重难点29一次函数的实际应用的八大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点29 一次函数的实际应用 ▲知识点1： 一次函数实际应用 ◆1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. ◆2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： （1） 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； （2） 设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； （3） 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； （4） 解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题； （5） 得出结果. ▲知识点2： 分段函数 ◆1、分段函数：在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系也不同，我们这样的函数称为分段函数. ◆2、学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： （1）在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 （2）分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. （3）分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 【题型一 利用一次函数解决销售问题】 1．（2024秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，然后将x＝20代入求出相应的y的值，从而可以计算出该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润． 【解答】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（25，50），（35，30）在该函数图象上， ∴， 解得， 即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+100， 当x＝20时，y＝﹣2×20+100＝60， 则该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润为：（20﹣15）×60＝300（元）， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 2．（2024秋•郫都区期末）某一蔬菜经营商从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 4.8 4 零售价（元/千克） 7.2 5.6 （1）若批发黄瓜和茄子共花220元，则黄瓜和茄子各多少千克？ （2）设批发了黄瓜x千克，卖完这批黄瓜和茄子的利润是W元，求W与x的函数关系式． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据题意和表格中的数据，可以写出W与x的函数关系式． 【解答】解：（1）设批发黄瓜a千克，则批发茄子（50﹣a）千克， 由题意可得：4.8a+4（50﹣a）＝220， 解得a＝25， ∴50﹣a＝25， 答：批发黄瓜25千克，批发茄子25千克； （2）由题意可得， W＝（7.2﹣4.8）x+（5.6﹣4）×（50﹣x）＝0.8x+80， 即W与x的函数关系式是W＝0.8x+80． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式． 3．（2024秋•连平县期末）连平县上坪镇是中国鹰嘴蜜桃之乡，今年鹰嘴蜜桃价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收A级、B级鹰嘴蜜桃共300斤，A级鹰嘴蜜桃售价每斤12元，B级鹰嘴蜜桃售价每斤8元． （1）求该农户全部售出这些鹰嘴蜜桃的收入y（元）与采收的A级鹰嘴蜜桃数量x（斤）之间的函数关系式； （2）若当天全部售出这些鹰嘴蜜桃的总收入为2920元，求售出的A级鹰嘴蜜桃的数量． 【分析】（1）根据“总收入＝每斤A级鹰嘴蜜桃的价格×A级鹰嘴蜜桃数量+每斤B级鹰嘴蜜桃的价格×B级鹰嘴蜜桃数量”写出y与x之间的函数关系式即可； （2）将y＝2920代入y与x之间的函数关系式，求出对应x的值即可． 【解答】解：（1）y＝12x+8（300﹣x）＝4x+2400． 答：y与x之间的函数关系式为y＝4x+2400． （2）当y＝2920时，得4x+2400＝2920， 解得x＝130． 答：售出的A级鹰嘴蜜桃的数量为130斤． 【点评】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 4．（2024秋•龙岗区校级期末）2019年4月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，共签署了总额640多亿美元的项目合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元． （1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？（列二元一次方程组解应用题） （2）设甲、乙两种商品的销售总收入为W万元，销售甲种商品m万件， ①写出W与m之间的函数关系式； ②若甲、乙两种商品的销售收入为5400万元，则销售甲种商品多少万件？ 【分析】（1）设甲种商品的销售单价为a元，乙种商品的销售单价是b元，然后根据题意，可以得到关于a、b的二元一次方程组，从而可以求得甲种商品与乙种商品的销售单价； （2）①根据题意，可以得到W与m之间的函数关系式； ②将W＝5400代入①中函数关系式即可求得销售甲种商品多少万件． 【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价为a元，乙种商品的销售单价是b元，根据题意得： ，得， 答：甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价是600元； （2）①由题意可得， W＝900m+600（8﹣m）＝300m+4800， 即W与m之间的函数关系式是W＝300m+4800； ②当W＝5400时， 5400＝300m+4800 解得，m＝2 答：甲、乙两种商品的销售收入为5400万元时，则销售甲种商品2万件． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和函数关系式，利用一次函数的性质解答． 5．（2024春•霞山区校级期中）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，购进A、B两种T恤衫各多少件？全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次进货最多获利多少钱？ 【分析】（1）根据条件，购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件，根据服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利数； （2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫（150﹣m）件，根据B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍求出m的范围，再分别求出两种T恤衫的利润，求和即可求出W；②由①可知，W＝﹣4m+3000（50≤m≤150），W随m的增大而减小，当m＝50时，W取最大值，据此求解即可． 【解答】解：（1）设购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件， 根据题意列出方程组为：， 解得， ∴购进A种T恤衫80件，购进B种T恤衫40件， ∴全部售完获利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）， 答：购进A种T恤衫80件，购进B种T恤衫40件，全部售完获利2880元； （2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫（150﹣m）件， 根据题意150﹣m≤2m， 解得m≥50， ∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（50≤m≤150）， ②由①可知，W＝﹣4m+3000（50≤m≤150）， ∵﹣4＜0， ∴W随m的增大而减小， ∴当m＝50时，W取最大值，W大＝﹣4×50+3000＝2800（元）， 答：服装店第二次进货最多获利2800元． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的实际应用，关键是根据题意找到关系式． 【题型二 利用一次函数解决有关行程问题】 1．（2024•中山市校级开学）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲、乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题： （1）填空：甲的速度为 　 　 km/h； （2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数表达式； （3）求出点C的坐标． 【分析】（1）观察图象，甲从A地出发前往B地，全程所行路程为300km，所用时间为5h，用路程除以时间求速度即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）用y甲（km），y乙（km）之间的函数解析式联立，求解即可． 【解答】解：（1）由图可知，甲从A地出发前往B地，全程所行路程为300km，所用时间为5h， 甲的速度为：300÷5＝60（km/h）， 故答案为：60； （2）设y甲与x之间的函数表达式为：y甲＝k1x+b1， 将点（0，0）和（5，300）代入得：， 解得：， ∴y甲＝60x（0＜x≤50）； 设y乙与x之间的函数表达式为：y乙＝kx+b， 将点（1，0）和（4，300）代入得：， 解得， ∴y乙＝100x﹣100（1＜x≤4）； （3）根据题意，得60x＝100x﹣100， 解得x＝2.5，60×2.5＝150（km）， ∴点C的坐标为（2.5，150）． 【点评】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求函数的解析式，求直线交点坐标等知识，读懂题意，从图象中找到相关信息是解答本题的关键． 2．（2024秋•宁阳县期末）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： （1）　 　（填“甲”或“乙”）先到达终点；甲的速度是　 　米/分钟； （2）求：甲与乙相遇时，他们离A地多少米？ 【分析】（1）依据函数图象可得到两人跑完全程所用的时间，从而可知道谁先到达终点，依据速度＝路程÷时间可求得甲的速度； （2）先求得甲的路程与时间的函数关系式，然后求得10＜x＜16 时，乙的路程与时间的函数关系式，最后，再求得两个函数图象交点坐标即可． 【解答】解：（1）由函数图象可知甲跑完全程需要20分钟，乙跑完全程需要16分钟，所以乙先到达终点； 甲的速度250 米/分钟． 故答案为：乙；250． （2）设甲跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式为y＝kx， 根据图象，可得yx＝250x． 设甲乙相遇后（即10＜x＜16 ），乙跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的 函数关系式为：y＝kx+b． 根据图象，可得 解得 所以，y＝500x﹣3000． 由，解得． 答：甲与乙相遇时，他们离A地3000米． 【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，求得甲、乙两人路程与时间的函数关系式是解题的关键． 3．（2024秋•福田区校级期中）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终达到C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示． （1）填空：A、C两港口间的距离为 　 　 km，a＝　 　 h； （2）求y与x的函数关系式； （3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接受到该信号的时间有多长？ 【分析】（1）把A到B、B到C间的距离相加即可得到A、C两个港口间的距离，再求出海巡船的速度，然后根据时间＝路程÷速度，计算即可求出a值； （2）分0＜x≤0.5和0.5＜x≤1.7两段，利用待定系数法求一次函数解析式求解即可； （3）根据函数解析式求出距离为15km时的时间，然后相减即可得解． 【解答】解：（1）由图可知，A、B港口间的距离为25，B、C港口间的距离为60， 所以，A、C港口间的距离为：25+60＝85km， 海巡船的速度为：25÷0.5＝50km/h， ∴a＝85÷50＝1.7h． 故答案为：85，1.7； （2）当0≤x≤0.5时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b， ∵函数图象经过点（0，25），（0.5，0）， ∴， 解得， 所以，y＝﹣50x+25； 当0.5＜x≤1.7时，设y与x的函数关系式为：y＝mx+n， ∵函数图象经过点（0.5，0），（1.7，60）， ∴， 解得， 所以，y＝50x﹣25； 故y； （3）由﹣50x+25＝15， 解得x＝0.2， 由50x﹣25＝15， 解得x＝0.8． 0.8﹣0.2＝0.6（小时）， 所以，该海巡船能接受到该信号的时间为0.6h． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量，比较简单，理解题目信息是解题的关键． 4．（2024•宁波模拟）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求小王的骑车速度，点C的横坐标； （2）求线段AB对应的函数表达式； （3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标； （2）用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式； （3）将x＝2代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用27减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离． 【解答】解：（1）由图可得， 小王的骑车速度是：（27﹣9）÷（2﹣1）＝18（千米/小时）， 点C的横坐标为：1﹣9÷18＝0.5； （2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A（0.5，9），B（2.5，27）， ∴， 解得：， ∴线段AB对应的函数表达式为y＝9x+4.5（0.5≤x≤2.5）； （3）当x＝2时，y＝18+4.5＝22.5， ∴此时小李距离乙地的距离为：27﹣22.5＝4.5（千米）， 答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米． 【点评】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 5．（2024秋•福田区校级月考）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80千米/小时的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地之间的距离是 　 千米，a＝ 　 　 ； （2）求货车返回时的速度； （3）在整个运输途中，巡逻车与货车何时相遇？ 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程＝速度×时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用路程除以时间即可求解； （3）分两车从A前往B途中和货车从B往A途中，两种情况建立方程求解即可． 【解答】解：（1）千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 故答案为：60，1； （2）60÷（2﹣1）＝60（km/h）， 答：货车返回时的速度为60km/h； （3）由题意得，巡逻车的速度为：， 则点C（0，10），点D（2，60）， 设巡逻车对应的函数表达式为：y＝kx+10， ∴60＝2k+10， 解得k＝25， ∴巡逻车对应的函数表达式为：y＝25x+10； 点，点F（1，60），点G（2，0）， 同理求得线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120， 货车对应的函数表达式为：， 当时，80x＝25x+10， 解得：； 当1≤x≤2时，﹣60x+120＝25x+10， 解得：； 综上所述：巡逻车与货车相遇时间为小时或小时． 【点评】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 【题型三 利用一次函数解决工程问题】 1．为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度； （2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并计算出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度； （2）根据题意和（1）中的结果，可以得到甲进水管的进水速度，从而可以求得单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时． 【解答】解：（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b， ， 解得，， 即y与t的函数关系式是y＝140t+100， 同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）； （2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍． ∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的， ∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h， ∴甲进水口的进水速度为：140÷（1）60（m3/h）， 480÷60＝8（h）， 即单独打开甲进水口注满游泳池需8h． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 2．（2024•龙川县校级开学）一个蓄水池的剩水量Q和水泵抽水时间t的关系图象如图． （1）水泵抽水前，该蓄水池内有多少水？抽完这些水需要多长时间？ （2）水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是多少？ （3）当蓄水池的剩水量是100m3时，求水泵的抽水时间． 【分析】（1）根据图象中数据，可以写出水泵抽水前，该蓄水池内有多少水，抽完这些水需要多长时间； （2）根据图象中数据，可以写出水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量； （3）根据图象中的数据，先计算出抽水速度，然后即可计算出当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间． 【解答】解：（1）由图象可得， 水泵抽水前，该蓄水池内有600m3的水；抽完这些水需要12h； （2）由图象可得， 水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是200m3； （3）由图象可得， 抽水的速度为：（600﹣200）÷8＝50（m3/h）， 当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间为：（600﹣100）÷50＝10（h）， 即当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间为10h． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2024春•番禺区校级期中）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的若干分内既进水又出水，之后只出水不进水．每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图． （1）当时间x＝2分钟时，水量y＝　 升（直接写出答案）； （2）当时间x＝7分钟时，水量y＝　 　 升（直接写出答案）； （3）根据图象，求出a的值，并求出容器中水量y的最大值． 【分析】（1）0≤x≤4这一阶段的函数图象为正比例函数图象，用待定系数法求出函数解析式，再代入x＝2即可求解； （2）4＜x≤12这一阶段的函数图象为一次函数图象，用待定系数法求出函数解析式，再代入x＝7即可求解； （3）求出只放水阶段对应的函数解析式，联立4＜x≤12这一阶段的函数解析式，解方程组即可求解． 【解答】解：（1）设0≤x≤4这一阶段对应的函数解析式为：y＝kx（k≠0）， 代入（4，20）得：20＝4k， 解得：k＝5， ∴解析式为：y＝5x， ∴当x＝2时，y＝5×2＝10升， 故答案为：10； （2）设4＜x≤12这一阶段对应的函数解析式为：y＝mx+n（m≠0）， 代入（4，20），（12，30）得：， 解得：， ∴解析式为：y＝1.25x+15， ∴当x＝7时，y＝23.75， 故答案为：23.75； （3）由（1）得进水速度为5升/分钟，则出水速度为5﹣1.25＝3.75升/分钟， ∴设只放水阶段对应的函数解析式为：y＝﹣3.75x+b， 代入（24，0）得：﹣3.75×24+b＝0， 解得：b＝90， ∴解析式为：y＝﹣3.75x+90， ∴联立得：，解得， ∴a＝15，最大值为33.75． 【点评】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，求两个函数图象的交点问题，读懂题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为y（件），与甲车间加工时间x（天），y与x之间的关系如图（1）所示．由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z（件）与甲车间加工时间x（天）的关系如图（2）所示． （1）甲车间每天加工零件为　 　件，图中d值为　 　． （2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式． （3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000件？ 【分析】（1）由图象的信息解答即可； （2）利用待定系数法确定解析式即可； （3）根据题意列出方程解答即可． 【解答】解：（1）由图象甲车间每天加工零件个数为720÷9＝80个， d＝770， 故答案为：80，770 （2）b＝80×2﹣40＝120，a＝（200﹣40）÷80+2＝4， ∴B（4，120），C（9，770） 设yBC＝kx+b，过B、C， ∴，解得， ∴y＝130x﹣400（4≤x≤9） （3）由题意得：80x+130x﹣400＝1000， 解得：x 答：甲车间加工天时，两车间加工零件总数为1000件 【点评】本题为一次函数实际应用问题，关键是根据一次函数图象的实际意义和根据图象确定一次函数关系式解答． 5．甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示． （1）直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式　 　； （2）求乙组加工零件总量a的值； （3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？ 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度即可； （3）首先利用当0≤x≤2时，当2＜x≤2.8时，以及当2.8＜x≤4.8时，当4.8＜x≤6时，求出x的值，进而得出答案即可， 再假设出再经过x小时恰好装满第1箱，列出方程即可． 【解答】解：（1）∵图象经过原点及（6，360）， ∴设解析式为：y＝kx， ∴6k＝360， 解得：k＝60， ∴y＝60x（0＜x≤6）； 故答案为：y＝60x（0＜x≤6）； （2）乙2小时加工100件， ∴乙的加工速度是：每小时50件， ∴乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍． ∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工50×2＝100件， a＝100+100×（4.8﹣2.8）＝300； （3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为： y＝100+100（x﹣2.8）＝100x﹣180， 当0≤x≤2时，60x+50x＝300，解得：x（不合题意舍去）； 当2＜x≤2.8时，100+60x＝300，解得：x（不合题意舍去）； ∵当2.8＜x≤4.8时，60x+100x﹣180＝300， 解得x＝3， ∴经过3小时恰好装满第1箱． 答：经过3小时恰好装满第一箱． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键． 【题型四 利用图表信息解决实际问题】 1．（2024秋•曹县期末）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表： 目的地 甲地 乙地 每吨费用（元） 150 240 设运往甲地为x吨，全部运出的总费用为y元． （1）求y与x间的函数表达式； （2）若该公司运出货物的总费用为5400元，求该公司运往乙地多少吨货物？ 【分析】（1）根据总费用＝运往甲地和乙地的费用之和列出函数解析式； （2）令y＝5400，解方程即可． 【解答】解：（1）设运往甲地为x吨，则运往乙地（30﹣x）吨， 根据题意得：y＝150x+240（30﹣x）＝﹣90x+7200， ∴y与x间的函数表达式为y＝﹣90x+7200； （2）当y＝5400时，﹣90x+7200＝5400， 解得x＝20， 此时30﹣x＝10， 答：若该公司运出货物的总费用为5400元，则该公司运往乙地10吨货物． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 2．（2024秋•南山区校级期中）如图1，11月10日晚，“深爱万物”﹣2023深圳人才嘉年华活动正式启动，千余架无人机在深圳人才公园上空上演“天空之舞”，为人才喝彩、向人才致敬．如图2的平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中y2＝﹣4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25．求在第多少秒时1号和2号无人机在同一高度． 【分析】当x＝0时，y2＝150，求出点B的坐标，进而求出y1＝kx的解析式，联立y2＝﹣4x+150与y1＝kx，求出点P的坐标即可得到答案． 【解答】解：当x＝0时，y2＝150， ∴点B的坐标为（0，150）， 由题意知点A的坐标为（25，150）， 设y1＝kx（k≠0）， 将（25，150）代入y1＝kx得150＝25x， ∴x＝6， ∴y1＝6x， ∴线段OA对应的函数表达式为：y1＝6x， 联立y2＝﹣4x+150与y1＝6x， 得6x＝﹣4x+150， 解得：x＝15， ∴6x＝90， ∴点P的坐标为（15，90）， ∴在第 15秒时1号和2号无人机在同一高度． 答：在第 15秒时1号和2号无人机在同一高度． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 3．（2024秋•福田区校级期中）某手机的电板剩余电量y（毫安）是使用天数x的一次函数，y和x的函数关系如图所示． （1）此种手机的电板最大带电量是 　 毫安，此种手机在充满电时最多可供手机消耗 　 　 天，此种手机每天消耗电量 　 　 毫安； （2）求一次函数y＝kx+b的解析式，并说出k和b的实际意义； （3）此种手机剩余400毫安电量就会发出提示音，在手机充满电后，使用 　3　 天后，手机会发出提示音？ 【分析】（1）由（0，1000）可得此种手机的电板最大带电量是1000毫安；由（5，0）可得此种手机在充满电时最多可供手机消耗5天；根据200，可知此种手机每天消耗电量200毫安； （2）用待定系数法得一次函数的解析式为y＝﹣200x+1000； （3）在y＝﹣200x+1000中，令y＝400解得x的值，即可得到答案． 【解答】解：（1）由（0，1000）可知，当使用0天时，手机的电板带电量是1000毫安， ∴此种手机的电板最大带电量是1000毫安； 由（5，0）可知，当使用5天时，手机的电板带电量是0毫安， ∴此种手机在充满电时最多可供手机消耗5天； ∵200（毫安/天）， ∴此种手机每天消耗电量200毫安； 故答案为：1000；5；200； （2）依题意可知：该一次函数y＝kx+b（0≤x≤5）的图象过点（0，1000）和点（5，0）， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式为y＝﹣200x+1000． k表示此种手机每天消耗的电量；b表示此种手机的电板最大带电量； （3）在y＝﹣200x+1000中，令y＝400得： 400＝﹣200x+1000， 解得x＝3， ∴在手机充满电使用3天后，手机会发出提示音． 故答案为：3． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数关系式． 4．已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度． 水银柱的长度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数y（℃） 35.0 … 40.0 42.0 （1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数． 【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由统计表的数据建立方程组求出其解即可； （2）当x＝6.2时，代入（1）的解析式就可以求出y的值． 【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得 ， 解得：， ∴yx+29.75． ∴y关于x的函数关系式为：y29.75； （2）当x＝6.2时， y6.2+29.75＝37.5． 答：此时体温计的读数为37.5℃． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 5．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度x（cm） … 4 6 8 10 … 双层部分的长度y（cm） … 73 72 71 70 … （1）求出y关于x的函数解析式，并求当x＝150时y的值； （2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； （3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围． 【分析】（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题； （2）列出方程组，即可解决问题； （3）由题意当y＝0，x＝150，当x＝0时，y＝75，可得75≤l≤150． 【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b， 则有， 解得， ∴yx+75， 当x＝150时，y＝0， 答：y关于x的函数解析式为yx+75，当x＝150时y的值为0； （2）由题意， 解得， 所以单层部分的长度为90cm； （3）由题意得l＝x+y＝xx+75x+75， 因为0≤x≤150， 所以75x+75≤150， 即75≤l≤150． 【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【题型五 实际问题中的分段函数】 1．（2024秋•晋源区期末）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识．采摘园推出的方案是：采摘的数量超过2kg后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量x（kg）与所付金额y（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（　　） A．17kg B．19kg C．21kg D．23kg 【分析】利用待定系数法求出当x＞2时y与x的函数关系式，将y＝100代入该函数，求出对应x的值即可． 【解答】解：当x＞2时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（2，15）和（5，30）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴当x＞2时，y与x的函数关系式为y＝5x+5， 当y＝100时，得5x+5＝100， 解得x＝19， ∴他所购买的数量是19kg． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 2．一旅游团来到某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏上写着：①一次购买10张以下（含10张），每张门票180元．②一次购买10张以上，超过10张的部分，每张门票6折优惠． （1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？ （2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式． 【分析】（1）依题意计算求解即可； （2）依题意可知y与x的函数关系式为分段函数，列出一次函数即可． 【解答】解：（1）180×9＝1620（元），180×10+180×60%×（30﹣10）＝3960（元） 答：若旅游团人数为9人，门票费用是1620元；若人数为30人，门票费用是3960元； （2）设旅游团人数为x人，该旅游团门票费用y元，则 ， 即函数关系式为： ． 【点评】本题重点考查了一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键． 3．（2024春•江门校级期中）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）； 方案一：提供8000元赞助后，每张的票价为50元； 方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定． （1）分别求出方案一和方案二的函数关系式； （2）若购买180张票，选择哪个方案更省钱？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以分别求出方案一和方案二的函数关系式； （2）将x＝180代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的费用，然后比较大小即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 方案一：y与x的函数关系式为y＝50x+8000； 方案二：当0≤x≤100时，设y与x的函数关系式为y＝kx， ∵点（100，8000）在该函数图象上， ∴100k＝8000， 解得k＝80， ∴当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为y＝80x； 当x＞100时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b， ∵点（100，8000），（120，10000）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当x＞100时，y与x的函数关系式为y＝100x﹣2000， 由上可得，y与x的函数关系式为y； （2）当x＝180时， 方案一的花费为：y＝50×180+8000＝17000， 方案二的花费为：y＝100×180﹣2000＝16000， ∵17000＞16000， ∴购买180张票，选择方案二更省钱． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 4．（2024秋•淮北月考）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费，即一个月用水10t以内（包括10t）的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水xt，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求a的值；若某户居民上月用水8t，应交水费多少元？ （2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式； （3）若某户居民八月份应缴水费29元，则该户居民八月份用水量是多少？ 【分析】（1）由用水10t时，水费是15元，得10a＝15，则a＝1.5，即用水不超过10t时，每吨水费1.5元，可求得用水8t时的水费是12元； （2）当x＞10时，可列方程（20﹣10）b＝35﹣15，则b＝2，所以y＝15+2（x﹣10）＝2x﹣5； （3）先由y＝29＞15，确定x＞10，把y＝29代入y＝2x﹣5，再求出x的值，即为该户居民八月份的用水量． 【解答】解：（1）根据函数图象，用水10t时，水费是15元， ∴10a＝15， 解得a＝1.5， ∵8t＜10t， ∴1.5×8＝12（元）， 答：a的值是1.5，该户居民应交水费12元． （2）当x＞10时，根据函数图象得，（20﹣10）b＝35﹣15， 解得b＝2， ∴y＝15+2（x﹣10）＝2x﹣5， 答：b的值是2，y＝2x﹣5（x＞10）． （3）∵y＝29＞15， ∴x＞10， 把y＝29代入y＝2x﹣5，得29＝2x﹣5， 解得x＝17， 答：该户居民八月份的用水量是17t． 【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、根据问题的实际意义求函数表达式、一次函数的应用、由函数图象求自变量的取值范围以及求函数值和自变量的值等知识与方法，正确地用代数式表示该户居民应交的水费是解题的关键． 5．（2024春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示． （1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式； （2）求图中m的值，并说明m的实际意义； （3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？ 【分析】（1）根据甲、乙商店的不同销售方案，可得关系式，注意乙商店的； （2）根据等量关系：甲商店所需费用＝乙商店所需费用，列出方程并求解即可； （3）注意分情况讨论，当m＝7m+90时，当m＜7m+90时，当m＞7m+90时，解之即可． 【解答】解：（1）文件夹的原价：300÷30＝10（元），30个文件夹的价格：30×10×0.85＝255（元）， 由题意得，设y1＝kx， 把（30，255）代入得，k， ∴y1x； 当0≤x≤30时，设y2＝kx，把（30，300）代入得，k＝10， ∴y2＝10x； 当x＞30时，y2＝10×30+10×0.7×（x﹣30）＝7x+90， ∴y2， 答：y1关于x的函数解析式是y1x，y2关于x的函数解析式是y2． （2）当m＝7m+90时，m＝60， m的实际意义是当购买60个朗诵文件夹时，甲乙两家商店花费相同． （3）当x＝7x+90时，即x＝60，两家店铺所需费用相同； 当x＜7x+90时，即40＜x＜60，选择甲店铺更合算； 当x＞7x+90时，即60＜x≤90，选择乙店铺更合算． 【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用．题目难度不大．理解两个店铺不同的销售方案是解决本题的关键． 【题型六 利用一次函数解决最值问题】 1．（2024春•湛江校级期中）为积极响应湛江文旅“与老街共成长把美丽湛江寄出去”的号召，林怡在周末参加了赤坎老街的集市活动，她来到大同路购买“湛江老街特色”的明信片，准备寄出去，明信片有A，B两种系列，每套A种明信片比每套B种明信片贵8元，购买3套A种明信片和2套B种明信片共花费74元． （1）求A，B两种明信片每套各多少元； （2）林怡计划购买这两种明信片共6套．设购买A种明信片a（套），购买两种明信片的总费用为y（元），请求出y与a之间的函数关系式；并求当购买A种明信片不少于4套时，购买A种明信片多少套，总费用最少？求出最少总费用． 【分析】（1）设A，B两种明信片每套各x元和y元，根据每套A种明信片比每套B种明信片贵8元，购买3套A种明信片和2套B种明信片共花费74元，列出方程组进行求解即可； （2）根据总费用等于两种明信片的费用之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设A，B两种明信片每套各x元和y元，由题意得： ， 解得：； 答：A，B两种明信片每套各18元和10元； （2）y＝18a+10（6﹣a）＝8a+60， ∵8＞0， ∴y随着a的增大而增大， ∵a≥4， ∴当a＝4时，y最小为：8×4+60＝92； ∴购买A种4套，总费用最少，为92元． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 2．（2024秋•济南期末）某企业生产并销售某种产品，整理出该商品在第x（1≤x≤90）天的售价y与x函数关系如图所示，已知该商品的进价为每件30元，第x天的销售量为（100﹣x）件． （1）试求出售价y与x之间的函数关系式； （2）请求出该商品在销售过程中的最大利润． 【分析】（1）根据题意结合图象解答即可； （2）设该商品在销售过程中的利润为w，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质和一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y与x的解析式为：y＝kx+40，则 50k+40＝90， 解得k＝1， ∴当0≤x≤50时，y与x的解析式为：y＝x+40， ∴售价y与x之间的函数关系式为：y； （2）设该商品在销售过程中的利润为w， 当0≤x≤50时，w＝（x+40﹣30）（100﹣x）＝﹣x2+90x+1000＝﹣（x﹣45）2+3025， ∵a＝﹣1＜0且0≤x≤50， ∴当x＝45时，w取最大值，最大值为3025元； 当50≤x≤90时，w＝（90﹣30）（100﹣x）＝﹣60x+6000， ∵﹣60＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝50时，该商品在销售过程中的利润最大，最大值为：（90﹣30）×（100﹣50）＝3000（元）． ∵3025＞3000， ∴x＝45时，w增大，最大值为3025元． 答：第45天时，该商品在销售过程中的利润最大，最大利润为3025元． 【点评】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．解答时求出函数的解析式是关键． 3．今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍． （1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？ （2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用． 【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可； （2）分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程，得： ， 解这个方程，得x＝20， 经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意， 答：这一批树苗平均每棵的价格是20元； （2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元）， 设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则： w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000， ∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0， ∴w随t的增大而减小， 又∵t≤3500， ∴当t＝3500棵时，w最小， 此时，B种树苗有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000， 答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． 4．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产每月的销售量都不超过20吨．设每月销售甲特产x吨，一个月销售这两种特产所获得的总利润为W万元． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求W与x的函数关系式； （3）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨； （2）根据（1）的结论，结合“总利润＝甲种特产的利润+乙种特产的利润”解答即可； （3）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值． 【解答】解：（1）根据题意可知销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨， 10x+（100﹣x）×1＝235， 解得，x＝15， ∴100﹣x＝85， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨； （2）W＝（10.5﹣10）x+（1.2﹣1）×（100﹣x）＝0.3x+20； （3）由（2）可知W＝0.3x+20， ∵0.3＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵0≤x≤20， ∴当x＝20时，W取得最大值，此时W＝26， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． 5．（2024•越秀区校级一模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，根据总利润＝两种模型利润之和列出函数解析式即可； ②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元）， 根据题意得：4， 解得x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合实际意义， 0.8x＝16（元）， 答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； （2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个， 则w＝（35﹣20）a+（25﹣16）（100﹣a）＝6a+900， ∴w与a的函数关系式为w＝6a+900； ②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半， ∴a（100﹣a）， 解得a， ∵w＝6a+900，6＞0，a是正整数， ∴当a＝33时，w最大，最大值为1098， 答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． 【题型七 利用一次函数解决方案选择问题】 1．（2024秋•兴宁市期末）某通讯公司开展营销活动，设置了甲、乙两种手机资费套餐，手机资费y（元）与通话时间x（分）之间的关系如图所示． （1）说明线段AB的实际意义； （2）求出乙套餐每月手机资费y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式； （3）结合图象，说明选择哪种手机资费套餐更合算． 【分析】（1）根据函数图象得出结论； （2）用待定系数法求出函数解析式； （3）由函数图象得出结论． 【解答】解：（1）线段AB的实际意义：通话时间不超过30分钟时手机资费9元； （2）设乙套餐每月手机资费y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式为y＝kx+b， 把（30，27），（150，39）代入解析式得：， 解得， ∴每月手机资费y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式为y＝0.1x+24； （3）由图象可知，当通话时间不超过150分钟时，选择甲种手机资费套餐更合算；当通话时间超过150分钟时，选择乙种手机资费套餐更合算． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，建立一次函数模型，理解函数图象交点坐标的实际意义是解题关键． 2．（2024秋•宝安区期末）绿动未来﹣﹣追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【分析】问题一：分别设一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量为未知数，列二元一次方程组并求解即可； 问题二：（1）根据“一年内吸收的二氧化碳总量＝a棵杨树一年内吸收的二氧化碳总量+（100﹣a）棵冷杉一年内吸收的二氧化碳总量”写出w与a的函数关系式即可； （2）根据一次函数的增减性和a的取值范围解答即可． 【解答】解：问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克． 根据题意，得， 解得， 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． 问题二：（1）根据题意，得w＝172a+111（100﹣a）＝61a+11100， ∴w与a的函数关系式为w＝61a+11100． （2）∵61＞0， ∴w随a的增大而增大， ∵a≤30， ∴当a＝30时，w的值最大， 100﹣30＝70（棵）． 答：购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程组的解法是解题的关键． 3．（2025春•清城区校级期中）中华人民共和国生态环境部第32号令《排污许可管理办法》将自2024年7月1日起施行．我市治污公司为了更好的治理污水，改善水质，决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表： （1）设购买A型号设备x台，要求购买污水处理设备的资金不高于52万元，并且该月要求处理污水量不少于2000吨，请列不等式组求出x所有可能的取值． （2）设购买设备的总资金为y万元，写出y与x的函数关系式，并求出最省钱的购买方案及y的最小值． A型 B型 价格（万元/台） 6 4 处理污水量（吨/月） 240 180 【分析】（1）根据“A型号设备的价格×A型号设备的数量+B型号设备的价格×B型号设备的数量≤52”和“A型号设备每月每台的处理污水量×A型号设备的数量+B型号设备每月每台的处理污水量×B型号设备的数量≥2000”列一元一次不等式组并求解，再由x为非负整数确定x的可能值即可； （2）根据“购买设备的总资金＝A型号设备的价格×A型号设备的数量+B型号设备的价格×B型号设备的数量”写出y与x的函数关系式，根据该函数的增减性和x的可能值，确定当x取何值时y值最小，求出y的最小值及10﹣x的值即可． 【解答】解：（1）购买B型号设备（10﹣x）台． 根据题意，得， 解得x≤6， ∵x为非负整数， ∴x所有可能的取值为4，5，6． （2）根据题意，得y＝6x+4（10﹣x）＝2x+40， ∴y与x的函数关系式为y＝2x+40， ∵2＞0， ∴y随x的减小而减小， ∵∴x所有可能的取值为4，5，6， ∴当x＝4时，y值最小，y最小＝2×4+40＝48，10﹣4＝6（台）， ∴购买A型号设备4台、B型号设备6台最省钱，y的最小值为48． 【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用等，根据题意写出函数关系式、掌握一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． 4．（2024春•高州市月考）综合与实践 【问题情境】高州市传统特产品“深薯”、“爆皮王番薯”以“浓郁薯香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．我校兴趣小组为了了解以上两个品种在某特店的经营情况，经调查得知3件深薯和4件爆皮王番薯进货价为340元，4件深薯和5件爆皮王番薯进货价为440元． 【深入探究】 （1）分别求出每件深薯、爆皮王番薯的进价； 【问题解决】 （2）某特产店计划用不超过10440元购进深薯、爆皮王番薯共200件，且深薯的数量不低于爆皮王番薯数量的，该特产店有哪几种进货方案？ （3）若该特产店每件深薯售价为90元，每件爆皮王番薯售价为65元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？ 【分析】（1）设每件深薯的进价为x，每件爆皮王番薯的进价为y，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （2）设购进深薯a件，则购进爆皮王番薯（200﹣a）件，根据题意，列出一元一次不等式组求出a的取值范围，由a的取值范围即可求解； （3）设总利润为w元，求出w关于a的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）设每件深薯的进价为x，每件爆皮王番薯的进价为y， 由题意可得，， 解得， 答：每件深薯的进价为60，每件爆皮王番薯的进价为40； （2）设购进深薯a件，则购进爆皮王番薯（200﹣a）件， 由题意可得，， 解得120≤a≤122， ∵a为整数， ∴该特产店有三种进货方案： 当a＝120时，200﹣a＝80， 即购进深薯120件，购进爆皮王番薯80件； 当a＝121时，200﹣a＝79， 即购进深薯121件，购进爆皮王番薯79件； 当a＝122时，200﹣a＝78， 即购进深薯122件，购进爆皮王番薯78件； ∴该特产店有三种进货方案：购进深薯120件，购进爆皮王番薯80件；购进深薯121件，购进爆皮王番薯79件；购进深薯122件，购进爆皮王番薯78件； （3）设总利润为w元， 依题意可得，w＝（90﹣60）a+（65﹣40）（200﹣a）＝5a+5000， ∵k＝5＞0， ∴w随a的增大而增大， 又∵120≤a≤122， ∴a＝122，w取最大值，最大利润w＝5×122+5000＝5610元， 答：购进深薯122件，购进爆皮王番薯78件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为5610元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意，正确列出方程组、不等式组及一次函数解析式是解题的关键． 5．（2024春•江门校级期中）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两种型号客车（每种型号的客车至少租用一辆），A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型车和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型车和4辆B型车坐滴后共载客340人． （1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ （2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ （3）在这次活动中，学校除租用A、B两种型号客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车，已知从学校到目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地，如图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲车关于s与t的函数解析式． 【分析】（1）依据题意，设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，根据5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人得：，从而解方程组可以判断得解； （2）依据题意，设租用A型车m辆，则租用B型车（10﹣m）辆，可得：，又m是正整数，故m可取5，6，7，8，共有4种方案，设总租金为w元，有w＝500m+600（10﹣m）＝﹣100m+6000，由一次函数性质可得租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱； （3）依据题意，设s甲＝kt，s乙＝kt+b，用待定系数法求出解析式，根据两车第一次相遇后，相距25千米，可得100t﹣50﹣75t＝25或300﹣75t＝25，即可解得答案． 【解答】解：（1）由题意，设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人， ∴． ∴． ∴每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人． （2）由题意，设租用A型车m辆，则租用B型车（10﹣m）辆， ∴． ∴5≤m≤8． ∵m是正整数， ∴m可取5，6，7，8 ∴共有4种方案， 设总租金为w元， 根据题意得w＝500m+600（10﹣m）＝﹣100m+6000， ∵﹣100＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴m＝8时，w最小为﹣100×8+6000＝5200（元）； ∴租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱； （3）由题意，设s甲＝kt，把（4，300）代入得： 300＝4k， ∴k＝75， ∴s甲＝75t， 设s乙＝kt+b，把（0.5，0），（3.5，300）代入得：， ∴． ∴s乙＝100t﹣50， ∵两车第一次相遇后，相距25千米， ∴100t﹣50﹣75t＝25或300﹣75t＝25， ∴t＝3或t． ∴在甲乙两车第一次相遇后，当t＝3小时或小时时，两车相距25千米． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 【题型八 利用一次函数解决几何问题】 1．（2024春•武江区校级期末）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0） （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）直接写出△APD的面积的最大值． 【分析】（1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与x之间的函数解析式即可； （2）画出函数图象，观察图象可得答案． 【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，即0≤x＜3时，yAD×AP4×x＝2x； 当点P在BC上运动时，即3≤x＜7时，yAD×AB4×3＝6； 当点P在CD上运动时，即7≤x≤10时，yAD×PD4×（10﹣x）＝﹣2x+20， 综上所述，y； （2）函数图象如下： 由图象可得，y最大为6， ∴△APD的面积的最大值是6． 【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法． 2．如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在AB上运动的时间为　 　s，在CD上运动的速度为　 　cm/s，三角形APD的面积S的最大值为　 　cm2； （2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式； （3）当t为何值时，三角形APD的面积为10cm2 【分析】（1）直接根据函数图象上坐标可求出点P在AB上运动的时间为6s，在CD上运动的速度为 6÷3＝2cm/s； （2）用t表示PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，代入面积公式可求S＝90﹣6t； （3）通过图象可知，△APD的面积为10cm2．即S＝10，分别在S＝3t和S＝90﹣6t，上代入即可求得t，t． 【解答】解：（1）点P在AB上运动的时间为 6s，在CD上运动的速度为 6÷3＝2cm/s， 当点P运动到点B时，△APD的面积S最大，最大值是6×6＝18cm2； 故答案为：6，2，18； （2）PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t， SAD•PD6×（30﹣2t）＝90﹣6t； （3）当0≤t≤6时，S＝3t， △APD的面积为10cm2，即S＝10时， ∴3t＝10， ∴t， 当12≤t≤15时，90﹣6t＝10， ∴t， 所以当t为（s）、（s）时，△APD的面积为10cm2． 【点评】本题是四边形综合题，考查了三角形面积，正方形的性质，函数的图象，解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意分类讨论思想的运用． 3．（2024春•景德镇期末）如图①所示，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，a秒时点P，Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/秒，点Q的速度变为ccm/秒，如图②所示的是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系．图③是△AQD的面积S2（cm2）与点Q出发时间x（秒）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； （2）设点P，Q出发x（x＞a）秒后离开点A的路程分别为y1，cm，y2，cm，请分别写出y1，y2与x之间的关系式，并求出点P，Q相遇时x的值． 【分析】（1）根据题意和S△APD求出a，b，c的值； （2）首先求出y1，y2关于x的等量关系，然后根据题意可得y1＝y2求出x的值． 【解答】解：（1）观察图象得，S△APDPA•AD（1×a）×6＝24， 解得a＝8， ∴b2， （22﹣8）c＝（12×2+6）﹣2×8 解得c＝1， 故答案为：8，2，1； （2）依题意得：y1＝1×8+2（x﹣8），即y1＝2x﹣8（x＞8）， y2＝（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）＝22﹣x（x＞8）， ∵P与Q相遇时，y1＝y2， ∴2x﹣8＝22﹣x， 解得x＝10， ∴点P，Q相遇时x的值为10． 【点评】本题考查的是一次函数与图象的综合运用，主要考查一次函数的基本性质和函数的图象，难度中等． 4．（2024春•济南期末）如图1，已知△ABC中，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP，在这个变化过程中设BP＝x，且把x看成自变量，设△APC的面积为S，图2刻画的是S随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： （1）△ABC的高AF的长为 　 　． （2）写出S与x的关系式 　 　． （3）设△ABP的面积为y，写出y与x的关系式，并求当x为何值时，△APC的面积与△ABP的面积相等？ 【分析】（1）由图象知，当x＝0时，S＝12，代入三角形面积公式，可得AF的长； （2）根据SCP×AF12﹣2x即可； （3）由题意知，y2x，当△APC的面积与△ABP的面积相等时，则2x＝12﹣2x，从而得出答案． 【解答】解：（1）当x＝0时， S＝S△ABC12， ∴12， ∴AF＝4， 故答案为：4； （2）SCP×AF12﹣2x， 故答案为：12﹣2x； （3）由题意知，y2x， 当△APC的面积与△ABP的面积相等时， 2x＝12﹣2x， ∴x＝3， ∴x＝3时，△APC的面积与△ABP的面积相等． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是理解函数图象中关键点所代表的意义，理解动点的完整运动过程． 5．（2024春•柳南区校级期末）如图1，已知长方形ABCD，AB＝CD，BC＝AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm2，y和x的关系如图2所示． （1）AB＝　 　cm，BC＝　 　cm； （2）写出0≤x≤3时，y与x之间的关系式； （3）当y＝12时，求x的值； （4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小？若存在，请直接写出此时∠APD的度数． 【分析】（1）由题意得出AB＝6，AB+BC＝18，得出AD＝BC＝12即可； （2）当0≤x≤3时，由三角形面积公式得出y＝6x； （3）分两种情况：①当点P在AB上时，则y＝12x＝12，得出x＝1； ②当点P在CD上时，由三角形面积公式得出y＝144﹣12x，由题意得出144﹣12x＝12，解得x＝11即可； （4）延长AB至A'，使A'B＝AB，连接A'D交BC于P，连接AP，此时△APD的周长最小；证出△AA'D是等腰直角三角形，得出∠A'＝45°，由线段垂直平分线的性质得出AP＝PA'，得出∠A'＝∠BAP＝45°，由三角形外角性质即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：CD＝AB＝3×2＝6，AB+BC＝9×2＝18， ∴AD＝BC＝18﹣6＝12， 故答案为：6，12； （2）当0≤x≤3时，动点P在线段AB上，如图1所示： ∴y12×2x＝12x； 即y与x之间的关系式为y＝12x（0≤x≤3）； （3）分两种情况： ①当点P在AB上时，如图1所示： 则y＝12x＝12， 解得：x＝1； ②当点P在CD上时，如图3所示： 则AB+BC+CP＝2x，CP＝2x﹣6﹣12＝2x﹣18， ∴PD＝CD﹣CP＝6﹣（2x﹣18）＝24﹣2x， ∴△APD的面积为yAD×PD12×（24﹣2x）＝144﹣12x， 当y＝12时，144﹣12x＝12， 解得：x＝11； 综上所述，当y＝12时，x的值为1s或11s； （4）存在点P使得△APD的周长最小，∠APD＝90°；理由如下： 延长AB至A'，使A'B＝AB，连接A'D交BC于P，连接AP，如图4所示： 此时△APD的周长最小； AA'＝AB+A'B＝6+6＝12， ∴AD＝AA'＝12， ∴△AA'D是等腰直角三角形， ∴∠A'＝45°， 又∵∠ABC＝90°，BP是AA'的中垂线， ∴AP＝PA'， ∴∠A'＝∠BAP＝45°， ∴∠APD＝∠A'+∠BAP＝90°． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角形面积公式、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、函数图象以及分类讨论等知识；理解题意和图象，熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键． 1．（2024秋•福田区校级期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则（　　） A．甲车的速度是120km/h B．A，B两地的距离是360km C．乙车出发4.5h时甲车到达B地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇 【分析】由图象可知两车起始距离为60，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量． 【解答】解：乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时， 甲车出发1.5小时就追上乙，因此速度差为60÷1.5＝40千米/小时， 故甲车的速度为100千米/小时，故选项A不合题意； 甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为80÷40＝2（小时）， 甲车行全程需要2+1.5＝3.5（小时）， 全程为100×3.5＝350千米，故选项B不合题意； 此时乙车出发3.5+1＝4.5（小时），故选项C符合题意； 甲车休息小时准备返回时乙车行3.5+1+0.5＝5（小时）， 此时乙车距B地350﹣60×5＝50（千米）， 返回时相遇时间为50÷（100+60）小时， 此时甲车行驶的时间为3.5+0.5（h），故选项D不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态． 2．（2024秋•福田区校级期末）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为x（s），小数和小文行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小数比小文先出发15秒 B．小文提速后的速度为30cm/s C．n＝40 D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距150cm 【分析】A．根据图象直接判断即可； B．根据“速度＝路程÷时间”求出小文提速前的速度，再根据“小文提速后的速度是提速前的速度的2倍”计算小文提速后的速度即可； C．根据小文时间在17s～m s内的“路程＝速度×时间”求出m的值，再根据“速度＝路程÷时间”求出小数的速度，最后由“时间＝路程÷速度”求出小数到达目的地所用的时间，即n的值； D．小数和小文相遇前，当x＝15时小文和小数相距最远，相遇后，当x＝m时小文和小数相距最远，求出这两个最远距离并比较大小，其中较大的一个就是从小数出发至送餐结束，小文和小数最远距离． 【解答】解：根据图象，小数比小文先出发15秒， ∴A正确，不符合题意； 小文提速前的速度为30÷（17﹣15）＝15（cm/s）， ∴小文提速后的速度为15×2＝30（cm/s）， ∴B正确，不符合题意； ∵30（m﹣17）＝450﹣30， ∴m＝31， ∴小数的速度为310÷31＝10（cm/s）， ∴小数到达目的地所用时间为450÷10＝45（s）， ∴n＝45， ∴C不正确，符合题意； 小数和小文相遇前，当x＝15时小文和小数相距最远，为10×15＝150（cm）， 小数和小文相遇后，当x＝m＝31时小文和小数相距最远，为450﹣10×31＝140（cm）， ∵150＞140， ∴从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距150cm， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键． 3．（2024春•邵阳期末）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm桌子高度ycm． 第一套 第二套 椅子高度xcm 40 37 桌子高度ycm 75 70 （1）请确定y与x的函数关系式． （2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 【分析】（1）由于y应是x的一次函数，根据表格数据利用待定系数法即可求解； （2）利用（1）的函数关系式代入计算即可求解． 【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b， 则， 解之得：k，b， ∴yx； （2）当x＝39时，y3978.2， ∴一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌不配套． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，解题时扇形正确理解题意，然后根据题意求出函数关系式即可解决问题． 4．某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件，已知甲加工120个A型零件所用时间和乙加工160个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件70个，设甲每天加工x个A型零件． （1）求甲、乙每天各加工多少个零件； （2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为a元/件（5≤a≤8），加工B型零件所获得的利润每件比A型少2元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与a（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值． 【分析】（1）根据题意得：，即可解得答案； （2）由题意得y＝70a﹣80，再根据一次函数性质即可得答案． 【解答】解：（1）设甲每天加工x个A型零件，则乙每天加工（70﹣x）个B型零件， 根据题意得：， 解得x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意， ∴70﹣x＝70﹣30＝40（个）， 答：甲每天加工30个A型零件，乙每天加工40个B型零件； （2）根据题意得：y＝30a+40（a﹣2）＝70a﹣80， ∵y是a的一次函数，k＝70＞0， ∴y随a的增大而增大， 又5≤a≤8， ∴当a＝8时，y最大值＝480， 当a＝5时，y最小值＝270． 答：总利润y（元）与a（元/件）的函数关系式为y＝70a﹣80，总利润y的最大值是480元，最小值是270元． 【点评】本题考查分式方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 5．（2024•端州区校级开学）甲、乙两个工程组同时挖掘肇佛高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． （1）求乙组停工后y关于x的函数解析式． （2）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 【分析】（1）乙组停工后y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），再将点（30，210）、（60，300）代入求解即可； （2）根据函数图象得出甲的工作效率，得出前30天是甲乙合作共挖掘210m，则乙单独挖掘的长度是210﹣90＝120（m），再求出甲单独挖掘120m所用的天数，即可得出答案． 【解答】解：（1）由图可知，点（30，210）、（60，300）经过一次函数，设乙组停工后y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 依题意得：， 解得：， ∴乙组停工后y关于x的函数解析式为y＝3x+120（30≤x≤60）； （2）由题意可知，甲单独干了30天，挖掘的长度是：300﹣210＝90（m）， ∴甲的工作效率是每天：90÷30＝3（m）， ∵前30天是甲乙合作共挖掘了210m， ∴乙单独挖掘的长度是：210﹣30×3＝210﹣90＝120（m）， ∵甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等， ∴甲的工作天数是：120÷3＝40（天）， ∴乙组已停工的天数是：40﹣30＝10（天）． 答：乙组已停工的天数是10天． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合求出一次函数解析式． 6．（2024秋•宁波期末）小锐一家去离家200千米的某地自驾游，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）求他们出发半小时时，离家多少千米？ （2）出发1小时后，在服务区等候另一家人一同前往，然后，以每小时80千米的速度直达目的地，求等候的时间及线段BC的解析式． 【分析】（1）根据函数图像可得，出发半小时时所在的函数图像为正比例函数，因此通过待定系数法把点A代入正比例函数的一般式y＝kx，求出解析式后把x＝0.5代入求值即可． （2）BC所在的图像为一次函数，因此需要先求出B点的坐标，再通过待定系数法把B，C的坐标值代入y＝kx+b，解方程组即可求解． 【解答】解：（1）设线段OA的函数表达式为y＝kx， 当x＝1时，y＝60． 所以k＝60，即y＝60x（0≤x≤1）． 当x＝0.5时，y＝60×0.5＝30（千米） 即他们出发半小时时，离家30千米． （2）∵（100﹣60）÷80＝0.5（小时） ∴在服务区等了半个小时． 设线段BC的函数表达式为y＝k1x+b， ∴B（1.5，60），（2，100）在BC上， 代入得， 解得． ∴y＝80x﹣60（1.5≤x≤3.25）． 【点评】本题主要考查了一次函数的图像应用和一次函数解析式的确定，解题的关键是通过观察图像整理出解题时所需的相关信息，通过待定系数法求解析式是解题的关键． 7．工厂中甲，乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2.5倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）甲组的工作效率是 　 　件/时； （2）求出图中a的值及乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式． （3）当x为何值时，两组一共生产570件． 【分析】（1）利用图象中的数据即可求解； （2）利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度即可计算出a的值并列出乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式； （3）由题意得出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式，根据两组一共生产570件列方程，求出x的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵甲组加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象经过点（6，420）， ∴420÷6＝70（件/时）， 故答案为：70； （2）乙3小时加工120件， ∴乙的加工速度是：每小时40件， ∵乙组更换设备后，乙组的工作效率是原来的2.5倍． ∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工40×2.5＝100（件）， a＝120+100×（6﹣4）＝320； 乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式为：y＝120+100（x﹣4）＝100x﹣280； （3）乙组更换设备后加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为：y＝100x﹣280， ∵甲组的工作效率是70件/时， ∴甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式为y＝70x， 由题意得：70x+100x﹣280＝570， 解得x＝5， 答：当x＝5时，两组一共生产570件． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键． 8．（2024秋•福田区校级期中）为了认真落实2024年全国教育工作会议“以身心健康为突破点强化五育并举”的要求，全面实施“每天一节体育课”，学校计划从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20元，现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球60个，跳绳x条（x＞60）． （1）分别求出在A，B两家网店购买所需的费用yA和yB；（不必写出自变量取值范围） （2）若yA＝yB，求x的值； （3）对比A、B两家网店优惠方案，试简要说明何时在哪家网店购买更划算？ 【分析】（1）分别根据“在A家网店购买所需的费用＝足球每个定价×购买足球的数量+跳绳每条定价×（购买跳绳的数量﹣购买足球的数量）”和“在B家网店购买所需的费用＝折扣×（足球每个定价×购买足球的数量+跳绳每条定价×购买跳绳的数量）”即可； （2）分别将yA和yB关于x的函数关系式代入并解方程即可； （3）根据（2）并分别计算当yA＜yB、yA＞yB时x的取值范围即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意，得yA＝100×60+20（x﹣60）＝20x+4800，yB＝0.9×（100×60+20x）＝18x+5400． 答：在A家网店购买所需的费用yA＝20x+4800，在B家网店购买所需的费用yB＝18x+5400． （2）当yA＝yB时，得20x+4800＝18x+5400， 解得x＝300． 答：若yA＝yB，x的值是300． （3）当yA＜yB时，得20x+4800＜18x+5400， 解得x＜300， ∵x＞60， ∴60＜x＜300； 由（2）可知，当x＝300时，yA＝yB； 当yA＞yB时，得20x+4800＞18x+5400， 解得x＞300． 答：当60＜x＜300时，在A家网店购买更划算；当x＝300时，A、B两家所需费用一样多，任选一家即可；当x＞300时，在B家网店购买更划算． 【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 9．（2024秋•海曙区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）的结论联立方程组解答即可； （3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可． 【解答】解：（1）设y甲＝k1x， 根据题意得4k1＝80，解得k1＝20， ∴y甲＝20x； 设y乙＝k2x+80， 根据题意得：12k2+80＝200， 解得k2＝10， ∴y乙＝10x+80； （2）解方程组 解得：， ∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元； （3）当y＝240时，y甲＝20x＝240， ∴x＝12； 当y＝240时，y乙＝10x+80＝240， 解得x＝16； ∵12＜16， ∴选择乙种更合算． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键． 10．（2024春•揭阳月考）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【分析】（1）设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据运输228吨物资，列方程求解； （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8﹣a）辆，前往甲地的小货车为（9﹣a）辆，前往乙地的小货车为（1+a）辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式即可； （3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案． 【解答】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意得， 16x+10（18﹣x）＝228， 解得x＝8， ∴18﹣x＝18﹣8＝10． 答：大货车用8辆，小货车用10辆； （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8﹣a）辆，前往甲地的小货车为（9﹣a）辆，前往乙地的小货车为（1+a）辆， w＝720a+800（8﹣a）+500（9﹣a）+650（1+a）＝70a+11550， ∴w＝70a+11550（0≤a≤8且为整数）； （3）∵运往甲地的大货车不多于6辆， ∴0≤a≤6， ∵w＝70a+11550，k＝70＞0， ∴w随a的增大而增大， ∵0≤a≤8， ∴当a＝0时，w最小，最小值为w＝70a+11550＝11550． 答：使总运费最少的调配方案是：8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式和一元一次方程的应用和最佳方案问题，综合性较强，列出函数关系式与不等式是解决问题的关键，应注意最佳方案的选择． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点29 一次函数的实际应用 ▲知识点1： 一次函数实际应用 ◆1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. ◆2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： （1） 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； （2） 设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； （3） 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； （4） 解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题； （5） 得出结果. ▲知识点2： 分段函数 ◆1、分段函数：在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系也不同，我们这样的函数称为分段函数. ◆2、学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： （1）在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 （2）分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. （3）分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 【题型一 利用一次函数解决销售问题】 1．（2024秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 2．（2024秋•郫都区期末）某一蔬菜经营商从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 4.8 4 零售价（元/千克） 7.2 5.6 （1）若批发黄瓜和茄子共花220元，则黄瓜和茄子各多少千克？ （2）设批发了黄瓜x千克，卖完这批黄瓜和茄子的利润是W元，求W与x的函数关系式． 3．（2024秋•连平县期末）连平县上坪镇是中国鹰嘴蜜桃之乡，今年鹰嘴蜜桃价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收A级、B级鹰嘴蜜桃共300斤，A级鹰嘴蜜桃售价每斤12元，B级鹰嘴蜜桃售价每斤8元． （1）求该农户全部售出这些鹰嘴蜜桃的收入y（元）与采收的A级鹰嘴蜜桃数量x（斤）之间的函数关系式； （2）若当天全部售出这些鹰嘴蜜桃的总收入为2920元，求售出的A级鹰嘴蜜桃的数量． 4．（2024秋•龙岗区校级期末）2019年4月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，共签署了总额640多亿美元的项目合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元． （1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？（列二元一次方程组解应用题） （2）设甲、乙两种商品的销售总收入为W万元，销售甲种商品m万件， ①写出W与m之间的函数关系式； ②若甲、乙两种商品的销售收入为5400万元，则销售甲种商品多少万件？ 5．（2024春•霞山区校级期中）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，购进A、B两种T恤衫各多少件？全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次进货最多获利多少钱？ 【题型二 利用一次函数解决有关行程问题】 1．（2024•中山市校级开学）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲、乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题： （1）填空：甲的速度为 　 　 km/h； （2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数表达式； （3）求出点C的坐标． 2．（2024秋•宁阳县期末）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： （1）　 　（填“甲”或“乙”）先到达终点；甲的速度是　 　米/分钟； （2）求：甲与乙相遇时，他们离A地多少米？ 3．（2024秋•福田区校级期中）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终达到C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示． （1）填空：A、C两港口间的距离为 　 　 km，a＝　 　 h； （2）求y与x的函数关系式； （3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接受到该信号的时间有多长？ 4．（2024•宁波模拟）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求小王的骑车速度，点C的横坐标； （2）求线段AB对应的函数表达式； （3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？ 5．（2024秋•福田区校级月考）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80千米/小时的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地之间的距离是 　 千米，a＝ 　 　 ； （2）求货车返回时的速度； （3）在整个运输途中，巡逻车与货车何时相遇？ 【题型三 利用一次函数解决工程问题】 1．为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度； （2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？ 2．（2024•龙川县校级开学）一个蓄水池的剩水量Q和水泵抽水时间t的关系图象如图． （1）水泵抽水前，该蓄水池内有多少水？抽完这些水需要多长时间？ （2）水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是多少？ （3）当蓄水池的剩水量是100m3时，求水泵的抽水时间． 3．（2024春•番禺区校级期中）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的若干分内既进水又出水，之后只出水不进水．每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图． （1）当时间x＝2分钟时，水量y＝　 升（直接写出答案）； （2）当时间x＝7分钟时，水量y＝　 　 升（直接写出答案）； （3）根据图象，求出a的值，并求出容器中水量y的最大值． 4．某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为y（件），与甲车间加工时间x（天），y与x之间的关系如图（1）所示．由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z（件）与甲车间加工时间x（天）的关系如图（2）所示． （1）甲车间每天加工零件为　 　件，图中d值为　 　． （2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式． （3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000件？ 5．甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示． （1）直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式　 　； （2）求乙组加工零件总量a的值； （3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？ 【题型四 利用图表信息解决实际问题】 1．（2024秋•曹县期末）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表： 目的地 甲地 乙地 每吨费用（元） 150 240 设运往甲地为x吨，全部运出的总费用为y元． （1）求y与x间的函数表达式； （2）若该公司运出货物的总费用为5400元，求该公司运往乙地多少吨货物？ 2．（2024秋•南山区校级期中）如图1，11月10日晚，“深爱万物”﹣2023深圳人才嘉年华活动正式启动，千余架无人机在深圳人才公园上空上演“天空之舞”，为人才喝彩、向人才致敬．如图2的平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中y2＝﹣4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25．求在第多少秒时1号和2号无人机在同一高度． 3．（2024秋•福田区校级期中）某手机的电板剩余电量y（毫安）是使用天数x的一次函数，y和x的函数关系如图所示． （1）此种手机的电板最大带电量是 　 毫安，此种手机在充满电时最多可供手机消耗 　 　 天，此种手机每天消耗电量 　 　 毫安； （2）求一次函数y＝kx+b的解析式，并说出k和b的实际意义； （3）此种手机剩余400毫安电量就会发出提示音，在手机充满电后，使用 　3　 天后，手机会发出提示音？ 4．已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度． 水银柱的长度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数y（℃） 35.0 … 40.0 42.0 （1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数． 5．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度x（cm） … 4 6 8 10 … 双层部分的长度y（cm） … 73 72 71 70 … （1）求出y关于x的函数解析式，并求当x＝150时y的值； （2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； （3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围． 【题型五 实际问题中的分段函数】 1．（2024秋•晋源区期末）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识．采摘园推出的方案是：采摘的数量超过2kg后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量x（kg）与所付金额y（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（　　） A．17kg B．19kg C．21kg D．23kg 2．一旅游团来到某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏上写着：①一次购买10张以下（含10张），每张门票180元．②一次购买10张以上，超过10张的部分，每张门票6折优惠． （1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？ （2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式． 3．（2024春•江门校级期中）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）； 方案一：提供8000元赞助后，每张的票价为50元； 方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定． （1）分别求出方案一和方案二的函数关系式； （2）若购买180张票，选择哪个方案更省钱？ 4．（2024秋•淮北月考）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费，即一个月用水10t以内（包括10t）的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水xt，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求a的值；若某户居民上月用水8t，应交水费多少元？ （2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式； （3）若某户居民八月份应缴水费29元，则该户居民八月份用水量是多少？ 5．（2024春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示． （1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式； （2）求图中m的值，并说明m的实际意义； （3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？ 【题型六 利用一次函数解决最值问题】 1．（2024春•湛江校级期中）为积极响应湛江文旅“与老街共成长把美丽湛江寄出去”的号召，林怡在周末参加了赤坎老街的集市活动，她来到大同路购买“湛江老街特色”的明信片，准备寄出去，明信片有A，B两种系列，每套A种明信片比每套B种明信片贵8元，购买3套A种明信片和2套B种明信片共花费74元． （1）求A，B两种明信片每套各多少元； （2）林怡计划购买这两种明信片共6套．设购买A种明信片a（套），购买两种明信片的总费用为y（元），请求出y与a之间的函数关系式；并求当购买A种明信片不少于4套时，购买A种明信片多少套，总费用最少？求出最少总费用． 2．（2024秋•济南期末）某企业生产并销售某种产品，整理出该商品在第x（1≤x≤90）天的售价y与x函数关系如图所示，已知该商品的进价为每件30元，第x天的销售量为（100﹣x）件． （1）试求出售价y与x之间的函数关系式； （2）请求出该商品在销售过程中的最大利润． 3．今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍． （1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？ （2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用． 4．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产每月的销售量都不超过20吨．设每月销售甲特产x吨，一个月销售这两种特产所获得的总利润为W万元． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求W与x的函数关系式； （3）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 5．（2024•越秀区校级一模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【题型七 利用一次函数解决方案选择问题】 1．（2024秋•兴宁市期末）某通讯公司开展营销活动，设置了甲、乙两种手机资费套餐，手机资费y（元）与通话时间x（分）之间的关系如图所示． （1）说明线段AB的实际意义； （2）求出乙套餐每月手机资费y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式； （3）结合图象，说明选择哪种手机资费套餐更合算． 2．（2024秋•宝安区期末）绿动未来﹣﹣追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 3．（2025春•清城区校级期中）中华人民共和国生态环境部第32号令《排污许可管理办法》将自2024年7月1日起施行．我市治污公司为了更好的治理污水，改善水质，决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表： （1）设购买A型号设备x台，要求购买污水处理设备的资金不高于52万元，并且该月要求处理污水量不少于2000吨，请列不等式组求出x所有可能的取值． （2）设购买设备的总资金为y万元，写出y与x的函数关系式，并求出最省钱的购买方案及y的最小值． A型 B型 价格（万元/台） 6 4 处理污水量（吨/月） 240 180 4．（2024春•高州市月考）综合与实践 【问题情境】高州市传统特产品“深薯”、“爆皮王番薯”以“浓郁薯香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．我校兴趣小组为了了解以上两个品种在某特店的经营情况，经调查得知3件深薯和4件爆皮王番薯进货价为340元，4件深薯和5件爆皮王番薯进货价为440元． 【深入探究】 （1）分别求出每件深薯、爆皮王番薯的进价； 【问题解决】 （2）某特产店计划用不超过10440元购进深薯、爆皮王番薯共200件，且深薯的数量不低于爆皮王番薯数量的，该特产店有哪几种进货方案？ （3）若该特产店每件深薯售价为90元，每件爆皮王番薯售价为65元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？ 5．（2024春•江门校级期中）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两种型号客车（每种型号的客车至少租用一辆），A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型车和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型车和4辆B型车坐滴后共载客340人． （1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ （2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ （3）在这次活动中，学校除租用A、B两种型号客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车，已知从学校到目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地，如图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲车关于s与t的函数解析式． 【题型八 利用一次函数解决几何问题】 1．（2024春•武江区校级期末）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0） （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）直接写出△APD的面积的最大值． 2．如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在AB上运动的时间为　 　s，在CD上运动的速度为　 　cm/s，三角形APD的面积S的最大值为　 　cm2； （2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式； （3）当t为何值时，三角形APD的面积为10cm2 3．（2024春•景德镇期末）如图①所示，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，a秒时点P，Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/秒，点Q的速度变为ccm/秒，如图②所示的是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系．图③是△AQD的面积S2（cm2）与点Q出发时间x（秒）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； （2）设点P，Q出发x（x＞a）秒后离开点A的路程分别为y1，cm，y2，cm，请分别写出y1，y2与x之间的关系式，并求出点P，Q相遇时x的值． 4．（2024春•济南期末）如图1，已知△ABC中，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP，在这个变化过程中设BP＝x，且把x看成自变量，设△APC的面积为S，图2刻画的是S随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： （1）△ABC的高AF的长为 　 　． （2）写出S与x的关系式 　 　． （3）设△ABP的面积为y，写出y与x的关系式，并求当x为何值时，△APC的面积与△ABP的面积相等？ 5．（2024春•柳南区校级期末）如图1，已知长方形ABCD，AB＝CD，BC＝AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm2，y和x的关系如图2所示． （1）AB＝　 　cm，BC＝　 　cm； （2）写出0≤x≤3时，y与x之间的关系式； （3）当y＝12时，求x的值； （4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小？若存在，请直接写出此时∠APD的度数． 1．（2024秋•福田区校级期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则（　　） A．甲车的速度是120km/h B．A，B两地的距离是360km C．乙车出发4.5h时甲车到达B地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇 2．（2024秋•福田区校级期末）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为x（s），小数和小文行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小数比小文先出发15秒 B．小文提速后的速度为30cm/s C．n＝40 D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距150cm 3．（2024春•邵阳期末）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm桌子高度ycm． 第一套 第二套 椅子高度xcm 40 37 桌子高度ycm 75 70 （1）请确定y与x的函数关系式． （2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 4．某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件，已知甲加工120个A型零件所用时间和乙加工160个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件70个，设甲每天加工x个A型零件． （1）求甲、乙每天各加工多少个零件； （2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为a元/件（5≤a≤8），加工B型零件所获得的利润每件比A型少2元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与a（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值． 5．（2024•端州区校级开学）甲、乙两个工程组同时挖掘肇佛高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． （1）求乙组停工后y关于x的函数解析式． （2）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 6．（2024秋•宁波期末）小锐一家去离家200千米的某地自驾游，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）求他们出发半小时时，离家多少千米？ （2）出发1小时后，在服务区等候另一家人一同前往，然后，以每小时80千米的速度直达目的地，求等候的时间及线段BC的解析式． 7．工厂中甲，乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2.5倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）甲组的工作效率是 　 　件/时； （2）求出图中a的值及乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式． （3）当x为何值时，两组一共生产570件． 8．（2024秋•福田区校级期中）为了认真落实2024年全国教育工作会议“以身心健康为突破点强化五育并举”的要求，全面实施“每天一节体育课”，学校计划从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20元，现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球60个，跳绳x条（x＞60）． （1）分别求出在A，B两家网店购买所需的费用yA和yB；（不必写出自变量取值范围） （2）若yA＝yB，求x的值； （3）对比A、B两家网店优惠方案，试简要说明何时在哪家网店购买更划算？ 9．（2024秋•海曙区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 10．（2024春•揭阳月考）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 学科网（北京）股份有限公司 $$