第五章特殊的平行四边形单元测试2024-2025学年浙教版数学八年级下册

第五章 特殊平行四边形 模块一 矩形的性质 【精选例题】 例1．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A． B． C． D． 例2．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【同类练习】 练习1．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连结，若，，则的长是（ ） A． B． C． D． 练习2．如图，在中，，D是的中点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 模块二 矩形的判定 【精选例题】 例3．已知□ABCD中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明□ABCD是矩形的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 例4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【同类练习】 练习3．如图，在中，，，将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，在上取点，使，那么点到的距离等于（ ） A． B． C． D． 练习4．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连结BF.求证：四边形ABFC是矩形． 模块三 菱形的性质 【精选例题】 例5．如图，在菱形中，，点在上，若，则__________． 例6. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点． （1）求证：；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积． 【同类练习】 练习5. 一张菱形纸片的边长为，高等于边长的一半，将菱形纸片沿直线折叠，使点与点重合，直线交直线于点，则的长为____________． 练习6.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若 间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ） A． B． C． D． 模块四 菱形的判定 【精选例题】 例7．下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　） A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD 例8. 如图，过□ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC．CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连结点P，M，Q，N， 求证：四边形PMQN是菱形． 【同类练习】 练习7．如图，是△的中线，四边形是平行四边形，增加下列条件，能判断□是菱形的是(　　　) A． B． C． D． 练习8．如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得．连结．求证：四边形是菱形． 模块五 正方形的性质 【精选例题】 例9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（ ） A． B． C． D． 例10．如图，正方形，G是边上任意一点（不与B，C重合），于点E，，且交于点F．（1）求证：；（2）四边形是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由． 【同类练习】 练习9. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在 上，交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 练习10．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A，B，C的距离分别为，，，则正方形ABCD的面积为________ 模块六 正方形的判定 【精选例题】 例11．下列命题是假命题的是（ ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 例12．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若H是AB上的一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90度，得到线段HE，过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F，G，设四边形BGEF的面积为，以HB，BC为邻边的矩形面积为，且，当时，求AH的长. 【同类练习】 练习11．下列说法正确的是（ ） A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 练习12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线，，，为的中点，E为边上一点，直线交于点F，连结，．下列结论不成立的是（ ） A．四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为正方形 模块七 中点四边形 【精选例题】 例13. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点． 求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状． 【同类练习】 练习13．顺次连接菱形四边的中点得到的四边形一定是（ ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对 【课后作业】 1．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连结AE，交BC于点F，连结AC，BE． （1）求证：四边形ABEC是平行四边形； （2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形． 2．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别与AD，BC相交于点M，N，与BD相交于点O，连结BM，DN． （1）求证：四边形BMDN是菱形. （2）若MD＝2AM，BD＝8，求矩形ABCD的周长． 3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BAE∶∠EAD＝2∶3，求∠EAO的度数． 4．如图，在正方形中，点P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，连结． （1）求证：． （2）试判断和的数量关系，并说明理由． 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连结OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE=15°，求∠DOE； （3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积． 6．在中，．点在直线上，以为边作矩形，直线与直线的交点分别为． （1）如图，点在线段上，四边形是正方形． ①若点为中点，求的长． ②若，求的长． （2）已知，是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 特殊的平行四边形答案 【例题与练习】 例1. C；例2. ；练习1. D：练习2. A；例3. B；练习3. D： 例4. (1)证明:∵四边形ABCD为菱形，∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ， ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)∵点E为AD的中点，AD=10，∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案为：OE=5，BG=2． 练习4.∵四边形ABCD是平行四边形∴ ∴ ∵E为BC的中点∴∴，∴， ∵，∴四边形ABFC是平行四边形， ，∴，∴平行四边形ABFC是矩形． 例5. 115°；练习5. 或： 例6.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD， ∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE， 在和中，，∴（SAS）； （2）解：连结BD，如图： ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴是等边三角形， ∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°， ∴，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2， ∴菱形ABCD的面积＝ADBE＝2． 练习6. C；例7. D；练习7. A： 例8.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴EB=ED，AB∥CD，∴∠EBP=∠EDQ， 在△PBE和△QDE中，，∴△PBE≌△QDE（ASA）； （2）证明：如图所示： ∵△PBE≌△QDE，∴EP=EQ，同理：△BME≌△DNE（ASA），∴EM=EN， ∴四边形PMQN是平行四边形，∵PQ⊥MN，∴四边形PMQN是菱形． 练习8.（略）；例9. B ； 例10.（1）证明：∵正方形，∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=90°， ∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF， 又∵，∴∠BFA=90°=∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AF=DE，AE=BF，∴； （2）不可能，理由是：如图，若要四边形是平行四边形， 已知DE∥BF，则当DE=BF时，四边形BFDE为平行四边形， ∵DE=AF，∴BF=AF，即此时∠BAF=45°，而点G不与B和C重合， ∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形不能是平行四边形. 练习9. B：练习10. ；例11.D ；练习11. B： 例12.（1）依题意可得：，四边形为平行四边形； 又，四边形为矩形； 又在中，，且三边满足 为等腰直角三角形；, ,,,四边形为正方形. （2）由题可得：,， 又， 在与中 设，则， 可得：，，令，可得， 解得：，（舍去）.即. 练习12. D； 例13.（1）证明：如图1中，连结BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=BD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连结AC，BD． ∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD． ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=AC，FG=BD， ∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形． 证明：如图2中，设AC与BD交于点O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°， ∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形． 练习13.C. 【课后作业】 1．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD． ∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形； （2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，∴FA=FE，FB=FC． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D． 又∵∠AFC=2∠ADC，∴∠AFC=2∠ABC． ∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB， ∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，∴四边形ABEC是矩形． 2．（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO， ∵在△DMO和△BNO中，∴△DMO≌△BNO（ASA），∴OM＝ON， ∵OB＝OD，∴四边形BMDN是平行四边形， ∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形； （2）∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD， 设AM长为x，则MB＝DM＝2x，AD＝3x， 在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2，即AB＝x， ∵BD2＝AB2+AD2，∴64＝3x2+9x2，∴x＝， ∴AD＝3x＝4，AB＝x＝4， ∴矩形ABCD的周长＝2×（4+4）＝8+8， 答：矩形ABCD的周长为8+8． 3．（1）∵，，∴ 又∵，，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴， ∴，∴四边形是矩形. （2）∵ ，是矩形， ∴，， ∴在中，， ∴在中， ∴在中， 4．（1）证明：∵四边形是正方形，∴， ∵AC是正方形ABCD的对角线，∴ ∵，∴，∴， ∵，∴． （2）．理由如下： ∵由（1）知，，， ∴设，∴， ∵，∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形，∴． 5．（1）∵ADBC，∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形． （2）由（1）可得：AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴OD=OC， ∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=45°，∴△DCE是等腰直角三角形，∴∠DEC=45°，CD=CE， ∵∠BDE=15°，∴∠DBC=∠ADB=45°-15°=30°，∴∠BDC=60°，又OD=OC， ∴△OCD是等边三角形，∴OC=CD=CE，∠DCO=∠COD=60°，∴∠OCE=30°， ∴∠COE=∠CEO=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°； （3）作OF⊥BC于F． ∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD， ∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=CD=1， ∵EC=CD=AB=2，∴AC=BD=4，∴BC==，∴BE=BC-CE=-2， ∴△BOE的面积= ． 6．（1）①在正方形ACDE中，AC=DE=12，AE∥BC， ∵点G为DE中点，∴DG=GE=6， 在Rt△AEG中，AG==， ∵AE∥BC，∴∠AEG=∠BDG，又EG=CG，∠AGE=∠BGD， ∴△AEG≌△BDG（ASA），∴BG=AG=； ②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°， ∵EF=EF，∴△AEF≌△DEF（SAS），∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x， ∵AE∥BC，∴∠B=∠1=x， ∵GF=GD，∴∠3=∠2=x， 在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°， ∴x+（x+90°）+x=180°， 解得x=30°，∴∠B=30°，∴AB=24， ∴在Rt△ABC中，BC==； （2）当FC=FB时，点B，D和点G重合，此时CD=BC=9； 当CB=CF时，即CF=9， ∵四边形ACDE是矩形，∴AE∥CD，∴∠CBF=∠BAE， ∵BC=CF，∴∠CFB=∠CBF=∠AFE，∴∠BAE=∠AFE，∴AE=EF， 设AE=EF=x，则CE=x+9， 在△ACE中，， 解得：x=，即CD=AE=； 当BC=BF时，即BF=9， ∵AB==15，∴AF=AB-BF=6， ∵四边形ACDE是矩形，∴AE∥CD，∴∠BCF=∠AEC， ∵BC=BF，∴∠BCF=∠BFC=∠AFE，∴∠AFE=∠AEC，∴AE=AF=CD=6； 综上：CD的长为6或9或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$