精品解析：北京市陈经纶中学2024—2025学年下学期七年级期中数学试题

陈经纶中学2024-2025学年度第二学期初一数学期中检测 （时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（本大题共10个小题，每题2分，共20分．下面1-10题均有四个选项，只有一项符合题意） 1. 下列各数是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列点中位于第四象限的是（ ） A B. C. D. 3. 下列所示的四个图形中，和不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 4. 在四个数中，最小的实数是（ ） A. 0 B. -1 C. D. 5. 已知是关于，的二元一次方程，则的值是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 1 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确是（） A. 比大 B. C. 与互为余角 D. 等于 8. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ） A B. C. D. 9. 小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和？代表的数分别是（ ） A. 5和1 B. 1和5 C. 和3 D. 3和 10. 在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到点，若点的坐标是(2，1)，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分） 11. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______． 12. 如图，一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船求救，可将救生船相对于遇险船的位置表示为（北偏东），则遇险船相对于救生船的位置表示为_____． 13. 如图，添一个条件__，使得． 14. 可以用一个m的值说明命题“正数一定大于它的算术平方根”是假命题，这个值可以是______． 15. 物体自由下落高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是．在一次实验中，一个物体从高的建筑物上自由下落，到达地面需要的时间为________s． 16. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为____． 17. 如图，点E、F分别为长方形的边、上的点，将长方形纸片沿翻折，点B、C分别落在点、处，与相交于点G，若，则的度数为______． 18. 在平面直角坐标系xOy中，对点P进行如下操作：把点P的横、纵坐标乘以同一个实数a，将得到的点先向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到点P的对应点P′．如图，点A，B经过上述操作后得到的对应点分别是点A′，B′． （1）如果点C（6，﹣2）经过上述操作后得到的对应点是点C′，那么点C′的坐标为____． （2）如果点D经过上述操作后得到的对应点D′与点D重合，那么点D的坐标为____． 三、解答题（共56分，其中19题5分，20题5分，21题（1）4分，21题（2）5分，22题6分，23题5分，24题6分，25题7分，26题7分，27题6分） 19. 计算： 20. 如图，已知，求证：． 阅读下面的解答过程，填空并填写理由． 证明：（已知） （ ） （ ） （已知） （ ） 又（已知） （_____） 21. 解下列方程（组） （1） （2） 22. 如图，在四边形中，，延长至点，使，连接，过点作且交的延长线于点． （1）求证：平分； （2）若，，则与否平行？请判断并说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点． （1）写出点的坐标； （2）求三角形的面积； （3）在轴上存在点，使得的面积等于的面积，直接写出点坐标． 24. 规定：若点的横纵坐标是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下问题． （1）在点中，哪些是方程的“理想点”？ （2）已知为正整数，若点是方程的“理想点”，直接写出的值； （3）已知是整数，且是方程和的“理想点”，求的值． 25. （1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形的边长是，且．设，可画出如下示意图． 结合图形，可以得到_____． 由题意可知，所以平方后变小，由此略去，得方程_____． 解得_____．即_____． （2）仿照上述方法，利用（1）的结论，再探究一次，使求得的的近似值更加准确．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，最后结果取到小数点后3位）． 26. 对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线mx轴，过点B作直线ny轴，直线m，n相交于点C．当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A 的等距点，称三角形ABC的面积为点A的等距面积．例如：如图，点A(2，1)，点B(5，4)，因为AC=BC=3，所以点B为点A 的等距点，此时点A的等距面积为． （1）点A的坐标是(0，1)，在点B1(-1，0)，B2(2，3)，B3(-1，-1)中，点A 的等距点为 ； （2）点A的坐标是(-3，1)，点A的等距点B在第三象限， ①若点B的坐标是，求此时点A的等距面积； ②若点A的等距面积不小于，求此时点B的横坐标t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 陈经纶中学2024-2025学年度第二学期初一数学期中检测 （时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（本大题共10个小题，每题2分，共20分．下面1-10题均有四个选项，只有一项符合题意） 1. 下列各数是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的概念“无限不循环小数”，求一个数的算是平方根，常见的无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结果的数（如），由此即可求解，掌握常见的无理数的形式，无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：A、，是有理数，故该选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意； C、，是有理数，故该选项不符合题意； D、是无理数，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，下列点中位于第四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、在y轴上，故本选项不符合题意； B、在第二象限，故本选项不符合题意； C、第四象限，故本选项符合题意； D、在第三象限，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 3. 下列所示的四个图形中，和不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同位角的定义，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角．在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：选项A、B、D中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；选项C中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 4. 在四个数中，最小的实数是（ ） A. 0 B. -1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵ ∴最小的实数是：． 故选：D． 5. 已知是关于，的二元一次方程，则的值是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．先根据二元一次方程的定义得出关于的不等式和方程，求出的值即可． 【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程， 且， 解得：． 故选：B． 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根，算术平方根，熟练掌握它们的定义是解题的关键． 分别根据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一解答即可． 【详解】A．，正确； B．，不正确，∵； C．，不正确，∵等号左边是算术平方根，应等于3； D．，不正确，∵等号左边是算术平方根，应等于4． 故选：A． 7. 如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（） A. 比大 B. C. 与互为余角 D. 等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，余角和补角等知识，根据垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等，通过推理计算得出有关角的度数，逐个进行判断即可，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴与互为余角，故选项不符合题意； D、由B得，故选项符合题意； 故选：D． 8. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数； 然后求得4的算术平方根是2，它是有理数； 则2的立方根为，它是无理数，输出答案； 故选：C． 9. 小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和？代表的数分别是（ ） A. 5和1 B. 1和5 C. 和3 D. 3和 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，读懂题意准确计算是解题的关键．把代入①解得，把，代入②求解，即可得到答案． 【详解】解：， 把代入①得： ， 即， 解得：， 把，代入②得： ， 即和代表的数分别是，， 故选 ：A． 10. 在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到点，若点的坐标是(2，1)，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探究，正确理解题意求出，，，的坐标，得到规律是解题的关键．根据点的坐标是，的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，得到即，于是得到，，，推出点坐标每4个为一个循环，即可得到结论． 【详解】解：点的坐标是，的终结点为，点的终结点为，点的终结点为， 即， ，，， 点坐标每4个为一个循环， 余2， 点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标是， 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分） 11. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：． 12. 如图，一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船求救，可将救生船相对于遇险船的位置表示为（北偏东），则遇险船相对于救生船的位置表示为_____． 【答案】（南偏西） 【解析】 【分析】熟练掌握方向角，熟练掌握方向角的定义是解答本题的关键．根据题意，结合方向角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，遇险船A相对于救生船B的位置表示为（南偏西）． 故答案为：（南偏西）． 13. 如图，添一个条件__，使得． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法添加条件即可． 【详解】解：可添加，根据“内错角相等，两直线平行”可得； 也可添加，根据“同位角相等，两直线平行”可得， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 可以用一个m的值说明命题“正数一定大于它的算术平方根”是假命题，这个值可以是______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】由算术平方根的性质得出是假命题，即可得出结论． 【详解】解：可以用一个m值说明命题“正数一定大于它的算术平方根”是假命题， 这个值可以是，1的算术平方根是1，和它本身相等， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了命题与定理、真命题与假命题，算术平方根的性质，正确判断真命题与假命题是解决问题的关键． 15. 物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是．在一次实验中，一个物体从高的建筑物上自由下落，到达地面需要的时间为________s． 【答案】10 【解析】 【分析】直接将490代入所给关系式，可求出，再利用算术平方根定义求解即可． 【详解】解：把代入中， 得， ∴． ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的知识点利用算术平方根求解，此题中需注意的是时间t的取值范围是大于0的． 16. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 阴影部分的周长为． 故本题答案为：12． 17. 如图，点E、F分别为长方形的边、上的点，将长方形纸片沿翻折，点B、C分别落在点、处，与相交于点G，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、四边形的内角和，找到图中角之间的关系是解题的关键． 根据题意得出，，再根据折叠的性质得出，，从而得出，然后根据对顶角相等和余角的定义得出，最后根据四边形内角和即可得出答 【详解】解：四边形为长方形 ， 将长方形纸片沿翻折 ， ， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系xOy中，对点P进行如下操作：把点P的横、纵坐标乘以同一个实数a，将得到的点先向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到点P的对应点P′．如图，点A，B经过上述操作后得到的对应点分别是点A′，B′． （1）如果点C（6，﹣2）经过上述操作后得到的对应点是点C′，那么点C′的坐标为____． （2）如果点D经过上述操作后得到的对应点D′与点D重合，那么点D的坐标为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先根据点可得的方程组，解方程组可得的值，再根据点坐标的平移规律即可得； （2）设点的坐标为，从而可得点，再根据点坐标的平移变换规律建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，解得， ， ，即， 故答案为：； （2）设点的坐标为，则点， 由题意得：， 解得， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． 三、解答题（共56分，其中19题5分，20题5分，21题（1）4分，21题（2）5分，22题6分，23题5分，24题6分，25题7分，26题7分，27题6分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，熟练掌握实数运算的法则是解题的关键．先计算乘方与开方，并化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：， ， ， ． 20. 如图，已知，求证：． 阅读下面解答过程，填空并填写理由． 证明：（已知） （ ） （ ） （已知） （ ） 又（已知） （_____） 【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．利用平行线的判定和性质求解即可． 【详解】证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， ， （垂直的定义）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义． 21. 解下列方程（组） （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和解二元一次方程组，掌握直接开平方法和加减消元法是解决本题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可得出答案； （2）利用加减消元法求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 或； 【小问2详解】 解：， 得：③， ②③得：，， 将代入②，得， ，， 所以方程组的解为 22. 如图，在四边形中，，延长至点，使，连接，过点作且交的延长线于点． （1）求证：平分； （2）若，，则与否平行？请判断并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）与平行，见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两直线平行内错角相等得到，根据题中条件等量代换得到，即可得证； （2）由垂直定义得到，再由，得到，由，从而得到，由平行线的判定即可得到答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：与平行， 理由如下： ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 23. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点． （1）写出点的坐标； （2）求三角形的面积； （3）在轴上存在点，使得的面积等于的面积，直接写出点坐标． 【答案】（1） （2）7 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移及三角形的面积，熟知三角形的面积公式及平移的性质是解题的关键． （1）根据平移时点的坐标变化规律得出点的坐标即可． （2）画出示意图，将三角形的面积转化为梯形面积与两个三角形的面积之差即可解决问题． （3）根据题意建立关于点横坐标的方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：因为点坐标为， 则将点向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到的点的坐标为， 所以点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图所示， 所以的面积为：． 【小问3详解】 解：令点的坐标为， 因为的面积等于的面积， 所以， 解得或8， 所以点的坐标为或． 24. 规定：若点的横纵坐标是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下问题． （1）在点中，哪些是方程的“理想点”？ （2）已知为正整数，若点是方程的“理想点”，直接写出的值； （3）已知是整数，且是方程和的“理想点”，求的值． 【答案】（1） （2） （3）3或1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，二元一次方程与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键． （1）根据“理想点”定义进行判断即可； （2）根据题意求出和的值，进一步求解即可； （3）解二元一次方程组，解得，再根据“理想点”定义以及是整数即可求解． 【小问1详解】 解：点、是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”，理由如下： ，时，， ，时，， ，时，， ，时，， 点、是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”； 【小问2详解】 解：把代入方程， 得 ，为正整数， ，； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得， 是整数，是整数， ， 或1． 25. （1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形的边长是，且．设，可画出如下示意图． 结合图形，可以得到_____． 由题意可知，所以平方后变小，由此略去，得方程_____． 解得_____．即_____． （2）仿照上述方法，利用（1）的结论，再探究一次，使求得的的近似值更加准确．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，最后结果取到小数点后3位）． 【答案】（1），，0.5，1.5；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据图形面积公式即可得到答案； （2）仿照题意画出示意图进行求解即可． 【详解】（1）结合图形，可以得到， 得方程 解得．即． 故答案为：，，0.5，1.5； （2）如图，由（1）可得，设， 由图形的面积可得以得，由题意可知， 所以平方后变小，由此略去，得方程，解得，即． 26. 对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线mx轴，过点B作直线ny轴，直线m，n相交于点C．当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A 的等距点，称三角形ABC的面积为点A的等距面积．例如：如图，点A(2，1)，点B(5，4)，因为AC=BC=3，所以点B为点A 的等距点，此时点A的等距面积为． （1）点A的坐标是(0，1)，在点B1(-1，0)，B2(2，3)，B3(-1，-1)中，点A 的等距点为 ； （2）点A的坐标是(-3，1)，点A的等距点B在第三象限， ①若点B坐标是，求此时点A的等距面积； ②若点A的等距面积不小于，求此时点B的横坐标t的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据等距点的定义即可作出判断； （2）①计算等腰直角的面积即可； ②根据题意画出全等的等腰直角和，发现点可以在射线上或线段上，可得的取值． 【小问1详解】 解：过作轴的平行线，过作轴的平行线，交于，如图所示： 点的坐标是，在点， ，即是点的等距点， 同理：，是点的等距点， ，不是点的等距点， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①根据题意作图，如下所示： 则， ，，， ， ， 点的等距面积为； ②根据题意可知， ， 根据①作全等的等腰直角和，如图所示： 有点可以在射线上或线段上， ，，，， 点的横坐标的取值范围是或． 【点睛】本题考查三角形的综合，即涉及到等腰直角三角形的判定与性质，也是新定义问题，注意利用数形结合的思想考虑问题，理解并运用题中所给的新定义等距点和等距面积是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$