专题01 平面向量的基本运算与线性表示（8大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题01 平面向量的基本运算与线性表示 【题型归纳目录】 题型一：平面向量的概念 题型二：线性运算 题型三：三点共线 题型四：平面向量共线定理及推论 题型五：平面向量的运算 题型六：平面向量的坐标表示 题型七：四心问题 题型八：新定义问题 【知识点梳理】 知识点一、向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ， 知识点三、平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． 知识点四、平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 知识点五、平面向量共线 （1）线性表示 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 （2）坐标表示 设，其中，则 知识点六、两个向量的夹角 1、定义 已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角． 2、范围 向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角． 3、向量垂直 如果向量与的夹角是，则与垂直，记作． 知识点七、平面向量的数量积 1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角． 规定． 当时，，这时 2、的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 知识点八、数量积的运算律 （1）交换律：． （2）分配律：． （3）对． 知识点九、向量数量积的性质 1、如果是单位向量，则． 2、． 3、， 4、．（为与的夹角） 5、． 知识点十、数量积的坐标运算 设，则： 1、． 2、． 3、． 4、（为与的夹角） 【典型例题】 题型一：平面向量的概念 【例1】（23-24高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C．相反向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【变式1-1】（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知平面向量，则下列命题一定正确的有（    ） ①若，则        ②若，则存在实数，使得 ③若，则        ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 题型二：线性运算 【例2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，在中，D是线段BC上的一点，且满足：，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·山东聊城·期末）设，，任意一点P关于点A的对称点为M，关于点B的对称点为N，则等于（    ） A． B． C． D． 题型三：三点共线 【例3】（23-24高一上·辽宁·期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2011·广西南宁·二模）若是不平行的两个向量,其中,,则A、B、C三点共线的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 题型四：平面向量共线定理及推论 【例4】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 【变式4-1】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【变式4-2】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（， 交两点不重合）.若，（），则的最小值为 . 【变式4-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 题型五：平面向量的运算 【例5】（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【变式5-1】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式5-2】（24-25高一下·重庆江北·期中）已知向量，， (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【变式5-3】（24-25高一下·北京顺义·期中）已知向量 和 ，则 ，， 求： (1) 的值； (2) 的值； (3)求向量 在 方向上的投影向量； 题型六：平面向量的坐标表示 【例6】（24-25高一下·浙江·期中）已知平面向量. (1)若，求向量的坐标； (2)若，求的值； (3)若向量，若与共线，求的值. 【变式6-1】（24-25高一下·安徽·期中）在直角坐标系中，已知点，，，点满足，， (1)求； (2)求在上的投影向量的坐标. 【变式6-2】（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知向量，． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【变式6-3】（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 题型七：四心问题 【例7】（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若O为的外心，， 则 B．若O为的垂心，，则 C．若，则与的面积之比为 D．若，的面积为8，则的面积为14 【变式7-1】（多选题）（24-25高一下·陕西榆林·期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选题）（24-25高一下·湖南常德·期中）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（   ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若为锐角三角形且外心为，且，则 【变式7-3】（多选题）（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知点是的外心，，，，则下列正确的是（   ） A．若，则的外接圆面积为 B．若，则 C．若，则 D．当，时， 题型八：新定义问题 【例8】（多选题）（23-24高一下·重庆·期末）对非零向量，，定义运算“”：，其中为与的夹角，则（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若中，，，，则 D．若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形 【变式8-1】（多选题）（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．若为非零向量，且，则 C．若，则的最小值为 D．已知点为坐标原点，则 【变式8-2】（多选题）（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）对于非零向量，定义变换，得到一个新的向量，则关于该变换，下列说法正确的是（    ） A．若为任意实数，则 B．若，则 C．若，则 D．存在使得 【变式8-3】（多选题）（23-24高一下·云南昭通·期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 【强化训练】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知平面向量，满足，且，则，的夹角为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建宁德·期中）已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．6 C． D．3 3．（24-25高一下·湖南·期中）若向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ） A．4 B． C．2 D． 4．（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知的外接圆圆心为，点满足，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 7．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，则下列结论不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若与的夹角为钝角，则且 8．（多选题）（24-25高一下·广东清远·期中）已知平面向量，，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．，则 C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为 D．若，则在上的投影向量是 9．（多选题）（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知点P在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若P为的垂心，，则 B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为 C．若为锐角三角形且外心为P，且，则 D．若，则动点P的轨迹经过的外心 10．（多选题）（24-25高一下·江苏无锡·期中）点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（   ） A． B．直线AO必过BC边的中点 C． D．若，且，则 11．（多选题）（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．任意向量，满足 B．若且，则 C．若非零向量满足，则 D．任意两个非零向量和，向量与向量垂直 12．（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，满足，，则的取值范围是 . 13．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，正方形的边长为6，点是边上的中点，点是边上靠近的三等分点，则 ． 14．（24-25高一下·四川·期中）已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为 ． 15．（24-25高一下·广东清远·期中）已知，是两个不共线的向量. (1)若，，向量与相互垂直，求实数的值； (2)若向量与共线，求实数的值. 16．（24-25高一下·天津河西·期中）如图，在平行四边形中，.分别为上的点，且 (1)若求的值； (2)求的值； (3)求 17．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，在平行四边形中，是的中点，． (1)用表示； (2)若，证明：． 18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 19．（24-25高一下·湖北孝感·期中）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使的点P即为费马点．已知分别为三内角的对边，，点P是的“费马点”． (1)求角A； (2)若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量的基本运算与线性表示 【题型归纳目录】 题型一：平面向量的概念 题型二：线性运算 题型三：三点共线 题型四：平面向量共线定理及推论 题型五：平面向量的运算 题型六：平面向量的坐标表示 题型七：四心问题 题型八：新定义问题 【知识点梳理】 知识点一、向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ， 知识点三、平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． 知识点四、平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 知识点五、平面向量共线 （1）线性表示 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 （2）坐标表示 设，其中，则 知识点六、两个向量的夹角 1、定义 已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角． 2、范围 向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角． 3、向量垂直 如果向量与的夹角是，则与垂直，记作． 知识点七、平面向量的数量积 1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角． 规定． 当时，，这时 2、的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 知识点八、数量积的运算律 （1）交换律：． （2）分配律：． （3）对． 知识点九、向量数量积的性质 1、如果是单位向量，则． 2、． 3、， 4、．（为与的夹角） 5、． 知识点十、数量积的坐标运算 设，则： 1、． 2、． 3、． 4、（为与的夹角） 【典型例题】 题型一：平面向量的概念 【例1】（23-24高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C．相反向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】对于A，由只知两向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，因单位向量的方向不确定，故B错误； 对于C，根据定义，一对相反向量只有方向相反，模长一定相等，故C正确； 对于D，因平面向量是自由向量，故两条共线向量既可以在一条直线上， 也可以在两条平行线上，还可以有一个为零向量，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】单位向量的模长相等，则，故D正确； 且两者并不一定是相同或相反向量，故A错误；两者不一定共线，故B错误；两者不一定垂直，故C错误. 故选：D. 【变式1-2】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知平面向量，则下列命题一定正确的有（    ） ①若，则        ②若，则存在实数，使得 ③若，则        ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】对于①，因为，所以，所以①正确； 对于②，当时，满足，但是不存在实数，使得，故②错误； 对于③，零向量与任何向量平行，因此当，满足，但是未必成立，故③错误； 对于④，向量是与平行的向量，而是与平行的向量，因此未必成立，故④错误， 故一定正确的只有1个， 故选：B． 【变式1-3】（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【解析】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 题型二：线性运算 【例2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，为线段的中点， 则 ． 故选：D． 【变式2-1】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 【变式2-2】（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，在中，D是线段BC上的一点，且满足：，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，则， 所以. 故选：B. 【变式2-3】（23-24高一下·山东聊城·期末）设，，任意一点P关于点A的对称点为M，关于点B的对称点为N，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：分别为的中点，则∥，且， 所以. 故选：D. 题型三：三点共线 【例3】（23-24高一上·辽宁·期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 【变式3-1】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知 由于A，B，C三点共线，所以与共线， 所以， 所以, 故选：D 【变式3-2】（2011·广西南宁·二模）若是不平行的两个向量,其中,,则A、B、C三点共线的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、B、C三点共线共线， 存在使 整理得 故选：C 【变式3-3】（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由得，由三点共线，得， 又不共线，则，所以. 故选：A. 题型四：平面向量共线定理及推论 【例4】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 【答案】3 【解析】因为是的重心，所以可得， 易知，所以可得； 又因为三点共线，可知存在实数满足,且； 又，，所以， 可得，即； 所以. 故答案为：3 【变式4-1】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【答案】/ 【解析】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 【变式4-2】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（， 交两点不重合）.若，（），则的最小值为 . 【答案】. 【解析】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 因为D，E，F三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 【答案】3 【解析】因为是的重心，所以可得， 易知，所以可得； 又因为三点共线，可知存在实数满足,且； 又，，所以， 可得，即； 所以. 故答案为：3 题型五：平面向量的运算 【例5】（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【解析】（1）因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. （2）由（1）， 所以， 得到. 【变式5-1】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 【变式5-2】（24-25高一下·重庆江北·期中）已知向量，， (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【解析】（1）因为，所以，所以， 又因为，，所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以与的夹角的余弦值为． 【变式5-3】（24-25高一下·北京顺义·期中）已知向量 和 ，则 ，， 求： (1) 的值； (2) 的值； (3)求向量 在 方向上的投影向量； 【解析】（1）∵ ，， . ∴ ； （2）∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ∴向量 在 方向上的投影向量是. 题型六：平面向量的坐标表示 【例6】（24-25高一下·浙江·期中）已知平面向量. (1)若，求向量的坐标； (2)若，求的值； (3)若向量，若与共线，求的值. 【解析】（1）因为，所以，解得，故， 则. （2）因为，所以，则， 则. （3），， 若与共线，则， 解得，即， 故. 【变式6-1】（24-25高一下·安徽·期中）在直角坐标系中，已知点，，，点满足，， (1)求； (2)求在上的投影向量的坐标. 【解析】（1）由，，可得， 即，则有，解得， 故. （2）由（1）可得，因， 则，， 于是在上的投影向量为， 则在上的投影向量的坐标为，即. 【变式6-2】（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知向量，． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【解析】（1）因为向量，，则， 所以. （2）因为向量，，则，， 可得，，， 所以向量与夹角的余弦值为. 【变式6-3】（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 【解析】（1）因为，， 所以， 所以. （2）由题可知与不共线，故设()， 即， 所以，解得，． 因此. （3）由题意得． 因为， 所以， 解得. 题型七：四心问题 【例7】（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若O为的外心，， 则 B．若O为的垂心，，则 C．若，则与的面积之比为 D．若，的面积为8，则的面积为14 【答案】BD 【解析】对于A，由，，则， ，故A错误； 对于B，由，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，由奔驰定理可得，故C错误； 对于D，由，则, 即，由奔驰定理可得， 又，则，故D正确. 故选：BD. 【变式7-1】（多选题）（24-25高一下·陕西榆林·期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，已知为的重心，为中点，则有， 又，所以. 而，那么， 已知，，则，故A错误； 对于B，设为中点，则，. 因，且，则，故B正确； 对于C，因为垂心，则，即，即，故C正确； 对于D，因为，，三点共线，且，，，，. ，，. 则要证明，只需证，即证. 由， 又，可得，即成立，故D正确. 故选：BCD. 【变式7-2】（多选题）（24-25高一下·湖南常德·期中）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（   ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若为锐角三角形且外心为，且，则 【答案】ABC 【解析】A选项，因为为的垂心，所以， 则，故A正确； B选项，设中点为，中点为，   ，即， 所以点为中位线靠近点的三等分点， 所以，故B正确； C选项，设中点为，则， 结合题设， 所以，所以， 又的中点为，所以在的中垂线上， 所以动点的轨迹经过的外心，故C正确； 对于D，为锐角的外心，取AB中点F，则，如图， 由，，得，而， 于是，即，即，则点共线， 因此垂直平分边，有，没有条件确保有成立，D错误； 故选：ABC. 【变式7-3】（多选题）（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知点是的外心，，，，则下列正确的是（   ） A．若，则的外接圆面积为 B．若，则 C．若，则 D．当，时， 【答案】BD 【解析】因为点O是的外心，所以，， 对A，若，则， 由余弦定理可得：，所以， 所以的外接圆的半径为， 所以该外接圆的面积为，故A错误； 对B，因为，， 由， 所以， 即， 所以或， 当时，则，点是的外心，所以是斜边，但是矛盾； 所以， 根据余弦定理可得，，故B正确； 对C，当时，根据余弦定理可得， ， 由， 所以， 即， 解得，，则，故C错误； 对D，当，时，由选项B的分析知， ， 所以，故D正确. 故选：BD. 题型八：新定义问题 【例8】（多选题）（23-24高一下·重庆·期末）对非零向量，，定义运算“”：，其中为与的夹角，则（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若中，，，，则 D．若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，所以或， 当时，，，所以 ； 当时，，，所以 ， 所以A正确. 对于B，，， 所以，所以，所以B正确. 对于C，因为中，，，， 所以， 所以C错误. 对于D，因为，所以, 所以，所以或， 当时，是等腰三角形； 当时，； 所以是等腰三角形或有内角为135°的三角形， 所以D正确. 故选：ABD. 【变式8-1】（多选题）（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．若为非零向量，且，则 C．若，则的最小值为 D．已知点为坐标原点，则 【答案】BC 【解析】A：，选项A错误； B：若为非零向量，，则，选项B正确； C：， 则当且仅当时取到“”，选项C正确； D：已知点为坐标原点，则，选项D错误. 故选：BC. 【变式8-2】（多选题）（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）对于非零向量，定义变换，得到一个新的向量，则关于该变换，下列说法正确的是（    ） A．若为任意实数，则 B．若，则 C．若，则 D．存在使得 【答案】ABC 【解析】对于选项A，因为，所以， 所以，故A正确； 对于选项B，，设，若，则， ，， 所以，即，故B正确； 对于选项C，若，则， 所以，故C正确； 对于选项D，， ，所以，故D错误. 故选：ABC. 【变式8-3】（多选题）（23-24高一下·云南昭通·期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A中，因为是非零向量，由，可得，即， 可得，且，解得或，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，因为，可知， 则，且，可得， 所以，故C正确； 对于D中，因为，即， 可得，可知，可得， 则， 所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确， 故选：BCD. 【强化训练】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知平面向量，满足，且，则，的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，，平方可得， 则，， 根据数量积的定义，， 则，又，则， 则，的夹角为. 故选：B 2．（24-25高一下·福建宁德·期中）已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【解析】根据公式可知向量在向量上的投影向量为 所以，得. 故选：A 3．（24-25高一下·湖南·期中）若向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】，. 则，则. 故选：C 4．（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知的外接圆圆心为，点满足，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，设分别为的中点，连接， 因为点满足，可得点为的重心，所以， 又因为，所以， 又因为是的外心，所以， 因为，则 . 故选：A. 5．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，，（，）， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，则， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：D． 6．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选： 7．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，则下列结论不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若与的夹角为钝角，则且 【答案】D 【解析】对于A：因为且，则，解得，A正确； 对于B：若，所以，解得，故B正确； 对于C：因为，则， 所以，解得或，故C正确； 对于D：若与的夹角为钝角，则且与为不共线向量， 即且， 取满足题意，但是且不成立，故D错误. 故选：D 8．（多选题）（24-25高一下·广东清远·期中）已知平面向量，，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．，则 C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为 D．若，则在上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】对于A, 若，则,故A正确， 对于B,若，则，故，B正确， 对于C, ，当时，， 而当时，此时共线且方向相同， 故与的夹角为锐角，则的取值范围为，C错误， 对于D, 时，则在上的投影向量是，故D正确， 故选：ABD 9．（多选题）（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知点P在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若P为的垂心，，则 B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为 C．若为锐角三角形且外心为P，且，则 D．若，则动点P的轨迹经过的外心 【答案】ACD 【解析】对于A：如下图，，，则AD与BE的交点即为垂心P， 易知：∽，所以，则， 根据向量数量积的几何意义知：， 同理，所以，正确； 对于B：如图构建以BC中点O为原点的直角坐标系，则，设， 所以，，由， 则， 当，时， 的最小值为，错误； 对于C：由题设，则， 所以，若D为AC中点，则，故， 故B，P，D共线， 又，即BD垂直平分AC，所以，正确； 对于D：设BC的中点为M，则， ， 因为， 所以，所以， 所以，所以， 又BC的中点为M，即P在BC的垂直平分线上， 则动点P的轨迹经过的外心，正确． 故选：ACD 10．（多选题）（24-25高一下·江苏无锡·期中）点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（   ） A． B．直线AO必过BC边的中点 C． D．若，且，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由，则， 则，即，故A正确； 对于B，若直线过边的中点，设， 则，故B错误； 对于C，由，则，即 则，故C正确； 对于D，由，，且， 则 ，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．任意向量，满足 B．若且，则 C．若非零向量满足，则 D．任意两个非零向量和，向量与向量垂直 【答案】ACD 【解析】对于A，根据向量数量积的分配律成立，故A正确； 对于B，由可得， 因为，所以，所以不一定成立， 举反例：如此时，故B错误； 对于C，因为非零向量满足，所以， 即，所以，故C正确； 对于D，由于， 所以向量与向量垂直，故D正确； 故选：ACD. 12．（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由于 ， 故答案为： 13．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，正方形的边长为6，点是边上的中点，点是边上靠近的三等分点，则 ． 【答案】 【解析】， ， 所以 . 故答案为：. 14．（24-25高一下·四川·期中）已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】由点，可得， 设，因为，可得，所以， 可得，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 15．（24-25高一下·广东清远·期中）已知，是两个不共线的向量. (1)若，，向量与相互垂直，求实数的值； (2)若向量与共线，求实数的值. 【解析】（1）由于与相互垂直，故， 即，解得， （2）由于与共线，则存在实数，则， 故，解得， 16．（24-25高一下·天津河西·期中）如图，在平行四边形中，.分别为上的点，且 (1)若求的值； (2)求的值； (3)求 【解析】（1）， 所以. （2）， 所以 . （3）， ， ， ， 则. 17．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，在平行四边形中，是的中点，． (1)用表示； (2)若，证明：． 【解析】（1）因为四边形为平行四边形，是的中点，， 所以， ． （2）证明：由（1）可知 ， 因为，所以， 则，即， 从而． 18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 【解析】（1）如下图所示： 由平面向量数量积的坐标运算可得， 则为锐角，且， 结合图形可知，， . （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故. （3）以点为坐标原点，直线、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，由题意知， . 由垂径定理知， ， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大为. 19．（24-25高一下·湖北孝感·期中）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使的点P即为费马点．已知分别为三内角的对边，，点P是的“费马点”． (1)求角A； (2)若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围． 【解析】（1）因为，所以可化为， 由正弦定理可得，因为，所以， 因此，， 即，因为． 所以，故． （2）因为，所以的内角均小于，所以点P在的内部，且， 设， 因为， 整理得：， 由得， 即， 在中，由余弦定理得，即， 则，解得，所以的周长为． （3）在中，由余弦定理得： 将三个等式左右分别相加，， 由（2）知①， 在中，由余弦定理得，即②， 将①，②代入整理得，， 于是， 从而，， 由题意，当时，不等式恒成立， 即在上恒成立． 因为，当且仅当时等号成立，故， 即实数n的取值范围为． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$