第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念 讲义-2025届高三数学一轮复习

第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念 考点一：角及其表示 1. 角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． ◆典例分析◆ 例1　 若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 答案　D 解析　因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确． 例2 已知θ为第三象限角，且＝－sin ，则角的终边在(　　) A．第一或第三象限 B．第二或第四象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　∵θ为第三象限角，∴为第二或第四象限角，又＝－sin ，∴sin ≤0，∴角的终边在第四象限． ◆对点练习运用◆ 1. 如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为______________． 答案　{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z} 解析　终边落在射线OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}． 2. “α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当α是第四象限角时，＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，则＋kπ<<π＋kπ，k∈Z，即是第二或第四象限角．当＝为第二象限角时，α＝不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件． 3. 若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 答案　C 解析　若α是第一象限角，则90°－α的终边在第一象限，90°＋α的终边在第二象限，360°－α的终边在第四象限，180°＋α的终边在第三象限，故C是第四象限角． 4. 与－2 023°终边相同的最小正角是(　　) A．137° B．133° C．57° D．43° 答案　A 解析　因为－2 023°＝－360°×6＋137°， 所以与－2 023°终边相同的最小正角是137°. 考点二 弧度制及其应用 1. 弧度制的定义和公式 (1)定义：在单位圆中，把长度等于1的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． 角α的弧度数公式 α＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝αr 扇形面积公式 S＝lr＝αr2 (2)公式 ◆典例分析◆ 例1　－660°等于(　　) A．－π rad B．－π rad C．－π rad D．－π rad 答案　C 解析　－660°＝－660× rad＝－π rad. 例2　已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r. (1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长； (2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 解　(1)α＝35°＝35× rad＝π rad， 扇形的弧长l＝αr＝π×8＝π(cm)． (2)　由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0<r<8)， 则S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16， 当r＝4(cm)时，Smax＝16(cm2)，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝＝2， ∴S的最大值是16 cm2，此时扇形的半径是4 cm，圆心角α＝2 rad. 例3　已知一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，则此扇形的弧长为________ cm，面积为________ cm2. 答案　　 解析　由已知得α＝，R＝10 cm， 所以l＝αR＝×10＝(cm)， S扇形＝αR2＝××102＝(cm2)． ◆对点练习运用◆ 1. 已知扇形AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB等于________． 答案　2sin 1 解析　设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝4，l＝4－2r,0<r<2， 则扇形的面积S＝lr＝(4－2r)r＝(2－r)r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1， ∴当r＝1时，S取得最大值1， 此时l＝2，则扇形的圆心角α＝＝2， 则AB＝2OAsin ＝2sin 1. 2. (多选)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有(　　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 答案　ABC 解析　设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 则由题意得解得或 可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4；当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1. 3. 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　) A. B. C．3 D. 答案　D 解析　如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形， 则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝， ∴AM＝r，AB＝r， ∴l＝r， 由弧长公式得α＝＝＝. 4. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为θ弧度． (1)求θ关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值． 解　(1)根据题意，可算得＝θx，＝10θ. 因为AB＋CD＋＋＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30， 所以θ＝(0<x<10)． (2)根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝θ·(102－x2)＝×＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－2＋， 当x＝时，ymax＝. 综上所述，当x＝时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为. 5. 如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π)．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由图可知，α＝×2π＝，所以该扇形的面积S＝××12＝. 6. 我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400 千米，已知月球半径约为1 738 千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)(　　) A．1 069千米 B．1 119千米 C．2 138千米 D．2 238千米 答案　D 解析　嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1 738＝2 138(千米)， 所以嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为l＝αr＝×2 138≈×2 138≈2 238(千米)． 7. 已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为________ cm2. 答案　4 解析　设扇形半径为r cm，弧长为l cm， 则2r＋l＝8(0<r<4)，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4， 当r＝2时，扇形面积最大， 所以Smax＝4(cm2)． 考点三 三角函数的概念 1. 任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． ◆典例分析◆ 例1 　已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　|OP|＝＝13， ∴sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－. 例2 (多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，sin α)在第一象限 答案　ACD 解析　角θ的终边经过点(－2，－)，sin θ＝－，A正确； θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，B错误，C正确； 因为tan θ＝>0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确． 例3. sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 答案　A 解析　因为<2<3<π<4<， 所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角， 所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， 所以sin 2·cos 3·tan 4<0. ◆对点练习运用◆ 1. 在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点P，则cos 2α等于(　　) A．－ B．± C. D. 答案　A 解析　∵在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点P， ∴sin α＝， ∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝－. 2. 已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　由题意得点P(－8m，－3)，r＝， 所以cos α＝＝－， 所以m>0，解得m＝. 3. 已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数a的值是(　　) A．－2 B. C．－2或 D．1 答案　B 解析　由题设可知，＝且2a＋1>0，即a>－， ∴＝，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝，又a>－， ∴a＝. 5. 已知△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P(sin A－cos B，cos A－sin C)，则＋＋的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案　B 解析　因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>，A＋C>，即A>－B，C>－A， 所以sin A>cos B，sin C>cos A， 所以θ是第四象限角， 所以＋＋＝－1＋1－1＝－1. 6. 若cos α·tan α<0，则角α的终边在(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 答案　C 解析　因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边在第三、四象限． 7. 若坐标平面内点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　因为<5<2π，所以sin 5<0，cos 5>0， 则点P位于第二象限． 8. 若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cos α的值是(　　) A．－ B. C．－ D.或－ 答案　D 解析　若α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)， 则cos α＝＝＝ sin α＝＝＝ 所以2sin α－cos α＝ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念 考点一：角及其表示 1. 角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． ◆典例分析◆ 例1　 若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 例2 已知θ为第三象限角，且＝－sin ，则角的终边在(　　) A．第一或第三象限 B．第二或第四象限 C．第三象限 D．第四象限 ◆对点练习运用◆ 1. 如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为______________． 2. “α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 4. 与－2 023°终边相同的最小正角是(　　) A．137° B．133° C．57° D．43° 考点二 弧度制及其应用 1. 弧度制的定义和公式 (1)定义：在单位圆中，把长度等于1的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． 角α的弧度数公式 α＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝αr 扇形面积公式 S＝lr＝αr2 (2)公式 ◆典例分析◆ 例1　－660°等于(　　) A．－π rad B．－π rad C．－π rad D．－π rad 例2　已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r. (1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长； (2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 例3　已知一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，则此扇形的弧长为________ cm，面积为________ cm2. ◆对点练习运用◆ 1. 已知扇形AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB等于________． 2. (多选)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有(　　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 3. 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　) A. B. C．3 D. 4. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为θ弧度． (1)求θ关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值． 5. 如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π)．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为(　　) A. B. C. D. 6. 我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400 千米，已知月球半径约为1 738 千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)(　　) A．1 069千米 B．1 119千米 C．2 138千米 D．2 238千米 7. 已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为________ cm2. 考点三 三角函数的概念 1. 任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． ◆典例分析◆ 例1 　已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ等于(　　) A. B．－ C. D．－ 例2 (多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，sin α)在第一象限 例3. sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 ◆对点练习运用◆ 1. 在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点P，则cos 2α等于(　　) A．－ B．± C. D. 2. 已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 3. 已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数a的值是(　　) A．－2 B. C．－2或 D．1 5. 已知△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P(sin A－cos B，cos A－sin C)，则＋＋的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 6. 若cos α·tan α<0，则角α的终边在(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 7. 若坐标平面内点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8. 若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cos α的值是(　　) A．－ B. C．－ D.或－ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$