精品解析：山东省青岛市第五十一中学2024—2025学年下学期八年级期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中学业水平质量检测 八年级（数学）试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和答题纸上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如衙改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号，写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效． 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式变形正确的是( ) A. 由a＞b，得a+1＜b+1 B. 由，得 C. 由a＞b，得 D. 由，得 3. 下列变形正确的有（ ） （1）（2）（3）（4） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转，得到 ，连接 ．若， ，则线段 的长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行,同旁内角互补 B. 若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C. 对顶角相等 D. 如果那么 8. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 9. 定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足 ，则把点 叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当 时，直线 上有“平衡点”，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 为 的角平分线，且， 为 延长线上的一点，，过 作 ， 为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 11. 若二次根式有意义，则 的取值范围为___________． 12. 如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针方向旋转 后得到，则阴影部分面积为________． 13. 用反证法证明“若，则 不是直角三角形”第一步应假设___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________． 15. 一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打_______折． 16. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，已知BD＝1，AD＝CD＝2，BC上方有一动点P，且点P到A，D两点的距离相等，则△BCP周长的最小值为 _____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为 ，将 绕点 逆时针旋转到的位置，使点 的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点 的坐标为，则点的纵坐标为______． 第II卷 三、解答题（本题满分69分） 18. 已知：线段 ，． 求作： ，使，． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上． （1）将 向右平移 个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点 的中心对称图形； （3）若将 绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 20. 解不等式（组）： （1）； （2）并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 21. 因式分解 （1） （2） 22. 如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于x的不等式ax＋b＞0的解集是________； (2)关于x的不等式mx＋n＜1的解集是________； (3)当x为何值时，y1≤y2? (4)当x＜0时，比较y2与y1的大小关系． 23. 如图，已知， 在线段 上，相交于点，且 ．求证：． 24. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 2台 900元 第二周 5台 3台 1450元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 25. （2017山东省青岛市）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集 （1）探究|x﹣1|的几何意义 如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x﹣1，有绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x﹣1|，可记为A′O=|x﹣1|．将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1．因为AB=A′O，所以AB=|x﹣1|，因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB． （2）求方程|x﹣1|=2的解 因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，﹣1． （3）求不等式|x﹣1|＜2的解集 因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围． 请在图②的数轴上表示|x﹣1|＜2的解集，并写出这个解集． 探究二：探究的几何意义 （1）探究的几何意义 如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，则MO=，因此， 的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离MO． （2）探究的几何意义 如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）可知，A′O=，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB=A′O，所以AB=，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB． （3）探究的几何意义 请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程． （4）的几何意义可以理解为： ． 拓展应用： （1）+的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和． （2）+的最小值为 （直接写出结果） 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=－x+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E. （1）求直线CD的函数表达式； （2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F， ①求证：∠OEF=45°； ②求点F的坐标； （3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ与△DOC全等时，直接写出点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中学业水平质量检测 八年级（数学）试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和答题纸上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如衙改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号，写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效． 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A.既是轴对称图形又是中心对称图形,故该选项符合题意； B.是轴对称图形，但不是中心对称图形,故该选项不符合题意； C.不是轴对称图形，但是中心对称图形,故该选项不符合题意； D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故该选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 下列不等式变形正确的是( ) A. 由a＞b，得a+1＜b+1 B. 由，得 C. 由a＞b，得 D. 由，得 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质1，可判断A，根据不等式的性质3，可判断B，根据不等式的性质2，可判断C，根据不等式的性质2、1，可判断D． 【详解】解：A、不等式的两边都加1，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都乘以-3，不等号的方向改变，故B正确； C、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故C错误； D、不等式的两边都乘以2，再减去3，不等号的方向不变， 故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的性质，注意不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列变形正确的有（ ） （1）（2）（3）（4） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了添括号及幂的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和添括号法则．根据幂的乘方和添括号法则，即可解答． 【详解】解：（1），正确； （2），故本选项错误； （3），正确； （4）．正确； 正确的有3个， 故选：C． 4. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内， ∴， 解得： ， 在数轴上表示为： 故选：D． 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．直接利用因式分解的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A、，从左到右的变形是因式分解，符合题意； B、，等式右边不是乘积形式，不符合题意因式分解的定义，不合题意； C、 无法分解因式，不合题意； D、，是整式的乘法，不合题意． 故选：A． 6. 如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ．若， ，则线段 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、勾股定理等知识点，正确理解旋转的性质是解答本题的关键． 先根据旋转的性质可知：， ，再应用勾股定理求出 的长，又由旋转的性质可得 ，最后再用勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得到： ， ， ∴，， ， ∵ ， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 故选 ． 7. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行,同旁内角互补 B. 若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C. 对顶角相等 D. 如果那么 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】A、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立； B、逆命题是如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等，成立； C、逆命题是相等的角是对顶角，不成立； D、逆命题是如果，那么，成立， 故选C． 点睛：本题考查的是逆命题 8. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案. 【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝50°． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键． 9. 定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足 ，则把点 叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当 时，直线 上有“平衡点”，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于 的不等式是解答此题的关键． 根据可得出关于 的不等式，求出 的取值范围即可． 【详解】解：， ，即， ， ， ， 故选：B． 10. 如图， 为 的角平分线，且， 为 延长线上的一点，，过 作 ， 为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】易证，可得， 可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解： 为 的角平分线， ， 在 和 中， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，②正确， ， ， ， ， ， ，③正确； 过 作 ，交 的延长线于点 ， ， 平分 ， ， 在和中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ，④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键． 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 11. 若二次根式有意义，则 的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可解答． 【详解】解： 二次根式有意义， ， 解得：， 的取值范围为． 故答案为：． 12. 如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针方向旋转 后得到，则阴影部分面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B=AB=8， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°， 过点A1作于点D ∴ ∴×8×4=16， 又∵， ， ∴=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 13. 用反证法证明“若，则 不是直角三角形”第一步应假设___________． 【答案】 是直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了反证法，正确理解反证法的意义及步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明“若，则 不是直角三角形”第一步应假设“ 是直角三角形”． 故答案为： 是直角三角形． 14. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5）， 又 ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到 ∵B（﹣4，2） ∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3） 故答案为：（1，3） 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键． 15. 一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打_______折． 【答案】9 【解析】 【详解】试题分析：设此商品最多打x折，根据“进价是元，标价为元，打折销售后获利不低于%”即可列不等式求解. 设此商品最多打x折，由题意得 ，解得 则此商品最多打9折. 考点：一元一次不等式的应用 点评：解题的关键是读懂题意，找到不等关系，正确列不等式求解. 16. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，已知BD＝1，AD＝CD＝2，BC上方有一动点P，且点P到A，D两点的距离相等，则△BCP周长的最小值为 _____． 【答案】+3 【解析】 【分析】先确定P点在AD的垂线平分线l上，再作B点关于l的对称点，连结 交l于点P，此时△BCP的周长最小，求出 ，进而可求解． 【详解】解：如图，∵点P到A，D两点的距离相等， ∴P点在AD的垂线平分线l上， 作B点关于l的对称点，连结 交l于点P， ∴BP＝ ， ∴BP+CP＝ +CP＝ ，此时△BCP的周长最小， ∵AD⊥BC，BD＝1，AD＝CD＝2， ∴＝2，BC＝3， 在Rt△BC中，， ∴△BCP的周长最小值为+3， 故答案为：+3． 【点睛】本题考查轴对称求最短路径，线段垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为 ，将 绕点 逆时针旋转到的位置，使点 的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点 的坐标为，则点的纵坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB1，B1B3，...，得出规律，求出OB21，再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可． 【详解】解：∵AB⊥y轴，点B（0，3）， ∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入， 得：，得：x=-4，即A（-4，3）， ∴OB=3，AB=4，OA==5， 由旋转可知： OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4， ∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12， ∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129， 设B21（a，），则OB21=， 解得：或（舍）， 则，即点B21的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键． 第II卷 三、解答题（本题满分69分） 18. 已知：线段 ，． 求作： ，使，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了复杂作图，利用已知角和线段，首先作一角等于已知角，进而得出符合题意的答案即可． 【详解】解：如图所示： ①作， ②在射线 上截取， ③以A为圆心，a长为半径画弧，交射线 于点C， ④连接 ． 则 即为所求． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上． （1）将 向右平移 个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点 的中心对称图形； （3）若将 绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如（1）中图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形； （2）分别找出各个顶点关于原点对称的点从而画出图形； （3）根据图形，结合网格特征即可得出旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如（1）中图，连接，， 由网格特征可知，，的交点坐标为， ∴旋转中心的坐标为． 20. 解不等式（组）： （1）； （2）并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） ；（2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式即可； （2）分别解两个不等式，求得不等式组的解集，再将解集表示在数轴上． 【详解】解：（1）去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得： ． （2）解不等式，得： ， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），掌握不等式性质是解题的关键． 21. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式，再提公因式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于x的不等式ax＋b＞0的解集是________； (2)关于x的不等式mx＋n＜1的解集是________； (3)当x为何值时，y1≤y2? (4)当x＜0时，比较y2与y1的大小关系． 【答案】(1)x＜4；(2)x＜0；(3) x≤2；(4)y2>y1. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用直线y2=ax+b与x轴的交点为（4，0），然后利用函数图象可得到不等式ax+b＞0的解集． （2）利用直线y=mx+n与x轴的交点为（0，1），然后利用函数图象可得到不等式mx+n＜1的解集． （3）结合两条直线的交点坐标为（2，1.8）来求得y1≤y2解集． （4）结合函数图象直接写出答案． 试题解析：（1）∵直线y2=ax+b与x轴的交点是（4，0）， ∴当x＜4时，y2＞0，即不等式ax+b＞0的解集是x＜4； 故答案是：x＜4； （2）∵直线y1=mx+n与y轴的交点是（0，1）， ∴当x＜0时，y1＜1，即不等式mx+n＜1的解集是x＜0；． 故答案是：x＜0； （3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2，18），当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2， 所以当x≤2时，y1≤y2； （4）如图所示，当x＜0时，y2>y1． 23. 如图，已知， 在线段 上，相交于点，且 ．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法： ．由 ，得到 ，即可证明． 【详解】证明： ， ， ， 又， ， ． 24. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 2台 900元 第二周 5台 3台 1450元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 、 两种型号的电风扇的销售单价分别为200元 台和150元 台 （2）37台 （3）能，有2种采购方案分别为 型36台、 型14台或 型37台、 型13台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用．正确理解题意是关键． （1）设 、 两种型号的电风扇分别为 元和 元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设 型号电风扇有 台，则 型台，根据总金额不多于7500元，列一元一次不等式，求解即可； （3）表示总利润 与 之间函数关系式，根据利润超过1850元和（2）的条件，利用不等式组解决问题． 【小问1详解】 解：设 、 两种型号的电风扇分别为 元和 元，根据题意得： ， 解得：， 答：求 、 两种型号的电风扇的销售单价分别为200元 台和150元 台. 【小问2详解】 解：设 型号电风扇有 台，则 型台， 由题意得： ， 解得：， 答： 种型号的电风扇最多能采购37台． 【小问3详解】 解：能． 设超市销售利润为 ，设 型号电风扇有 台，则 型台， 则， 当超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元时， ， 解得， 由（2）， 为整数， ，37， 则有2种采购方案分别为 型36台、 型14台或 型37台、 型13台． 25. （2017山东省青岛市）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集 （1）探究|x﹣1|的几何意义 如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x﹣1，有绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x﹣1|，可记为A′O=|x﹣1|．将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1．因为AB=A′O，所以AB=|x﹣1|，因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB． （2）求方程|x﹣1|=2的解 因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，﹣1． （3）求不等式|x﹣1|＜2的解集 因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围． 请在图②的数轴上表示|x﹣1|＜2的解集，并写出这个解集． 探究二：探究的几何意义 （1）探究的几何意义 如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，则MO=，因此， 的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离MO． （2）探究的几何意义 如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）可知，A′O=，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB=A′O，所以AB=，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB． （3）探究的几何意义 请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程． （4）的几何意义可以理解为： ． 拓展应用： （1）+的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和． （2）+的最小值为 （直接写出结果） 【答案】探究一：（3）﹣1＜x＜3；． 探究二：（3）的几何意义是：点A（x，y）与B（﹣3，4）之间的距离； （4）的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离； 拓展应用： （1）F（﹣1，﹣5）；（2）5． 【解析】 【详解】试题分析：探究一（3）由于|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围，从而画出数轴即可． 探究二（3）由于的几何意义是：点A（x，y）与B（﹣3，4）之间的距离，所以构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案． （4）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离； 拓展应用（1）根据探究二（4）可知点F的坐标； （2）根据三角形的三边关系即可求出答案． 试题解析：解：探究一：（3）如图所示，∴|x﹣1|＜2的解集是﹣1＜x＜3； 探究二：（3）的几何意义是：点A（x，y）与B（﹣3，4）之间的距离，∴过点B作BD⊥x轴于D，过点A作AC⊥BD于点C，∴AC=|x+3|，BC=|y﹣4|，∴由勾股定理可知：AB2=AC2+BC2，∴AB=； （4）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离； 拓展应用： （1）由探究二（4）可知表示点（x，y）与（﹣1，﹣5）之间的距离，故F（﹣1，﹣5）； （2）由（1）可知：+表示点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F（﹣1，﹣5）的距离之和，当A（x，y）位于直线EF外时，此时点A、E、F三点组成△AEF，∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE，∴的最小值为EF的距离，∴EF==5． 故答案为探究二（4）点（x，y）与点（a，b）之间的距离； 拓展研究（1）（﹣1，﹣5）；（2）5． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=－x+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E. （1）求直线CD的函数表达式； （2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F， ①求证：∠OEF=45°； ②求点F的坐标； （3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ与△DOC全等时，直接写出点P的坐标. 【答案】（1）y=x+3；（2）①见解析；②F（﹣，）；（3）P的坐标为（﹣，﹣）、（﹣8，﹣3）、（﹣，） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出结论，进而判断出△AOB≌△COD得出CO=OA=3，OD=OB=4，即可得出点C，D坐标，用待定系数法即可得出结论； （2）①由（1）结论和同角的余角相等判断出，△BOE≌△DOF，即可得出△EOF是等腰直角三角形，即可得出结论； ②先确定出点E的坐标，再借助①的结论判断出△OHE≌△OGF，即可得出OG=OH，FG=EH即可得出F的坐标； （3）分三种情况利用全等三角形的性质，勾股定理结合面积法即可确定出点P的坐标． 【详解】解：（1）∵直线y=﹣x+4交x轴、y轴分别于点A、点B， ∴A（3，0），B（0，4）， ∴OA=3，OB=4， ∵△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD， ∴△AOB≌△COD， ∴CO=OA=3，OD=OB=4， ∴C（0，3），D（﹣4，0）， 设直线CD 的解析式为 ， ∴， ∴， ∴直线CD 的解析式为； （2）①由（1）知，△AOB≌△COD， ∴OB=OD，∠ABO=∠CDO， ∵OF⊥OE，∠COF+∠BOE=90°， ∵∠COF+∠DOF=90°， ∴∠BOE=∠DOF， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF， ∴OE=OF， ∵∠EOF=90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∴∠OEF=45°； ②如图2， ∵直线AB的解析式为y=﹣x+4①， 由（1）知，直线CD 的解析式为y=x+3②； 联立①②得，E（，）， 过点F作FG⊥OD．过点E作EH⊥OB，垂足分别为G、H， 由①知，△BOE≌△DOF， ∴∠BOE=∠DOF，OE=OF， 在△OHE和△OGF中， ， ∴△OHE≌△OGF， ∴OG=OH=，FG=EH=， ∴F（﹣，）， （3）如图1， ∵C（0，3），D（﹣4，0）， ∴OC=3，OD=4，CD=， ∴， ①∠DP'Q'=90°， ∵△P'Q'D≌△OCD， ∴DP'=OD=4，Q'D=CD=5，， 作P'H⊥x轴于H，则， ∴， DH=， ∴OH=OD+DH=， ∴点P'坐标为（﹣，﹣）； ②∠DQP=90°， ∵△PQD≌△COD， ∴DQ=OD=4，PQ=OC=3， ∴点P坐标（-8，-3）； ③∠DP''Q''=90°， ∵△P''Q''D≌△OCD， ∴DP''=OD=4，P''Q''=OC=3，DQ''=CD=5， 作P''G⊥x轴于G， 同理可求得P''G=，DG=， ∴OG=OD-DG=， ∴点P坐标（﹣，）． 即：△DPQ和△DOC全等时，点P的坐标为（﹣，﹣）、（﹣8，﹣3）、（﹣，）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，判断出△BOE≌△DOF是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $