专题03 活用正余弦定理玩转三角形（7大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题03 活用正余弦定理玩转三角形 【题型归纳目录】 题型一：利用正余弦定理解三角形 题型二：三角形形状的判断 题型三：三角形的多解问题 题型四：周长与面积问题 题型五：实际应用问题 题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题 题型七：综合应用问题 【知识点梳理】 1、正弦定理 （其中为外接圆的半径）． 常用变形： （1）； （2）； （3）； （4），，． 2、余弦定理 ，，， ，， 3、三角形中的常见结论 （1）． （2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：． （3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边． （4）的面积公式 ①（ 表示边上的高）； ②； ③（为内切圆半径）； ④，其中． 4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 5、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． （3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （4）坡度＝，即坡角的正切值． 【典型例题】 题型一：利用正余弦定理解三角形 【例1】（23-24高一下·湖南娄底·期末）在中，，，，则最短边的边长等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·湖南长沙·期中）在中，，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·陕西·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二：三角形形状的判断 【例2】（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式2-1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2-2】（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2-3】（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）一个锐角三角形的三边长同时增加相同的长度，得到的边长作为新三角形的边长，则新的三角形形状为（    ） A．有可能为钝角三角形 B．还是锐角三角形 C．有可能为直角三角形 D．新三边长有可能不能构成三角形 题型三：三角形的多解问题 【例3】（23-24高一下·北京·期末）在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一确定的是（    ） A．①④ B．②③ C．④⑤ D．②④⑤ 【变式3-1】（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 题型四：周长与面积问题 【例4】（24-25高一下·河北沧州·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． 【变式4-1】（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式4-2】（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，，求的面积． 【变式4-3】（24-25高一下·陕西榆林·期中）在中，内角的对边分别是，，，且，为边上的点，且平分. (1)求的大小； (2)若，，求的周长. 题型五：实际应用问题 【例5】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，有一长为100m的斜坡AB，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为（如图），则坡底应延长 m． 【变式5-1】（24-25高一下·重庆荣昌·期中）某湖中有一小岛C，沿该湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶2km到达B处后，又测得小岛在公路的南偏西45°的方向上，则小岛到公路的距离是 km. 【变式5-2】（24-25高一下·福建三明·期中）宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为 米. 【变式5-3】（24-25高一下·贵州黔南·期中）某数学兴趣小组为测量某地山的高度，得到如下数学模型：选择与山底在同一水平面的两个测量基点C，D且两基点的距离为．点B为山顶A在山底面内的投影，测得，，在基点C处测得山顶A的仰角为，则此山的高度为 m． 题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题 【例6】（23-24高一下·四川南充·阶段练习）设函数，其中向量，（）. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域； (3)在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，的面积为，求的值. 【变式6-1】（2025·江西·一模）设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 【变式6-2】（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知. (1)求函数的单调递减区间； (2)若中内角的对边分别为且，求的值及的面积. 【变式6-3】（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知. (1)求在上的单调递增区间； (2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求△ABC的面积的最大值. 题型七：综合应用问题 【例7】（24-25高一下·江苏连云港·期中）（1）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且.求； （2）已知函数的最大值为3，求的值. （3）在（2）的前提下，若，，求的值. 【变式7-1】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）在中，分别是角的对边，且 (1)求的大小； (2)若，求的值； (3)若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求线段长的最小值． 【变式7-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，，是的中点. (1)求； (2)若，，，求的值. 【变式7-3】（24-25高一下·浙江·期中）如图，点是的重心，、分别是边、上的动点（可以与端点重合），且、、三点共线. (1)设，，将用、表示； (2)设，，求的最小值； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围. 【强化训练】 1．（23-24高一下·青海西宁·期末）在中，内角所对的边分别是，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西百色·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川成都·期末）中，角所对的边分别为，，，交于点，且，则的值为（    ） A． B． C．6 D．3 4．（23-24高一下·福建福州·期末）我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点，，处分别测得塔顶点的仰角为，，，且，设该塔高为，示意图如图.则该塔高（    ）m. A．60 B．30 C． D． 5．（多选题）（24-25高一下·重庆江北·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为，满足，的面积为6，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（   ） A．当，，时，满足条件的三角形共有1个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，则三角形为等腰三角形 7．（多选题）（24-25高一下·广东清远·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，，，则有两解 D．若，，则面积的最大值为 8．（多选题）（24-25高一下·河南·期中）对于，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则符合条件的有两个 D．若，，则锐角周长的取值范围为 9．（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 10．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积等于，则b的大小为 . 11．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 12．（24-25高一下·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)①求的值． ②证明存在点，使得，并求出的坐标． (2)若点在四边形的四条边上运动，当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 13．（23-24高一下·内蒙古·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 14．（23-24高一下·广西崇左·期末）是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记 (1)若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值； (2)若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边的等分点，由对施以视角运算，证明：. 15．（23-24高一下·江苏常州·期末）在斜三角形中，内角的对边分别为，记． (1)若，求的最小值； (2)若，且为钝角，求的最大值； (3)直接写出两个函数与的解析式，使得对于一切满足条件的，都有，且代数式恒为定值． 16．（23-24高一下·宁夏固原·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)若，，求c； (2)若的面积为，，求a. 17．（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． (1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； (3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． 18．（23-24高一下·天津西青·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． 19．（23-24高一下·天津红桥·期末）在中，内角所对的边分别是，已知. (1)求的值； (2)求的值. 20．（23-24高一下·陕西西安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 活用正余弦定理玩转三角形 【题型归纳目录】 题型一：利用正余弦定理解三角形 题型二：三角形形状的判断 题型三：三角形的多解问题 题型四：周长与面积问题 题型五：实际应用问题 题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题 题型七：综合应用问题 【知识点梳理】 1、正弦定理 （其中为外接圆的半径）． 常用变形： （1）； （2）； （3）； （4），，． 2、余弦定理 ，，， ，， 3、三角形中的常见结论 （1）． （2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：． （3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边． （4）的面积公式 ①（ 表示边上的高）； ②； ③（为内切圆半径）； ④，其中． 4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 5、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． （3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （4）坡度＝，即坡角的正切值． 【典型例题】 题型一：利用正余弦定理解三角形 【例1】（23-24高一下·湖南娄底·期末）在中，，，，则最短边的边长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ，边b最短， 由，得． 故选：A. 【变式1-1】（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理，则， 又，所以，所以， 所以. 故选：C 【变式1-2】（24-25高一下·湖南长沙·期中）在中，，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，所以，所以最大， 设， 由余弦定理得：， 故选：A 【变式1-3】（24-25高一下·陕西·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理角化边结合已知得， 设， 则，解得， 所以由余弦定理及其推论可得， ． 故选：C. 题型二：三角形形状的判断 【例2】（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，整理可得， 因此，为等腰三角形. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】由，可得， ，， 所以，， 因为，所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】在中，因为， 由正弦定理，可得 又因为，所以， 即，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）一个锐角三角形的三边长同时增加相同的长度，得到的边长作为新三角形的边长，则新的三角形形状为（    ） A．有可能为钝角三角形 B．还是锐角三角形 C．有可能为直角三角形 D．新三边长有可能不能构成三角形 【答案】B 【解析】设增加同样的长度为，原锐角三角形三边长为， 由题意可得，且， 则新三角形的三边长为， 即可解得， 由余弦定理知新三角形的角的余弦为正，则为锐角， 同理可证新的三角形的角的余弦为正，均为锐角， 故新的三角形为锐角三角形. 故选：B. 题型三：三角形的多解问题 【例3】（23-24高一下·北京·期末）在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一确定的是（    ） A．①④ B．②③ C．④⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【解析】 根据已知，，可知三角形边上的高， 所以要使得存在且唯一确定的解，则或， 故有②④⑤满足， 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理和三角形有两解 ,得，且， 因此，所以的取值范围为. 故选：C 【变式3-3】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理有， 又， 所以， 故选：B. 【变式3-4】（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【解析】法一：在中，利用正弦定理可得，则， 若，则，因，则或（舍）， 则有一解，故A错误； 若，则，因，则或（舍），则有一解， 故B错误； 若，则，因，则，则有一解，故C错误； 若，则，因，则或， 则有两解，故D正确. 法二：利用或者可知，或， 故选：D 题型四：周长与面积问题 【例4】（24-25高一下·河北沧州·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． 【解析】（1）由，可得． 因为，所以． 又，且， 所以解得． （2）由余弦定理可知． 因为，所以， 整理得，解得或（舍去）． 由，可得， 则的面积． 【变式4-1】（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）由余弦定理，且， 所以. 又，所以，所以. （2）选择条件①：由正弦定理得.       又因为在中，，所以，       即.      所以的面积； 选择条件②：由正弦定理得. 因为在△中，，所以，所以.       又因为在中，，所以，            即 .      所以△的面积. 【变式4-2】（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，，求的面积． 【解析】（1）在中，因为，可得． 因为，由正弦定理得，． 由，所以，可得，所以． 又由，所以，所以，所以，可得． （2）， 解得：， 故． 【变式4-3】（24-25高一下·陕西榆林·期中）在中，内角的对边分别是，，，且，为边上的点，且平分. (1)求的大小； (2)若，，求的周长. 【解析】（1），由正弦定理有 ， 又，，. 又，，， 即. （2）平分，，， ， 即，即， 即，① 由余弦定理得，即.② 将①代入②得， 解得，或（舍去）， 的周长为. 题型五：实际应用问题 【例5】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，有一长为100m的斜坡AB，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为（如图），则坡底应延长 m． 【答案】 【解析】由题意，可得，， 在中，由正弦定理得， 则，解得， 则坡底应延长. 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高一下·重庆荣昌·期中）某湖中有一小岛C，沿该湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶2km到达B处后，又测得小岛在公路的南偏西45°的方向上，则小岛到公路的距离是 km. 【答案】 【解析】如图所示，过C作，垂足为D，，，， ∴， 中，， 中，． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25高一下·福建三明·期中）宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为 米. 【答案】 【解析】设塔高为， 在中，，则， 在中，，则，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即， 化简可得，解得. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一下·贵州黔南·期中）某数学兴趣小组为测量某地山的高度，得到如下数学模型：选择与山底在同一水平面的两个测量基点C，D且两基点的距离为．点B为山顶A在山底面内的投影，测得，，在基点C处测得山顶A的仰角为，则此山的高度为 m． 【答案】 【解析】在中，，，， 所以， 由正弦定理得，即，解得， 在中，，所以， 即山的高度为. 故答案为：. 题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题 【例6】（23-24高一下·四川南充·阶段练习）设函数，其中向量，（）. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域； (3)在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，的面积为，求的值. 【解析】（1）因为函数，其中向量，， 所以 ， 所以的最小正周期. （2）当时，所以， 所以，即在上的值域为； （3）由，得，则， 又，所以，故，则. 由，可得. 在△中，由余弦定理得， 所以， 由，所以. 【变式6-1】（2025·江西·一模）设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 【解析】（1）由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）因为为锐角三角形，由得， 由可得， 所以，故， 在中，由正弦定理得，所以， 所以①， 由余弦定理得，得②， 由①②解得， 所以的面积为. 【变式6-2】（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知. (1)求函数的单调递减区间； (2)若中内角的对边分别为且，求的值及的面积. 【解析】（1）因为， 所以 ， 所以， 由，得， 所以的单调递减区间为； （2）由，得， 因为，所以， 所以，得， 因为，所以由正弦定理得， 所以由余弦定理得，解得， 所以. 所以. 【变式6-3】（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知. (1)求在上的单调递增区间； (2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求△ABC的面积的最大值. 【解析】（1）由题意得， 又（），得（）， 令，得，令，得， 所以在上的单调递增区间是. （2）因为， 所以（），得， 又C是锐角，所以. 由余弦定理，得， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以， 故△ABC的面积的最大值为. 题型七：综合应用问题 【例7】（24-25高一下·江苏连云港·期中）（1）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且.求； （2）已知函数的最大值为3，求的值. （3）在（2）的前提下，若，，求的值. 【解析】（1）在中，由余弦定理得，整理得， 则，所以. （2）函数， 则，所以. （3）由（2）知，由，得， 解得，由，得，， ， ， 所以 . 【变式7-1】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）在中，分别是角的对边，且 (1)求的大小； (2)若，求的值； (3)若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求线段长的最小值． 【解析】（1），由正弦定理得 ， 即， 因为，所以，故， 因为，所以； （2）由（1）知，， ， 由正弦定理，得. （3）因为，， 所以， 设，， 故，令， 解得， 由余弦定理得， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，即线段长的最小值为. 【变式7-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，，是的中点. (1)求； (2)若，，，求的值. 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）在中，，， 由，得， 由是的中点，得， 由，得 ， 所以. 【变式7-3】（24-25高一下·浙江·期中）如图，点是的重心，、分别是边、上的动点（可以与端点重合），且、、三点共线. (1)设，，将用、表示； (2)设，，求的最小值； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围. 【解析】（1）因为为中点，所以， 因为为重心，所以. （2）因为、分别是边、上的动点，则，， 因为、、三点共线，设，即， 所以，， 若，则点与点重合，此时，则、、三点共线，不合乎题意， 同理若，则与重合，不合乎题意，所以，，， 因为，，则，， 由（1）得， 因为、不共线，所以，， 所以，所以， 所以， 所以的最小值为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. （3）， 由（2）知，所以， 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 由，解得，则， 所以，所以. 【强化训练】 1．（23-24高一下·青海西宁·期末）在中，内角所对的边分别是，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知， 则由正弦定理得， 由余弦定理可得，代入上式可得 ，即，则， 因为，所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·广西百色·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由及正弦定理，得， 而，则，由及余弦定理得，， 因此，，则， 所以的面积为. 故选：B 3．（23-24高一下·四川成都·期末）中，角所对的边分别为，，，交于点，且，则的值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】B 【解析】因为，，得到， 在中，，，由余弦定理得到， 所以，即， 所以，得到， 故选：B. 4．（23-24高一下·福建福州·期末）我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点，，处分别测得塔顶点的仰角为，，，且，设该塔高为，示意图如图.则该塔高（    ）m. A．60 B．30 C． D． 【答案】A 【解析】如图，设， 在中，， 所以， 同理可得，，， 在中，由余弦定理得， ， 同理可得， ， 因为， 所以， 所以， 即， 解得，， 所以塔高. 故选：A. 5．（多选题）（24-25高一下·重庆江北·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为，满足，的面积为6，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】在中，内切圆半径为，得， 解得，故A选项正确； 又，由正弦定理得， 整理得，故B选项正确； ，又， 得， 则，故， 又， 解得，故C选项不正确. 因为，，由正弦定理可得， 所以，所以，故D选项正确. 故选：ABD. 6．（多选题）（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（   ） A．当，，时，满足条件的三角形共有1个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，则三角形为等腰三角形 【答案】BD 【解析】对于A，由正弦定理，，则， 故不存在满足条件的三角形，即A错误； 对于B，由正弦定理，， 设，则，由余弦定理，， 因，则，故这个三角形的最大角是，即B正确； 对于C，因，由余弦定理，， 因，故角为锐角，但不能说明为锐角三角形，故C错误； 对于D，由和正弦定理，可得，即， 因，故，所以，即，三角形为等腰三角形，故D正确. 故选：BD. 7．（多选题）（24-25高一下·广东清远·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，，，则有两解 D．若，，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A, 得，故，A正确， 对于B,由可得,故，, 因此或，故或， 故三角形为等腰三角形或者直角三角形，B错误， 对于C，由于，故，故有两解，故C正确， 对于D,由可得, 故，，故，进而， 所以，当且仅当时取到等号， 故，故面积的最大值为，D正确， 故选：ACD 8．（多选题）（24-25高一下·河南·期中）对于，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则符合条件的有两个 D．若，，则锐角周长的取值范围为 【答案】BD 【解析】对于A,若，则，故,故A正确， 对于B, ，则,则,,进而或，故或,故是等腰三角形或直角三角形，B错误， 对于C,由于，故符合条件的有两个，C正确， 对于D,,故, 由于,故，因此，故， 故，故D错误， 故选：BD 9．（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 【答案】15米 【解析】由题意可得，则， 因为，所以， 在中，，米， 由余弦定理可得， 即， 整理可得， 可得或（舍． 故答案为：15米． 10．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积等于，则b的大小为 . 【答案】 【解析】， 所以， 由余弦定理可得, 故答案为： 11．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【解析】（1）由余弦定理 ，解得； 又，解得； 外接圆的半径为； （2）因为，为锐角， 则； 设，则， 在中，， 由余弦定理得，解得； 所以； 由正弦定理，即，解得； 所以， 即的面积为. 12．（24-25高一下·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)①求的值． ②证明存在点，使得，并求出的坐标． (2)若点在四边形的四条边上运动，当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【解析】（1）①因为， 所以， 得， ， 所以． ②由知，点为四边形外接圆的圆心． 因为， 所以 所以，四边形外接圆的圆心为的中点， 所以点的坐标为（6，3），得证． （2）易得． 因为将四边形分成面积相等的两部分，则点在上，且，所以有 得，所以． 设点的坐标为（x，y），则， 所以，则，故点的坐标为． 13．（23-24高一下·内蒙古·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． （2）由，得． 由余弦定理，得， 得， 得， 所以的周长为． 14．（23-24高一下·广西崇左·期末）是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记 (1)若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值； (2)若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边的等分点，由对施以视角运算，证明：. 【解析】（1）如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故 . 因为，所以， 则. （2）如图2，设， 则. 因为， 所以 则，解得， 故. （3）证明：如图3， 因为是的等分点，所以 . 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则. 同理可得. 故. 15．（23-24高一下·江苏常州·期末）在斜三角形中，内角的对边分别为，记． (1)若，求的最小值； (2)若，且为钝角，求的最大值； (3)直接写出两个函数与的解析式，使得对于一切满足条件的，都有，且代数式恒为定值． 【解析】（1）因为，所以， 所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为； （2）因为， 所以， 所以， 所以，所以，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 所认， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为； （3）存在，使代数式恒为定值，理由如下： 因为，所以由正弦定理可得， 于是， 所以，所以， 所以， 所以，所以， 所以， 所以， 即， 所以， 所以， 即时，代数式恒为定值． 16．（23-24高一下·宁夏固原·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)若，，求c； (2)若的面积为，，求a. 【解析】（1）如图： 在中，因为，，所以，所以为等腰三角形. 过作于，则为中点. 在中，，，，所以，即. （2）因为：. 由余弦定理：， 所以 17．（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． (1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； (3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． 【解析】（1）由题意可知：， 所以的外接圆的半径. （2）若， 则 , 所以， 在中， 分别由余弦定理得：， ，， 三式相加整理得， 因为，所以. （3）由（2）得， 所以, 由， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得. 18．（23-24高一下·天津西青·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． 【解析】（1）由， 则， 又，则； （2）由（1）知，又， 则由正弦定理知，，即 . 19．（23-24高一下·天津红桥·期末）在中，内角所对的边分别是，已知. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）在中，由，令， 由余弦定理得. （2）在中，由及，得， 则， ， 所以. 20．（23-24高一下·陕西西安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【解析】（1）在中，由及正弦定理得， 而，则， 由，得，，于是，又， 所以. （2）由，且的面积为，得，即，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$