四川省内江市第六中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

内江六中 2024～2025 学年下学期高 2027 届期中考试 数学试题答案 1-4：BBAC 5-8：BAAD 9、ABD 10、ACD 11、BD 12、2 13、 5π 12 14、 15、（1）由题可得     2 22 2 2 3 2 2a b a b a a b b               ， 因为 2a   ， 3b   ，代入可得 4a b    ， 2cos , 3 a ba b a b         ，所以a  与b  的夹角的余弦值 2 3 . （2）因为    2a b a b       ，所以    2 0a b a b        ， 化简可得  2 222 2 0a a b b           ， 将 2a   ， 3b   ， 4a b    代入可得 22 7 4 0    ，解得 1 2   或 4 . 16、（1）由题设 π 2π π 2 2 2 T T         ，则   π4sin 2 6 f x x      ， 令 π π 14sin 2 2 sin 2 6 6 2 x x                π π 5π2 π 2 2 π 6 6 6 k x k     ， Zk ， 所以 ππ π 3 k x k   ， Zk ，故   2f x  解集为 π( π, π), Z 3 k k k  ； （2）由题设   π4sin 2 4 6 f A A        ，即 π π2 2 π 6 2 A k    ， Zk ， 所以 π π 3 A k   ， Zk ，又A是三角形内角，故 2π 3 A  ， 由 2 2 2 2 cos 9BC AB AC AB AC A     ，即 2( ) 9AB AC AB AC    ， 由 1 3 3sin 2 4ABC S AB AC A   ，则 3AB AC  ，所以 2 3AB AC  ， 易得 3AB AC  ，所以 ABCV 周长为3 2 3 . 17、（1）将  f x 化简可得   π3sin2 cos2 2sin 2 6 f x x x m x m          ， 因为  max 2 3f x m   ，所以 1m  . 此时   π2sin 2 1 6 f x x       , 当  0, πx 时, π π 11π2 , 6 6 6 x       令 π π π2 6 6 2 x    ．得 π0 3 x  ；令 3π π 11π2 2 6 6 x   ，得 5π π 6 x  ， 所以  f x 的单调递增区间为 π0, 3      和 5π , π 6      ． （2）由（1）知   π2sin 2 1 6 f x x       ． 由 0 11 2 5 xf       ，得 0 π 112sin 1 6 5 x       ， 所以 0 π 3sin 6 5 x      ．又因为 0 π0, 2 x      ．所以 0 π π π, 6 6 3 x       ， 所以 20 0 π π 4cos 1 sin 6 6 5 x x               ． 所以 0 0 0 π π π 24sin 2 2sin cos 6 6 6 25 x x x                       ， 2 0 0 π π 7cos 2 1 2sin 6 6 25 x x                 , 所以 0 0 0 0 π π π π π πcos2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 6 3 3 3 3 3 x x x x                         7 1 24 3 7 24 3 25 2 25 2 50       . 18、（1）由余弦定理，等式左边    22 2 2 2 2 2 2 21 1 1cos 1 cos sin4 4 4b c bc A b c A b c A        ， 因为  0,πA ，所以 sin 0A  ，所以等式左边 1 sin 2 bc A ． 所以  1 3sin cos 2 2 bc A a B c c  ，化简得 sin cos3 3b aA B c  ， 由正弦定理得 sin sin sin s3 co sin3B A A B C  ， 因为  πC A B   ，所以    sin sin π sin sin cos cos sinC A B A B A B A B         ， 代入上式化简得 sin sin cos si3 nB A A B  ． 因为  0, πB ，所以sin 0B  ，所以 sin 3 cosA A  ， 即 tan 3A   ，因为  0, πA ，所以 2π 3 A ． （2）① AB ACAD AB AC               ，所以 AD是 BAC 的平分线， 由（1）知， 2π 3 A ，所以 π 3 BAD CAD    ， 在 ABCV 中， ABC ABD ACDS S S    ， 即 1 1 1 2 2 2 sin sin sinA AD BAD AD CADbc c b     ， 化简得  2bc b c  ，则 1 1 1 2 b c b c bc     ． ②在 ABD△ 中，由正弦定理得 sin sin BD AD BAD B   ．即 sin sin 3 sin BAD B B ADBD   ， 在 CAD 中，由正弦定理得 sin sin 3 sin CAD C C ADCD   ， 所以  1 1 1 1 3 sin sin 33 3 sin sin B C BD CD B C      ， 因为 2π 3 A ，所以 π 3 B C  ， 所以 1 1 3 3 1 3 3sin sin sin cos sin 3 3 3 2 2 3 3 B B B B B BD CD                            ． 因为0 3 B   ．所以 π π 2π, 3 3 3 B       ，所以 3 π 1 3sin , 3 3 2 3 B            ， 所以 1 1 BD CD  的取值范围为 1 3, 2 3       ． 19、解：（1）①由正弦定理及 ，得 ， 化简得 ac＝a2+c2﹣b2， 由余弦定理知， ， 因为 0°＜B＜180°，所以 B＝60°． ②因为 AD＝2DC，所以 ， 所以 ，即 ， 又 ，所以 ，即 c2+2ac+4a2＝54， 由 54﹣2ac＝c2+4a2≥4ac，得 ac≤9，当且仅当 c＝2a时，等号成立， 因为△ABC面积 S acsin∠ABC ac， 所以当 ac＝9时，△ABC面积最大， 因为 B＝60°，所以 0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，即△ABC的三个内角均小于 120°， 由费马定理知，P点一定在△ABC的内部， 所以 S △ ABC |PA| • |PB|sin120° |PB| • |PC|sin120° |PA| • |PC|sin120° acsin60°， 所以|PA|•|PB|+|PB|•|PC|+|PA|•|PC|＝ac＝9， 因 为 |PA| • |PB|cos120 ° +|PB| • |PC|cos120 ° +|PA| • |PC|cos120° （|PA|•|PB|+|PB|•|PC|+|PA|•|PC|） ． （2）因为 cos2B+cos2C﹣cos2A＝1， 所以 1﹣2sin2B+1﹣2sin2C﹣1+2sin2A＝1，即 sin2A＝sin2B+sin2C， 由正弦定理得，a2＝b2+c2， 所以△ABC直角三角形，且 A＝90°， 因为点 P为△ABC的费马点，所以∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°， 设|PB|＝m|PA|，|PC|＝n|PA|，|PA|＝x（m＞0，n＞0，x＞0）， 若|PB|+|PC|＝t|PA|，则 m+n＝t， 在△PAB中，由余弦定理得，c2＝|AB|2＝x2+m2x2﹣2mx2cos120°＝（m2+m+1）x2， 同理可得，b2＝|AC|2＝（n2+n+1）x2，a2＝|BC|2＝（m2+n2+mn）x2， 因为 a2＝b2+c2， 所以（m2+n2+mn）x2＝（n2+n+1）x2+（m2+m+1）x2，即 m+n+2＝mn， 而 m＞0，n＞0，所以 ，当且仅当 时， 等号成立， 又 m+n＝t， 所以 t+2 ，即 t2﹣4t﹣8≥0，解得 或 （舍去）， 故实数 t的最小值为 ． 第 1页，共 4页 内江六中 2024-2025 学年下学期高 2027 届期中考试 数学试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单选题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数 z =1 −i ，则 z =（ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 2. 若 π 1tan 4 6       ，则 tan （ ） A． 5 7 B． 5 7  C． 7 5  D． 7 5 3. 在△ABC中，角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c，已知 2 cosa b C ，则△ABC的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4. 已知0 π  ，向量 2sin , 2cos , (1,sin ) 2 a b        ，且 a b   ∥ ，则 （ ） A． π 4 B． π 3 C． π 2 D． 2π 3 5. 已知函数     πsin 0, 0, 2 f x A x A            的部分图象如图所示，下列说法 不正确．．．的是（ ） A. 2  ， π 3   B. 函数  f x 的图象关于直线 5π 12 x  对称 C. 函数  f x 的图象关于 2π ,0 3      对称 D. 函数  f x 在 5 , 12 12      上单调递增 6. 沪苏通长江公铁大桥（如图 1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用 斜拉桥．已知主塔 AB垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶A的 第 2页，共 4页 仰角分别为 30ADE  ， 45ACE  （如图 2），设乘客眼睛离地面的距离为 DM CN h  ，  0, 0CD a h a   ．若D，C， E在同一水平高度，且 AD， AC， AB在同一竖直平面 内，则根据以上数据可计算主塔 AB高为（ ）． A． 3 1 2 a h  B． 3 1 2 a h  C．  3 1 a h  D．  3 1 a h  7.若 2sin � − �3 = 3sinα − 7，则 tan 2� =（ ） A. −4 3 B. 4 3 C. 2 33 D. − 2 3 3 8. 平面内，定点 A，B，C，D满足|DA|＝|DB|＝|DC|＝2，且�� → ⋅ �� → = �� → ⋅ �� → = �� → ⋅ �� → =− 2， 动点 P，M满足|AP|＝1，�� → = �� → ，则|�� → |2的最大值为（ ） A． 37+6 3 4 B． 37+2 33 4 C． 43 4 D． 49 4 二、多选题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9．在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A． 10b  ， 45A  ， 70C   B． 7a  ， 5b  ， 60A   C． 7a  ， 16b  ， 45A   D． 4a  ， 2b  ， 30B   10．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A．O为点 A，B，C所在直线外一点，且 0.4OC xOA OB     ，则 0.6x  B．已知非零向量 (1, 2), (1,1)a b   ，且 a  与 a b  的夹角为锐角，则实数 的取值范围 是 5 , 3       C．已知向量 (2 3,2), ( 1, 3)AB AC      ，则 AB  在 AC  上的投影向量的坐标为 ( 3,3) D．若点 G为 ABCV 中线的交点，则 0GA GB GC       11.已知函数�(�) = |���2� + | 3���2�||，则（ ） 第 3页，共 4页 A．f（x）的最小正周期为 � 2 B．f（x）的图象关于直线� = ��2 (� ∈ �)对称 C．f（x）在[ 19�12 ， 11� 6 ]上单调递减 D．g（x）＝f（x）﹣1在[﹣505π，505π]上的零点个数是 4041 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12.若复数    2 25 6 3 iz m m m m     是纯虚数，则实数m  13.在 ABCV 中，角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ， π 2sin 1 sin2 6 1 cos21 2cos A CB CA + = = +- ， ，则角 C  . 14.如图，在△ABC中，AB= 3，AC＝2，2�� → = �� → ，E为 AC的中点，AD与 BE交于点 F， G为 EF的中点．�� → •�� → = ． 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 15. 已知向量a  ，b  满足： 2a   ， 3b   ，    2 2 2a b a b       . （1）求a  与b  的夹角 的余弦值； （2）若    2a b a b       ，求实数的值. 16.已知复数 1 2iz a  ， 2 2 iz   ，且 1 2 z z 是纯虚数，其中 a为实数，i是虚数单位. (1)求 a的值； (2)在复平面内，O为坐标原点，向量OA  ，OB  对应的复数分别是 1 2z z ，  2 ic c  ，若 5AB   ， 第 4页，共 4页 17. 已知函数    π4sin 0 6 f x x        的图象相邻两个零点之间的距离为 π 2 . （1）求函数  f x 的解析式及   2f x  的解集； （2）在 ABCV 中，A为 ABCV 的一个内角，若满足   4f A   ， 3BC  ，且 3 3 4ABC S △ ， 求 ABCV 周长. 18.已知函数   2 2sin 2 3sin cos cosf x x x x x m    的最大值为 3． (1)若  f x 的定义域为 0, π ，求  f x 的单调递增区间； (2)若 0 11 2 5 xf       ， 0 π0, 2 x      ，求 0cos2x 的值． 19.在 ABCV 中，内角 , ,A B C所对的边分别是 , ,a b c，   22 2 2 2 21 3 4 s 2 co 2 b c ab c a c cB              ． (1)求角A； (2)若D为 BC边上一点，且满足 AB ACAD AB AC               ， 2AD  ， ①求 1 1 b c  的值； ②求 1 1 BD CD  的取值范围．