第9章 小练5 平行四边形(3)-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级下册数学单元同步练习（苏科版 含测试卷）

第$章中心对称图形 平行四边形 小练5 平行四边形(3) 定议用时24分钟答案08 练重点 3.(2023春·宿迁宿豫区期中，中等)如图，在 □ABCD中，点E,F,G,H分别在边AB, 重点】已知一条对角线被平分 BC,CD,DA上，且BE=DG,AH=CF.求 1.(2023·镇江模拟，中等)如图，在四边形 证：EG,FH互相平分. ABCD中，AC,BD相交于点O,延长AD至 点E,连接EO并延长交CB的延长线于点 F,且∠AEF=∠CFE,AD=BC (1)求证：O是线段AC的中点 (2)连接AF,EC,求证：四边形AFCE是平 行四边形 重点3反证法 4.(2023春·泰州海陵区期中，中等)用反证法 证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应 先假设这个三角形中 () 重点2连接对应点形成平行四边形的对角线 A.至少有两个内角是直角 2.(中等)如图，AB∥CD,AB=CD,点E,F在 B.没有一个内角是直角 BD上，且∠BAE=∠DCF,连接AF,EC. C.至少有一个内角是直角 (1)求证：△ABE≌△CDF D.每一个内角都不是直角 (2)求证：四边形AECF是平行四边形 5.(2023春·宿迁沫阳县月考，中等)用反证法 证明“若a十b≥0，则a,b至少有一个不小于 0”时，第一步应假设 () A.a,b都小于0 B.a,b不都小于0 C.a,b都不小于0 D.a,b都大于0 6.(2023春·南京建郑区期中，中等)用反证法 证明命题“若a2<4,则a<2”时，应假设 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 25 小练夫卷得高方数学八年级下册 7.(2022春·南京鼓楼区期中，中等)已知在 取B的点O,=y. △ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°.下面 OM-DM. ””””” 是运用反证法证明这个命题的四个步骤： 甲 ①所以∠A十∠B+∠C>180°，这与“三角 过点A作AN⊥BD丁点N,过 形的内角和为180”矛盾： 点（作(H⊥BD于点M ②因此假设不成立，所以∠B<90°： ③假设在△ABC中，∠B≥90°； 作∠的平分线W交BD ④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即∠B+ 于点￥，作∠CD的平分线 CM交BD于点t ∠C≥180°. 丙 这四个步骤正确的顺序应是 (填 图2 序号) (1)正确的方案有 种. 练思维 (2)针对上述三种作图方案，请从你认为正 确的方案中选择一种给出证明过程， 8.(难)如图1，在□ABCD中， 扫码看讲期○ AD>AB,∠ABC为锐角.要 在对角线BD上找点N,M, 使四边形ANCM为平行四边 形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案. 图1 26 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略四边形PDCQ是平行四边形. 角，(2)先根据A,B两，点的坐标，利用待定系数法求出线段AB所 4.(1)证明：如图1，延长DB至点E,使BE=AB,延长DC至点在直线的函数表达式，然后分情况讨论：当A,C是平行四边形的 F,使CF=AC,连接AE,AF.AB+BD=AC+CD, 边时，根据平行四边形的性质得出PQ=AC=2,则直线AB上 ∴BE+BD=CF+CD,即DE=DF.又AD⊥BC, 到x轴的距离等于2的，点就是点P,因此令y=2或一2可求得 △AEF是等腰三角形.∠E=∠E,AB=BE. x的值：当AC是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性 .∠ABC=2∠E.同理可得∠ACB=2∠F,,.∠ABC 质祥出AC与PQ互相平分，再根据中点坐标公式得出点P的 ∠ACB,.AB=AC 纵坐标，代入线段AB所在直线的函数表达式可求得x的值，从 (2)证明：如图2，在DA的延长线上取点M,使AM=AB,在 而求得所有满足条件的点P的坐标 BC的延长线上取点N,使CN=CD,连接BM,DN,则 ∠M=∠ABM.∠N=∠CDN.'AB+AD=CD+CB. 小练5平行四边形(3) ∴.AM+AD=CN+CB.即DM=BN.又：AD∥BC,∴.四边 1.证明：(1)：∠AEF=∠CFE,.AD∥BC又，AD=BC,∴.四 形MBND是平行四边形，.MB=ND,∠M=∠N, 边形ABCD是平行四边形，∴.AC,BD互相平分.又：AC,BD ∠M=∠N, 相交于点O,.O是线段AC的中点. ,.∠ABM=∠CDN.在△ABM和△CDN中，MB=ND, (2)由(1)得，O是线段AC的中点，AD∥BC,.OA=OC, ∠AB=∠CDN: ∠ABO=∠CFO, ,.△ABM≌△CDN(ASA),.AM=CN.'DM=BN ∠EAO=∠F在△OAE和△CF中，∠ACOE=∠F, ,DM-AM=BN一CN,即AD=BC.又，'AD∥BC,.四边 0A=(C, 形ABCD是平行四边形 .△OAE2△OCF(AAS),.OE=OF,又OA=OC,.四 边形AFCE是平行四边形. 2.(1)证明：，'AB∥CD,.∠B=∠D.又，∠BAE=∠DCF, AB=CD,.△ABE≌△CDF(ASA). (2)证明：由(1)得，△ABE≌△CDF,.AE=CF,∠AEB= ∠CFD,.∠AEF=∠CFE..AE∥CF,.四边形AECF是 D 平行四边形. 3.证明：如图，连接EF,FG,GH,HE.,四边形ABCD是平行 四边形，∠A=∠C,AB=CD.,BE=DG,∴.AB-BE AE=CG. CD-DG,即AE=C在△AEH和△CF中，〈∠A=∠C AH-CF. 图2 5.(1)解：：△ABE≌△CDA,∠DAC=40,.∠BFA=∠DAC ∴△AEH≌△CGF(SAS),∴.EH=GF.同理可得GH=EF, ∴四边形EFGH是平行四边形，.EC,FH互相平分. 40°，AE=CA,,.∠ACE=∠BEA=40°，.∠EAC=180° ∠BEA-∠ACE=180°-40°-40°=100. D (2)证明：.△ABE≌△CDA,.∠BEA=∠DAC,AD=BE, AC=AE,∴∠BEA=∠ACE,∴.∠ACE=∠DAC,.AD∥ CE,即AD∥BE.又AD=BE.∴.四边形ADBE是平行四 边形. 6.(1)(0,0)909 4.A解析：用反证法证明“三角形中最多有·个内角是直 角”，应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角. (2(-号，2)或(-子，一2）或（一号，4）解析：设直线AB国方法总结在根设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有 的函数表达式为y=r十b(k≠01.将A(一1,3)，B(一3，一1) 可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多 的型标代人得仁物1部得么直线AB的函 种情况，则必须一一否定. 5.A 数表达式为y=2x十5.当AC为平行四边形的边时，PQ=6.a≥2 AC=2,:点P在直线y=2x十5上，点Q在x轴上，·点7.③④①②解析：运用反证法证明这个命题的四个步骤依次 3 P的纵坐标是2或一2，令y=2,则2x十5=2，解得x= 2 为：③假设在△ABC中，∠B>90°：④由AB=AC,得∠B ∠C≥90°：①所以∠A十∠B+∠C>180°，这与三角形内角 令y=-2.则2x+5=-2,解得x=-2点P的坐标为 7 和为180矛盾：②因此假设不成立，所以∠B90”,即∠B+ /C≥180° (-三，2)或(-子，-2).当AG为平行四边形的对角线【 国日积月累反证法的一般步骏是：①假设命题的结论不成立； 时，AC与PQ互相平分，由图可知，AC的中点坐标为(3， ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾：③由矛盾判定假 2),.点P的纵坐标为4，代人y=2x十5，得4=2x+5,解得 设不正确，从而肯定原命题的结论正确 t=- ∴点P的坐标为（一之，4），综上所述所有满足条 8.(1)3 (2)解：方案甲的证明如下：如图，连接AC,,四边形ABCD 件的点P的坐标为(-2)或(-子，-2)或(-24)。 是平行四边形，O为BD的中点，.OB=OD,OA=(OC 冒思路分析(1)根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的 BN=ON,OM=DM,∴ON=号OB.OM=2OD,即 交，点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角脚为旋转 ON=OM,∴.四边形ANCM为平行四边形 小练大卷得商分·数学·八年级下册答案 ·D8 等边三角形，∴.EH=FH,∴.∠FAH=∠EAH=15, ∴∠BAF=∠BAC-∠FAH=60°-15=45，.∴△ABF是等 腰直角三角形.BF=AB=1.:BC=3,∴.EF=CF=BC- 方案乙的证明如下：，四边形ABCD是平行四边形，，AB= BF-后-1E1=含F-号SE=Sr+ CD,AB∥CD,∴.∠ABN=∠CDM.,AN⊥BD,CM⊥BD .AN∥CM,∠ANB=∠CMD.在△ABN和△CDM中， Sam=2C·AB+2AC·EH=号X,3X1+X2X ∠ANB=∠CMD. ∠ABN=∠CDM,△ABN≌△CDM(AAS),∴.AN AB=CD. CM.又，AN∥CM,∴.四边形ANCM为平行四边形. 方案丙的证明如下：，”四边形ABCD是平行四边形， ,.∠BAD=∠BCD,AB=CD,AB∥CD,.∠ABN ∠CDM'AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,∴.∠BAN= 号∠BAD,∠DCM=专∠BCD,“∠BAN=∠DCM在目思路分析连接AC,根据均殿定理得到AC=√AB+BC ∠ABN=∠CDM, △ABN和△CDM中， 2,求得AB=2AC,得到∠ACB=30,进而求得∠CAE=15, AB=CD. .△ABV≌ ∠BAN=-∠DCM, 过，点E作EF⊥AC于点H,交BC于点F,根据等边三角形的判 △CDMCASA).∴.AN=CM.∠ANB=∠CMD.∴.∠ANM= 定定理得到△CEF是等边三角形，求得∠BAF=45,从而得到 ∠CMN,∴.AN∥CM,.四边形ANCM为平行四边形. BF=AB=1,再根据三角形的面积公式即可得到结论. 小练6矩形、菱形、正方形(1) 4.2解析：如图，分别取BC,AD的中点M,N,连接MV,GN, PD,FC,过点F作FR⊥CD交CD的延长线于点R,延长 L.52cm解析：在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=3cm RF,与GN交于点Q.设BC=a,CD=五.：△PBC是以BC ∠B=90°，.AC=√AB+BC=+3=5(cm).矩 为底的等腰三角形，∴点P在MN上，∴点P到CD的距离 形ABCD和矩形AEFG是两个大小完全相同的矩形，，，AC AF,∠BAC+∠GAF=90°，∴.∠CAF=90°，∴.FC= 为7a5m=合CD…支4=合6，方a=6在 /AC十AF=/5+5=5√2(cm). ∠FQG=∠FRD=90°， 2.(1)证明：如图，延长BC,AM交于点K.M为边DC的中 △GQF和△DRF中， ∠GFQ=∠DFR, .∴.△GQF≌ 点，∴.DM=CM.四边形ABCD为矩形，∴.AD=BC=4, GF-DF. ∠D=∠BCD=90°，'.∠D=∠KCM=90°.又，'∠DMA ∠CMK,∴.△ADMf≌△KCM(ASA),∴.∠DAM=∠K,AD= △DRF(AAS),∴.QF=RF=Z 24= 才a,Sam= CK=BC,∴.C为BK的中点.BP⊥AM,∴∠BPK=90°， 1 CD.FR-t6 1 1 “PC=BC=CK=2BK=4,∴∠K=∠CPK.∠APE -=2. SARD ∠CPK,∠K=∠EAP,∠APE=∠EAP,.AE=EP. (2)解：设AE=五，由(1)可知，AE=EP,PC=4,∴.EP AE=x,ED=AD-AE=4-x,CE=CP+EP=4十x,∴.在 Rt△CDE中，CD+ED=CE,.6+(4一x)”=(4+x), 解得=号即AE=是 5.2或6解析：，四边形ABCD是矩形，AB=8m,AD= 12cm,.∠B=∠C=90°，BC=AD=12cm,CD=AB= 8cm(1)当点F由点B向点C运动时，以E,B,F为顶点的 三角形和以F,C,G为顶点的三角形全等有以下两种情况： ①△BEF≌△CGF,此时CG=BE,CF=BF,又：BC= BF+CF=12m,∴.BF=6cm,∴点F运动的时间1=6÷ 3=2(s):②△BEF≌△CFG,此时CF=BE=3cm,CG BF=BC-CF=12-3=9(m),又"，CD=8cm,.CG>CD, 即点G在边CD的延长线上，与题干条件不相符，故此种情 33-号 解析：如图，连接AC,过点E作EF⊥AC于点H, 况不存在，(2)当点F由点C折返向点B运动时，又有以下 交BC于点F,连接AF,在矩形ABCD中，∠B=90°，AB 两种情况：①△BEF≌△CGF,由(1)①可知，此时BF= 1.BC-AD-/.AC=2.AB-AC, CF=6cm,∴.点F运动的时间1=(12十6)÷3=6(s): ②△BEF≌△CFG,由(1)②可知，此种情况不存在.综上所 ∴∠ACB=30°，∠BAC=60.∠BAE=75,∴.∠EAH= 述，t的值为2或6. ∠BAE-∠BAC=75-60°=15，：∠BCE=60°.∴∠CA=6.13解析：如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接BQ ∠BCE-∠ACB=60°一30°=30，.∠(CEF=60°，.△CEF是 EQ,EB,则AE=AD十DE=6十6=12.，四边形ABCD是 小练大卷得商分·数学·八年级下册答案 ·D9.