第9章 平面向量复习学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

 第9章 平面向量 本 章 复 习 1. 梳理本章知识点，形成知识体系． 2. 掌握向量在几何、物理学等方面的应用，提高解决实际问题的能力． 活动一 构建知识网络 活动二　理解概念，掌握基本方法　 例1　给出下列说法：①若非零向量与共线，则A，B，C，D一定四点共线；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a·c＝b·c(c≠0)，则a＝b；⑤(a·b)2＝a2·b2；⑥(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直(a，b，c均不为0).其中正确的是________．(填序号) 例2　(2023潍坊期中)设e1，e2是平面内不平行的非零向量，a＝e1＋e2，b＝e1－2e2. (1) 证明：向量a，b是平面的一组基底； (2) 请探究是否存在实数k，使得ke1＋e2和3e1＋ke2平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 例3　已知a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，若(－2a＋b)⊥(a＋kb)，求实数k的值． 掌握向量，就是从它的定义出发，大小与方向体现向量的本质，解决向量问题无非就是从几何与代数(坐标)两方面去处理． 在例3的条件下，若(－2a＋b)∥(a＋kb)，求实数k的值． 在例3的条件下，若－2a＋b与a＋kb的夹角θ为60°，求实数k的值． 在例3的条件下，若－2a＋b与a＋kb的夹角为钝角，求实数k的取值范围． 活动三　提升探究能力　 例4　如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值． 在Rt△ABC中，AC＝6，斜边AB＝10，点M，N在其内切圆上运动，且MN是一条直径，点P在△ABC的三条边上运动，求·　的最大值． 1. 已知||＝1，||＝，⊥， 点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设＝m＋n (m，n∈R)，则等于(　　) A. B. 3 C. D. 2. (2024镇江期末)已知向量，，满足＋＋＝0，且||＝||＝||＝1，则△ABC的形状是(　　) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 3. (多选)(2024镇江期末)设e1，e2是夹角为60°的单位向量，由平面向量基本定理知，对平面内任一向量p，存在唯一有序实数对(λ，μ)，使得p＝λe1＋μe2，我们称有序数对(λ，μ)为向量p的“仿射坐标”．若向量a和b的“仿射坐标”分别为(1，2)，(m，－1)，则下列说法中正确的是(　　) A. |a|＝ B. 若m＝3，则a＋b的“仿射坐标”为(4，1) C. 若a⊥b，则m＝2 D. 若a∥b，则m＝－ 4. 设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且向量a与b的夹角θ为，则|3a－2b|＝________． 5. 在△OAB中，已知P为线段AB上一点，＝3. (1) 若＝x＋y，求实数x，y的值； (2) 若||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值． 本 章 复 习 【活动方案】 例1　⑥　若非零向量与共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错误；若b＝0，则a与c的关系不能确定，故②错误；若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，不一定有a＝±b，故③错误；若a·c＝b·c(c≠0)，则a·c－b·c＝0，即(a－b)·c＝0，故a＝b或(a－b)⊥c，故④错误；设a与b的夹角为θ，则(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ，故⑤错误；[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·a·c－(c·a)·b·c＝0，故⑥正确． 例2　(1)假设a，b共线，设a＝λb，则e1＋e2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2， 因为e1，e2是平面内不平行的非零向量， 所以无解， 所以向量a，b不共线， 所以向量a，b是平面的一组基底． (2) 假设存在实数k，使得ke1＋e2和3e1＋ke2平行， 设ke1＋e2＝μ(3e1＋ke2)， 则ke1＋e2＝3μe1＋μke2， 因为e1，e2是平面内不平行的非零向量， 所以解得k＝±， 所以存在实数k＝±，使得ke1＋e2和3e1＋ke2平行． 例3　由题意，得－2a＋b＝(7，－4)， a＋kb＝(－3＋k，1－2k). 因为(－2a＋b)⊥(a＋kb)， 所以－21＋7k－4＋8k＝0，解得k＝. 跟踪训练1　由题意，得7－14k＝12－4k， 解得k＝－. 跟踪训练2　由题意，得cos θ＝＝＝， 解得k＝. 跟踪训练3　因为－2a＋b与a＋kb的夹角为钝角， 所以解得 所以实数k的取值范围为(－∞，－)∪(－，). 例4　以直角顶点A为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系． 设AB＝c，AC＝b，则点A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)， 且PQ＝2a，BC＝a，A为PQ的中点． 设点P的坐标为(x，y)，则点Q(－x，－y)， 所以＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)， ＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)， 所以·＝－x(x－c)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by. 因为cos θ＝＝， 所以cx－by＝a2cos θ， 所以·＝－a2＋a2cos θ＝a2(cos θ－1)， 故当cos θ＝1，即θ＝0时，·最大，最大值为0. 跟踪训练　由题意，得BC＝＝8， 则可知△ABC内切圆的半径r＝＝＝2. 设△ABC内切圆的圆心为O， 由＋＝2，得(＋)2＝4||2， 即||2＋||2＋2·＝4||2.① 由－＝，得(－)2＝||2， 即||2＋||2－2·＝16，② 由①－②，得4·＝4||2－16， 即·＝||2－4. 当点P在点B时，||最大， 此时||＝||＝＝2， 所以·的最大值为40－4＝36.　 【检测反馈】 1. B　如图，由||＝1，||＝，⊥，可得AB＝2，A＝60°.因为点C在线段AB上，∠AOC＝30°，所以OC⊥AB.过点C作CD⊥OA，垂足为D，则OD＝，CD＝，所以＝，＝，即＝＋，所以＝3.　 2. D　因为＋＋＝0，所以点O是△ABC的重心．又因为||＝||＝||＝1，所以点O是△ABC的外心，故△ABC是等边三角形． 3. ABD　根据“仿射坐标”的定义，得a＝e1＋2e2，b＝me1－e2.对于A，|a|＝|e1＋2e2|，即|a|2＝|e1＋2e2|2＝|e1|2＋4|e1|·|e2|cos 60°＋4|e2|2＝7，所以|a|＝，故A正确；对于B，a＝e1＋2e2，b＝3e1－e2，则a＋b＝4e1＋e2.根据“仿射坐标”的定义，得a＋b的“仿射坐标”为(4，1)，故B正确；对于C，若a⊥b，则a·b＝(e1＋2e2)·(me1－e2)＝0, 即a·b＝m|e1|2＋(2m－1)|e1||e2|·cos 60°－2|e2|2＝0，即m＋(2m－1)×－2＝0，解得m＝，故C错误；对于D，若a∥b，设a＝λb，则e1＋2e2＝λ(me1－e2)＝λme1－λe2，可得1＝λm，2＝－λ，解得m＝－，λ＝－2，故D正确．故选ABD. 4. 6　因为|a|＝2，|b|＝3，θ＝，所以a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×＝3，所以|3a－2b|2＝9a2－12a·b＋4b2＝9×4－12×3＋4×9＝36，故|3a－2b|＝6. 5. (1) 由＝3，得－＝3(－)， 所以＝＋，所以x＝，y＝. (2) 由题意，得·＝||·||cos 60°＝4， 所以·＝(＋3)·(－)＝(||2＋2·－3||2)＝－9. 学科网（北京）股份有限公司 $$