 3 6 12 频率 0.3    (1)补全表中所剩的空格； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】绘制频率分布折线图、绘制频率分布直方图、补全频率分布表 【分析】（1）分别计算各分数段的频率与频数，再补表格即可； （2）分别计算各分数段的频率除以组距的值，然后画出频率分布直方图和频率分布折线图即可. 【详解】（1）根据题意，的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为， 频数为；的频数为. 填表如下. 分组 频数 3 6 12 21 18 频率 0.05 0.1 0.2 0.35 0.3 （2）计算的，的， 的，的， 的. 画出的频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.    3．（22-23高二下·上海·单元测试）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下： 分组 频数 7 11 15 40 49 41 20 17 分组 频数 频率 合计 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出样本的频率分布直方图和折线图； (3)求样本数据不足0的频率． 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图和折线图见解析 (3)0.365 【知识点】补全频率分布表、根据频率分布表解决实际问题、绘制频率分布直方图、绘制频率分布折线图 【分析】（1）根据表中数据作出频率分布表即可； （2）结合频率分布表作出频率分布直方图与折线图； （3）根据题意，求出，，，的频率和即可． 【详解】（1）根据表中数据，频率分布表如下： 7 0.035 11 0.055 15 0.075 40 0.200 49 0.245 41 0.205 20 0.100 17 0.085 合计 200 1 （2）结合频率分布表得直方图与折线图如下： （3）样本数据不足0的频率为． 题型十一 总体百分位的估计 1．（25-26高一上·全国·课前预习）某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，你能把数据从小到大排列吗？班级总数的是多少？ 【答案】能，2 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】将数据按从小到大的顺序排列为87，89，90，91，92，93，94，96； 班级总数为8个， 因此，班级总数的是：个. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）计算数据44，57，59，60，61，63，66，58，62，67的百分位数：，，． 【答案】，，． 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的计算方法进行求解即可. 【详解】将数据按从小到大的顺序排列为44，57，58，59，60，61，62，63，66，67， 数据量， 因为是整数， 所以， 因为不是整数， 5是比4.5大的最小整数， 所以， 因为是整数， 所以． 3．（23-24高一下·全国·课后作业）梵净山位于贵州省铜仁市的江口､印江､松桃三县交界处，是具有2000多年历史的文化名山.梵净山山势雄伟､层峦叠嶂，溪流纵横､飞瀑悬泻.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的分位数. 【答案】(1) (2) 【知识点】总体百分位数的估计、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据直方图中频率和为即可求解； （2）由百分位数的定义，结合直方图即可求解； 【详解】（1）由图可知：，解得：. （2）根据频率分布直方图可知： ， 所以分位数在区间内，令其为， 则， 解得： 所以满意度评分的分位数为. 题型十二 总体集中趋势的估计 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 【答案】(1)平均数为30.27次；29.09次；中位数33次，29次，众数33次，29次． (2)平均数 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数的中位数、计算几个数的众数 【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的概念计算即可； （2）利用平均数、中位数和众数的统计意义分析即可. 【详解】（1）一班平均数为（次）， 一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35， 所以一班的中位数为33次，33出现的次数最多，众数是33次； 二班平均数为（次）， 二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35， 所以二班的中位数是29次，29出现的次数最多，所以二班的众数是29次． （2）运用平均数表示两个班的成绩更合适． 2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知一组样本量为10的样本数据如下： 37  39  45  48  49  51  52  55  61  63 (1)求这组数据的平均数和标准差； (2)求这组数据的20%和75%分位数； (3)已知另一组样本数据的样本量为5，平均数为47，方差为16，求这两组样本组成的总体的平均数和方差. 【答案】(1)50，8； (2)42，55 (3)49，50 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】（1）由平均数和标准差计算公式即可求解； （2）由百分位数的计算公式即可求解； （3）由即可求解； 【详解】（1）平均数， 方差， 所以标准差为8 （2），所以20%分位数为， ，所以分位数是第8个数，为55， （3）第一组：， 第二组：， 所以， . 题型十三 众数、平均数、中位数的比较 1．（24-25高一上·北京·开学考试）某水果公司以10元/的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7，4.8，4.6，4.5，4.8，4.9，4.8，4.7，4.8，4.7，4.8，4.9，4.7，4.8，4.5，4.7，4.7，4.9，4.7，5.0． 整理数据： 质量（） 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 数量（箱） 2 1 7 a 3 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 4.75 b c (1)____________，____________，____________； (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？ (3)根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？ 【答案】(1)6，4.7，4.75 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、用中位数的代表意义解决实际问题、用平均数的代表意义解决实际问题 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可； （3）求出成本，根据（2）的结果计算即可． 【详解】（1）， 4.7出现的次数最多，∴众数， 将这组数据按照从小到大的顺序排列，第10箱质量为4.7，第11箱质量为4.8， ∴中位数， （2）若选平均数4.75，则这2000箱荔枝共损坏了， 若选择众数4.7，则这2000箱荔枝共损坏了， 若选择中位数4.75，这2000箱荔枝共损坏了； （3）若选平均数或中位数，则（元）， 若选众数，则（元）， 答：若选平均数或中位数，该公司销售这批荔枝每千克定为10.5元才不亏本， 若选众数，该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本 2．（2024高一下·全国·专题练习）据了解，某公司的33名职工月工资（单位：元）如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 11000 10000 9000 8000 6500 5500 4000 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数． (2)假设副董事长的工资从10000元提升到20000元，董事长的工资从11000元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元） (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 【答案】(1)答案见解析 (2)平均数是5333元，中位数是4000元，众数是4000元 (3)答案见解析 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数的中位数、用众数的代表意义解决实际问题、计算几个数的众数 【分析】（1）由平均数、中位数以及众数的定义即可求解； （2）由平均数、中位数以及众数的定义即可求解； （3）结合题意以及数据的数字特征，言之有理即可. 【详解】（1）平均数是（元）， 中位数是4000元，众数是4000元． （2）平均数是， 中位数是4000元，众数是4000元． （3）中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大， 这样导致平均数与中位数（众数）偏差较大（平均数受极端值影响较大）， 所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 3．（2024高一下·江苏·专题练习）某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下： 销售量（件） 1 800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 (1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数； (2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额. 【答案】(1)平均数是320，中位数是210，众数是210 (2)不合理，理由见解析，销售额定为210件 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、用平均数的代表意义解决实际问题 【分析】（1）利用平均数，中位数，众数的定义求解即可. （2）结合（1）中求出的平均数，中位数，众数，进行分析即可. 【详解】（1）平均数是（件） 表中的数据是按从大到小的顺序排列的.处于中间位置的是210，因而中位数是210. 而210出现了5次，次数最多，所以众数是210. （2）不合理. 因为15人中有13人的销售额不到320件， 320件虽是所给一组数据的平均数，它却不能很好地反映销售人员的一般水平. 销售额定为210件合适些，因为210件既是中位数，又是众数，且是大部分人能达到的定额. 题型十四 总体离散程度的估计 1．（24-25高一上·广西钦州·期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 【答案】(1). (2)37.5吨. (3)平均数为37吨，方差为81. 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】(1)由频率直方图以及频率和为1列出方程即可求得 (2)结合频率分布直方图和中位数定义先确定中位数所在区间，再列式求出中位数. (3)应用均值和方差公式可求解. 【详解】（1）由图可得，得. （2）设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为， 因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.01+0.03）×10=0.4<0.5， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为（0.01+0.03+0.04）×10=0.8>0.5. 所以，由，得. 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨. （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差 2．（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）近年来，甘肃省张掖市民乐县利用戈壁荒滩等非耕地资源，集成基质栽培、节水灌溉、品种改良、光热控制等现代技术，重构作物生长环境，突破传统农业对水、土等自然条件的高度依赖，大力发展戈壁智慧设施农业，使六坝滩蜕变为区位优势明显、生态产业密集的现代农业试验示范中心某机构对民乐县100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． 【答案】(1)； (2)37.5吨； (3)平均数为37吨，方差为81. 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）由频率直方图及频率和为1列方程求参数； （2）根据频率直方图及中位数的定义确定中位数所在区间，进而求出中位数； （3）应用均值、方差的公式求这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差. 【详解】（1）由图可得，得． （2）设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为x， 因为第一组和第二组数据的频率之和为， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为， 所以，由，得． 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨． （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差． 题型十五 频率分布的综合问题 1．（2024高一下·全国·专题练习）为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？ (2)若次数在110以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ (3)试求样本中不达标的学生人数； (4)试求样本中次数在130以上（含130次）的学生人数． 【答案】(1)0.08；150 (2) (3)18 (4)36 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，所以计算面积之比即为所求小组的频率，进而可得样本容量； （2）根据题意结合人数比分析求解； （3）根据问中的达标率，可计算不达标率，从而求出不达标人数； （4）根据题意结合人数比例以及样本容量求解. 【详解】（1）由题意可知：第二小组的频率为； 所以样本容量为. （2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为. （3）由（1）（2）知达标率为，样本量为150，则不达标率为， 所以样本中不达标的学生人数为（人）． （4）次数在130以上（含130次）的学生人数为. 2．（2024高一下·江苏·专题练习）有一容量为50的样本，数据的分组及各组的数据如下：，4；，9；，5；，8；，10；，3；，11. (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率直方图及频率折线图. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率直方图及频率折线图见解析 【知识点】绘制频率分布表、绘制频率分布直方图、绘制频率分布折线图 【分析】（1）由各组的频数除以样本容量即可求得频率分布表； （2）根据（1）中的频率除以组距得到各组的纵坐标，进而绘制出频率分布直方图，然后连接各个小矩形顶端的中点得到频率分布折线图. 【详解】（1）由所给的数据，不难得出以下样本的频率分布表. 数据段 频数 频率 4 0.08 5 0.10 10 0.20 11 0.22 9 0.18 8 0.16 3 0.06 合计 50 1 （2）频率直方图如图1所示，频率折线图如图2折线部分所示.         3．（22-23高一·全国·随堂练习）一位植物学家想要研究某类植物生长1年之后的高度．他随机抽取了60株此类植物，测得它们生长1年之后的高度如下（单位：cm）： 73    84    91    68    72    83    75    58    87    41 48    61    65    72    92    68    73    43    57    78 80    59    84    42    67    49    64    73    51    65 63    82    90    54    63    76    61    68    66    78 55    81    94    79    45    67    70    98    76    72 72    91    86    75    76    50    69    69    56    74 (1)完成下表： 高度分组/cm 频数 频率 (2)根据上表画出相应的频率分布直方图和频率折线图，并描述此类植物生长1年之后的高度分布情况． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】绘制频率分布折线图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、绘制频率分布直方图、补全频率分布表 【分析】（1）根据所给数据及频数、频率的概念求解； （2）根据（1）作出频率分布直方图，再由频率分布直方图得出折线图，结合图形得出高度分布情况. 【详解】（1） 高度分组/cm 频数 频率 5 0.083 0.0083 8 0.133 0.0133 16 0.267 0.0267 17 0.283 0.0283 8 0.133 0.0133 6 0.100 0.0100 （2）由上表可得频率分布直方图：    频率折线图如图：    超过50%的此类植物在生长1年后的高度在cm之间，其中50cm以下，90cm以上所占比例相对较小.题型十六 总体集中趋势估计的综合问题 1．（24-25高一上·江西·阶段练习）甲､乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀）.如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计甲､乙两人射击成绩的优秀率； (2)分别求出甲､乙6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？ 【答案】(1)甲的优秀率为，乙的优秀率为 (2)甲的射击成绩更好 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、用频率估计概率、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）直接由表得出结论； （2）分别计算甲乙两名运动员的平均数和方差，通过，判断甲成绩更好. 【详解】（1）由表可知：甲的优秀率为，乙的优秀率为. （2）甲运动员此射击成绩的平均数为， 所以甲运动员此射击成绩的方差为， 乙运动员此射击成绩的平均数为， 所以乙运动员此射击成绩的方差为， 因为，，所以甲、乙两名运动员的平均成绩相同， 但是甲运动员的射击成绩更稳定，所以甲运动员的射击成绩更好. 2.（24-25高一上·甘肃定西·开学考试）某校在育人工作中，其中一项是班主任每周与学生谈心，了解学生思想动态，及时对管理思路作出调整.为了解七年级班主任和学生的谈心情况，学校调查了七年级20名班主任一周与学生谈心的时间，将谈心时间、次数进行了收集、整理和分析. 【收集数据】 谈心时间（分钟）：25，35，35，20，25，38，40，40，38，40，38，38，20，35，20，38，38，38，25，25. 【整理数据】 谈心时间（分钟） 20 25 35 38 40 频数 3 4 3 a b 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级班主任谈心时间 e f 38 54.65 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：c=_______，e=_______，f=_______. (2)根据扇形统计图，将谈心时间不低于37分钟表彰为“最温暖的班主任”，则七年级有多少名班主任获得此荣誉称号？ (3)【数据应用】八年级20名班主任的谈心时间相关信息如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 八年级班主任谈心时间 32.55 38 37 47.729 根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个年级的班主任在育人工作中投入更多一些？并给出一些合理解释. 【答案】(1)，，； (2)10； (3)八年级的班主任，解释见解析. 【知识点】补全扇形统计图、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）根据给定的数据求出，再利用频率、平均数、中位数的意义求解即得. （2）求出谈心时间不低于37分钟的频率，进而求出频数即可. （3）由两个年级的平均数、中位数、方差进行比较并判断. 【详解】（1）由给定的数据得，，则， ， 将20个数据由小到大排列为：， 因此. 故答案为：；； （2）谈心时间不低于37分钟的班主任的频率为，则， 所以七年级有10名班主任获得此荣誉称号. （3）八年级的班主任在育人工作中投入更多一些， 因为两个年级的班主任一周与学生谈心的时间平均数相同， 但八年级的班主任一周与学生谈心的时间中位数高于七年级， 且八年级的班主任一周与学生谈心的时间的方差小于七年级， 所以八年级的班主任在育人工作中投入更多一些. 题型十七 总体离散程度估计的综合问题 1．（2023高一·全国·专题练习）某工厂生产三种纪念品，每种产品都分精品型和普通型两种，某一天的产量如下表（单位：个） 纪念品A 纪念品B 纪念品C 精品型 100 150 n 普通型 300 450 600 现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中有A种纪念品40个． (1)求n的值； (2)从B中精品型纪念品中抽取5个，某种指标的数值如下：x，y，10，11，9，把这5个数据看做一个总体，其均值为10、方差为2，求的值． 【答案】(1)400 (2)4 【知识点】根据方差、标准差求参数、根据平均数求参数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）设这一天生产的纪念品为个，根据分层抽样的原理建立方程，解得即可； （2）先根据平均数建立关系式，然后根据方差建立关于、的等量关系，然后将用前面的等式进行表示即可求出值； 【详解】（1）解：设这一天生产的纪念品为个， 由题意得，，（个）， 所以（个）. （2）解：由题得，则， 由于得， 从而，， 即. 2．（24-25高一上·江西南昌·期末）某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 男生样本的频率分布直方图 女生样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 n m p 12 0.30 2 0.05 (1)求和的值； (2)计算男生样本的平均数和方差； (3)根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差 【答案】(1)，； (2)平均数为169，方差为89 (3)平均数为166，方差为100.8. 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、估计总体的方差、标准差、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）根据频率和为1求，由频率公式求的值； （2）根据平均数、方差公式求解； （3）根据分层抽样的平均数、方差公式求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为的频数为4，频率为0.1，所以样本容量为40， 则，所以； （2）由男生样本的频率分布直方图知， 平均数为， 方差为 ； （3）由女生样本的频率分布表可知 平均数为， 方差为 所以平均数为， 方差为. 所以估计高一年级全体学生身高的平均数为166，方差为100.8. 3．（24-25高二上·四川成都·期中）年月日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数； (2)若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任了本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为.则总体样本方差. 【答案】(1)； (2) 【知识点】计算频率分布直方图中的方差、标准差、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得，根据频率分布直方图中平均数的计算方法即可求解； （3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由图得， 解之可得； 根据题意知， （2）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为 ，， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为， ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图和下表所示（单位：mm）.        平均数 方差 完全符合要求的个数 A 20 0.026 2 B 20 5 根据测试得到的有关数据，试解答下列问题： (1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些； (2)计算出的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些； (3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由. 【答案】(1)B的成绩好些. (2)0.008，B的成绩好些 (3)可选派A去参赛，理由见解析 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】（1）从B同学完全符合要求的个数比A同学完全符合要求的个数多得到答案； （2）利用方差计算公式得到，与比较后得到结论； （3）A的成绩后来逐渐稳定，误差小，从而选A去参赛. 【详解】（1）因为A、B两位同学成绩的平均数相同，且B同学完全符合要求的个数比A同学完全符合要求的个数多，由此认为B的成绩好些； （2）∵， 且， ∴. 故在平均数相同的情况下，B的波动性小， ∴B的成绩好些； （3）从题图中折线图走势可知，尽管A的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，可选派A去参赛． 5．（24-25高二上·吉林·开学考试）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7  8  7  9  5  4  9  10  7  4 乙：9  5  7  8  7  6  8  6  7  7 设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为和，方差分别记为和. (1)求，，，； (2)如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 【答案】(1)7；7；4；1.2 (2)答案见解析 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）根据平均数和方差公式计算即可； （2）由（1）的结论，平均数一样，则通过方差判断其稳定性即可得结果. 【详解】（1）， ， ， . （2）由（1）知，甲乙射击的平均成绩一样，但乙比甲射击的成绩更稳定，所以选择乙. 题型十八 用样本估计总体的综合问题 1．（24-25高一下·甘肃·阶段练习）为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计如图所示：    (1)求甲和乙的测试成绩的平均数和方差； (2)从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）； ②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）. 【答案】(1)甲平均数为115，方差为16，乙平均数为115；方差为； (2)①乙方案更好，更稳定，理由见解析；②甲方案更有潜力，理由见解析 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、计算几个数据的极差、方差、标准差、用平均数的代表意义解决实际问题、计算几个数的平均数 【分析】（1）利用平均数和方差的公式进行求解； （2）①比较平均数，两者相等，比较方差，，得到结论； ②数形结合得到甲成绩在稳步提高，得到结论 【详解】（1）由表格中的数据可得 甲的平均数为， 乙的平均数为， 甲的方差为， 乙的方差为， （2）①甲，乙两种方案的平均数相等，且，乙方案更稳定，更好； ②从折线图的走势上看甲更有潜力，使用甲方案成绩稳步提高， 而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下. 2．（23-24高一下·广东广州·期末）为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (1)求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； (3)若样本数据在与内的方差分别为，，计样本数据在内的方差. 【答案】(1)，1200人； (2)68分钟； (3)91. 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出；求出阅读时间达标的频率即可得解. （2）利用频率分布直方图求出平均时间. （3）利用分层抽样的方差公式计算即得. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，所以； 阅读时间达标的频率为， 估计该校阅读时间达标的人数为. （2）一周的课外阅读时间在 内的频率依次为：， ， 所以估计该校学生每周课外阅读的平均时间为68分钟. （3）样本数据在与内的平均数分别为， 则样本数据在内的平均数为， 所以样本数据在内的方差. 3．（24-25高二上·四川成都·期中）为了检验同学们高二以来的学习效果，某市在期末的时候将组织调研考试．在某次调研考试中学校为了解同学们的调考情况，从所有同学中随机抽取某学科的100份答卷作为样本，将样本成绩按从低到高依次分为第组（如下图所示，成绩满分为100分且成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图求样本成绩的上四分位数；（上四分位数即75百分位数） (2)已知第2组的平均成绩是54，方差是4，第3组的平均成绩为66，方差是4， ①分别求第2组和第3组的人数； ②求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式或数据： 方差：. 【答案】(1)84； (2)①10，20；②总平均数是62，总方差是36 【知识点】总体百分位数的估计、计算频率分布直方图中的方差、标准差、计算几个数的平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图结合百分位数的定义计算即可； （2）①利用频率分布直方图直接计算可得；②利用平均数与方差的计算公式计算即可. 【详解】（1）上四分位数即75百分位数， 成绩落在内的频率为 成绩落在内的频率为， 设第75百分位数为，则其位于区间， 则，解得， 所以上四分位数为84； （2）①由图可知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， ②两组成绩的总平均数为， 设成绩在中10人的分数分别为； 成绩在中20人的分数分别为， 则由题意可得，，， 即， 所以， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是36. 4．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图    (1)求图中的值，并判断满意度评分的平均数，中位数，众数的大小关系（直接写出答案即可） (2)估计满意度评分的下四分位数； (3)设在样本中，学生、教师的人数分别为，记所有学生的评分为，…，，其平均数为，方差为，所有教师的评分为，其平均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，试求的最小值． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据方差、标准差求参数、总体百分位数的估计 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程，求出的值，利用公式平均数，中位数，众数；（2）利用频率分布直方图性质列出方程求出满意度评分的下四分位数；（3）由，可得，结合方差公式以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由频率和为1得，解得：， 平均数， 中位数 众数 （2）设分位数为，由分布直方图得，所以，解得：， 所以满意度评分的下四分位数为. （3）由，可得， 所以， 所以，即， 令，则，由于(当且仅当时等号成立)， 又，所以，即， 解得：或， 因为，且， 所以，即的最小值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2 用样本估计总体 题型一 条形统计图及其应用 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容：为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如图所示． 请根据统计图提供的信息回答以下问题： (1)求抽取的学生数； (2)若该校有3000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数． 2．（20-21高一·全国·课后作业）某校八年级学生参加“史地生会考”，八年级（1）班25名学生的成绩(满分为100分)统计如下：90，74，88，65，98，75，81，42，85，70，55，80，95，88，72，87，60，56，76，66，78，72，82，63，100. （1）90分及以上为A级，75~89分为B级，60~74分为C级，60分以下为D级.请把下面表格补充完整. 等级 A B C D 人数 8 （2）根据（1）中完成的表格，将图中的条形图补充完整. （3）该校八年级共有1000名学生，如果60分以上为及格，那么请估计八年级有多少人及格？ （4）若要知道抽测中每一个等级的人数占总人数的百分比，则应选择___________统计图. 题型二 折线统计图及其应用 1．（22-23高一·全国·随堂练习）下面是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型性肺炎疫情新增数据走势图．    (1)哪一天新增确诊的人数最多？哪一天新增疑似的人数最多？ (2)哪一天新增治愈的人数最多？哪一天新增死亡的人数最少？ (3)从图中，你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗？ 2．（2024高一下·全国·专题练习）为了了解我国电视机的销售情况，小张在某网站上下载了此图：    (1)小张获取数据的途径是什么？ (2)由图可知，电视机的销售总量在2011年达到最大值，你认为电视机销售总量出现下滑的主要原因是什么？ 3．（22-23高一·全国·随堂练习）国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成类型的标准： ①年龄中位数在20岁以下为年轻型人口； ②年龄中位数在20~30岁为成年型人口； ③年龄中位数在30岁以上为老年型人口．    (1)试查找数据，分析我国人口年龄构成类型； (2)试结合上图谈谈全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响． 4．（21-22高一上·全国·课后作业）如图是某高校土木工程系大四年级名学生期末考试专业成绩的频率折线图，其中组距为，且本次考试中最低分为分，最高分为分.根据图中所提供的信息，判断下列说法哪些正确，哪些不正确，并说明理由. ①成绩是分的有人； ②成绩是分的人数比成绩是分的人数多； ③成绩落在分的有人； ④成绩落在分的有人. 题型三 扇形统计图及其应用 1．（22-23高一·全国·随堂练习）下表给出了某地区近年来1000次火灾发生的不同原因，请你用自己的方式表示其中的数据． 原因 烹饪 电器 明火 吸烟 纵火 儿童玩火 其他 次数 168 270 80 176 140 60 106 2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当时，为“偏少”；当时，为“一般”；当时，为“良好”；当时，为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：    阅读本数（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数（名） 1 2 6 7 12 7 y 1 请根据以上信息回答下列问题： (1)求出本次随机抽取的学生总人数； (2)分别求出统计表中的的值； (3)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数. 题型四 条形统计图与折线统计图的综合问题 1．（21-22高一上·全国·课后作业）以下是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请根据图1、图2解答下列问题: (1)来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1~4月的手机销售总额一共是290万元，请将图1中的统计图补充完整; (2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元? (3)小刚观察图2后，认为4月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由. 题型五 条形统计图与扇形统计图的综合问题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某校分别于2020年、2022年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为极少、有时、常常、总是共四种），绘制成部分统计图如下．请根据图中信息，解答下列问题： (1)________，________，“总是”对应扇形统计图中的圆心角度数为________； (2)请你补全条形统计图； (3)若该校2022年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？ (4)相比2020年，2022年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？ 2．（23-24高一上·云南保山·开学考试）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图.    请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次一共调查了多少名购买者？ (2)请补全条形统计图； 在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为______度. (3)若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？ 3．（23-24高一上·江西赣州·开学考试）某校为了解学生第一个“双减”后的暑假最期待什么活动，校学生会随机对该校七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果分为四个类别：A表示“广泛阅读”，B表示“劳动实践”，C表示“户外运动”，D表示“其他”，每个同学只能选择其中的一项，根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．    (1)参加这次调查的学生总人数为______ 人； (2)将条形统计图补充完整； (3)该校七年级有800名学生，估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有多少名？ 题型六 折线统计图与扇形统计图的综合问题 1．（2020高一·全国·专题练习）如图所示是根据某市月日至月日的最低气温（单位：）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市月日到日最低气温（单位：）的扇形统计图和条形统计图. 2．（22-23高一·全国·课堂例题）据《中国统计年鉴（2015）》可知，1990年､2000年和2014年我国人口年龄分布情况（百分比）如表所示. 表： 年龄 年份 1990 2000 2014 0~14岁 27.7% 22.9% 16.5% 15~64岁 66.7% 70.1% 73.4% 65岁及以上 5.6% 7.0% 10.1% (1)试用扇形统计图表示2014年三个年龄段人口所占比； (2)试用折线统计图表示1990年､2000年和2014年65岁及以上人口占比. 题型七 条形统计图、折线统计图、扇形统计图的综合问题 1．（2024高一下·全国·专题练习）对某校某年高中毕业生去向调查如下表： 上本科 上专科 上技校 参军 直接就业 其他 用适当的统计图表方式表示出上面的数据． 2．（2023高一·全国·专题练习）如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温（单位：℃）的扇形统计图和条形统计图． 3．（21-22高一下·山东聊城·阶段练习）共享单车入驻某城区5年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此5周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放10000份调查问卷，回收到有效问卷6300份，现从中随机抽取160份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格： 表（一） 使用者年龄段 25岁以下 26岁～35岁 36岁～45岁 45岁以上 人数 40 80 20 20 表（二） 使用频率 0～6次/月 7～14次/月 15～22次/月 23～31次/月 人数 10 20 40 10 表（三） 满意度 非常满意（10） 满意（9） 一般（8） 不满意（7） 人数 30 20 20 10 (1)依据上述表格完成下列三个统计图形： 　　   　 (2)某城区现有常住人口80万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数. 题型八 频率分布表及其应用 1．（22-23高一·全国·课堂例题）下面是某城市公共图书馆在一年中通过随机抽样调查得到的60天读者借书量（单位：册），并排序如下： 213    230    239    289    291    301    308    310    311    312 318    318    337    343    344    348    349    351    360    362 368    372    374    379    383    385    390    393    396    398 399    400    404    406    425    429    430    436    438    440 441    444    446    453    456    458    471    473    475    483 484    495    498    498    521    524    549    556    568    584 为估计图书馆每天借书量的分布情况，以便合理安排工作人员，试根据以上数据制作一个频率分布表以帮助分析． 2．（21-22高一·全国·课后作业）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了20名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果如下（单位：小时）： 0.2  0.3  0.3  0.4  0.5 0.6  0.6  0.7  0.7  0.8 0.8  1.0  1.1  1.3  1.4 1.4  1.6  1.7  2.0  2.3 (1)试估计该学校学生的课外阅读情况； (2)估计该学校学生的课外阅读时间超过1小时的人数占比． 题型九 频率分布直方图及其应用 1．（9-10高一下·广东河源·期末）为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小矩形的面积之比为，第二小组的频数为12．    (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上（含110次）为达标，则样本中高一年级学生的达标率约是多少？ 2．（23-24高一下·四川自贡·期末）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值；若该市有200万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数； (2)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准，估计的值． 3．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)求样本中在内的频数； (3)若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 题型十 频率分布折线图及其应用 1．（20-21高一·全国·单元测试）某制造商为运动会生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径（单位：mm，保留两位小数）如下： 40.02        40.00        39.98        40.00        39.99 40.00        39.98        40.01        39.98        39.99 40.00        39.99        39.95        40.01        40.02 39.98        40.00        39.99        40.00        39.96 (1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图； 分组 频数 频率 合计    (2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数. 2．（22-23高一下·辽宁阜新·阶段练习）有一个容量为60的样本(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表： 分组 频数 3 6 12 频率 0.3    (1)补全表中所剩的空格； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图. 3．（22-23高二下·上海·单元测试）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下： 分组 频数 7 11 15 40 49 41 20 17 分组 频数 频率 合计 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出样本的频率分布直方图和折线图； (3)求样本数据不足0的频率． 题型十一 总体百分位的估计 1．（25-26高一上·全国·课前预习）某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，你能把数据从小到大排列吗？班级总数的是多少？ 2．（25-26高一上·全国·课前预习）计算数据44，57，59，60，61，63，66，58，62，67的百分位数：，，． 3．（23-24高一下·全国·课后作业）梵净山位于贵州省铜仁市的江口､印江､松桃三县交界处，是具有2000多年历史的文化名山.梵净山山势雄伟､层峦叠嶂，溪流纵横､飞瀑悬泻.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的分位数. 题型十二 总体集中趋势的估计 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知一组样本量为10的样本数据如下： 37  39  45  48  49  51  52  55  61  63 (1)求这组数据的平均数和标准差； (2)求这组数据的20%和75%分位数； (3)已知另一组样本数据的样本量为5，平均数为47，方差为16，求这两组样本组成的总体的平均数和方差. 题型十三 众数、平均数、中位数的比较 1．（24-25高一上·北京·开学考试）某水果公司以10元/的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7，4.8，4.6，4.5，4.8，4.9，4.8，4.7，4.8，4.7，4.8，4.9，4.7，4.8，4.5，4.7，4.7，4.9，4.7，5.0． 整理数据： 质量（） 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 数量（箱） 2 1 7 a 3 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 4.75 b c (1)____________，____________，____________； (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？ (3)根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？ 2．（2024高一下·全国·专题练习）据了解，某公司的33名职工月工资（单位：元）如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 11000 10000 9000 8000 6500 5500 4000 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数． (2)假设副董事长的工资从10000元提升到20000元，董事长的工资从11000元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元） (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 3．（2024高一下·江苏·专题练习）某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下： 销售量（件） 1 800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 (1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数； (2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额. 题型十四 总体离散程度的估计 1．（24-25高一上·广西钦州·期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 2．（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）近年来，甘肃省张掖市民乐县利用戈壁荒滩等非耕地资源，集成基质栽培、节水灌溉、品种改良、光热控制等现代技术，重构作物生长环境，突破传统农业对水、土等自然条件的高度依赖，大力发展戈壁智慧设施农业，使六坝滩蜕变为区位优势明显、生态产业密集的现代农业试验示范中心某机构对民乐县100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． 题型十五 频率分布的综合问题 1．（2024高一下·全国·专题练习）为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？ (2)若次数在110以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ (3)试求样本中不达标的学生人数； (4)试求样本中次数在130以上（含130次）的学生人数． 2．（2024高一下·江苏·专题练习）有一容量为50的样本，数据的分组及各组的数据如下：，4；，9；，5；，8；，10；，3；，11. (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率直方图及频率折线图. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）一位植物学家想要研究某类植物生长1年之后的高度．他随机抽取了60株此类植物，测得它们生长1年之后的高度如下（单位：cm）： 73    84    91    68    72    83    75    58    87    41 48    61    65    72    92    68    73    43    57    78 80    59    84    42    67    49    64    73    51    65 63    82    90    54    63    76    61    68    66    78 55    81    94    79    45    67    70    98    76    72 72    91    86    75    76    50    69    69    56    74 (1)完成下表： 高度分组/cm 频数 频率 (2)根据上表画出相应的频率分布直方图和频率折线图，并描述此类植物生长1年之后的高度分布情况． 题型十六 总体集中趋势估计的综合问题 1．（24-25高一上·江西·阶段练习）甲､乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀）.如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计甲､乙两人射击成绩的优秀率； (2)分别求出甲､乙6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？ 2.（24-25高一上·甘肃定西·开学考试）某校在育人工作中，其中一项是班主任每周与学生谈心，了解学生思想动态，及时对管理思路作出调整.为了解七年级班主任和学生的谈心情况，学校调查了七年级20名班主任一周与学生谈心的时间，将谈心时间、次数进行了收集、整理和分析. 【收集数据】 谈心时间（分钟）：25，35，35，20，25，38，40，40，38，40，38，38，20，35，20，38，38，38，25，25. 【整理数据】 谈心时间（分钟） 20 25 35 38 40 频数 3 4 3 a b 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级班主任谈心时间 e f 38 54.65 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：c=_______，e=_______，f=_______. (2)根据扇形统计图，将谈心时间不低于37分钟表彰为“最温暖的班主任”，则七年级有多少名班主任获得此荣誉称号？ (3)【数据应用】八年级20名班主任的谈心时间相关信息如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 八年级班主任谈心时间 32.55 38 37 47.729 根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个年级的班主任在育人工作中投入更多一些？并给出一些合理解释. 题型十七 总体离散程度估计的综合问题 1．（2023高一·全国·专题练习）某工厂生产三种纪念品，每种产品都分精品型和普通型两种，某一天的产量如下表（单位：个） 纪念品A 纪念品B 纪念品C 精品型 100 150 n 普通型 300 450 600 现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中有A种纪念品40个． (1)求n的值； (2)从B中精品型纪念品中抽取5个，某种指标的数值如下：x，y，10，11，9，把这5个数据看做一个总体，其均值为10、方差为2，求的值． 2．（24-25高一上·江西南昌·期末）某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 男生样本的频率分布直方图 女生样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 n m p 12 0.30 2 0.05 (1)求和的值； (2)计算男生样本的平均数和方差； (3)根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差 3．（24-25高二上·四川成都·期中）年月日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数； (2)若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任了本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为.则总体样本方差. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图和下表所示（单位：mm）.        平均数 方差 完全符合要求的个数 A 20 0.026 2 B 20 5 根据测试得到的有关数据，试解答下列问题： (1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些； (2)计算出的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些； (3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由. 5．（24-25高二上·吉林·开学考试）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7  8  7  9  5  4  9  10  7  4 乙：9  5  7  8  7  6  8  6  7  7 设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为和，方差分别记为和. (1)求，，，； (2)如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 题型十八 用样本估计总体的综合问题 1．（24-25高一下·甘肃·阶段练习）为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计如图所示：    (1)求甲和乙的测试成绩的平均数和方差； (2)从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）； ②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）. 2．（23-24高一下·广东广州·期末）为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (1)求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； (3)若样本数据在与内的方差分别为，，计样本数据在内的方差. 3．（24-25高二上·四川成都·期中）为了检验同学们高二以来的学习效果，某市在期末的时候将组织调研考试．在某次调研考试中学校为了解同学们的调考情况，从所有同学中随机抽取某学科的100份答卷作为样本，将样本成绩按从低到高依次分为第组（如下图所示，成绩满分为100分且成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图求样本成绩的上四分位数；（上四分位数即75百分位数） (2)已知第2组的平均成绩是54，方差是4，第3组的平均成绩为66，方差是4， ①分别求第2组和第3组的人数； ②求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式或数据： 方差：. 4．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图    (1)求图中的值，并判断满意度评分的平均数，中位数，众数的大小关系（直接写出答案即可） (2)估计满意度评分的下四分位数； (3)设在样本中，学生、教师的人数分别为，记所有学生的评分为，…，，其平均数为，方差为，所有教师的评分为，其平均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，试求的最小值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$