第9章 小练10 矩形、菱形、正方形(5)-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级下册数学单元同步练习（苏科版 含测试卷）

第9章 中对称图形一平行四边形 小练11 矩形、菱形、正方形(5) 26分钟 建议用时 D13 练重点 4.(难)如图,四边形ABCD是正 扫码看讲解C ■ 方形,E是边BC上的动点(不 :: 重点1正方形中有45度角 与点B,C重合),将射线AE 1.(2024·重庆,较难)如图,在 扫码看讲解C 绕点A按逆时针方向旋转45{ 边长为4的正方形ABCD中, 后交边CD于点F,AE,AF分别交BD于点 E是边BC上一点,F是CD G,H. 的延长线上一点,连接AE (1)当 BEA一55*时,求 HAD的度数 AF,AM平分 EAF交CD于点M.若BE (2)设 BEA一a,试用含a的代数式表示 ( -DF-1,则DM的长度为 DFA的大小. 71 B.5 C.6 A. 2 D. (3)在点E运动的过程中,试探究 /BEA与 FEA有怎样的数量关系,并说明 理由. 第1题图 第2题图 2.(2023春·南京秦淮区期中, 扫码看讲解 较难)如图,在正方形ABCD r. 中,M,N是对角线BD上的 两点,且MAN=45{,若 重点2 BM-2.DN-3,则MN的长为 正方形中有“十字架” A.5 B. v13 C. 4 D.5 5.(2024春·南京期中,较难)如 扫码看讲解 3.(难)如图,正方形ABCD的边 P 扫码看讲解 图,已知正方形ABCD的边长 长为2,点E在边AB上,且 为5,点E,F分别在边AD. BE三2AE,连接 DE. 在边 DC上,AE=DF=2,BE与 AD,BC上分别有一点G,F AF相交于点G,H为BF的中点,连接GH 连接GF交DE于点H,且/GHD-45*,则 求GH的长. FG的长为 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 小练大卷得高分 数学八年级下册 6.(难)数学活动:探究正方形中 重点 扫码看讲解 正方形中有“一线三等角” 的“十字架”. ■7 7.(较难)如图,在正方形ABCD 扫码讲解 (1)猜想:如图1,在正方形 中,AB=4,E为边AB上一 ABCD中,点E,F分别在 点,点F在边BC上,且BF= 边CD,AD上,且BF AE,猜想线段 1.将点E绕点F顺时针旋转 AE与BF之间的数量关系: 90*得到点G,连接DG.则DG长的最小值为 (2)探究;如图2,在正方形ABCD中,点E. ( __ F,G.H分别在边AB,BC,CD,AD上. 且EG HF,此时线段HF与EG相等 吗?如果相等,请给出证明;如果不相 等,请说明理由 A. 2 (3)应用:如图3,将边长为4的正方形纸片 B. 2/2 C.3 ABCD折叠,使点A落在边CD的中点 D. T0 E处,点B落在点F处,折痕为MN,则 练思维 线段MN的长为 8.(较难)在正方形ABCD中,E 扫码看讲解 _: 是边BC的中点,连接AE,过 点B作射线BM交正方形的 一边于点F,交AE于点O 图1 图2 (1)如图,若BF |AE ①求证:BF-AE; ②连接OD,确定OD与AB的数量关 系,并证明. (2)若正方形的边长为4,且BF一AE,求BO 图3 的长. D 36 概念与分析 粗心与计算 错题记录 方法与策略小练9矩形、菱形、正方形(4) (2)AB⊥AC(或∠BAC=90),解析：如图，连接EF交AC L.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC,.∠DAC 于点O.由(I)得，AE∥BF,AE=BF,,四边形AEFB是平 行四边形，.AB∥EF..当AB⊥AC(或∠BAC=90)时， ∠BCA.由翻折的性质，得∠DAF=∠HAF= 2∠DAC, ∠COF=∠BAC=90°，.EF⊥MN,.四边形EMFV是 ∠BCE=∠MCE=7∠BCA∴∠HAF=∠ME∴AF/CE 菱形. (2)解：当∠BAC为30时，四边形AECF为菱形.理由如下： ,四边形ABCD是矩形，·∠D=∠BAD=90°，AB∥CD, 由(1)得，AF∥CE,,.四边形AECF是平行四边形 ,∠BAC=30°，∴.∠DAC=60°，∴.∠ACD=30.由折叠的性 质，得∠DAF=∠HAF=30°，.∠HAF=∠ACD,.AF= 6.(1D证明：：CELAB,.∠CEA=90°，.∠CAE+∠ACE= CF,',四边形AECF是菱形 90°..·∠AB)=∠ACE..∠ABO+∠BAO=90,∴.∠AOB 2.证明：(1)：AF∥BC.∴.∠AFE=∠DBE:E是AD的中点， 90°，∴.AC⊥BD.:AB∥CD,AB=CD,.四边形ABCD是 I∠AFE=∠DBE, 平行四边形.又：AC⊥BD,.四边形ABCD是菱形. .AE=DE在△AFE和△DBE中，∠FEA=∠BED. (2)解：：四边形ABCD是菱形，BD=4,.OA=CC,OB= AE-DE. OD=2.,'∠AOB=90°，∴.0A=AB-OB=v40-4= ,.△AFE≌△DB(AAS). (2),D是边BC的中点，，，DB=DC,,△AFE≌△DBE 64C=20A=12.CE1AB0E=2AC=6. .AF=DB=DC.:AF∥BC,.四边形ADCF是平行四边 7.(1)证明：'△ABE≌△ADF,.∠ABC=∠ADC,AB=AD :AD∥BC,.∠C+∠ADC=180,∴.∠C+∠ABC=180°， 形.“∠BAC=90,D是边BC的中点AD=号BC=DC, ,∴，AB∥CD,,.四边形ABCD是平行四边形.又，AB=AD, ,,四边形ADCF是菱形. ,四边形ABCD是菱形. 3.(1)证明：：AB∥CD,∴.∠AEF=∠EFD.:EG平分 (2)①②解析：：△ABE2△ADF,∴.∠ABE=∠ADF, ∠AEF,FH平分∠EFD,·∠GEF=号∠AEF,∠EFH AB=AD.选择条件①∠BAD=∠BCD,则由“两组对角分别 相等的四边形是平行四边形”证得四边形ABCD是平行四 2∠EFD,.∠GEF=∠EFH,EG∥FH.又：EH∥GF, 边形，又.AB=AD,.四边形ABD是菱形：选择条件 ②AB=CD,如图，连接BD,:AB=AD,∴∠ABD= ∴.四边形EGFH是平行四边形. ∠ADB.:∠ABE=∠ADF,∴.∠ABE-∠ABD=∠ADF (2)120°解析：由(1)知，四边形EGFH是平行四边形 ∠ADB,即∠CBD=∠CDB,∴BC=CD.又：AB=CD. ∠AEG=∠FEG.当四边形EGFH是菱形时，∠FEG .AB=AD=BC=CD,∴.四边形ABCD是菱形：选择条件 ∠FEH,.∠AEC=∠FEG=∠FEH.又：∠AEG+ ⑧③BC=CD,无法证明四边形ABCD是菱形. ∠FEG+∠FEH=18O°，'.∠AEG=∠FEG=∠FEH 60°，.∠AEF=∠AEG+∠FEG=60°+60°=120°，即当 ∠AEF=120时，四边形EGFH是菱形. 4.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AD=CB,AD∥ CB,∴∠ADE=∠CBF:BE-DF,∴BE-EF=DF-EF, AD-CB. 即BF=IDE在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF, 8.解：四边形ABCD是矩形，.CD=AB=4cm,AD=BC DE-BF. 11m.由题意可知，DP=Lcm,BQ=2:m,则AP=AD一 ,.△ADE2△CBF(SAS). DP=(11-t)cm. (2)如图，连接AC交BD于点O.'AB=AD,四边形ABCD (1)若四边形ABQP是矩形，则AP=BQ,即11一t=2t,解得 是平行四边形，∴.四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,OA= 1-号当的值为号时，四边形ABQP是矩形， OC,OB=OD.,BE=DF,∴.BE-OB=DF-OD,即OE= OF,四边形AECF是平行四边形.又：AC⊥BD,∴四边 (2)由题意可知，PE=AD一AE一DP=11一3一t=(8 形AECF是菱形. t)cm,(CQ=BC-BQ=(11一2t)cm当PE=CQ时，四边形 EQCP是平行四边形，此时8一1=11一21，解得t=3,∴.PE (CQ=5m在R△CDP中，CP=√CD+DP=,+3= 5(cm∴.PE=CP,∴四边形EQCP是菱形.综上所述.当 ,的值为3时，四边形EQCP是菱形 小练10矩形、菱形、正方形(5) L.D解析：四边形ABCD是正方形.∴AB=AD,∠ABE 5.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，，AD∥BC,AD= AB=AD. BC,∴∠EAM=∠FCN.:E,F分别是边AD,BC的中点， ∠ADF=90°.在Rt△ABE和Rt△ADF中.∠ABE=∠ADF ∴AE=号AD,CF=号BC,∴AE=CR又：AM=CN, BE-=DF. .Rt△ABE2Rt△ADF(SAS).AE=AF:AM平分 ∴.△AEM≌△CFN(SAS),∴.EM=FV,∠AME=∠CNF ∠EAF,∴.∠EAM=∠FAM.在△AEM和△AFM中， :∠AAME+∠EMN=180°，∠CVF+∠FNM=180°， AE-=AF. .∠EMN=∠FNM,.EM∥FN,.四边形EMFN是平行 ∠EAM=∠FAM,.'.△AEM≌△AFM(SAS),∴.EM= 四边形 AM-AM. 小练大卷得商分·数学·八年级下册答案 ·D13· FM.,四边形ABCD是正方形..BC=CD=4,∠BCD=由“SAS”可证△ADM≌△CDN,可得∠ADM=∠CDN,MD 90°.设DM=x,则MC=CD-DM=4-x,CE=BC-BE=ND,由“SAS”可证△MDE≌△NDE,可得ME=NE,最后根据 4一1=3，EM=FM=DF+DM=1+x.在Rt△ECM中，勾股定理即可求解 EM=MC+CE,即(1+x)=(4-x)+3,解得x=12, 4.解：(1)由旋转得，∠EAF=45.,四边形ABCD是正方形. 5 ∴∠EBA=∠BAD=90°，∠EAB=90°-∠BEA=90° 即DM的长度为号 55°=35，∴∠HAD=∠BAD-∠EAF-∠BAE=90°- 45°-35°=10°. 2.B解析：，四边形ABCD是正方形.∴AB=AD,∠BAD (2)四边形ABCD是正方形，∴.∠EBA=∠BAD=∠ADF 90°，.∠BAM+∠MAN+∠DAN=90°.如图，将△ABM 90°.∴.∠EAB=90°-∠BEA=90°-a,.∠DAF=∠BAD- 绕点A逆时针旋转90°得到△ADH,连接NH,由旋转得 ∠EAF-∠BAE=90-45-(90°-a)=a-45,.∠DFA= △ADH≌△ABM,∴.AH=AM,DH=BM=2,∠ADH= 90°-/DAF=90°-(a-45)=135-a. ∠ABM,∠DAH=∠BAM.又，∠MAN=45,∴.∠BAM+ (3)∠BEA=∠FEA.理由如下：如图，延长CB至点I,使 ∠DAN=45°，，.∠DAH+∠DAN=45,即∠HAN=45, BI=DF,连接AI.:四边形ABCD是正方形，AD=AB, ∠MAN=∠HAN.又：AW=AN,∴.△AMN≌△AHN ∠ADF=∠ABC=90°，∴.∠ABI=90.又：BI=DF (SAS),.MN=HN四边形AD是正方形，.∠ADN ,△DAF2△BAI(SAS),∴AF=AI,∠DAF=∠BAI, ∠ABM=45,∴.∠NDH=∠ADN+∠.ADH=∠ADN+ ∴∠EAI=∠BAI+∠BAE=∠DAF+∠BAE=S0° ∠ABM=45°+45=90°，在Rt△NDH中，HN= /EAF=90°-45=45=∠EAF.又.'AE=AE,.△EAI≌ /D开+DN=2+3=、13,∴.MN=、13. △EAF(SAS),.∠BEA=∠FEA. D G B 国方法总结本题属于半角模型，解决半角模型的关键是把一个5.解：：四边形ABCD是正方形，.AB=DA,∠BAE 三角形旋转，再构造一对全等三角形.图形需作到原图之外 AB-DA. 3.√5解析：如图，过点D作DN∥GF,交BC于点N,连接 ∠ADF=90°.在△BAE和△ADF中，∠BAE=∠ADF, EN,延长BA至点M,使AM=CN,连接DM,DN∥GF, AE=DF. DA∥BC,∴.四边形DNFG是平行四边形，∠NDE=∠GHD .△BAE≌△ADF(SAS),∴.∠ABE=∠DAF.:∠ABE+ 5”,,DN=FG.四边形ABCD是正方形，.AD=CD ∠BEA=90,.∠DAF十∠BEA=90°，，.∠AGE=90°， ∠B=∠C=∠AIC=∠BAD=90°，∴.∠ADE+∠CDN=45. ∴∠BGF=90,H为BF的中点∴GH=2BR,又：BC AD-CD. CD=5,DF=2,.CF=CD-DF=5-2=3.在R△BCF中， ∠DAM=90.在△ADM和△CDV中，∠DAM=∠DCN=90. AM-CN. B那VB+CF=+3=v3,GH= ∴.△ADM≌△CDN(SAS).∴.∠ADM=∠CDN,DM=DN, 21 ∴∠MDE=∠ADM+∠ADE=∠ADE+∠CDN=45°= 6.(1)AE=BF解析：如图1，设AE交BF于点P.,四边形 DM-DN. AECD是正方形，.AD=AB,∠D=∠BAF=90,∴∠EB+ ∠NDE.在△MDE和△NDE中， ∠DAE=90.:BF⊥AE,.∠APB=90°，.∠ABF+ ∠MDE=∠NDE. DE=DE. ∠EAB=90°，∴.∠DAE=∠ABF,∴.△DAE≌△ABF (ASA)..AE=BF. ,'.△MDE≌△NDE(SAS),.'.ME=NE.'BE=2AE,AB (2)解：HF=EG.证明如下：如图2，过点A作AQ∥FH交 AE+BE=2,∴AE=号，BE=青设AM=CN=则BN BC于点Q,过点D作DR∥EC交AB于点R,交AQ于点 P,交HF于点K.,AH∥FQ,AQ∥FH.∴四边形AQFH 2-xME=NE=号十x在R△EBN中，NE=BE十 是平行四边形，.AQ=HF.:DG∥ER,DR∥EG,∴四边形 BN,即（号+）=（号）+(2-x,解得x=1.CN DREG是平行四边形，.DR=EG.设HF交EG于点L. :∠APR=∠HKR=∠HLE=90,.AQ⊥DR.由(1)得， L,在R△NCD中，DN=√CD十CN=√2+I严=5， AQ-DR...HF-EG. ∴FG=5. (3)25解析：如图3，过点D作DT∥MN交BC于点T, D 连接AE交MN于点J,交DT于点K,由折叠可知，点E与 点A关于直线MN对称，∴.MN LAE.∠MIA=∠DKA= 90°，.DT⊥AE.由(1)得，DT=AE.,四边形ABCD是正 方形，CD=AD=4,E是边CD的中点，∠ADE=90°， DE=CE=之CD=2.“AE=AD+DE=+2 25,.DT=25.:DM∥NT,DT∥MN,.四边形DMNT 同忠路分析先证四边形DVFG是平行四边形，可得DN=FG, 是平行四边形，.MN=DT=25,即线段MN的长为25. 小练大卷得商分·数学·八年级下册答案 ·D14. AB,E-4X2=45.②若点F在边AD上，如图4，在 AE 25 R△AE有△BF中，：R△AER△BF (HL)∴∠BAE=∠ABF,∴.OB=OA.∠BAE+∠AEB= 90°，∠ABF+∠EBF=90,.∠AEB=∠EBF,,.OB=OE, ..OA=OB=OE.,∠ABE=90°，AB=4,BE=2..AE 图2 个+2=25,0B=AE=5.综上所述，B0的长为 欧E /过 图3 7.C解析：如图，过点G作GH⊥BC.垂足为H,则∠GHF= 90°.四边形ABD是正方形，，.CD=AB=4,∠B=90“ 上 ∴∠GHF=∠B.由旋转的性质，得FG=EF,∠EFG=90°， 图3 图4 ,∴.∠EFB+∠HPFG=90°.∠BEF+∠BFE=90°， 小练11三角形的中位线 ∠HFG=∠BEF,∴.△FHG2△EBF(AAS),.GH=L.D解析：如图，延长FG交AB于点M.AD=BC,E,F,G BF=1.∴.点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上， 分别是AB,CD,AC的中点，∠DAC=17°，∠ACB=91, .当点G在边CD上时，DG最小且DG=4-1=3,.DG长 的最小值为3 ∴GF∥AD,GF=2ADEG∥BC,EG=2BC,EG=GF, ∠AGE=∠ACB=91°，∠AGM=∠FGC=∠DAC=17, ∴∠FEG=∠EG,∴.∠MGE=∠AGE-∠AGM=∠FG+ ∠EFG=2∠FEG=91°-17=74°，∴.∠FEG=37 D B F 8.解：(1)①如图1，四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC CD=AD,∠ABE=∠C=90°，'.∠BAE+∠AEB=90° BF⊥AE,.∠CBF+∠AEB=90°，.∠BAE=∠CBF E I∠BAE=∠CBF, 窗思路分析根据三角形中位线定理得到EG=GF,利用等腰三 在△ABE和△BCF中，AB=BC, .△ABE2 角形的性质得到∠FEG-∠EFG,延长FG交AB于点M,利用 ∠ABE=∠C, 平行线的性质和三角形外角的性质计算即可。 △BCF(ASA),BF=AE,②OD=AB.证明如下：如图2.8O°解析：D.E,F分别是边BC,AB,AC的中点，EF∥ 2,延长AD,交射线BM于点G.,△ABE≌△BCF,.BE BC.DE∥AC.∴.∠EDB=∠DEF=50,.∠CH=∠EDB= 0°.又：AH⊥BC,∴.HF是R:△AHC斜边上的中线， CR:E为边BC的中点∴C下=BE=号BC=号DC,CF ∴HF=2AC=FC,∠FHC=∠FCH=50,·∠CFH= DF.:DG∥BC,.∠DGF=∠CBF.在△DGF和△CBE ∠DGF=∠CBF, 180°-∠FCH-∠FHC=180°-50°-50°=80. 中，∠DFG=∠CFB,∴.△DGF≌△CBF(AAS),∴.DG= 3.C解析：如图，连接AF并延长至点G,使得FG=AF,连接 DF-CF. GC,GD.:F是边BC的中点，∴.BF=CF.在△BAF与 AF-FG. BC.DG-AD.BF LAE.:.OD=AG=AD-AB. △CGF中，∠AFB=∠GFC,,.△BAF≌△CGF(SAS), D BF=CE .AB-GC.'GC=AB=3,CD=7,7-3<GD<7+3. ∠ABC=∠DCB=90时，G,D,C三点共线，.4<GD≤10. :E,F分别是边AD,AG的中点EF=2GD,∴2<EF≤ 5.又EF的长恰为整数，EF的长可以是3,4,5. D 图1 图2 (2)①若点F在边CD上，如图3.在Rt△ABE和Rt△BCF 电，{AE:∴R△ABE≌R△BCF(HL∠BAE ∠CBF.:∠BAE+∠AEB=90°，∴.∠CBF+∠AEB=90, ∠AOB=90.:∠ABE=90,AB=4,BE=2,∴AE /A+2=25.:SE=2AB·BE=号AE·B0.∴B0 G 小练大卷得商分·数学·八年级下册答案 ·D15.