9.2.1向量的加减法(1)学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

9.2.1　向量的加减法(1) 1. 借助实例和平面向量的几何表示，理解平面向量加法的定义及几何意义． 2. 熟练掌握平面向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作两个已知向量的和向量． 3. 理解平面向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用其进行向量计算． 活动一 理解平面向量的加法，掌握向量加法的运算法则及运算律 1. 问题引入： 如图，一个人先从景点O到景点A，再从景点A到景点B和这个人直接由景点O到景点B的结果是相同的，即都从景点O到达景点B. 利用向量表示就是：从景点O到景点A的位移为，从景点A到景点B的位移为，由景点O到景点B的位移是，那么向量，，三者之间有何关系？ 2. 向量的加法： 思考1►►► 若向量a与b共线，则向量a＋b与向量a是否共线？ 3. 向量加法的法则： (1) 三角形法则：根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 表示：＋＝________； (2) 平行四边形法则：对于任意两个不共线的非零向量a，b，我们还可以通过作平行四边形来求这两个向量的和．分别作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和．我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则． 思考2►►► 已知向量a，b，则向量a＋b与向量b＋a有何关系？ 思考3►►► 向量(a＋b)＋c与向量a＋(b＋c)有何关系？ 4. 向量加法的运算律： 思考4►►► 如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n个向量的和是什么向量？ 活动二　掌握向量加法的简单应用　 例1　如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量： (1) ＋； (2) ＋； (3) ＋. 向量求和的三角形法则与平行四边形法则的区别与联系：当两个向量不共线时，它们是一致的，但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了． 设a，b都是单位向量，则|a＋b|的取值范围是________． 例2　在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 对于实际生活中的矢量问题，应该先在平面上画出图形，再根据平面向量的加法法则去运算，最后回归到实际中去．　　 已知a表示“向东走了2 km”， b表示“向南走了2 km”， c表示“向西走了2 km”，d表示“向北走了2 km”． (1) a＋d表示向________走了________km； (2) b＋c表示向________走了________km； (3) a＋c＋d表示向________走了________km； (4) b＋c＋d表示向________走了________km. 1. (教材改编)“向量a，b不共线”是“|a＋b|<|a|＋|b|”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. (2024北京期中)在平行四边形ABCD中，＋等于(　　) A. B. C. D. 3. (多选)如图，已知D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中正确的是(　　) A. ＋＝ B. ＋＋＝0 C. ＋＝ D. ＋＝ 4. (2024德州月考)设|a|＝2，e为单位向量，则|a＋e|的最大值为________． 5. (2023白城通榆县毓才高级中学期中)如图，P，Q是△ABC边BC上的两点，且＋＝0.求证：＋＝＋. 9.2.1　向量的加减法(1) 【活动方案】 1. ＋＝ 2. 略 思考1：共线 3. (1) 思考2：a＋b＝b＋a 思考3：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 4. 向量加法满足交换律、结合律． 思考4：零向量 例1　作图略． (1) ＋＝. (2) ＋＝. (3) ＋＝0. 跟踪训练　[0，2]　当a，b同向时，|a＋b|取最大值2；当a，b反向时，|a＋b|取最小值0；当a，b不共线时，|a＋b|的取值范围为(0，2)，所以|a＋b|的取值范围是[0，2]. 例2　如图，设 表示水流的速度， 表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过江的速度． 因为＋＝， 所以四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，||＝||＝12.5，||＝25， 所以∠CAD＝30°， 所以渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. 跟踪训练　(1) 东北　2　(2) 西南　2 (3) 北　2　(4) 西　2 【检测反馈】 1. A　当“向量a，b不共线”时，由向量三角形的性质可得“|a＋b|<|a|＋|b|”成立，即充分性成立；当“a，b方向相反”时，满足“|a＋b|<|a|＋|b|”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，故“向量a，b不共线”是“|a＋b|<|a|＋|b|”的充分且不必要条件． 2. A　在▱ABCD中，有＝，＝，所以＋＝＋＝. 3. ABC　＋＝，故A正确；＋＋＝＋＝0，故B正确；＋＝＋＝＝≠，故C正确，D错误．故选ABC. 4. 3　因为|a＋e|≤|a|＋|e|，|a|＝2，e为单位向量，所以|a＋e|≤3，当且仅当a，e同向时，取得等号，故|a＋e|的最大值为3. 5. 因为＝＋，＝＋， 所以＋＝＋＋＋. 又因为＋＝0， 所以＋＝＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$