2025年 九年级数学中考复习 图形变换综合解答题 考前冲刺专题训练

2025年春九年级数学中考复习《图形变换综合解答题》考前冲刺专题训练（附答案） 1．如图，过等边的顶点A作的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接，将线段绕点C逆时针方向旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接并延长交直线于点D．若，求证：垂直平分； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 2．如图1所示的是某款手机的平板支架，它由托板、支撑板和底座构成，现将该款手机放置在托板上．图2是该款手机及平板支架的侧面结构示意图，已知托板，支撑板，底座，托板固定在支撑板顶端点C处，且，托板可以绕着点C转动，支撑板可以绕着点A转动． (1)若，，求点D到的距离．（结果保留根号） (2)为了观看舒适，在（1）的情况下，将绕着点C逆时针旋转后，再将绕着点A顺时针旋转，使得点E落在直线上（如图3），求旋转的角度． 3．在正方形中，点P是边上点，点E在的延长线上，将线段绕点A顺时针旋转，到线段，连接 (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，若正好经过点B， ①求证：； ②探究、、三条线段的数量关系并证明你的结论； 4．综合与实践 【初步探究】 已知四边形是正方形，在同一平面内，将等腰直角三角尺（，）按如图1所示的方式放置，点E在边上，连接，． （1）图1中与之间的数量关系是______，位置关系是______； 【类比探究】 （2）如图2，将三角尺绕点C顺时针旋转，使点B，E，F在同一条直线上．线段与之间的关系是否成立？并说明理由； 【问题解决】 （3）在（2）中，若，，求线段的长． 5．如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． (1)在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． (2)如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 6．【问题背景】如图1，在四边形中，若，则平分，小明为了证明这个结论，将绕点顺时针旋转，请帮助小明完成他的作图． 【问题探究】如图2，在四边形中．若．求证：AC平分． 【迁移应用】如图3，在周长为的五边形中，平分．求的长． 7．【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 8．如图，为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行了如下探究活动． 活动一：为上一点，将绕点旋转，得到，，，的对应点分别为，，，连接，． 【观察发现】如图1，四边形的形状为______． 【深入探究】如图2，若，，当四边形为矩形时，求的长． 活动二：如图3，点是的垂直平分线与的交点，将绕点顺时针旋转角）得到，，的对应点分别为，，连接，． 【拓展提高】①猜想与的位置关系，并给予证明； ②如图3，当时，的平分线，若点到的距离为2，请直接写出的长． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)如图，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是的中点，D、E分别是直线，y轴上的动点，请直接写出周长的最小值． 10．【感知】在矩形中，．将绕着点B顺时针旋转，旋转角为得到，点A、D的对应点分别为E、F．若点E落在上，如图①，则______． 【探究】当点E落在线段上时，与交于点G．其它条件不变，如图②． （1）求证：； （2）的长为______． 【拓展】连接，在的旋转过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围． 11．已知与均为等边三角形，且顶点A重合，现将等边绕顶点A转动得到下列图形． (1)初步探究：如图1，连接、，当、、三点在同一直线上时，猜想， 请证明这一结论是正确的； (2)大胆尝试：如图2，连接、，当、、三点在同一直线上时，作于H，猜想、与的数量关系并证明你猜想的结论． (3)拓展延伸：如图3，连接、，当时，延长交于点F，过点D作于，，的面积为，求的长． 12．如图，四边形是边长为2，一个锐角等于的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交、（或它们的延长线）于点E、F，，当时，如图1小芳同学得出的结论是． (1)继续旋转三角形纸片，当时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； (2)再次旋转三角形纸片，当点E，F分别在，的延长线上时，如图3连，若，求的面积． 13．（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为___________； （2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ． 14．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求点的坐标和此抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最大时，求点的坐标． (3)点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，求点的坐标． 15．背景知识：如图，在中，，若，则：． (1)解决问题： 如图 （1），，，是过点的直线，过点作于点，连接，现尝试探究线段、、之间的数量关系：过点作，与交于点，易发现图中出现了一对全等三角形，即 ，由此可得线段、、之间的数量关系是： ； (2)类比探究： 将图 （1）中的绕点旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段、、之间的数量关系，并证明； (3)拓展应用： 将图 （1）中的绕点旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若，，则的长为 （直接写结果）． 16．已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作的垂线交射线于点E． (1)如图1，当点D在射线上时，求证：C是的中点； (2)如图2，当，，时，在图2中补全图形，直接写出的长； (3)如图3，当点D在内部时，作，交射线于点F，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 17．如图，在中，，，点是平面内一点，满足． (1)延长交直线于点，过点作交直线于点． ①如图1，若，且，求的长； ②如图2，延长交直线于点，连接，若，求证：； (2)如图3，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积． 18．已知四边形是矩形，． (1)如图①，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接、、，判定的形状，并说明理由； (2)如图②，将矩形绕点顺时针旋转度（）得到矩形，点恰好落在的延长线上，与相交于点，求的面积； (3)如图③，在（2）条件下，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，． (1)求拋物线的解析式； (2)如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值． (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标． 20．【实践探究】 数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． (1)【问题发现】 ①线段，之间的数量关系是__________，线段，之间的数量关系是__________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是_________． (2)【类比迁移】 如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． (3)【拓展应用】如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请求出线段的长． 参考答案 1．（1）证明：在等边中，，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴，即， ∴ ∴； （2）证明：连接，如图： 由旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线； （3）解：由（1）得， ∴，， 由（2）是的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（1）解：如图2，过D作，交于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 在中，， 由勾股定理可得：，即， ∴， ∴， 答：点D到的距离为． （2）解：旋转后，如图3所示，根据题意可知， 在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 因此旋转的角度为：， 答：旋转的角度为． 3．（1）证明：∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②、、三条线段的数量关系是．理由如下： 连接， ∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2），．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； （3）如图，连接， 由（2），得， 设． 在中，， ∴． ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由（2），得， ∴由勾股定理可得，即． 解得（不合题意，舍去）． ∴线段的长为3． 5．（1）解：①；理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②四边形的面积的值始终保持不变，值为4；理由如下： ∵正方形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 即四边形的面积的值始终保持不变，值为4； （2）解：延长至G，使，连接，作于M，如图2所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即点A到线段的距离为2． 6．解：[问题背景]：证明：作图如图1： ， ， 由旋转知， ， 共线， 由旋转， ， 为等腰， ， 由旋转得， ， 平分． [问题探究]证明：如图2： 将绕点顺时针旋转至， ， ， 由旋转得， ， 共线． 由旋转得， ， ， 平分． [迁移应用]：延长至，使，连接，如图3： 平分， ， 在和中， ， ， 在 和 中， ， ， 五边形周长为16， ， ， ， ． 7．（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转后与重合，， ∴，， ∴， 在中，； （2）证明：如图，将绕A点逆时针旋转，得到， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．解：[观察发现]∶ 由旋转的性质得，， ∴， ∴四边形是平性四边形． 故答案为：平行四边形． [深入探究]∶ 由旋转的性质得，， 如图1，连接，则过点O，设，则． ∵四边形为矩形． ∵． ∵， ∴，即， 解得， 即； [拓展提高]∶ ①． ∵，的垂直平分线交于点， ∴， ∴． 由旋转可得，， ∴，， ∵四边形的内角和为， ∴，即， ∴； ②如图2，延长，分别与，相交于点，，设与的交点为． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵． ∴四边形为矩形， ∴． ∵为的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， 由①得， ∴． ∵， ∴， ∴． 9．（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：直线， 令，； 令，， 此时， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则点D的坐标为， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：对于直线， 当时， 当时，，解得， ∴点， ∵点C是的中点， ∴点； 作点关于轴的对称点为，作点关于直线轴的对称点为，连接交于点H， 连接交直线于点，交轴于点， 则此时周长最小值， 过点N作轴于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设点N的坐标为，则点H的坐标为， ∵点H在直线上， ∴， 整理得到， ， ∴点N的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点N的坐标为， ∴， ∴的最小值为， 即周长的最小值为． 10．解；感知：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴； 探究：（1）由旋转的性质可得， ∵点E落在线段上， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 拓展：∵， ∴， 设点C到的距离为h，则， ∴当取得最小值时，且当时，h有最小值2，即此时有最小值，最小值为； 当取得最大值时，且当时，h有最大值14，即此时有最大值，最大值为； ∴ 11．（1）证明：和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、、在同一直线上， ， ； （2）， 理由：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：作于，于， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积为， 的面积为， ， ， ； 12．（1）解：小芳结论成立：． 理由如下：连接， 四边形是菱形，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，作于点M． 四边形是菱形，， 是等边三角形， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 在等边中，， ， ． 13．解：（1）结论：； 理由：绕点逆时针旋转，得到，， ，， ，， ， 、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 在正方形中，， 将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，连接，如图， 则 ， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，如图， ， 又，， ， ，， 四边形是菱形，， ，， ， ，， ∴ ， ∵， ∴； 在和中， ， ，； ∵， ∴， ∴； ， ， ， ． 14．（1）解：抛物线与抽交于点和点， ， ， ， 时，， ； （2）解： 点是抛物线对称轴上的一个动点，当， 当，，三点共线时，最大， 延长交抛物线的对称轴于点，为所求， 设直线为：，代入，，那么有 ，解得， 直线的表达式为：， ， 该抛物线对称轴为， 点的横坐标为， 将代入，， ． （3）解：抛物线的对称轴为，点在抛物线的对称轴上， 设， ①当时， 线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上， ，， 过作对称轴于，设对称轴与轴交于点，如图所示： ， ， 在与中，， ， ，， ，代入，得：， 解得：，（舍去）， ②当时，要使，由图可知点与点重合， ，，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 满足条件的点的坐标为或． 15．（1）解：如图1过点作，与交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 如图（2）过点作，与交于点， 同（1）的方法得，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图（3）过点作，与交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：5． 16．（1）解：当点D在射线上时，连接， ∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵过点D作的垂线交射线于点E． ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴C是的中点； （2）解：补全图形如下图，与交于，取，连接，， 当时，， ∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，在上取一点，使，连接，线段上取点，使， ∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 17．（1）解：①如图1中， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图2中，过点A作于点H，交于点T． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即, ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴； （2）解：如图3-1中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M在线段的垂直平分线上， 设垂足为Q，当时，的值最小， 设交于点J（如图3-2中）， ∵，， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 18．（1）解：是等腰直角三角形； 理由：由旋转性质可知：, ， ， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接， ∵是的中点， ∴，且， ∵， ∴， ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 设的中点为，连接， ∴， ∴的最大值为，最小值为． 19．（1）解：将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1， ∴当时，，即， 设的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于， 则， 在中，当时，，即， ∴， 设，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时，即， 由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，由勾股定理可得 （3）解：， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移， ∴设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵平移后的拋物线经过点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线， ∵为平移后抛物线上一点， ∴，即， 设点的坐标为， ∵点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的， ∴点为、、的中点， ∴，，， ∵中恰有两个点落在平移后的抛物线上， ∴当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时，与点重合，故不符合题意，舍去； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为或． 20．（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：；； ②在中，， 而，， ∴， 故答案为：； （2）解：线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，， ， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； ∵在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②如图，当点E在延长线上时，把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 由（2）的结论知：； 在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$