2025年九年级数学中考二轮复习专题：圆中切线的证明综合训练

2025年九年级数学中考二轮复习专题：圆中切线的证明综合训练 1．如图，点A、B在⊙O上，CB为⊙O的切线，AC＝BC，求证：AC为⊙O的切线． 2．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长． 4．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC． （1）求证：AC为⊙O的切线； （2）若AD＝，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长． 6．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线； （2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度； （3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF； （3）若CD＝1，EF＝，求AF长． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长． 9．已知等边△ABC内接于⊙O，D为弧BC的中点，连接DB、DC，过C作AB的平行线，交BD的延长线于点E． （1）求证：CE与⊙O相切； （2）若AB长为6，求CE长． 10．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证： （1）DE是⊙O的切线； （2）AB＝AC． 11．如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC长． 12．如图，⊙O的直径AD＝8，AB、CD是⊙O的两条切线，AB＝3，CD＝ （1）求证：△ABO∽△DOC； （2）求证：BC是⊙O的切线． 13．如图所示，点A、B、C在⊙O上，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA＝PD．求证：PA与⊙O相切． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O在AC上，OA＝2，以OA为半径的⊙O交AB于点D，AC于G，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求线段DE的长； （3）求线段AD的长． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AB＝5，BC＝4，OA＝1，求线段DE的长． 参考答案 1．【解答】证明：连接OC，如图所示： ∵点A、B在⊙O上， ∴OA＝OB， ∵CB为⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°， 在△OAC和△OBC中，， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠OAC＝∠OBC＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴AC为⊙O的切线． 2．【解答】（1）证明：如图1，连接DF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C， ∵BF＝BE， ∴AB﹣BF＝BC﹣BE， 即AF＝CE， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠DFA＝∠DEC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DEC＝90° ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接AH， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AHD＝∠DFA＝90°， ∴∠DFB＝90°， ∵AD＝AB，DH＝， ∴DB＝2DH＝2， 在Rt△ADF和Rt△BDF中， ∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2， ∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2， ∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2， ∴， ∴AD＝5． ∴⊙O的半径为． 3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上， ∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE， ∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠BDE+∠FDE＝90°， 即∠BDF＝90°， ∴DF⊥BD， 又∵BD是⊙O的直径， ∴DF是⊙O的切线． （2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴AB＝2BC＝2×4＝8， ∴＝4， ∵点D是AC的中点， ∴， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°， ∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°， ∴， 在Rt△BCD中，＝＝2， 在Rt△BED中，BE＝＝＝5， ∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE， ∴∠FDE＝∠DBE， ∵∠DEF＝∠BED＝90°， ∴△FDE∽△DBE， ∴，即， ∴． 4．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵DE∥OC， ∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE． ∵∠ODE＝∠OED， ∴∠DOC＝∠BOC． ∵OD＝OD，OC＝OC， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°． ∴∠ODA＝90°． ∴AC是⊙O的切线． （2）解：∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根， ∴AB•AE＝k， 如图2，连接DB， ∵EB是⊙O的直径， ∴∠EDB＝90°， ∴∠DEB+∠EBD＝90°， ∵AD是⊙O的切线， ∴∠ADO＝90°， ∴∠ADE+∠EDO＝90°， ∵OD＝OE， ∴∠DEO＝∠EDO， ∴∠ADE＝∠EBD， ∵∠DAE＝∠BAD， ∴△ADE∽△ABD， ∴， ∴AD2＝AE•AB， ∵， ∴， ∴x2﹣4x+3＝0， ∴x1＝3，x2＝1， ∴AE＝1，AB＝3， ∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2， ∴⊙O的半径为1． ∵∠B＝90°，AC是⊙O的切线， ∴DC＝BC， 设CD＝x，在Rt△ABC中，AC＝x+，AB＝3，BC＝x， ∴， 解得：x＝． ∴． 5．【解答】（1）证明：连接OD，AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵OA＝OB， ∴OD∥AC， ∵EF⊥AC， ∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠BAC＝30°， ∴BD＝AB＝＝4． 6．【解答】（1）证明：连接FO， ∵CN＝AC， ∴∠CAN＝∠CNA， ∵AC∥ME， ∴∠CAN＝∠MFN， ∵∠CAN＝∠FNM， ∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN， ∵CD⊥AB， ∴∠HAN+∠HNA＝90°， ∵AO＝FO， ∴∠OAF＝∠OFA， ∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°， ∴EM是圆O的切线； （2）解：连接OC， ∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a， ∵CD⊥AB， ∴CH＝DH＝4a，AH＝3a， ∵CA＝CN， ∴NH＝a， ∴AN＝＝＝a＝3， ∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12， 设圆的半径为r，则OH＝r﹣9， 在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9， 由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2， 解得：r＝， ∴圆O的直径为25； （3）∵CH＝DH＝12， ∴CD＝24， ∵AC：CD＝5：8， ∴CN＝AC＝15， ∴DN＝24﹣15＝9， ∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA， ∴△FND∽△CNA， ∴， ∵AN＝3， ∴， ∴FN＝． 7．【解答】证明：（1）如图1，连接OE． ∵BE⊥EF， ∴∠BEF＝90°， ∴BF是圆O的直径． ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠OBE， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠OEB＝∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO＝∠C＝90°， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：如图2，连结DE． ∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H， ∴EC＝EH． ∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°， ∴∠CDE＝∠HFE． 在△CDE与△HFE中， ∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴CD＝HF． （3）解：由（2）得CD＝HF，又CD＝1， ∴HF＝1， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°， ∴∠EHF＝∠BEF＝90°， ∵∠EFH＝∠BFE， ∴△EHF∽△BEF， ∴，即 ， ∴BF＝10， ∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4， ∴Rt△OHE中，cos∠EOA＝， ∴Rt△EOA中，cos∠EOA＝， ∴， ∴OA＝， ∴AF＝． 8．【解答】解：（1）连接DC， ∵＝， ∴∠DCA＝∠DOA， ∵∠ADQ＝∠DOQ， ∴∠DCA＝∠ADQ， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90° ∴∠DCA+∠DAC＝90°， ∵∠ADQ+∠DAC＝90°，∠ADO＝∠DAO， ∴∠ADQ+∠ADO＝90°， ∴DP是⊙O切线； （2）∵∠C＝90°，OC为半径． ∴PC是⊙O切线， ∴PD＝PC， 连接OP， ∴∠DPO＝∠CPO， ∴OP⊥CD， ∴OP∥AD， ∵AQ＝AC＝2OA， ∴＝＝， ∵AD＝4， ∴OP＝6， ∵OP是△ACB的中位线， ∴AB＝12， ∵CD⊥AB，∠C＝90°， ∴BC2＝BD•BA＝96， ∴BC＝4， ∴BP＝2． 9．【解答】（1）证明：连接OC，OB， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝60°， ∵AB∥CE， ∴∠BCE＝∠ABC＝60°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠OCE＝∠OCB+∠BCE＝30°+60°＝90°， ∴CE与⊙O相切； （2）∵四边形ABDC是圆的内接四边形， ∴∠A+∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝120°， ∵D为弧BC的中点， ∴∠DBC＝∠BCD＝30°， ∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝90°， ∵AB＝BC＝6， ∴． 10．【解答】证明：（1）连接OD， ∵O是AB的中点，D是BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵D是BC的中点， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC． 11.【解答】（1）证明：连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， 则DF为圆O的切线； （2）解：连接OG， ∵AC与圆O相切， ∴OG⊥AC， ∴∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，且OG＝OD， ∴四边形ODFG为边长为3的正方形， 设AB＝AC＝x，则有AG＝x﹣3﹣1＝x﹣4，AO＝x﹣3， 在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2＝AG2+OG2，即（x﹣3）2＝（x﹣4）2+32， 解得：x＝8， 则AC＝8． 12．【解答】（1）证明：∵AD、BC是⊙O的两条切线， ∴∠OAD＝∠OBC＝90°， ∵AB＝3，CD＝，AD＝8， ∴OA＝OD＝4， ∴＝，＝＝， ∴＝， ∴△ABO∽△DOC； （3）证明：过O作OE⊥BC，交BC于点E， ∵△ABO∽△DOC， ∴∠ABO＝∠COD， ∵∠ABO+∠AOB＝90°， ∴∠AOB+∠COD＝90°， ∵∠BOC＝90°， ∵∠OBE＝∠CBO，∠OEB＝∠BOC＝90°， ∴△BOE∽△BCO， ∴＝， 由∵OB＝＝5，OC＝＝， ∴BC＝＝， ∴＝， ∴OE＝4＝OA， ∴BC是⊙O切线． 13．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠EBA＝90°， ∵PA＝PD， ∴∠1+∠CAD＝∠2， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵∠ABD+∠BAD＝∠2， ∴∠1＝∠ABC， ∵∠CBE＝∠EAC，∠ABC+∠CBE＝90°， ∴∠CAE+∠1＝90°， ∴PA与⊙O相切． 14．【解答】（1）证明：连接OD， ∵EF垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠EDB+∠ODA＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE于D， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：连接OE， 设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x， ∵OE2＝DE2+OD2＝EC2+OC2， ∴42+（8﹣x）2＝22+x2， 解得x＝4.75， ∴DE＝4.75． （3）连结BG，DG． ∵AG是直径， ∴GD⊥AB， 由S△ABG＝AG•BC＝AB•GD可得：4×8＝10×GD， ∴GD＝3.2， ∴AD＝＝2.4， 15．【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵EF垂直平分BD， ∴ED＝EB， ∴∠EDB＝∠B， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∵∠A+∠B＝90°， ∴∠ODA+∠EDB＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∴直线DE是⊙O的切线； （2）解：作OH⊥AD于H，如图，则AH＝DH， 在Rt△OAB中，sinA＝＝， 在Rt△OAH中，sinA＝＝， ∴OH＝， ∴AH＝＝， ∴AD＝2AH＝， ∴BD＝5﹣＝， ∴BF＝BD＝， 在Rt△ABC中，cosB＝， 在Rt△BEF中，cosB＝＝， ∴BE＝×＝， ∴线段DE的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$